Prova in itinere di Matematica Pisa, 26 novembre 2005

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova in itinere di Matematica Pisa, 26 novembre 25 Numero compito: 256 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Prima di aprire il compito copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (no matite o penne rosse).

2 . Il numero ( ) 6 3 è uguale a A: 2 B: 2 C: 2 D: Lo sviluppo, col binomio di Newton di ( + x) 5 è 3. A: + x + 5x 2 + 5x 3 + x 4 + x 5 B: x + 5x 2 5x 3 + x 4 x 5 C: + 5x + x 2 + x 3 + 5x 4 + x 5 D: + 5x x 2 + x 3 5x 4 + x 5 A: 5/ B: 2/ C: /2 D: / Elencare, nell ordine: sup, inf, max, min dell insieme { n, n N\{}} A:,,, B:,,, N.E. C:, N.E.,, N.E. D:, N.E.,,. 5. Determinare l insieme dei punti di continuità della funzione sin(x) x f(x) = e x x < A: x B: R C: Q D: x >. log(+e 6. Calcolare lim x ) x + x A: N.E. B: C: /2 D:. 7. Calcolare, per x, limiti destro e sinistro di arctan(/x) A: π/2, π/2 B: π/2, π/2 C: π/2, π/2 D: π/2, π/2. 8. Calcolare il minimo assoluto di f(x) = x 2 2x A: 2 B: -2 C: D:. 9. d dx cos(tan(x2 )) è uguale a: A: 2x sin(tan(x2 )) cos(x 2 ) B: 2x sin(tan(x2 )) cos 2 (x 2 ) 2x sin(tan(x)) C: cos 2 (x) D: 2x sin(tan(x2 )) cos 2 (x 2 ). Calcolare π (x 2 + sin(x) + e x )dx A: + e π + π 3 /3 B: + e π + π 3 /3 C: + e π + π 3 /2 D:.. Il minimo assoluto di f : N R f(n) = n 9/2 n N A: B: 5 C: N.E. D: /2. 2. Calcolare l estremo superiore dell insieme A = { e x : x R} A: B: + C: D: -.

3 3. La retta tangente al grafico di f(x) = xsin(x) tan(x) nel punto (,) è A: y = x B: y = sin(x)x C: y = D: y = 2x Calcolare 3 A: log(5/3) B: log(3/5) C: log(4/3) D: N.E. 5. Determinare una primitiva di x 2 +x 3 2 x(x ) dx A: x + arctan(x) B: x + log x + log x + C: x + log x + log x2 D: x log x + log + x 6. Calcolare la derivata di [arcsin(x )] 2 A: 2x9 arcsin(x ) x 2 B: 2x 9 x 2 C: x9 arcsin(x ) x 2 D: 2x9 arcsin(x) x L insieme dei punti su cui è derivabile è: A: x > B: x C: R D: x. 8. Calcolare xsin(x) dx A: B: cos() + sin() C: tan() D: 2π. 9. Si consideri la funzione f(x) = x 3 x 2 x f(x) = x < A: è continua e derivabile in B: è continua ma non derivabile in C: è derivabile ma non continua in D: non è continua e non è derivabile in. 2. Calcolare A: B: /2 C: D: -. lim x(π/2 arctan(x)) x + 2. Determinare l immagine di f(x) = / sin(x) per x ], π[. A: [,] B: [,+ [ C: ],] D: [,]\{}. 22. Stabilire se la legge a = 2, a n+ = log(a n ) definisce una successione A: per ogni n N B: per n 2 C: per n < 2 D: per n < Calcolare A: N.E. B: C: D: +. lim x x sin(t2 ) dt x 24. Determinare l immagine di f(x) = x log(x) A: [ e,] B: x < C: R + D: [ e,[. x ],]

4 25. La funzione arctan(/x) è A: decrescente B: decrescente solo se x < C: decrescente solo se x > D: decrescente su ],+ [ e su ],[. 26. Il punto di minimo assoluto di A: x = B: N.E. C: x = D: x =. 27. Calcolare ecos(x) sin(x)dx f(x) = x 2 + 2x + x [,2] A: e + e cos() B: e + e cos() C: e e cos() D: e e cos(). 28. Per quali α la funzione log(cos(x)) è O(sin α (x)) per x. A: - B: C: 2 D:. 29. Trovare una primitiva di e x +e x A: e 2x e x B: /e x C: arctan(e x ) D: arctan(e x ) 3. Si supponga f (x) < x [a,b]. Allora A: f ha minimo assoluto B: f ha minimo interno C: f non è limitata superiormente D: f non è limitata.

