Indice. Scelta in condizioni di incertezza. Lotterie monetarie. Lotterie monetarie. Corso di Microeconomia progredito. Parte III
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1 Indice Scelta in condizioni di incertezza Corso di Microeconomia progredito 1 Lotterie monetarie 2 Avversione al rischio Parte III 3 Applicazioni 4 Misura dell avversione al rischio Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 1 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 2 / 30 Lotterie monetarie Lotterie monetarie In molte situazioni economiche gli esiti possibili di un alternativa rischiosa sono somme monetarie In questa parte ci concentriamo su lotterie con esiti monetari e con un numero di esiti eventualmente infinito Gli esiti monetari sono indicati con la variabile continua x R Una lotteria monetaria è rappresentata da una Funzione di distribuzione cumulativa F (x) La funzione F : R [0, 1], è definita da F ( x) = Prob (x x) F (x) è la probabilità che l esito della lotteria sia minore o uguale a x Se la funzione di distribuzione ha una funzione di densità f (x), si ha F (x) = x f (t) dt Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 3 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 4 / 30
2 Lotterie monetarie Lotterie monetarie Questa notazione consente di trattare con lo stesso apparato formale anche il caso con un numero finito di esiti Esempio grafico C = {1, 4, 6} e p(1) = 1/4, p(4) = 1/2, p(6) = 1/4 La funzione di distribuzione è... Una lotteria monetaria è indicata con la notazione L = F (x) Il valore atteso della lotteria L = F (x) è dato da x df (x) Le funzioni di distribuzione mantengono la struttura lineare delle lotterie con un numero finito di esiti Se (L 1,... L K ; α 1,..., α N ) è una lotteria composta dove L k = F k (x), la lotteria semplice ridotta è data da F (x) = k Il valore atteso della lotteria composta è [ ] x d α k F k (x) = k k α k F k (x) α k xd F k (x) Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 5 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 6 / 30 Utilità attesa Utilità attesa Ipotesi consequenzialista: equivalenza tra una lotteria composta e la lotteria ridotta corrispondente L : è l insieme delle lotterie monetarie, cioè l insieme delle funzioni di distribuzione. Esiste una relazione di preferenza sull insieme delle lotterie (una relazione binaria completa e transitiva) che soddisfa l assioma di continuità l assioma di indipendenza In modo analogo a quello già visto nel caso finito si introduce la Proprietà dell utilità attesa La funzione di utilità U : L R ha la forma dell utilità attesa se esiste una funzione u(x) tale che per ogni lotteria L = F (x) U(L) = u(x)df (x) La u(x) è detta funzione di utilità di Bernulli. Una U(L) che ha la forma dell utilità attesa è detta funzione di utilità attesa di vnm Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 7 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 8 / 30
3 Teorema dell utilità attesa Teorema dell utilità attesa Vale anche in questo caso il teorema dell utilità attesa Il teorema dell utilità attesa Se le preferenze soddisfano gli assiomi di continuità e di indipendenza, esse sono rappresentate da una funzione di utilità attesa di vnm, cioè esiste una funzione u(x) tale che per ogni coppia di lotterie L 1 = F 1 (x) e L 2 = F 2 (x) si ha L 1 L 2 se e solo se u(x) df 1 (x) u(x) df 2 (x) Dagli assiomi non discendono particolari restrizioni sulla funzione di utilità di Bernulli È ragionevole assumere che u( ) sia N.B. continua strettamente crescente differenziabile L utilità attesa di una lotteria certa C (che dà con certezza la somma C) è pari all utilità (di Bernulli) dell esito certo, cioè u(c) Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 9 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 10 / 30 Avversione al rischio Avversione al rischio Definizione di avversione al rischio Un individuo è avverso al rischio se per ogni L L, la lotteria che dà con certezza il valore atteso di L, xdf (x), è debolmente preferita alla lotteria stessa xdf (x) L Neutralità e propensione al rischio sono definiti in modo logicamente conseguente Neutralità al rischio se xdf (x) L Propensione al rischio se L xdf (x) In termini di utilità attesa l avversione al rischio è equivalente alla condizione ( ) u(x)df (x) u xdf (x) per ogni lotteria L L. Diseguaglianza di Jensen Definizione di funzione concava Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 11 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 12 / 30
