Sistemi di congruenze lineari
|
|
- Antonella Carlini
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Sistemi di congruenze lineari Per sistema sistema di congruenze lineari si intende il problema di determinare, se esistono, tutti gli interi che soddisfano contemporaneamente ad un certo numero di assegnate congruenze lineari: a 1 x b 1 (mod n 1 ) a 2 x b 2 (mod n 2 ). a h x b h (mod n h )
2 Sistemi di congruenze lineari Per sistema sistema di congruenze lineari si intende il problema di determinare, se esistono, tutti gli interi che soddisfano contemporaneamente ad un certo numero di assegnate congruenze lineari: a 1 x b 1 (mod n 1 ) a 2 x b 2 (mod n 2 ). a h x b h (mod n h ) Osservazione 1) Ovviamente se anche una sola delle congruenze non è separatamente risolubile, allora il sistema non è risolubile. Pertanto, affinché un sistema di congruenze ammetta soluzioni, è necessario che MCD(a i, n i ) divida b i, per ogni i = 1,..., h.
3 2) Si dimostra che, se una congruenza lineare ax b (mod n) è compatibile, allora, posto d = MCD(a, n), essa ha le stesse soluzioni di a d x b d (mod n d ). Da notare che MCD( a d, n d ) = 1.
4 2) Si dimostra che, se una congruenza lineare ax b (mod n) è compatibile, allora, posto d = MCD(a, n), essa ha le stesse soluzioni di a d x b d (mod n d ). Da notare che MCD( a d, n d ) = 1. Pertanto, sostituendo in questo modo ogni singola congruenza lineare di un dato sistema con la sua equivalente, si ottiene un sistema di congruenze lineari avente le stesse soluzioni di quello di partenza. Esso è del tipo a 1 x b 1 (mod n 1 ) a 2 x b 2 (mod n 2 ) con MCD(a i, n i ) = 1.. a h x b h (mod n h ),
5 Teorema (Teorema Cinese del Resto) Un sistema di congruenze lineari a 1 x b 1 (mod n 1 ) a 2 x b 2 (mod n 2 ). a h x b h (mod n h ) dove i, j = 1,..., h, i j MCD(n i, n j ) = 1 e MCD(a i, n i ) = 1, ha sempre soluzioni. Inoltre vi è un unica soluzione modulo R = n 1... n h data da [x 0 ] R con x 0 una soluzione particolare. Si dimostra che una soluzione è data da: x 0 = R 1 x 1 + R 2 x R h x h dove per ogni i = 1,..., h R i = n 1 n 2... n h n i, mentre x i è una soluzione della congruenza lineare a i R i x b i (mod n i ).
6 Esempio Si vede facilmente che x 3(mod 5) x 4(mod 3) x 2(mod 7) x 5(mod 2) R 1 = 42, R 2 = 70, R 3 = 30, R 4 = 105. Si cercano le soluzioni delle congruenze lineari previste nel teorema: 42x 3(mod 5) ha soluzione x 1 = 6, (si trova eseguendo l algoritmo delle divisioni successive) 70x 4(mod 3) ha soluzione x 2 = 1 (70 4 = 66 che è multiplo di 3)
7 30x 2(mod 7) ha soluzione x 3 = 1 (30 2 = 28 che è multiplo di 7) 105x 5(mod 2) ha soluzione x 4 = 1 (105 5 = 100 che è multiplo di 2). Allora una soluzione del sistema è x = 42 ( 6) = 47, mentre la più piccola soluzione positiva è 163 e tutte le soluzioni del sistema sono h, h Z.
8 Il sistema crittografico RSA Prima di tutto le lettere vengono rappresentate da numeri in codice. Per esempio Nell American Standard Code for Information Interchange le lettere vengono rappresentate dai numeri da 065 a 090. Ogni utente B deve scegliere una coppia di numeri (n B, e B ) in modo che n B sia il prodotto di due numeri primi distinti molto grandi, n B = p B q B, e MCD(e B, p B 1) = 1, MCD(e B, q B 1) = 1. La coppia (n B, e B ) è pubblica, ma non è pubblica la scomposizione di n B. La segretezza di questo sistema sta proprio in questo: B deve costruire n B scegliendo due numeri primi p B e q B molto grandi e moltiplicandoli. Come si fa a trovare un numero primo? si prende un numero dispari m e si sottopone a certi tests di primalità: se un test viene superato va bene, altrimenti si prova con m + 2.