5 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova in itinere di Matematica Pisa, 7 dicembre 25 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (no matite o penne rosse).. Il reciproco del coniugato di + 2i è uguale a A: i B: i C: i D: i 2. Una radice cubica di i è A: i 2 B: 3 2 i 2 C: i D: 3. Modulo e argomento di 2 2i sono i 2 A: ( 8,3π/4) B: (8, 3π/4) C: ( 8,π/4) D: ( 8, 3π/4) 4. Il vettore proiezione di (,,,2) nella direzione di (,,, ) è A: (,4/3,4/3, 4/3) B: (, 3/4, 3/4,3/4) C: (4/3,,,) D: (, 4/ 3,4/ 3,4/ 3) 5. La dimensione dello spazio generato da v = (,,) v 2 = (,,) v 3 = (2,,) è uguale a A: B: C: 2 D: Utilizzando il metodo di Gauss dire se il sistema x + y + z = 2x + y z = 2 x z = A: ha soluzione unica B: è impossibile C: è indeterminato D: ha soluzione nulla.

6 7. Determinare tutte le soluzioni di x + y + z 3 2 = A: (2, 2t, t) B: (2,,) C: (2 t, 2t, t) D: (, 5,2). 8. Date le matrici A = ( 2 ) e B = 2 il prodotto AB è uguale a 2 A: (5 6) ( ) ( ) B: C: D: N.E. ( ) 2 9. La matrice inversa di è uguale a: A: B: 3 3/2 2 ( 4 ) ( /2 ) C: N.E. D: 2. Data A = 3 il prodotto AA T è uguale a ( ) 7 A: 7 6 B: C: Il determinante di A = A: N.E. B: 5 C: D: /2. 2. La dimensione del nucleo di A = A: B: C: 2 D:3. è uguale a ( ) è uguale a 3. Le soluzioni della equazione x (t) 2x (t) + x(t) = t sono 2 3 ( 2 3/2 /2 D: ) A: c e t + c 2 e t B: c e t + c 2 te t + (t 2 )/2 C: c e t + c 2 te t + t + 2 D: c e t + c 2 e t + t Le soluzioni della equazione x (t) 2x (t) + x(t) = e t sono A: c e t +c 2 e t +t 2 e t B: c e t +c 2 te t +t 2 e t C: c e t +c 2 te t +t 2 e t D: c e t +c 2 te t +t 2 e t /2 5. La soluzione del problema di Cauchy x (t) x(t) = t, x() =, x () = è A: et 2 t B: e t + t C: e t t D: t e t

7 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Matematica Pisa, 3 gennaio 25 Numero compito: 4623 Tempo: ora. Non si possono usare calcolatrici. Ricordarsi di segnare le risposte sul foglio di consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Prima di aprire il compito copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse).

8 Parte A. Lo sviluppo, col binomio di Newton di ( z) 4 è A: 4z 6z 2 4z 3 + z 4 B: + 4z + 6z 2 + 4z 3 + z 4 C: 4z + 6z 2 4z 3 + z 4 D: + 4z 6z 2 + 4z 3 z 4 2. Elencare, nell ordine: inf, sup, min, max dell insieme { ( + ( ) n ) n A:, 2,, N.E. B:, 3/2,, 3/2. C:, 2,, 2. D:, 3/2, N.E., 3/2. n, n N\{}} 3. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione sin(x) x f(x) = sin(π + x) x < A: (R,x ) B: (R, R) C: Q D: (x,x ). log(e 4. Dire per quali α il limite lim x +) x + x è finito e diverso da zero. α A: α B: α = C: α < D: α. 5. Calcolare il minimo assoluto di f(x) = x 2 + 2x + 3 A: N.E. B: -2 C: D: d dx log(tan(x2 )) è uguale a: 2x 2x 2x A: sin(x 2 ) cos(x 2 ) B: tan(x 2 ) cos(x 2 ) C: tan 2 (x 2 ) cos 2 (x 2 ) D: 2x(+tan(x2 )) tan(x 2 ) 7. Calcolare e log(2x) dx A: + (e + )log(2) B: N.E. C: + (e ) log(2) D:. 8. La funzione sin 2 (x) sull intervallo [ /2,/2] è A: convessa B: concava C: ha un flesso D: non derivabile. 9. La retta tangente al grafico di y(x) = 2(e x2 + x) nel punto (,2( + e)) è A: y = 2( + e) + (4e + 2)(x ) B: y = 2e + 2(e + )(x ) C: y 2( + e) = (4e + 2)(x ) 2 D: y = 2 + 2e.. Calcolare 2 x(x + ) dx A: log(5/3) B: log(4/3) C: log(3/3) D: log(5/3).. Le soluzioni della equazione x (t) 4x (t) + 4x(t) = t + e t sono A: c te 2t + c 2 e 2t + t/4 + /4 + e t B: c te 2t + c 2 e 2t + t 2 /4 + /4 + e t C: c e 2t + c 2 e 2t + t/4 + /4 + e t D: c e 2t + c 2 e 2t + t 2 /4 + /4 + e t. x/ log(x) 2. Calcolare la derivata di x A: log(x) xx/ B: e x C: x(x )/ log(x) log 2 (x) log 2 (x) D: (x )(x )/ log(x) log 2 (x).