4 Avversione al rischio Atteggiamenti nei confronti del rischio Caratterizzazione dell avversione al rischio Un individuo è avverso al rischio se e solo la funzione di utilità di Bernulli u( ) è concava Illustrazione grafica Interpretazione Neutralità al rischio : per ogni lotteria L = F (x) si ha ( ) u(x)df (x) = u xdf (x) La neutralità equivale alla condizione che u( ) sia lineare Propensione al rischio: per ogni lotteria L = F (x) si ha ( ) u(x)df (x) u xdf (x) La propensione al rischio equivale alla condizione che u( ) sia convessa Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 13 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 14 / 30 Avversione al rischio Avversione al rischio Un altra nozione utilizzata per descrivere l atteggiamento nei confronti del rischio è Equivalente certo L equivalente certo di una lotteria L = F (x) L è la somma monetaria certa c(f ) che è indifferente alla lotteria stessa, cioè c(f ) F (x) Se vale la teoria dell utilità attesa l equivalente certo della lotteria L = F (x) è definito dalla condizione u (c(f )) = u(x)df (x) Illustrazione grafica dell equivalente certo Definizioni equivalenti di avversione al rischio 1 L individuo è avverso al rischio 2 u( ) è concava 3 c(f ) xdf (x) Esercizio: si dimostri che la (3) implica la (1) Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 15 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 16 / 30
5 Applicazioni Applicazioni Scelta di portafoglio attività sicura (attività priva di rischio): 1 euro di rendimento per ogni euro investito attività rischiosa: z è il rendimento casuale per ogni euro investito F (z) è la distribuzione del rendimento Si assume che zdf (z) > 1 cioè il rendimento atteso dell attività rischiosa è maggiore del rendimento dell attività sicura w : ricchezza iniziale α: somma investita nell attività rischiosa β: somma investita nell attività sicura il vincolo di bilancio è α + β = w L individuo è avverso al rischio, cioè u( ) è concava Il valore del portafoglio per ogni z è αz + β Il problema della scelta di portafoglio è u(αz + β)df (z) s. a α + β = w, α 0, β 0 max α,β Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 17 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 18 / 30 Applicazioni Applicazioni Sostituendo β = w α si ha max u(α(z 1) + w)df (z) s. a 0 α w α Le condizioni di Khun - Tucker sono u (α(z 1) + w)(z 1)dF (z) 0, se α = 0; = 0, se 0 < α < w ; 0, se α = w. Le condizioni di Khun Tucker sono necessarie e sufficienti. Infatti la funzione obiettivo è concava poiché u (α(z 1) + w)(z 1) 2 df (z) 0 Soluzione di frontiera, α = 0 In questo caso la CPO sarebbe u (w) (z 1)dF (z) 0 e quindi zdf (z) 1 Il risparmiatore non investe nell attività rischiosa se il rendimento atteso è inferiore a quello dell attività sicura. Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 19 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 20 / 30
6 Applicazioni Misura dell avversione al rischio Poiché, per ipotesi zdf (z) > 1, avremo una Soluzione interna, 0 < α < w, caratterizzata dalla condizione u (α (z 1) + w)(z 1)dF (z) = 0 Coefficiente di avversione assoluta al rischio (AAR) Il coefficiente di avversione assoluta al rischio (o anche coefficiente di Arrow - Pratt) è dato da r A (x) = u (x) u (x) Il risparmiatore avverso al rischio investe sempre una parte della propria ricchezza nell attività rischiosa, a condizione che essa abbia un rendimento atteso superiore al rendimento dell attività priva di rischio Motivazione Maggior avversione corrisponde a maggior concavità Invarianza rispetto a trasformazioni affini Esempio: CARA u(x) = e ax, a > 