9 La coppia (n B, e B ) dà a B la chiave segreta per decodificare i messaggi: si tratta del numero d B, soluzione della congruenza lineare e B x 1(mod ϕ(n B )) (1) e tale che 0 d B < ϕ(n B ). Sicuramente (1) ammette soluzione visto che ϕ(n B ) = (p B 1)(q B 1) e quindi MCD(e B, ϕ(n B )) = MCD(e B, (p B 1)(q B 1)) = 1. Inoltre questa soluzione è unica (mod ϕ(n B )). Quindi B è l unico che può conoscere la chiave d B tale che: e B d B 1(mod ϕ(n B )), 0 d B < ϕ(n B ) perchè soltanto B conosce ϕ(n B ).
10 Si supponga che l utente A debba inviare il messaggio M all utente B. Allora consulta gli elenchi ufficiali e trova la coppia (n B, e B ). Se il messaggio è più lungo di n B, A lo può spezzare in modo standard in più di uno. Quindi si può supporre che M < n B, e MCD(M, n B ) = 1. Il messaggio codificato che A invia a B è M tale che M M e B (mod n B ). Usando il Teorema di Eulero si dimostra che: M M d B (mod n B ) e quindi B, risolvendo questa congruenza (mod n B ) avrà decodificato il messaggio.
11 Esempio L utente A vuole inviare il messaggio M = 4 all utente B, la cui coppia identificativa è (n B = 221, e B = 7). Allora soltanto B sa che n B = e quindi ϕ(n B ) = ϕ(13)ϕ(17) = = 192. Pertanto la congruenza lineare 7x 1(mod 192) dà a B (e soltanto a lui) la chiave d B = 55 per la decodifica dei messaggi. L utente A invia a B il messaggio M = 30 perchè (mod 221). Allora B, facendo un pò di calcoli, ottiene che (mod 221).
RACCOLTA DI ALCUNI ESERCIZI TRATTI DA COMPITI D ESAME SUL SISTEMA CRITTOGRAFICO RSA
RACCOLTA DI ALCUNI ESERCIZI TRATTI DA COMPITI D ESAME SUL SISTEMA CRITTOGRAFICO RSA Attenzione: questi sono alcuni esercizi d esame, sugli argomenti di questa dispensa. Non sono una selezione di quelli
DettagliPiccolo teorema di Fermat
Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod
Dettagli623 = , 413 = , 210 = , 203 =
Elementi di Algebra e Logica 2008. 3. Aritmetica dei numeri interi. 1. Determinare tutti i numeri primi 100 p 120. Sol. :) :) :) 2. (i) Dimostrare che se n 2 non è primo, allora esiste un primo p che divide
DettagliM.C.D.(3522, 321) = 3 = ( 36) (395) 321
Capitolo 1 Congruenze Lineari 1.1 Prerequisiti Identita di Bezout: M.C.D.(a, b) = αa + βb con α e β opportuni interi. In altre parole il M.C.D.(a, b) é combinazione lineare di a e b. Quando la combinazione
DettagliNUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se
NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z)
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
DettagliAritmetica modulare, numeri primi e crittografia
Università di Pavia 14 Giugno 2016 Numeri primi Definizione Un intero n > 1 è un numero primo se non esistono due interi a, b > 1 tali che n = ab. Sono dunque numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
DettagliLaboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 10 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,
DettagliDal messaggio a sequenze di numeri
Dal messaggio a sequenze di numeri Le classi resto modulo n := Z n Due numeri interi a, b, si dicono congrui modulo n (con n intero >1) se divisi per n hanno lo stesso resto: a=bmodn a= kn+b a-b = kn con
DettagliII Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B
II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura
DettagliUniversità del Piemonte Orientale
Compito di Algebra del 13 Gennaio 2009 1) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k 12 8. 2)
DettagliRSA e firma digitale
Università degli Studi di Cagliari Corso di Laurea in Matematica RSA e firma digitale Mara Manca Relatore: prof. Andrea Loi Anno Accademico 2015-2016 Mara Manca Relatore: prof. Andrea Loi RSA e firma digitale
DettagliLo stesso procedimento ci permette di trovare due interi x, y tali che M.C.D. = ax + by. Ma quando esistono x, y soluzioni dell equazione diofantea
1. Massimo comun divisore tra due interi; soluzione di alcune equazioni diofantee Definizione Siano a, b Z non entrambi nulli; si dice che d Z è un Massimo Comun Divisore tra a e b se sono verificate le
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliSi dice che q è il quoziente e r è il resto della divisione di a per b. Inotre, si ha: c = qa. Quindi b ± c = pa ± qa = (p ± q)a e pertanto a (b ± c).
