Sistemi lineari: generalità

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1 Sstem ler: geerltà Prolem: rsolvere u sstem lere d grd dmeso N, I form comptt: A B M M M M A [ ] R vettore de coeffcet B [ ] R vettore de term ot [ ] R vettore delle cogte

2 Sstem ler: soluzoe Teorem Rouché-pell): l sstem lere AB mmette soluzoe se e solo se ra B)rA), ovvero se e solo se B pprtee llo spzo lere geerto dlle coloe d A. Metodo d rmer: se l mtrce è qudrt e o sgolre l soluzoe è esprmle ell form: D A B, det A) Dove D è l determte dell mtrce otteut sosttuedo ll -esm colo dell mtrce A, l vettore de term ot B.

3 Metodo d rmer: costo osto computzole: stm del umero d operzo pest moltplczo e dvso) per otteere l soluzoe. Algortmo d rmer: osto computzole clcoltore Gg-Flops): c determt D det A),! prodott per determte - moltplczo per cscu prodotto dvso ) )! ) 5 c c ! flops flops.9 flops sec 3.5 gor 4 sec 3.

4 Sstem ler: metod uso del metodo d rmer è vldo solo per sstem d dmesoe estremmete coteute d es. ). Metod drett: soluzoe estt u umero fto d pss operzo sull mtrce); elevt occupzoe dell memor; prolem des o mtrc prtcolr trdgol, ); effcet per pccol prolem ). Metod tertv: l soluzoe otteut trmte pprossmzo successve puto uto); soluzoe estt u umero fto d pss errore d trocmeto); ss occupzoe d memor; prolem sprs e/o d elevte dmeso.

5 Sstem ler: codzometo odzometo: stm dell sesltà del prolem d u vrzoe su dt d put. Idpedete dl metodo umerco dottto, però e fluez l scelt e l precsoe de clcol. Als: s perturo dt d gresso e s vlut l corrspodete vrzoe dell soluzoe. U prolem s dce mlcodzoto se d u pccol vrzoe su dt d gresso corrspode u grde vrzoe dell soluzoe. Nel cso d A o ffett d error, e co δb errore su dt sul terme oto B): δ A A δb B

6 Sstem ler: codzometo Dett δa e δb l errore su coeffcet e sul terme oto, e co δ l errore sull soluzoe, s h: δ K A) δa K A) A δb B δa A Dove KA) A A - è l umero d codzometo d A, co KA) ; el cso d orm spettrle e per mtrc smmetrche e defte postve: K A) λm / λ m

7 odzometo: esempo Esempo 4.3.: 36% 3.6 % B B δ δ 36 ) A A A K Numero d codzometo: Esercz cosglt [G].3,.5, 7.5

8 Metod tertv: geerltà Soo st su u trsformzoe del prolem uo equvlete dll struttur pù semplce trmte u decomposzoe dell mtrce de coeffcet splttg). Il prolem equvlete è rsolto per mezzo d u procedur tertv d pprossmzo successve. Soo pplct prolem grd e/o sprs. A B A M N 443 Q M Q M N B ) ) ) ) c Q q è dett mtrce d terzoe.

9 Metod tertv: covergez U metodo tertvo forsce l soluzoe estt ssez d error d rrotodmeto) u umero fto d pss; s defsce errore d trocmeto, l quttà: ) ) U metodo tertvo è detto covergete se: E lm ) E Teorem: codzoe suffcete ffché l metodo tertvo s covergete quluque s l vettore zle ) è che s <. Teorem: l metodo tertvo coverge, quluque s l vettore zle ), se e solo se ρ)<.