9 3. Una soluzione della equazione x (t) = t x(t) è A: e t2 /2 B: e t + te t C: e t2 /2 + e t2 /2 D: e t+t2. 4. Quante soluzioni ha l equazione e x + x =? A: nessuna B: C: 2 D: L integrale è uguale a A: 2 + π/2 B: 2 π/2 C: D: π/4. x x + dx 6. Le soluzioni di x (t) + x(t) = t 2 sono A: ce t + t 2 2t + 2 B: ce t + t 2 2t + 2 C: ce t + t 2 + 2t 2 D: ce t + t 2 + 2t L integrale + A: esiste finito B: + C: N.E. D:. 8. La funzione da R in R: f(x) = x 3 x 2 è arctan(x) 2 + x 2 dx A: iniettiva B: suriettiva C: biiettiva D: limitata. Parte B 9. Determinare la proiezione di (,,2,) nella direzione di (,,,2) A: (,5/6,5/6,5/3) B: (,5/3,5/3,5/6) C: (/6,/6,5/3,/6) D: (/6,/6,/6,5/3). 2. Modulo e argomento di 4 4i sono A: (4 2,3π/4) B: (4 2,π/4) C: (4 2, 3π/4) D: (4 2, π/3) 2. La dimensione dello spazio generato da v = (,,,) v 2 = (2,8,,) v 3 = (2,3,4,5) è uguale a A: B: C: 2 D: Calcolare (con Laplace) il determinante di 23. La matrice inversa di A: 3/2 2 2 è uguale a: 2 3 B: C: N.E. D: 3/2 A: B: C: - D: 2. 3

10 24. La dimensione del nucleo della applicazione lineare T A: B: C: 2 D:3. x y z = 2x + 3y + z x + y + z y z 25. Una base dell immagine della applicazione lineare identificata con la matrice A = A: v = (,,2,4),v 2 = (,2,4,8) B: v = (,2,4,8),v 2 = (2,,3,), C: v = (4,3,8,4) D: v = (,2,4,8),v 2 = (2,,3,),v 3 = (4,3,8,4). 26. Le soluzioni di ( x y sono ) T ( A: (2,) B: (2,t + ) C: (t 3,2) D: (,2). 27. Il numero +2i 3 2i è uguale a A: i B: i C: i D: i ) = (2,6,) è uguale a è

11 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Matematica Pisa, 3 gennaio 26 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Prima di aprire il compito copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE = 97474

12 PARTE A. La retta tangente al grafico di y(x) = e sin(x) nel punto (,) è A: y = x B: y = + x + x 2 /2 C: y = + e sin() (x ) D: y = + x 2. La funzione f(x) = e x x è A: limitata superiormente B: suriettiva. C: iniettiva D: limitata inferiormente 3. Calcolare arctan(2x) dx /2 A: B: log(4) π 8 C: N.E. D: + (e ) log(2) x α log(cos(x)) 4. Dire per quali α il limite lim x A: α. B: α = 2 C: α < D: α 2 è finito e diverso da zero. 5. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione cos(x) x f(x) = 2 x 2 x < A: (R,x ) B: (x,x ) C: (R,R) D: (x,r) 6. L immagine della funzione f(x) = x 2 +4x+4 è A: ],+ [ B: ],[ ],+ [ C: R D: x 7. L integrale π/3 sin(x + ) x(x + ) dx A: B: + C: finito e positivo D: finito e negativo é 8. Il limite è uguale a: A: /e B: C: + D: N.E. sin(x) x lim x + e [+log(x)] 9. Le soluzioni della equazione x (t) 5x (t) + 6x(t) = 6 t 5 + e 3t sono A: c e 2t + c 2 e 3t + te 3t + t B: c e 2t + c 2 e 3t + t 2 e 3t t C: c e 3t + c 2 te 3t + te 3t + t D: c e 2t + c 2 e 3t + 2te 3t t.. Calcolare π/4 xsin(2x) dx A: 4 B: N.E. C: 4 D:. Calcolare il massimo assoluto di f(x) = x 2 + 4x 3 A: B: C: N.E. D: 2. Sia f(x) = sin(x 3 ), allora f () è uguale a A: 3 B: 6 C: D: N.E.

