{x (t) = CINEMATICA DEL PUNTO MOTI UNIDIMENSIONALI ESERCIZIO CP1

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1 CINEMATICA DEL PUNTO MOTI UNIDIMENSIONALI Pssimo ll prim serie di esercizi che crtterizzernno i nostri incontri. In prticolre risolveremo il primo esercizio commentndo ogni pssggio in modo esgertmente rticolto in modo d portre ll luce eventuli vuoti nei concetti fondmentli, nche rigurdnti l notzione, che successivmente useremo con un cert disinvoltur. Se qulche pssggio vi risultsse oscuro vi consiglio fortemente di prendervi il tempo necessrio per sviscerre ogni questione lo richied ed vere tutto il più chiro possibile. ESERCIZIO CP Un locomotiv prte dll stzione A e si ferm ll stzione B d un distnz d = km. Per rgioni noi sconosciute l locomotiv effettu le fsi di ccelerzione e decelerzione con ccelerzione costnte e di ugule modulo = 0.5 m/s. A) Supponendo che il mcchinist vogli rrivre destinzione pssndo direttmente dll fse di ccelerzione quell di decelerzione, clcolre il tempo richiesto per fre tle trgitto. B) Clcolre il tempo richiesto nel cso in cui non si poss superre l velocità v mx = 60 km/h. C) Discutere qule si il tempo minore che l locomotiv necessit per rrivre destinzione. A) Le uniche equzioni di cui bbimo bisogno sono: {x (t) = t + v 0 t + x 0 v (t) = t + v 0 e in prticolre sppimo che l second è semplicemente l derivt rispetto l tempo dell prim. Chirimo innnzitutto il significto dei vlori x 0 e v 0. Con questi simboli ci riferimo i vlori dell posizione e dell velocità del treno l tempo t = 0, inftti: {x (t = 0) = 0 + v x 0 = x 0 v (t = 0) = 0 + v 0 = v 0 In secondo luogo: cos intendimo con? Rispost bnle (m inutile): l'ccelerzione. Si, m qule? Il vlore è un numero ben preciso fornitoci dl problem: è lo stesso che usimo in Come vedremo il ftto che il modulo si ugule nelle due fsi ci semplificherà i clcoli che fortun!

2 queste equzioni? Rispost bnle (m utile): no. L'impostzione corrett del problem consiste nello spezzre completmente quest'ultimo in un problem distinto per ogni differente fse del moto (in questo cso bbimo fsi), ognuno descritto dlle proprie equzioni e vribili. Per questo dobbimo rgionre (vedi l regol fondmentle 4) e chirirci cos sino i vlori x 0, v 0 ed per ogni fse del moto, prim di scrivere le corrispondenti equzioni. Invece di prtire subito in qurt scrivere equzioni, fermimoci d inqudrre il problem nel suo insieme. Il grfico dell velocità è quello che in questo esercizio contiene il mggior numero di informzioni. In questo grfico distinguimo chirmente le fsi di ccelerzione e decelerzione ed indichimo chirmente che il pssggio dll'un ll'ltr vviene un volt rggiunt l velocità mssim v m. Inoltre l simmetri del grfico indic che il modulo dell'ccelerzione è ugule in entrmbe le fsi. Pssimo quindi lle fmigerte formule. FASE I: MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Quest fse è bnle. L locomotiv prte dll stzione A, quindi è conveniente scegliere come t = 0 il momento dell prtenz e x 0 := x (t=0) = 0. Siccome prte d ferm v 0 = 0, e l'ccelerzione è ugule l dto del problem. Quindi: {x (t)= t v (t) = t 0 t t Notimo subito che conoscendo sppimo determinre l velocità e l posizione in ogni istnte compreso tr t = 0 e t = t. In prticolre ll'istnte t : {x x (t ) = t v m v (t ) = t Quindi possimo dire che nel tempo