I numeri interi Teorema 1 (divisione in Z) Siano a, b Z, b 0 Allora esistono e sono unici q, r Z tali che (1) a = bq + r () 0 r < b Si dice che q è il quoziente e r è il resto della divisione di a per
DettagliNome. Esercizio 2. Risolvere il seguente sistema di congruenze lineari:
Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2006/2007 AL1 - Algebra 1, fondamenti Seconda prova di valutazione intermedia 11 Gennaio 2006 Cognome Nome Numero di matricola
DettagliUn po di teoria dei numeri
Un po di teoria dei numeri Applicazione alla crittografia RSA Christian Ferrari Liceo di Locarno Matematica Sommario 1 L aritmetica modulare di Z n Le congruenze L anello Z n Le potenze in Z n e algoritmo
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
DettagliRisposte non motivate non verranno giudicate
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 SECONDO PARZIALE Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. 2. 3.
DettagliTempo a disposizione. 90 minuti. 1 [6 punti] Dimostrare che, per ogni n N, n 1, vale la disuguaglianza:
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 05-06 Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova in itinere di Matematica Discreta ( CFU) Febbraio 06 A Tempo a disposizione. 90 minuti [6 punti]
DettagliPRIMAVERA IN BICOCCA
PRIMAVERA IN BICOCCA 1. Numeri primi e fattorizzazione Una delle applicazioni più rilevanti della Teoria dei Numeri si ha nel campo della crittografia. In queste note vogliamo delineare, in particolare,
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
DettagliTemi di Aritmetica Modulare
Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia
Dettagli3 Il piccolo Teorema di Fermat
3 Il piccolo Teorema di Fermat Pierre de Fermat, francese, giudice presso il tribunale di Tolosa, è considerato uno dei padri fondatori della moderna teoria dei numeri. L interesse per questa teoria fu
DettagliTeoria dei numeri e Crittografia: lezione del 2 novembre Congruenze aritmetiche.
Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 2 novembre 2011 Congruenze aritmetiche. Ricordiamo la teoria delle congruenze aritmetiche. La nozione di divisore (e simmetricamente quella di multiplo si
DettagliCOMPITO DI ALGEBRA TRENTO, 13 GENNAIO 2016
COMPITO DI ALGEBRA TRENTO, 13 GENNAIO 2016 Istruzioni: (1) Questo compito consiste di sei facciate e ventidue esercizi. (2) Risolvete tutti gli esercizi seguenti. (3) Giustificate, possibilmente in modo
Dettagli1. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : (MOD 23)
Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliCONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
DettagliUn polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.