13 3. Determinare inf, sup, min e max della funzione f(x) = sin 2 (/x) sull intervallo ],+ [ A: (, +,, N.E.) B: (,,, ) C: (, +,, + ) D: (-,,-,) 4. Una soluzione della equazione x (t) = 2t ( + [x(t)] 2 ) è A: tan(t 2 ) B: arctan(t 2 ) C: sin(t 2 ) D: arcsin(t 2 ). 5. Dati x = 3 6 e y = 2 7 allora A: x y è divisibile per 5 B: x y C: x < y D: x = y Calcolare il limite lim ( + πx) /(2x) x A: e π2 B: e π C: D: e π/2 7. Quante soluzioni ha l equazione tan(x) + e x = π/2 nell intervallo ] π/2,π/2[? A: 3 B: nessuna C: D: infinite 8. Il limite lim x +[sin(x)] x è uguale a A: B: C: e D: + PARTE B 9. Calcolare il determinante di A: B: 28 C: 28 D: 4 2. La matrice inversa di è uguale a: A: 2 3/2 /2 B: 2 2 /2 C: 2 3/2 /2 D: N.E. 2. Modulo e argomento di i sono A: (,5π/6) B: ( 2, 5π/6) C: (, 5π/6) D: ( 2,5π/6) 22. La dimensione dello spazio generato da v = (4,3,6,2) v 2 = (,,2,2) v 3 = (,,,3) è uguale a A: 3 B: 4 C: 2 D: 23. Sia e i, i =,2,3,4, la base canonica di R 4, il prodotto scalare < e,e 2 + e 4 + e 4 > è uguale a A: 4 B: C: (,,,) D: 24. Il nucleo della applicazione lineare T x 2x + 3y + z y = x + y è uguale a z x + 2y + z A: Span B: Span,. C: t t t D: t s t t

14 25. Dati A = sono A: v = 2 3 e b = B: span , le soluzioni del sistema 2 A T v = b. C: v = 2 + t t 3t D: N.E. 26. La dimensione dell immagine della applicazione lineare identificata con la matrice A = è A: 4 B: C: 2 D: Il numero 6i (+i) 2 è uguale a A: i B: i C: 3 D: 3i

15 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Matematica 3-Febbraio-26 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Prima di aprire il compito copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE = 99

16 PARTE A. Sia f(x) = log( + x 2 ), allora f () è uguale a A: 2(x2 2) (+x 2 ) 2 B: 2 C: -2 D: 2. Qual è l immagine della funzione f(x) = log(x) x per x [, 2] A: ], ] B: [,+ [ C: [log(2) 2, ] D: [log(2),] 3. Il limite lim y sin(y) è uguale a A: sin(π/8) B: π/8 C: cos() D: sin() 4. /(.) è uguale a? A: B: 3 C: 2 D:,9 5. Calcolare inf, sup, min e max dell insieme ],] A: (,,,) B: (,,N.E.,N.E.) C: (,,N.E.,) D: (,,,N.E.) 6. Per quali x R si ha (x ) 2 < x A: x B: x C: < x < D: x > xe x dx 2 A: B: + 3/e 2 C: + e 2 D: e 2 8. La funzione f(x) = 3x 3 4x ha minimo locale in A: x = 2/3 B: N.E. C: x = 6/9 D: x = ±2/3 9. L integrale e x3 dx A: + B: è uguale a π/2 C: D: è finito e negativo. Calcolare 2 (x + ) log(x) dx A: log(6) + 9/4 B: 5π 2 log(π) C: N.E. D: log(6) 7/4. La funzione f(x) = tan(x) è A: iniettiva B: suriettiva C: monotona crescente D: continua e derivabile per x k π 2. Quante soluzioni positive ha l equazione e x = /x 2 A: nessuna B: C: infinite D: 2 3. Le soluzioni della equazione x (t) + 4x(t) = sin(2t) sono A: c sin(2t)+c 2 cos(2t) [t cos(2t)]/4 B: c sin(2t)+c 2 cos(2t) [t sin(2t)]/4 C: c e 2t +c 2 te 2t [t cos(2t)]/4 + [t sin(2t)]/4 D: c e 2t + c 2 te 2t [t cos(2t)]/4 [t sin(2t)]/4 4. La retta tangente al grafico di y(x) = [cos(x)] 2 sin(x) nel punto (,) è A: y = x 3 /2 B: y = C: y = + x D: y = cos()x +

