Problemi di ottimo vincolato

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1 Problemi di ottimo vincolato Una pasticceria produce due tipi di crostata: al cioccolato (C) e alla marmellata (M) Il ciclo produttivo prevede tre fasi: lavorazione della pasta frolla produzione delle crostate cottura e confezione

2 Per ogni crostata Ciocc. Marm. Disponibilità settimanale Pasta Frolla 1 ora 1 ora 80 ore Produzione 4 ore 2 ore 264 ore Cot. e Conf. 2 ore 4 ore 280 ore Margine lordo 7 euro 5 euro Determinare il piano ottimale di produzione settimanale

3 Formalizzazione del problema x = n crostate al cioccolato da produrre, x 0 y = n crostate alla marmellata da produrre, y 0 Vincoli di disponibilità Preparazione pasta frolla x + y 80 Produzione 4x + 2y 264 Cottura e confezione 2x + 4y 280 Obiettivo: massimizzare il margine lordo: max 7x + 5y

4 Formalizzazione del problema max 7x + 5y Funzione obiettivo x + y 80 4x + 2y 264 2x + 4y 280 Vincoli x 0, y 0 Regione ammissibile: S={(x,y): x+ y 80, 4x + 2y 264, 2x+ 4y 280, x 0, y 0 )}

5 Problemi di ottimo vincolato Vogliamo risolvere problemi del tipo # max!!f (x, y) Funzione obiettivo % g 1 (x, y) 0 $ %... Vincoli!! &% g m (x, y) 0 f, g i :R 2 R, i =1,..., m S = {(x, y) R 2 : g i (x, y) 0, i =1,...,m} Funzione vincolare Regione ammissibile

6 Problemi di ottimo vincolato Teorema di Weierstrass. Una funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato ammette punti di massimo e minimo assoluto. I punti di massimo e minimo relativo e assoluto vanno ricercati tra: 1. gli eventuali punti critici interni 2. i punti di frontiera con particolare riguardo ai vertici della regione e agli eventuali punti di tangenza. Se la funzione obiettivo e quelle vincolari sono definite su sottoinsieme di R 2 ed è agevole disegnare le curve di livello, possiamo determinare i p.ti di max. e min. rel.e/o ass. tramite l andamento delle curve di livello.

7 Risoluzione problema della pasticceria Disegniamo la regione ammissibile S S è un insieme compatto Per il teorema di Weierstrass f ammette valore massimo su S S

8 Risoluzione problema della pasta Andamento delle curve di livello. Le curve di livello sono rette di coefficiene angolare -7/5 e intercetta con l asse y k/5. (n.b. il vettore in rosso è il vettore gradiente calcolato in (0,0)).

9 Risoluzione problema della pasticceria l punto di massimo è (52,28) corrispondente a produrre 52 crostate al cioccolato e 28 torte alla marmellata, per un margine lordo di 504 euro.

10 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla triangolo di vertici A=(-1,-2), B=(8,-2), C=(-1,4). I vincoli che definiscono la regione sono: x -1, y -2 e 2x+3y 10 C f è continua ed S è compatta; f ammette almeno un punto di max. e min. assoluto A S B

11 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 Le curve di livello di f sono circonferenze di centro (3,5). All aumentare del raggio della circonferenza ci troviamo su curve di livello cui corrisponde un valore di k maggiore. A C B

12 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 f non ammette punti critici interni. Analizzo vertici di S A è p.to di max. rel. dato che esiste un intorno di A tale che le curve di livello che intersecano S e l intorno corrispondono ad un valore di f minore di f(a). A A non è punto di max ass. poiché in S esistono punti in cui f assume valore maggiore di f(a). C B

13 Esempio 1. Facendo lo zoom in un intorno di A. A C A è p.to di max. rel. dato che esiste un intorno di A tale che le curve A di livello che intersecano S e l intorno corrispondono ad un valore di f minore di f(a).

14 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 B è p.to di max. rel. e ass. dato che le curve di livello cui corrisponde un valore di f maggiore di f(b) non intersecano S. A C B

15 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 C non è p.to né max. né di min. relativo dato che in ogni intorno di C esistono curve che intersecano S sia con valore di f maggiore di f(c) sia con valore di f minore di f(c). C Devo ricercare i punti di minimo assoluto e relativo tra i punti di tangenza A B

16 Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 D non è p.to né max. né di min. relativo dato che in ogni intorno di D esistono curve che intersecano S sia con valore di f maggiore di f(d) sia con valore di f minore di f(d). C Non esistono punti di tangenza sul segmento AC A D B

17 Esempio 1 Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x 2-6x+y 2-10y+35 sulla regione S={(x,y) R 2 : x -1, y -2, 2x+3y 10 T è il punto di minimo rel. e ass. dato che le curve di livello cui corrisponde un valore di f minore di f(t) non intersecano S. C T Dobbiamo determinare le coordinate di T T=? A B

18 II proprietà del gradiente Sia f:a R, A un insieme aperto di R 2, f di classe C 1, (x 0,y 0 ) A e f x 0, y 0 La direzione ( ) (0,0) ( ) u = f x 0, y 0 è ortogonale alla retta tangente alla curva di livello passante per (x 0,y 0 ) Gradiente in (x 0,y 0 ) Retta tangente (x 0,y 0 ) Curva di livello passante per (x 0,y 0 )

19 Per determinare le coordinate di T sfruttiamo la II proprietà del gradiente T verifica le condizioni $ f (T ) = λd & 2x + 3y =10 % & T appartiene alla '& curva di livello f(t) C d = (2,3) è il vettore dei coefficienti della retta 2x + 3y =10 T *# 2x 6 & #,% ( = λ 2& % ( + $ 2y 10' $ 3', - 2x + 3y =10 A da cui B λ = 22 13, x = 17 13, y = 32 13