10 Metod tertv: defzo Per u metodo tertvo covergete sotto l codzoe <, fsst u cert tollerz ε, l procedur tertv può essere rrestt qudo l dce d terzoe è tle che: ) ) ε rtero d rresto I tl cso, per l errore commesso rspetto ll soluzoe estt, s ho le seguet stme: E E ) ) ) ) ) ) Eserczo cosglto [G] 7.4 Stm posteror Stm pror

11 I metod tertv soo st su uo splttg dell mtrce de coeffcet: ADU, dove: Metod tertv: decomposzoe d A < > ),,, u dg d l U D Dgole Trgolre ferore Trgolre superore

12 Posto MD e NU, s h: -D - U)D - B J Q J Metod tertv: Jco J O Qud, l lgortmo d Jco forsce l successoe:, ) ) J ) J ) Q Mtrce d terzoe d Jco

13 Il metodo d Guss-Sedel f uso de vlor gà clcolt: Metod tertv: Guss-Sedel, ) ) ) I form comptt, posto: ) ) GS GS Q B D U D U N D M Otteedos:

14 Jco & Guss-Sedel: covergez Teorem: se A è dgolmete domte, per rghe o per coloe, metod d Jco e d Guss-Sedel soo coverget per quluque vlore del vettore ). orollro: l metodo d Jco Guss-Sede) coverge se e solo se ρ J )< ρ GS )<), quluque s ). Teorem: se A è smmetrc e deft postv, l metodo d Guss-Sedel è covergete per quluque vlore d ). rtero d Sylvester: codzoe ecessr e suffcete ffché u mtrce qudrt e smmetrc s deft postv è che: det A ) >,, K,

15 Esempo 4.5.: verfcre l covergez de metod d Jco e d Guss-Sedel per seguet prolem: Jco & Guss-Sedel: esempo A A Esercz cosglt [G].,., 7.6

16 Il metodo S.O.R. successve over relto) s ottee dl rlssmeto dell soluzoe fort dl metodo GS: Metod tertv: S.O.R. ), ~ ~ ) ) ) ) ) ) ω ω o ω R prmetro d rlssmeto, posto: ) ) [ ] ) ω ω ω ω ω ω ω Q B D D U D ) ω ω ω / / D U N D M s ottee:

17 Metodo S.O.R.: covergez S dmostr che ρ ω ) -ω, d cu: emm: codzoe ecessr ffché l metodo d rlssmeto coverg è che ω,). Teorem: se A è smmetrc e deft postv, l codzoe <ω<, è ecessr e suffcete per l covergez del metodo S.O.R., quluque s ). Teorem: se A è trdgole e deft postv, l covergez del metodo S.O.R. è mssm per: ω Esercz cosglt [G].9,.3 ρ ) GS

18 Metod tertv: sommro ) ) A B Q Q Jco Q J J D D B U) Guss-Sedel Q GS GS D ) D ) B U S.O.R. Q ω ω ω ) D ω [ ωu ω ) D] D ω) B

19 Esempo [G].3: lcolre l veloctà stotc d covergez de metod d Jco, Guss-Sedel e S.O.R. co prmetro ottmo, pplct ll soluzoe del sstem lgerco vete come mtrce de coeffcet l mtrce: Metod tertv: esempo 4 3 A

20 Metod tertv: esempo ) 4 / 3 / 3 / J U D Jco ) ) [ ] 647. og / 3 / 3 / J J J 3 ρ ρ λ λ λ V 4 3 U D A ) / 6 / 3 / 3 / GS U D Guss-Sedel ) ) [ ] 49. og / 4 3/ GS GS GS 3 ρ ρ λ λ λ V

21 Metod tertv: esempo Succesve Over Relto ω ρ 4 ) 3 GS OPT D ω ) [ ω U ω ) D] / 3 8/ 7 8/8 4 / 3 3/ 7 3/8 4 / 9 5/ 7 λ / 3 λ / 3 λ3 / 3 ρ V ) OPT OPT / 3 og.3333 [ ρ )]. 477 OPT

22 Metod tertv: esempo Resduo orm Jco Guss-Sedel SOR Ottmo - -4 ω. ω. - ω4/3 ω.4 ω Iterzo Iterzo