0 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 21 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 22 / 30 Confronto tra individui Siano u 1 e u 2 le funzioni di utilità di Bernulli di due individui. Relazione di maggior avversione al rischio u 2 è piú avverso al rischio di u 1 se vale una delle seguenti condizioni (equivalenti tra loro) r A (x, u 2 ) r A (x, u 1 ) per ogni x u 2 è una trasformazione crescente concava di u 1, cioè u 2 (x) = ψ(u 1 (x)) e ψ( ) è una funzione crescente e concava C(F, u 2 ) C(F, u 1 ) per ogni L L x Confronto tra le scelte di portafoglio Torniamo al problema della scelta di portafoglio. Con α1 e α 2 si indicano gli investimenti nell attività rischiosa di ciascun individuo. Proposizione L individuo piú avverso al rischio, u 2, investe meno nell attività rischiosa, cioè α 2 < α 1 I problemi di scelta di portafoglio dei due risparmiatori sono simili a quello già studiato (soluzione interna) Condizione del primo ordine per l individuo 1 u 1(α 1(z 1) + w)(z 1)dF (z) = 0 (1) Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 23 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 24 / 30
7 Confronto tra le scelte di portafoglio Confronto tra le scelte di portafoglio Condizione del primo ordine per l individuo 2 φ 2 (α2) = u 2(α 2(z 1) + w)(z 1)dF (z) = 0 (2) Inoltre Mostriamo che φ 2 (α 1 ) = u 2( ) = ψ (u 1 ( ))u 1( ) La funzione φ 2 ( ) è decrescente e φ 2 (α2 ) = 0, Se φ 2 (α1 ) < 0 allora α 1 > α 2 Sappiamo che l individuo 2 è piú avverso al rischio, quindi u 2 ( ) = ψ(u 1 ( )) = [ψ (u 1 (α 1(z 1) + w)) ] u 1(α 1(z 1) + w)(z 1)dF (z) < 0 Due osservazioni Il segno dell argomento dell integrale è uguale al segno di (z 1). Se il termine in parentesi quadre fosse uguale a 1, questa espressione sarebbe uguale alla (1) e quindi pari a zero Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 25 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 26 / 30 Confronto tra le scelte di portafoglio Confronto tra diversi livelli di reddito [ψ (u 1 (α 1(z 1) + w)) ] u 1(α 1(z 1) + w)(z 1)dF (z) < 0 Analizziamo l argomento dell integrale. Supponiamo, per comodità, che per z = 1 il termine in parentesi quadre sia uguale a 1 Per z = 1 si ha [ψ (u 1 ( ))] = 1 Per (z 1) > 0 si ha [ψ (u 1 ( ))] < 1 Per (z 1) < 0 si ha [ψ (u 1 ( ))] > 1 Sono pesati maggiormente i valori negativi rispetto a quelli positivi, perciò φ 2 (α 1 ) < 0. È ragionevole pensare che le persona riducono la propria avversione al rischio all aumentare della propria ricchezza. Avversione assoluta al rischio decrescente Il coefficiente di Arrow - Pratt, r A (x), è decrescente, cioè r A (x ) r A (x ) se x > x. Proposizione Un individuo con una avversione assoluta al rischio decrescente investe maggiormente nell attività rischiosa al crescere del proprio reddito. L investimento in attività rischiosa è un bene normale Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 27 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 28 / 30
8 Confronto tra diversi livelli di reddito Testi Procedimento Sia u(x) è la funzione di utilità dell individuo x 1 e x 2 sono due livelli di reddito con x 1 > x 2 z è la variazione del reddito Si ponga u 1 (z) = u(x 1 + z) e u 2 (z) = u(x 2 + z) Si applica l analisi precedente a u 1 e u 2 Se l individuo ha un avversione assoluta al rischio decrescente, allora u 2 è più avverso al rischio di u 1 e quindi... Incertezza Mas-Colell, Whinston, Green, cap. 6.A, 6.B, da pag. 167 a pag. 180 (esclusa la dimostrazione della Proposition 6.B.2 e gli Example 6.B.1 e 6.B.3) Rischio Mas-Colell, Whinston, Green, cap. 6.C, da pag. 183 a pag. 189 (esclusi gli Example 6.C.1 e 6.C.3); da pag. 190 a pag. 194 (esclusa dimostrazione della Proposition 6.C.2) Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 29 / 30 Corso di Microeconomia progredito () Scelta in condizioni di incertezza Parte III 30 / 30
Utilità attesa. Scelta in condizioni di incertezza. Proposizione 1. L assioma di Indipendenza è alla base della teoria dell utilità attesa.
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