1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine
DettagliArgomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni
Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero
DettagliEquazioni lineari con due o più incognite
Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti
DettagliTutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
LICEO B. RUSSELL A.S. 2010/2011 DALLA TEORIA DEI NUMERI ALLE CONGRUENZE Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
Dettagliz =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10
Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a 4 10 4 + a 3 10 3 + a 2
DettagliMATEMATICA DI BASE 1
MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme
DettagliStudieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo
Congruenze lineari 1. Oggetto di studio - Definizione 1. Studieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo dove ax b (mod n) (1) n, il modulo della congruenza, e un intero positivo fissato x,
DettagliProva scritta di Algebra 9 settembre x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9
Prova scritta di Algebra 9 settembre 2016 1. Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9 Si determini la sua minima soluzione positiva. 2. In S 9 sia α = (4, 9)(9,
DettagliIl Ricevente comunica pubblicamente una chiave e. Il Mittente codifica il messaggio usando la funzione f(m, e) = C e
Crittografia a chiave pubblica. Il problema della crittografia è semplice da enunciare: vi sono due persone, il Mittente e il Ricevente, che vogliono comunicare fra loro senza che nessun altro possa leggere
DettagliAlgebra Numeri Interi (Unimib)
Algebra Numeri Interi (Unimib) 20 novembre 2017 This book is the result of a collaborative effort of a community of people like you, who believe that knowledge only grows if shared. We are waiting for
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica Discreta 1 / 29 index
DettagliCrittografia Aritmetica modulare
Crittografia Aritmetica modulare Ottavio G. Rizzo Ottavio.Rizzo@mat.unimi.it Università di Milano Progetto lauree scientifiche p.1/16 Massimo comun divisore Definizione. Dati a, b N, il massimo comun divisore
DettagliI Numeri Primi. Università degli Studi di Milano Polo Didattico e di Ricerca di Crema. Prof.ssa Laura Citrini
Università degli Studi di Milano Polo Didattico e di Ricerca di Crema I Numeri Primi Prof.ssa Laura Citrini Filippo Gandaglia 657228 Massimo Manara 656814 Andrea Gardoni 656751 Luigi Margheritti 660216
Dettagliuna possibile funzione unidirezionale
una possibile funzione unidirezionale moltiplicare due interi a n bit è facile (in O(n 2 ) con l algoritmo usuale) trovare un primo a n bit, e verificare che è primo, è facile (vedremo poi) fattorizzare
DettagliLezioni di Aritmetica Modulare
Lezioni di Aritmetica Modulare Antonino Salibra Università Ca Foscari Venezia 2 Novembre 2016 Nel seguito scriveremo talvolta a b al posto di a divide b. Ricordiamo che, dati due interi a e b con b 0,
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2011-2012 Prova scritta del 28-1-2013 TESTO E SOLUZIONI 1. Per k R considerare il sistema lineare X 1 X 2 + kx 3 =
DettagliParte III. Incontro del 26 gennaio 2012
Parte III Incontro del 6 gennaio 01 17 Alcuni esercizi Esercizio (Giochi di Archimede 011). Un canguro e una rana si trovano inizialmente sullo stesso vertice di un poligono regolare di 41 lati, e cominciano
DettagliTEORIA DEI NUMERI. 1. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione
TEORIA DEI NUMERI. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione Le proprietà dell insieme N = {0,, 2, } dei numeri naturali possono essere dedotte dai seguenti assiomi di Peano:. C è un applicazione
DettagliUn monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di
DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza
Dettagli1 (a) [3 punti] Si consideri la successione (a n ) n N definita per ricorrenza nel modo seguente: a 0 = 1 2 a n = a n
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 5 Dicembre 2016 A1 Compito A Tempo a disposizione
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliCONGRUENZE. 2 La formula risulta vera anche per n+1. Per induzione è allora vera per ogni n.