3 t = v m l locomotiv percorre l distnz x = v m = v m FASE II: MOTO UNIFORMEMENTE DECELERATO In questo cso prtimo d un x (0) = x che corrisponde ll posizione dell locomotiv l tempo t. L velocità inizile è v m e ttenzione che or l'ccelerzione è pri! Quindi possimo scrivere: {x (t) = (t t ) + v m (t t ) + x v (t) = (t t ) + v m t t t B dove con t B indichimo l'istnte in cui l locomotiv rriv nel punto B. Come mi usimo t t l posto dell semplice e fmilire t? Per spiegrlo è sufficiente un semplice verific: cos succede l tempo t = t? L velocità divent ugule v m e x = x, quindi quest è l corrett impostzione del problem. Inftti non solo l locomotiv non prte più dll posizione x = 0, m non prte nemmeno ll'istnte t = 0! Al contempo possimo introdurre t' = t t e scrivere l più fmilire: {x (t ')= t ' + v m t ' + x 0 t ' t B t v (t ') = t ' + v m che equivle fissre il momento dell prtenz ll'istnte t' = 0. Nturlmente potremmo scegliere di semplificre l notzione indicndo semplicemente t l posto di t', m se decidimo di frlo è importnte vere ben chiro che il tempo t or non è più lo stesso che bbimo usto nell fse precedente (bbimo cmbito lo 0) e inoltre dobbimo vere cur di specificrlo chirmente in modo che chiunque legg le nostre soluzioni non bbi dubbi sul ftto che non bbimo dubbi nemmeno noi ;) In line generle è preferibile l'uso di t' per evitre incomprensioni. Anche in questo cso conoscimo tutto quello che ci serve, ed in prticolre definendo t = t B t :

4 {x B x (t ' = t )= t + v m t + x v B v (t ' = t )= t + v m Spendo che l locomotiv h velocità null in B ottenimo che nell'intervllo di tempo t = v m l locomotiv percorre l distnz x B x. ATTENZIONE: stimo prlndo di t in termini di intervllo di tempo (inftti è ugule t B t ), il che è completmente diverso dl riferirsi d un istnte t. Possimo inftti dire che l locomotiv rggiunge x B ll'istnte t B = t + t, oppure che h percorso l distnz x B x nell'intervllo di tempo t. RIASSUMENDO Possimo rissumere i risultti ottenuti comincindo col notre che l'intervllo di tempo t necessrio per rrivre x e l'intervllo di tempo t necessrio per pssre d x x B sono uguli, come potevmo spettrci dll simmetri del problem. Allo stesso modo possimo ffermre che x B = x. Quindi il tempo totle impiegto è t B = t + t = t = v m per cui non ci rest che esplicitre v m : x = v m v m = x = d ottenendo infine t B = d = 000 m 0.5 m / s = 6 s Not : bbimo inserito i vlori numerici come ultimissimo pssggio (regol fondmentle )! Not : come scrivimo queste ultime equzioni ne effettuimo subito l'nlisi dimensionle (regol fondmentle )!

5 B) Velocità mssim consentit v mx = 60 km/h = 6.7 m/s In questo cso dobbimo scomporre il moto in tre fsi. FASE I: MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Equivlentemente l punto precedente, l locomotiv percorre lo spzio x ' = v mx / nell'intervllo di tempo t ' = v mx /. D notre che bbimo usto il simbolo ' per distinguere questi vlori di spzio e di intervllo di tempo d quelli clcolti l punto precedente. È molto utile bitursi nche questi dettgli negli esercizi semplici come questo perché ffrontndo poi quelli più complessi rischieremmo di fre grnde confusione. FASE II: MOTO UNIFORME L locomotiv percorre lo spzio x ' = v mx t ' nell'intervllo di tempo t '. Esy. FASE III: MOTO UNIFORMEMENTE DECELERATO Ancor un volt, l locomotiv percorre lo spzio x 3 ' = v mx / nell'intervllo di tempo t 3 ' = v mx /.