17 5. Sia y(x) l unica soluzione di y (x) = (x+)(4y +) con la condizione iniziale y() =. Allora y () è uguale a A: 3 B: 5 C: 4 D: 2 6. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione sin(x 3 ) x f(x) = x(x 2 ) x < A: (R,x ) B: (R,R) C: (x,x ) D: (x,r) 7. Calcolare il limite 2 3 x lim x sin 2 (x) A: sin(3e) B: C: log(3) D: e log(3) 8. Il limite è finito e diverso da zero per: A: α 4 B: α 2 C: α = 2 D: α = 4 cos(x) x 2 lim x + x α PARTE B 9. Parte reale e immaginaria del numero ( + i)(6 2i) sono A: 2 + i 5 B: 2 i 5 C: 2i D: + i 5 x 2. Il nucleo della applicazione lineare T y y w = w è x + y 2w + z z A: span< (,,, ),(,,,) > B: {} C: span< (,,, ) > D: (t,t,,t + s) t, s R 2. Il rango di A = A: B: 2 C: 4 D: 3 ( ) Date A = e B = 3 4 sono è ( ), le soluzioni del sistema ( x AB y ) ( ) = A: ( 7/ + t, 6/) t R B: ( 7/, 6/) C: N.E. D: ( 7/, 6/5) t R 23. Modulo e argomento del numero complesso ( + i) e iπ/2 sono A: ( 2 e π,3π/4) B: ( 2, 3π/4) C: (e 2, 3π/4) D: ( 2,3π/4) Il determinante di A = 2 è A: B: C: - D: 2

18 25. Sia v = v v 2 v 3 v 4 definito da v i = i. Allora v 2 è uguale a A: 3 B: 6 C: -2 D: Il sistema x y z A: ha soluzioni tutte di norma B: ha una unica soluzione C: ha infinite soluzioni D: non ha soluzione 27. Sia w = (,3,5). La funzione f : R 3 R = f(v) = e <w,v> A: è lineare e suriettiva B: è lineare biiettiva C: è lineare e iniettiva D: non è lineare

19 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Matematica Data: -giugno-26 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Prima di aprire il compito copiare il numero del compito sul foglio che si consegna. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE = 62839

20 PARTE A. Per quali x R si ha che x x? A: x B: C: R D: x < 2. Sia f(x) = sin(e x ). Allora f () è uguale a? A: e x cos(x) sin(x) B: cos() sin() C: cos() + sin() D: tan() 3. π/2 2xe 2x A:.5( + e π (π + )) B:.5( + e π (π )) C:.5( e π (π + )) D:.5( e π (π )) 4. Calcolare inf, sup, min e max dell insieme /x, x Q\{} A: (, +, N.E., N.E) B: (, +,, N.E) C: (,,., N.E) D: (, +, N.E., N.E) 5. Il dominio della funzione f(x) = tan(sin(x)) è? A: ] π/2,π/2[ B: R C: x kπ/2 D: x 6. Qual è l immagine della funzione f(x) = x 2x per x [,2]? A: [,+ [ B: [/2,2] C: [,6] D: ],] 7. La funzione f(x) = e x log(x) ha minimo locale in A: B: C: N.E. D: /4 8. Il limite lim z 2 cos(πz/6) è uguale a A: / 2 B: /2 C: N.E. D: 3/2 9. L integrale 2 x 2 e x3 dx A: e 4e 2 B: 3e 2 3 e 2 C: e 8 2+sin( ) D: e7 3e 8. Le soluzione della equazione x (t) + 3x(t) = sin(3t) sono A: c cos( 3t)+sin( 3t) sin(3t)/6 B: c e 3t +e 3t sin(3t)/6 C: c cos( 3t)+sin( 3t) t 2 3 cos( 3t) D: c cos( 3t) + sin( 3t) + sin(3t)/6. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione sin(x ) x f(x) = log(x) x > A: (R, R) B: (x,x ) C: (R,x ) D: (x, R) 2. Il limite è uguale a zero per lim x + A: β < B: β C: β D: β > x β 2 + cos(x) 3. Sia y(x) l unica soluzione di y (x) = πy(x) con la condizione iniziale y() =. A: y(x) è sempre positiva B: y(x) è limitata C: y(x) non è derivabile in x = D: y(x) si annulla in almeno un punto.

21 4. L integrale + + x x dx A: vale π 2 /6 B: + C: D: è finito e positivo 5. La funzione f(x) = e log(2x) A: è monotona crescente B: f( ) = 2 C: è limitata superiormente D: è integrabile su [, + [ 6. Quante soluzioni ha l equazione e x = x + A: B: infinite C: 2 D: 7. Calcolare il limite 2x 3 + x 2 sin(x) lim x + cos(x) + 2x 2 3x 3 A: +2/3 B: 3/2 C: 3/2 D: 2/3 8. La retta tangente al grafico di y(x) = sin(e x2 ) nel punto (,sin()) è A: y = sin()x B: y = sin() + cos()x C: y = sin() D: y = + sin()x PARTE B 9. Parte reale e immaginaria del numero (2 + 2i)(6 2i) sono A: 5 + 2i 5 B: 5 2i 5 C: + i 5 D: 2i 2. Modulo e argomento del numero complesso 3 i sono A: (2,π/6) B: (2, π/6) C: (2,π/3) D: ( 2,π/6) 2. Il nucleo della applicazione lineare T = x y w z x + 2y + 3w + z x + w + z 4y + 4w + z A: span< (,,,) > B: span< (,,,),(,,,) > C: (t, s, t + s,) t, s R D: {} Il rango di A = è 2 A: B: 4 C: 2 D: Dati v = (,2), e w = (,) le soluzioni del sistema (x, y)v T = sono (x, y)w T = A: (x,y) = (t,t + ) t R B: (x, y) = (,) C: N.E. D: (x, y) = ( t, ) t R 24. Il determinante di A = A: - B: C: D: 2 2 è è