CONGRUENZE 1. Cosa afferma il principio di induzione? Sia P(n) una proposizione definita per ogni n n 0 (n 0 =naturale) e siano dimostrate le seguenti proposizioni: a) P(n 0 ) è vera b) Se P(n) è vera
DettagliIntroduzione alla Crittografia
Liceo Scientifico N. Tron, 6 febbraio 2006 Riassunto Dato n > 1, la funzione di Eulero ϕ(n) è il numero di elementi < n e coprimi con n. Riassunto Dato n > 1, la funzione di Eulero ϕ(n) è il numero di
DettagliLezione 4. Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti. Gianluca Rossi
Lezione 4 Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti Gianluca Rossi Trattabile o intrattabile? Consideriamo ora il problema, ben noto a tutti gli studenti a partire dalla scuola media, di calcolare
DettagliMetodi di Iterazione Funzionale
Appunti di Matematica Computazionale Lezione Metodi di Iterazione Funzionale Il problema di calcolare il valore per cui F() = si può sempre trasformare in quello di trovare il punto fisso di una funzione
DettagliFUNZIONI TRA INSIEMI. Indice
FUNZIONI TRA INSIEMI LORENZO BRASCO Indice. Definizioni e risultati.. Introduzione.. Iniettività e suriettività.3. Composizione di funzioni 4.4. Funzioni inverse 5. Esercizi 5.. Esercizi svolti 5.. Altri
DettagliEsercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1
Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente
DettagliALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni
ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni (1) Verificare che l anello quoziente Z 5 [x]/(x 3 2) possiede divisori dello zero, e determinare tutti i suoi ideali non banali. Soluzione: Il polinomio
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliProva scritta di Algebra 4 Luglio Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x 2 mod 3 2x 1 mod 5 x 3 mod 2
Prova scritta di Algebra 4 Luglio 013 1. Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x mod 3 x 1 mod 5 x 3 mod. In S 9 sia α (1, 3(3, 5, 6(5, 3(4,, 7(, 1, 4, 7(8, 9 a Si scriva α come prodotto
DettagliProgramma di Algebra 1
Programma di Algebra 1 A. A. 2015/2016 Docenti: Alberto Canonaco e Gian Pietro Pirola Richiami su relazioni di equivalenza: definizione, classe di equivalenza di un elemento, insieme quoziente e proiezione
DettagliSCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
Dettagli5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo
5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva
DettagliCorso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:
Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve
DettagliCorso di preparazione ai Giochi di Archimede Aritmetica, algebra e teoria dei numeri
Corso di preparazione ai Giochi di Archimede Aritmetica, algebra e teoria dei numeri 1) Il numero reale a è tale che l equazione x 2 + 2ax + 1 = 0 Ammette due soluzioni reali coincidenti. Quanti sono i
Dettagli1 Proprietà elementari delle congruenze
1 Proprietà elementari delle congruenze Un altro metodo di approccio alla teoria della divisibilità in Z consiste nello studiare le proprietà aritmetiche del resto della divisione euclidea, o, come si
DettagliNumber Theory. Teoria dei numeri. Teorema della divisione. Congruenze mod n
Number Theory Alfredo De Santis Dipartimento di Informatica ed Applicazioni Università di Salerno Marzo 2012 adsi@dia.unisa.it http://www.dia.unisa.it/professori/ads Teoria dei numeri Concetti preliminari
Dettagli1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità
Multipli e sottomultipli. Divisibilità LA TEORIA Se la divisione fra due numeri naturali è propria (cioè il resto è uguale a 0) i due numeri si dicono divisibili. Per esempio, nella divisione 8 : diciamo
Dettagli+ 1)... (e k + 1). Si indica con (n), chiamato numero di Eulero di n, il numero dei numeri naturali minori di n e primi con n.
"Come si fa" a svolgere vari tipi di esercizi 1 numeri e congruenze (algoritmi avvertenze casi speciali esempi) Attenzione gli argomenti non sono in ordine Alcuni degli esercizi presentati erano parte
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti
. Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)
DettagliA lezione sono stati presentati i seguenti passi per risolvere un problema:
Calcolo delle radici di un polinomio Problema: Dati i coefficienti a,b,c di un polinomio di 2 grado della forma: ax^2 + bx + c = 0, calcolare le radici. A lezione sono stati presentati i seguenti passi
DettagliSCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 2011
1 SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 011 Problema 1. Sia Z l insieme dei numeri interi. a) Sia F 100 l insieme delle funzioni
DettagliDIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI
DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421,
Dettagli4 Sistemi di equazioni.
4 Sistemi di equazioni. Risolvere un sistema significa erminare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi di tali equazioni. 4. Sistemi
Dettagli1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.
