Test scritto di Matematica I Pisa, 18 Gennaio 2002

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1 Capitolo 1: Test d esame 57 Pisa, 18 Gennaio 2002 sinh( + 2) = sinh(2 + 1) = = 1 cosh(sin ) è una funzione periodica L equazione 2 log( ) = 0 non ha soluzioni reali L insieme (, y) R 2 : 3, y 2 2y 0 è itato La serie di potenze n=1 3n n 3 n ha raggio di convergenza 3 ε > 0 M R tale che e < ε per ogni < M sin tan = o( 2 ) per 0 n! a n 2002 = a n diverge La soluzione generale di u + 3u = 0 è u(t) = ce 3t sin(2 20 ) 20 0 sin(2 20 ) 20 1 sin(2 20 ) 20 inf α R : n=0 n n α + 2 converge ma : [ 1/2, 1/3] f(, y) = 3 2 y, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, y. (1, 2) y y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

2 58 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 18 Gennaio = 8 sinh( + 20) è una funzione monotona in R L equazione cos( + 1) = cos( + 20) non ha soluzioni reali a n+3 8 = a n 8 Esiste M R tale che sin( 40 ) 2 < 0 per ogni M f(, y) = 3 + 3y 2 = f(1, 1) = (3, 3) n 2 a n 2002 = a n converge cos 2 1 = o( 3 ) per 0 La soluzione generale di u 5u = 0 è u(t) = c 1 e 5t + c 2 te 5t 0 e e e 2 1 sup α R : n=0 n 2 + n n + n diverge α sup [0, 2π] : cos < 0 f(, y) = ( + 2y) 2, = (, y) R 2 : [ 1, 1], 0 y 1. (0, 0) y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

3 Capitolo 1: Test d esame 59 Pisa, 18 Gennaio 2002 sin 3 è una funzione dispari Esiste 2002 tale che tan = cosh 8 + sinh 8 = e 8 Se a n 0 per ogni n N e n a n 2002, allora a n 2002 may : [0, 1], y [0, 1] = 1 Esiste M R tale che sin M per ogni R n=1 2n n 300 converge L equazione differenziale u + tu 2 = 0 è lineare e sin = o() per sup α R : α d converge ma 5n n 2 : n N f(, y) = 2 sin + 3 sin y + 4y, = (, y) R 2 : [0, 1], y [0, 1]. (1, 1) y 2y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

4 60 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 8 Febbraio 2002 arccos(cos( 1)) = 1 La funzione cosh( 20) è monotona in [0, + [ a 2n 8 = a 4n 8 e è una primitiva di (1 )e M R R tale che > M e sin > 0 f(, y) = sin + cos y ha un massimo locale in (0, 0) n=0 ( 1)n n(n + 2) 1 converge L equazione differenziale u + t 2 u = 0 è lineare e 2 1 = 2 + o( 4 ) per sup α R : α R ma R : 4 3 f(, y) = y 2, = (, y) R 2 : y 1. (3, 4) y2 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

5 Capitolo 1: Test d esame 61 Pisa, 8 Febbraio = ha almeno una soluzione reale log = 2002 Se a n > 0 per ogni n N e a n+1 /a n 27, allora a n + L integrale di su (, y) R 2 : 2 + y 2 1 è 0 log 0 per 0 + n=1 n 1 n converge per ogni [ 1, 1] ε > 0 δ > 0 tale che cosh < 1 + ε per ogni [ δ, δ] Il pol. di Taylor di grado 2 in = 0 di f() = sin 2 + cos 2 è u(t) = e t2 è la soluzione del problema di Cauchy u = 2tu, u(0) = tan π tan π 2 + tan ma 2e : 0 min R : 2e 0 f(, y) = 2 cos + 3y, = (, y) R 2 : 2 + y 2 9, 0 y. (0, 0) 2 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

6 62 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 8 Febbraio = 2 31 La funzione e 6 è monotona in R 2 n n 2 (n!) 1 + L integrale di in [ 1, 1] è uguale a 0 f(, y) = 4 + y 4 ha un minimo assoluto in (0, 0) Se 0 a n b n per ogni n N e a n converge, allora b n converge Se u = 3tu 2 e u(1) = 2, allora u (1) = 12 sin 4 ( 4 ) = 16 + o( 16 ) per 0 R M R tale che 2 M min 5n 31 : n N ma R : ( 8) arctan e 2 0 f(, y) = cos y + 2 y, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1. (1, 2) y ( 5 + 2) d dy Test d esame Telecomunicazioni