22 25. Sia w = (,3,5). La funzione f : R 3 R f(v) = < w,2v > A: è lineare B: non è lineare C: non è lineare ma è iniettiva D: è iniettiva v 26. Sia v = v 2 v 3 definito da v k = k +. Allora v 2 è uguale a v 4 A: B: 4 C: 4 D: Il sistema 2 2 x y z A: non ha soluzione B: ha infinite soluzioni C: ha una soluzione di norma D: ha infinite soluzioni tutte di norma = 2

23 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE = 3336

24 PARTE A. Una primitiva di arctan2 x +x 2 è A: 3 arctan3 x + B: arctan 2 x + C: 2arctan x D: ( +x 2 ) 2 2. Il numero 2 A: è positivo B: è irrazionale C: ha quadrato negativo D: è razionale 3. Una primitiva di x+x 3 è A: arctan x B: lg x 2 lg( + x2 ) C: /x + lg x D: lg x arctan x 4. Quale, dei punti indicati nelle risposte, è interno a ],3] {} ] 2, 3/2]? A: B: 3 C: 2 D: 5. Calcolare π/4 e x sin x A: B: e C: /2 D: e π/2 6. La funzione x 2 + 2x + 2 A: è limitata superiormente B: ha minimo assoluto C: è limitata D: è crescente 7. Determinare sup,inf,max,min di ],3] ] 2, 3/2] A: 3, 2,3, 2 B: 3, 2,3,N.E. C: 3, 2,N.E,N.E. D: 3,,N.E,N.E 8. La funzione f(x) = sin 2 x è A: crescente su [ π,π] B: convessa su R C: convessa su [ π/4,π/4] D: concava su R 9. La funzione in x = x x x > f(x) = sin(x)/x x < x = A: è discontinua, ma convergente B: è continua C: i limiti destro e sinistro esistono finiti, ma sono diversi D: almeno uno dei limiti destro o sinistro è infinito o non esiste. Quante soluzioni ha l equazione lg x = x 2? A: infinite B: 2 C: D: nessuna. Il polinomio di Taylor di grado 2 in x = della funzione f(x) = sin 2 x vale A: x 2 B: + x C: x + x 2 D: x + x La funzione e x3 A: è integrabile su R B: è integrabile su R C: non è integrabile su nessun intervallo illimitato D: è integrabile su R + 3. La retta tangente al grafico di f(x) = sin(cos x) in x = è A: y = B: y = + x C: y = sin() D: y = + x 2 4. La funzione / sin x è A: decrescente su [,[ ],] B: decrescente su ],] C: limitata D: decrescente su [,] 5. L insieme delle soluzioni di x x = è A: c e t +c 2 e t/2 cos(t 3/2)+c 3 e t/2 sin(t 3/2) B: c e t C: c +c 2 e t D: c e t +c 2 t e t +c 3 t 2 e t

25 6. L insieme delle soluzioni di x > x 2 A: x > B: x 2 C: x > 2 D: R 7. Determinare α in modo che lg α (x + ) cos x converga ad un limite finito e diverso da zero per x A: B: 2 C: D: 8. L insieme delle soluzioni di x + 2x = t è A: c + c 2 e it + c 3 e it + t B: c e i 2t + c 2 e i 2t + t 2 /2 C: c + c 2 cos(t 2) + c 3 sin(t 2) + 4 t2 D: c + c 2 e i 2t + t 2 PARTE B 9. La lunghezza del vettore proiezione di (,,) lungo (,,) è A: 3 B: / 2 C: 2 D: 2. I tre vettori (,, ),(,, ),(,, 3) sono A: l uno multiplo dell altro B: complanari C: di norma D: ortogonali a due a due 2. L insieme delle soluzioni di x y z = w A: (,,,) B: t(,,, 2) + (/2,/2, /2,) C: t(,,,) + (,/2,,) D: {} 22. Il determinante 2 3 vale 2 A: 2 B: 7 C: 2 D: 23. L applicazione x y z ( 2x + z x + y A: è iniettiva B: non è lineare C: è biiettiva D: è suriettiva { 24. Per quali λ C ( λ) x + y = il sistema ha più di una soluzione? x + ( λ) y = A: N.E. B: λ C C: λ =, 2 D: λ =, La dimensione di,, 2 2 è 2 A: 3 B: 2 C: D: 26. Le soluzioni complesse di z = 2z sono A: R B: C: ix, x R D: ± i 27. Determinare la matrice A in modo che l applicazione T(x) = A x verifichi ) A: T(e ) = e, T(e 2 ) = e 3, T(e 3 ) = e + e 2 + e 3 B: C: ( ) D:

26 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Matematica 3 Luglio 26 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE =

27 PARTE A. x sin(3x) dx π/2 A: /9 B: C: /9 D: + sin() 2. Calcolare inf, sup, min e max dell insieme { 2} ],] A: (-2,,N.E.,2) B: (-2,,,2) C: (-2,,-2,) D: (-2,,-2,N.E.) 3. La funzione f(x) = xe 2x2 ha minimo locale in A: x = ±/2 B: x = /4 C: N.E. D: x = /2 4. Il limite lim x + ex /(4x 2 ) è uguale a A: B: + C: N.E. D: 5. (/3 + 2 ) 3 è uguale a? A:,83 B:, C: 5/6 D: /2 6. Per quali x R si ha ( x 2 2) < A: 2 x B: < x < C: 2 < x < 2 D: x 7. Sia f(x) = log(x 2 ), allora f () è uguale a A: B: 4 C: log(x2 ) 2x 3 D: Qual è l immagine della funzione f(x) = sin(x) + x 2 per x [,[ A: [, sin() + ] B: [sin(), ] C: [, sin() + [ D: [, sin()[ x + 2 x 2 + 2x 3 dx A: log(4/3) 2 log(2) B: log(2) + 4 log(5/3) C: log(4/3) + 2 log(2) D: log(2) + 4 log(3/5). L integrale + xe x3 dx A: è finito e positivo B: è uguale a zero C: + D:. Quante soluzioni positive ha l equazione sin(x) = /e 2 A: 2 B: C: infinite D: 2. Le soluzioni della equazione x (t) + 9x(t) = t 2 + sono A: c e 3t + c 2 te 3t [t + sin(3t)]/4 B: c sin(3t) + c 2 cos(3t) + (7 + 9t 2 )/8 C: c sin(3t) + c 2 cos(3t) [t + sin(3t)]/4 D: c e 3t + c 2 te 3t + (7 + 9t 2 )/8 3. Sia y(x) l unica soluzione di y (x) = e x con la condizione iniziale y() =. Allora + y(x) dx è uguale a A: N.E. B: C: 2 D:

28 4. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione x 2 + x + x f(x) = cos(x 2 ) x < A: (R,R) B: (R,x ) C: (x,x ) D: (x,r) 5. Il limite è finito e diverso da zero per: A: α = 2 B: α C: α 2 D: α = e x x lim x + x (2α) 6. La retta tangente al grafico di y(x) = e tan(x) nel punto (,) è A: y = tan()x + B: y = x C: y = + x D: y = 7. La funzione f(x) = log( x ), per x [, ]\{} è A: continua e derivabile B: convessa C: iniettiva D: monotona crescente 8. Calcolare il limite lim x + 3 x2 2 + sin 2 (x) A: + B: sin(3e) C: log(3) D: e log(3) 9. Date A = sono ( ) e B = ( PARTE B ), le soluzioni del sistema ( x AB y ) ( ) = A: (, 4/5) t R B: N.E. C: ( 7/ + t, /) t R D: ( 4/5, 9/) 2. Modulo e argomento del numero complesso ( + i) e iπ sono A: (e 2, 3π/4) B: ( 2, 3π/4) C: ( 2e π,3π/4) D: ( 2,+3π/4) x 2. Il nucleo della applicazione lineare T y w = x + y + z x + y z è w z A: span< (,,,) > B: span< (,,, ),(,,,) > C: {} D: (t, s,,) t,s R 22. Il determinante di A = è 2 A: - B: C: 2 D: 23. Il rango di A = è 3 2 A: 4 B: 3 C: 2 D:

29 24. Il numero complesso (2 + 4i)( i) 2 è uguale a A: 2 i B: 2 + i C: 2 i D: 2 + i 25. Il sistema x y z = A: ha una unica soluzione B: non ha soluzione C: ha infinite soluzioni D: ha due soluzioni 26. Sia w = 6π/e. La applicazione f : R R f(v) = cos(w)v A: è lineare ma non suriettiva B: non è lineare C: è lineare ma non iniettiva D: è lineare e biiettiva ( ) α β 27. Sia A = e sia v = (v β α,v 2 ). Allora vav T è uguale a A: α(v 2 +v 2 2)+2βv v 2 B: α 2 v +2αβv v 2 +β 2 v 2 C: (α+β)(v 2 +v 2 2) D: α 2 v 2 +2αβv v 2 +β 2 v 2 2