Geometria Lingotto LeLing: Sistemi lineari non-omogenei Ārgomenti svolti: Sistemi lineari non-omogenei Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei Scrittura della soluzione generale Soluzione generale
DettagliMATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PRIMA PARTE. Esercizio 1. (Testo B) Determina, motivando la risposta, se la funzione f : R R
ANNO ACCADEMICO 25 6 SCIENZE GEOLOGICHE E SCIENZE NATURALI E AMBIENTALI MATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PROFF MARCO ABATE E MARGHERITA LELLI-CHIESA PRIMA PARTE Esercizio (Testo
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
Dettaglinota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin.
nota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin. 1 1. Gruppi. In questo paragrafo introduciamo i gruppi. Diamo diversi esempi importanti di gruppi
Dettaglilogaritmo discreto come funzione unidirezionale
logaritmo discreto come funzione unidirezionale in generale, lavoreremo con il gruppo U(Z p ) = Z p dati g generatore di Z p e x tale che 1 x p 1, calcolare y = g x è computazionalmente facile (y g x (mod
DettagliMonomi L insieme dei monomi
Monomi 10 10.1 L insieme dei monomi Definizione 10.1. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempio 10.1. L espressione nelle due variabili
DettagliDIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA. (41 ore complessive di lezione)
DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA DOCENTE: SANDRO MATTAREI (41 ore complessive di lezione) Prima settimana. Lezione di martedí 22 febbraio 2011 (due ore) Rappresentazione di numeri interi
DettagliPOLINOMI. (p+q)(x) = p(x)+q(x) (p q)(x) = p(x) q(x) x K
POLINOMI 1. Funzioni polinomiali e polinomi Sono noti campi infiniti (es. il campo dei complessi C, quello dei reali R, quello dei razionali Q) e campi finiti (es. Z p la classe dei resti modp con p numero
Dettagli3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali
DettagliRisposte non motivate non verranno giudicate
Istituzioni di Matematiche 16/02/2016 Ver.1 Nome e cognome Matricola X se Quadriennale Risposte non motivate non verranno giudicate Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
DettagliInsiemi numerici. Teoria in sintesi NUMERI NATURALI
Insiemi numerici Teoria in sintesi NUMERI NATURALI Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il contare gli elementi di un dato insieme. I numeri con cui si conta 0,,,. sono i numeri
DettagliGiovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore
DettagliPrimo modulo: Aritmetica
Primo modulo: Aritmetica Obiettivi 1. ordinamento e confronto di numeri;. riconoscere la rappresentazione di un numero in base diversa dalla base 10; 3. conoscere differenza tra numeri razionali e irrazionali;
DettagliFattorizzazione di interi e crittografia
Fattorizzazione di interi e crittografia Anna Barbieri Università degli Studi di Udine Corso di Laurea in Matematica (Fattorizzazione e crittografia) 14 Maggio 2012 1 / 46 Il teorema fondamentale dell
DettagliDISPENSA NUMERI MULTIPLI, DIVISORI, PRIMI, MCD E mcm DEFINIZIONI. Multiplo di un numero
DISPENSA NUMERI MULTIPLI, DIVISORI, PRIMI, MCD E DEFINIZIONI Multiplo di un numero Scegliendo un numero e moltiplicandolo per la serie di tutti i numeri naturali ottengo i suoi multipli. Es i multipli
Dettagli04 - Logica delle dimostrazioni
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,
Dettagli1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari
Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore
DettagliGli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
capitolo 1 Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica INSIEMI 1. Introduzione 1 2. Sottoinsiemi 3 3. Operazioni tra insiemi 5 Unione:, 5 Intersezione:, 5 Differenza: \, 5 Insieme complementare: A B,
DettagliESERCITAZIONE N.5. La relazione divide in Z. E data in Z * la corrispondenza x~y x divide y. Stabilire se è riflessiva, simmetrica, transitiva.
ESERCIZIO 1. ESERCITAZIONE N.5 6 novembre 2007 La relazione divide in Z E data in Z * la corrispondenza x~y x divide y. Stabilire se è riflessiva, simmetrica, transitiva. Divisione euclidea in Z Algoritmo
Dettaglischema di firma definizione formale
schema di firma Alice firma un messaggio da mandare a Bob ci sono due componenti: un algoritmo sig per firmare e un algoritmo ver per verificare quello per firmare dev essere privato (solo Alice può firmare)
DettagliGeometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due
Dettagli