6 RIASSUMENDO L'unico intervllo di tempo che ci mnc è t ' e per trovrlo è sufficiente esplicitre x ' d = x ' + x ' + x 3 ' x ' = d x ' x 3 ' = d v mx che ci port t ' = x ' = d v mx v mx v mx e quindi infine t B t ' + t ' + t 3 ' = d + v mx = 53 s v mx Nturlmente nche in questo cso effettuimo un rpid nlisi dimensionle, meglio se prim di svolgere i clcoli numerici. C) Possimo fcilmente convincerci che il tempo minimo necessrio si dto dll situzione studit nel cso A osservndo ncor il grfico delle velocità. Inftti, possimo immginre che l're in gillo del tringolo veng riverst in quell gill del trpezio (di modo che tringolo e trpezio bbino sempre re ugule, pri ll distnz percors d), il che inevitbilmente implic che l bse mggiore del trpezio si mggiore dell bse del tringolo. Un possibile discussione mtemtic di qunto ppen visto (un po' mcchinos e pertnto non richiest) può essere l seguente. Introducendo due intervlli temporli t B ' e t B ' tli che t B ' = t B ' + t B ' possimo descrivere l're del trpezio come quell di un rettngolo di pri ltezz e bse t B ' + t B ' = t B ' t B '

7 Rissumendo, le ree del tringolo e del rettngolo (o trpezio) sono: v {d m t B = d = v mx (t B ' t B ' ) e quindi v m t B = v mx (t B ' t B ' ) t B ' = v m t B v mx + t B ' Infine, siccome t B ' = v mx t B ' = v mx ottenimo t B ' = v m t B v mx + v mx Per verificre che questo risultto si in line con qunto ci spettimo, verifichimo due csi limite: v mx v m In questo cso t B ' t B + t B = t B ossi il trpezio tende l tringolo (OK). v mx 0 In questo cso t B ' =+ ossi l bse del trpezio divent infinitmente lung e l locomotiv non rriv mi (OK). In nessun cso è comunque possibile ottenere un tempo inferiore t B.

8 ESERCIZIO CP Due sssi vengono lnciti verticlmente verso l'lto con velocità inizile v 0 = 0 m/s ll distnz temporle t 0 =.0 s l'uno dll'ltro. A) Dopo qunto tempo i due sssi si incontrno in ri? B) Cos succede nel cso in cui t 0 = 0 s? Il problem h ncor soluzioni fisicmente ccettbili? A) Sceglimo un sse di riferimento x verticle orientto verso l'lto. Per tle riferimento l'ccelerzione è sempre pri = g 9.8 m s Sceglimo come t = 0 l'istnte in cui viene lncito il primo ssso. Le leggi orrie per i due sssi sono: x A (t) = g t + v 0 t x B (t) = g (t t 0 ) + v 0 (t t 0 ) L condizione di incontro dei due sssi è x A (t) = x B (t) ossi g t + v 0 t = g (t t 0 ) v 0 (t t 0 ) 0 = g t 0 + g t t 0 v 0 t 0 t = t 0 + v 0 g Quindi i sssi si incontrno ll'istnte t = t 0 + v 0 g =.0 s + 0 m/ s 9.8 m / s.5 s VERIFICA DEL RISULTATO x A (t ) m + 5 m = 4 m x B (t ) m + 5 m = 4 m OK!

9 B) Ripetimo i clcoli con t 0 ' = 0 s t ' = t 0 ' + v 0 g s ed effettuimo l verific del risultto come ppen ftto ottenendo circ 480 m per entrmbi i sssi. Aprimo qui un piccol prentesi rigurdnte quest'ultimo risultto, un quot negtiv. Simo noi scegliere qule si l'origine x = 0, pertnto un quot negtiv di per sé non ci dice null rigurdo l'ccettbilità del risultto. Nel cso in cui lncissimo i sssi nel modo giusto dll cim di un montgn o di un grttcielo (pronti subirne le conseguenze giudizirie), o se li lncissimo mentre simo in volo perché simo dei supermn un po' nnoiti, le quote negtive rientrerebbero tr le soluzioni fisicmente ccettbili senz problemi. Questo risultto non è fisicmente ccettbile. Perché? Gurdimo il grfico x(t): Il problem st nel ftto che t ' è minore di t 0 ' e pertnto bbimo l'intersezione delle due prbole in un istnte di tempo nteriore l lncio del secondo ssso. In ltre prole il ssso non percorre l prte trtteggit dell prbol e quindi i sssi non possono incontrrsi.