30 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Matematica 2 Settembre 26 Tempo ora. Non si possono usare calcolatrici. Segnare le risposte solo sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. Ogni risposta esatta vale +, mentre ogni risposta errata vale -. Usare solo penne nere o blu (non matite e/o penne rosse). CODICE = 9933

31 PARTE A. La funzione f(x) = xlog( x ) ha massimo locale in A: x = /e B: x = /e C: D: x = ±/e 2. π/2 (3x) cos(2x) dx A: 3/2 B: C: 3/2 D: e ex lim x + 2 ex A: 2/e B: + C: N.E. D: e/2 4. Qual è l immagine della funzione f(x) = x 4 2x 2 + per x [,2] A: [ 9,9] B: [,9] C: [,9] D: [,9] 5. x 2 + x 2 + 4x + 4 dx A: /6 4 log(3/2) B: 5/2 7 log(5) C: 5/2 + 7 log(5) D: /6 4 log(3/2) 6. Sia f(x) = log(log(x)), allora f (e) è uguale a A: 2/e 2 B: N.E. C: +2/e 2 D: 7. Calcolare inf, sup, min e max dell insieme {x R : tan(x) < } A: ( π/2,, π/2,) B: (,,N.E.,) C: (,+,N.E.,N.E.) D: ( π/2,,n.e.,n.e.) 8. sin(3π/2) è uguale a? A: 2 2 B: C: D: 9. Per quali x [,2π] si ha x/ sin(x) > A: x {,π, 2π} B: x ],π] C: < x < π D: < x π. La retta tangente al grafico di y(x) = sin 3 (x) nel punto (π/4,/2 2) è A: y = /2 2 + (x π/4) B: y = /2 2 C: y = sin 2 (π/4)x + /2 2 D: y = / (x π/4)/2 2. Determinare l insieme dei punti di continuità e l insieme dei punti di derivabilità della funzione sin(x π/2) x f(x) = cos(x) x < A: (R,x ) B: (x,x ) C: (R,R) D: (x,r) 2. Calcolare il limite 3 sin 2 (x) lim x + 3 x2 A: e log(3) B: + C: sin(3e) D:

32 3. Il limite è finito e diverso da zero per: A: α < B: α = 4 C: α 4 D: α = 4. L integrale log( + x 4 ) lim x + x α + sin 2 (x)dx A: + B: è uguale a zero C: D: è finito e positivo 5. Le soluzioni della equazione x (t) + 4x(t) = t t 2 sono A: c sin(2t)+c 2 cos(2t) [t 2 +sin(3t)]/8 B: c sin(2t)+c 2 cos(2t)+(+2t 2t 2 )/8 C: c e 2t + c 2 te 2t + (7 + 9t 2 )/8 D: c e 2t + c 2 te 2t [t 2 + sin(3t)]/8 6. La funzione f(x) = log(/ x ), per x [, ]\{} è A: iniettiva B: convessa C: continua e derivabile D: monotona crescente 7. Sia y(x) la soluzione di y (x) = y 2 con la condizione iniziale y() =. Allora y () è uguale a A: B: N.E. C: 2 D: 8. Quante soluzioni negative ha l equazione e x2 = /4 A: 2 B: infinite C: D: 9. Il determinante di A = A: B: 2 C: D: 2 2. Il rango di A = A: 3 B: C: 4 D: 2 2 è 2. Il nucleo della applicazione lineare T PARTE B è x y w = x + 3y + 4w x + 2y + 3w 2x + 3y + 5w A: < (t,t, t) > t R B: span(,,) C: {} D: < (t, t,s) > t, s R 22. Il numero complesso (2 + i) 2 (2 i) è uguale a è A: 2/5 i/5 B: 2/5 + i/5 C: 5/2 i3/2 D: 5/2 + i3/2 ( ) ( ) Date A = e B =, le soluzioni del sistema sono ( x AB y ) = ( A: (,4/5) B: N.E. C: ( t, /5) t R D: ( + t, 2) t R )

33 24. Modulo e argomento del numero complesso (2 2i) e iπ/4 sono A: (2 2, π/2) B: ( 2e π,π/2) C: (2 2, π/4) D: (2 2,+π/4) 25. Il sistema x y z = A: non ha soluzione B: ha due soluzioni C: ha infinite soluzioni D: ha una unica soluzione 26. Sia A = Allora A è uguale a 4 /4 /2 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 A: 2 B: 4 C: D: La applicazione f : R R f(v) = cos(v)v A: è lineare ma non suriettiva B: non è lineare C: è lineare ma non iniettiva D: è lineare e biiettiva