7 Capitolo 1: Test d esame 63 Pisa, 22 Febbraio 2002 (2 30 ) 4 = 2 34 La funzione sin + 2 è periodica L equazione sin = 2002 ha almeno una soluzione reale a n 3 = a 2n La serie di potenze n=0 (n2 + n 3 ) n ha raggio di convergenza 0 may : [0, 1], 0 y = 1 M R N R tale che cosh M per ogni N cos 20 = 1 (1/2) 20 + o( 21 ) per 0 u(t) = e 3t è una soluzione dell equazione differenziale u = 27u inf α > 0 : + 1 log 2α d converge ma arctan 3 : R f(, y) = log 3 + y, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1. f (1, 2) cos( 2 + y 2 ) d dy Test d esame Telecomunicazioni

8 64 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 22 Febbraio 2002 La funzione sin( + 2) è periodica arctan 3 = π/3 L equazione = e 2 ha esattamente una soluzione reale ε > 0 N N tale che n 2 3 n < ε per ogni n N u = u + t è un equazione differenziale a variabili separabili L insieme (, y) R 2 : y 2 5 è itato Il gradiente di f(, y) = 2 + y 2 3 non si annulla mai sin(arctan ) = + o() per 0 La serie n=1 n(n2 + 3) 1 converge + sin sin 3 4π + sin 3 min R : 2 3 min : 3 f(, y) = 2y + sin( 3 + y 3 ), = [0, 1] [0, 1]. (0, 0) y 2( + y) d dy Test d esame Telecomunicazioni

9 Capitolo 1: Test d esame 65 Pisa, 3 Giugno 2002 tan(π/3) = 3 La funzione sin è dispari L equazione sinh() = 3 ha esattamente una soluzione reale Se R e ma = 2002, allora sup = 2002 f(, y) = sin + cos y = f(0, 0) = (1, 0) Se a n 0 per ogni n N e n a n 1, allora a n diverge La soluzione generale di u + 4u = 0 è u(t) = c 1 e 2t + c 2 e 2t M R R tale che arctan > M sin 20 + log( ) = 20 + o( 29 ) per e + log e log 1 e + log e log + e + log e log min 3 + sin : π ma : [15, 18] f(, y) = 2 y + y 2, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0, y 0. (1, 2) y2 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

10 66 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 22 Giugno 2002 L equazione = + 8 ha esattamente una soluzione reale La funzione sin 30 è dispari log è una primitiva di 1 + log 20 + sin 13 ha un minimo relativo in = 0 Se a 0 = 2 e a n+1 = 2a n 1 per ogni n N, allora a 3 = 9 Nello sviluppo di Taylor di sinh compaiono solo potenze dispari ma : 2 + y 2 = 4 = 4 u + 3u + 2u = 0, u(0) = u(2) = 0 è un problema di Cauchy Se 0 < a n+1 < a n per ogni n N, allora a n converge 0 cos 0 cos π cos sup > 0 : sin < 0 sup 2e 2 : R f(, y) = 2 + 4y 2, = (, y) R 2 : [0, 1], 0 y 2. (1, 2) y2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

11 Capitolo 1: Test d esame 67 Pisa, 15 Luglio 2002 L equazione = 6 2 ha esattamente due soluzioni reali arccos(1/2) = π/3 a n 6π = cos a n 1 La funzione sin( 2002 ) è periodica M R tale che e arctan M per ogni R La funzione f(, y) = + y non ha punti stazionari in R 2 n=0 (n + 3)(n2 + 3) 1 converge sin( ) = o( 9 ) per 0 L equazione differenziale u (t) = u 2 (t) + 1 è autonoma 1 sin( + 1) sin( + 1) sin( + 1) + 1 min R : 2 9 sup 2 : [ 3, 2] f(, y) = y, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0. (1, 1) y ( 2 + y 2 ) d dy Test d esame Telecomunicazioni

12 68 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 30 Settembre 2002 log log 2 7 = log 2 12 La funzione arctan(2 + 3) è monotona in R Una primitiva di sinh è cosh sin = arctan + o() per 0 Esiste miny cos sin(y) : 2 + y 2 5 Se f(, y) = 2 + y 2 allora f(1, 1) = (2, 2) R tale che sin 2 + cos 3 > 2 L insieme delle sol. di u u = 5u è uno spazio vett. di dimensione 2 La serie di potenze n=2 n5 n converge solo per = log log log min arctan 2 : R inf α R : n=1 arctan n! n α converge f(, y) = y3, = (, y) R 2 : [0, 1], y 1. (0, 0) y 3 d dy Test d esame Telecomunicazioni