TRIGONOMETRIA PIANA: I TRIANGOLI QUALUNQUE

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1 TRIGONOMETRIA PIANA: I TRIANGOLI QUALUNQUE

2 IL TEOREMA DEI SENI TEOREMA In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

3 IL TEOREMA DEI SENI DIMOSTRAZIONE Consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC. Chiamiamo r il suo raggio. Al lato a e all angolo alla circonferenza a si applica il teorema della corda che afferma: a = 2r sen a, da cui. Lo stesso risultato si applica a tutti i lati del triangolo:.

4 IL TEOREMA DEL COSENO TEOREMA In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati della misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto della misura di questi due lati per il coseno dell angolo compreso fra essi.

5 IL TEOREMA DEL COSENO DIMOSTRAZIONE Consideriamo un triangolo ABC acutangolo. La dimostrazione è analoga se il triangolo è ottusangolo. Tracciamo l altezza CH. Dal primo teorema dei triangoli rettangoli, otteniamo: CH = b sen a e AH = b cos a e, per differenza: HB = c b cos a. Ricaviamo a applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB: a 2 = CH 2 + HB 2 = b 2 sen 2 a + (c b cos a) 2 = b 2 + c 2 2bc cos a. Analogamente: b 2 = a 2 + c 2 2ac cos b, c 2 = a 2 + b 2 2ab cos g.

6 IL TEOREMA DEL COSENO Il teorema di Pitagora generalizzato Il teorema del coseno è detto anche teorema di Pitagora generalizzato perché, se a = 90 o, il triangolo ABC è rettangolo in A e l enunciato a 2 = b 2 + c 2 2bc cos a si riduce all enunciato del teorema di Pitagora: a 2 = b 2 + c 2.

7 LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Sono noti un lato e due angoli ESEMPIO Risolviamo questo triangolo. Conoscendo c, a e b, determiniamo gli altri elementi. g = 180 o (40 o + 60 o ) = 80 o. g = 180 o (a + b). Per il teorema dei seni:, e anche:.

8 LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE. Sono noti due lati e l angolo compreso Conoscendo b, c e a, determiniamo gli altri elementi. Per il teorema del coseno: e dallo stesso teorema, ricavando cos b dall espressione per b: Si ricava b con la funzione arcocoseno e infine: g = 180 o (a + b). ESEMPIO Risolviamo questo triangolo. Inoltre, dalla relazione ricaviamo e E infine:

9 LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Sono noti due lati e un angolo opposto a uno di essi sen b = 1, a < 90 o La soluzione esiste. b = 90 o. 0 < sen b < 1, a > 90 o Esiste una soluzione. b < 90 o. Conoscendo a, b e a, determiniamo gli altri elementi. Applicando il teorema dei seni: da cui, a seconda del valore trovato, si traggono le seguenti conclusioni. sen b = 1, a 90 o La soluzione non esiste. 0 < sen b < 1, a < 90 o, b a Esiste una soluzione. b < 90 o. 0 < sen b < 1, a < 90 o, b > a Esistono due soluzioni, una con b < 90 o e una con b > 90 o. Infine, trovato b, possiamo calcolare g = 180 o (a + b),.

10 LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Sono noti i tre lati ESEMPIO Conoscendo a, b e c, determiniamo gli altri elementi. Risolviamo questo triangolo. Dal teorema del coseno Applicando il teorema del coseno:, Da cui, con la funzione arcocoseno, si ricavano a e b e, infine: g = 180 o (a + b). da cui, e infine:

11 ESERCIZI: IL TEOREMA DEI SENI

12 ESERCIZI: IL TEOREMA DEL COSENO

13 ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE

14 ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE

15 ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE

16 ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE

17 ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE