Rappresentazione dell Informazione

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1 Rappresentazione dell Informazione Fondamenti dell Informatica Michele Ceccarelli Università del Sannio Angelo Ciaramella DMI-Università degli Studi di Salerno

2 Argomenti della Lezione n. 2 Premessa Sistemi di numerazione posizionali Numeri frazionari Sistemi decimale, binario, ottale, esadecimale Conversione binario decimale Rappresentazione di interi in complemento a 2 Rappresentazione di reali in floating point Caratteri: codici ASCII e UNICODE

3 Codifica dati e istruzioni Algoritmi=istruzioniistruzioni che operano su dati Per scrivere in programma è necessario rappresentare istruzioni e dati in maniera che l esecutore automatico possa Memorizzare dati e istruzioni Manipolare dati e istruzioni

4 Codifica dati e istruzioni Alfabeto dei simboli Cifre 0, 1,, 9, separatore delle migliaia (.), separatore decimale (, )e segni + e - Regole di composizione (sintassi) che definiscono le successioni ben formate 1.234,5 è la rappresentazione di un numero 12,23,4 non lo è Codice (semantica) 1.234,5 =1x x x x x ,23,4 =?? Lo stesso alfabeto può essere utilizzato per codici diversi 123,456 = 1x x x x x x10-3 [IT] 123,456 = 1x x x x x x10 0 [UK]

5 Codifica binaria Alfabeto binario: dispositivi con due soli stati Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli elementi di un insieme Quanti oggetti possiamo rappresentare con k bit (cifre binarie) 1 bit 2 stati (0,1) 2 oggetti 2 bit 4 stati ( ) 4 oggetti 3 bit 8 stati ( ) 8 oggetti k bit 2 k stati 2 k oggetti Quanti bit servono per rappresentare N oggetti? N 2 k k log 2 N k= log 2 N

6 Codifica binaria Quanti bit per rappresentare i giorni della settimana? 3 bit Quanti bit per i mesi dell anno 4 bit Tutti i caratteri? 26 miniscole+26 maiuscole+10 cifre+circa 30 caratteri di interpunzione+circa 30 caratteri di controllo 120 caratteri k= log =7

7 Alcune unità di misura bit cifra binaria, solo due stati Byte 8 bit KiloByte = 2 10 byte = 1024 byte 10 3 byte MegaByte = 2 10 KiloByte 10 6 byte GigaByte = 2 10 MegaByte 10 9 byte TeraByte = 2 10 GigaByte byte PetaByte = ExaByte =

8 Codifica di Interi

9 Sistemi di numerazione posizionali Cosa intendiamo quando scriviamo (p.es.)?? Questo si ottiene come: Due + dieci + settecento+ seimila+ + unmilione Ogni cifra è moltiplicata per un peso. A partire da destra i pesi sono 1, 10, 100, 1000, , ovvero 10 0, 10 1, 10 2, 10 3,., 10 6 Il totale si ottiene sommando il valore di ciascuna cifra moltiplicata per il peso corrispondente alla sua posizione In un sistema di numerazione posizionale: ogni cifra della rappresentazione di un numero assume un peso in base alla posizione che essa occupa nella rappresentazione, tale peso è una potenza della base

10 Sistemi di numerazione posizionali Elementi di un sistema di numerazione posizionale La base b, un numero naturale (p.es. 10) L insieme dei numeri di cifre D=(0,1,, b-1) Le regole di codifica per integrare stringhe di cifre Le operazioni (+, -, *,/) Un numero intero rappresentato in base b con n cifre è una sequenza ordinata di cifre: (C n-1, C n-2. C 1, C 0 ) b A ciascuna cifra è associata un peso. Da destra a sinistra i pesi sono b 0, b 1, b 2,., b n-1

11 Forma polinomiale (C n-1 C n-2. C 1, C 0 ) b =C 0 xb 0 +C 1 xb 1 +C 2 xb 2 + +C n-1 xb n-1 In modo analogo possiamo scrivere numeri frazionari: (C -1 C -2. C -m ) b =C -m xb -m + +C -2 xb -2 + C -1 xb -1 Ad esempio:.532 = 2x x x 10-1 Infine abbiamo numeri misti con una parte intera e una parte frazionaria: (C n-1. C 0.C -1. C -m ) b =C -m xb -m + +C 0 +C -1 xb -1 + C 0 xb 0 + C 1 xb 1 + +C n-1 xb n-1

12 Base 2 In questo caso D={0,1} Bit: binary digit (cifra binaria) Esempi di conversione binario => decimale: (10100) 2 =1x2 4 +0x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = (20) 10 (1011) 2 =1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = (11) 10 ( ) 2 = = =(197) 10

13 Conversione decimale => binario Problema formulabile come segue: dato un intero decimale d, determinare la sequenza di bit C n-1 C n-2 C 1 C 0 tale che d= C 0 x2 0 +C 1 x2 1 +C 2 x C n-1 x2 n-1 Mettiamo in evidenza il 2: d = 2(C 1 x2 0 +C 2 x C n-1 x2 n-2 )+ C 0 Applichiamo il teorema fondamentale dei numeri naturali (unicità del quoziente e del resto) Esistono e sono unici q ed r tali che d=2q+r ed r<2, dove q=[d/2] (quoziente), r= d mod 2 resto Da cui: C 0 = resto della divisione di d per 2 cioè C 0 =d mod 2 q = C 1 x2 0 +C 2 x2 1 +C 3 x C n-1 x2 n-2 cioè: q = [d/2]

14 Conversione decimale => binario Se q 0 (ovvero d>1) possiamo ripetere la procedura: q=2q +r q = C 1 x2 0 +C 2 x2 1 +C 3 x C n-1 x 2 n-2 = C 1 +2(C 2 x C n-1 x2 n-3 ) Da cui: C 1 = r = q mod 2 q = C 2 x C n-1 x2 n-3 =[q/2] Se q 0 si ripete ancora: q =2q +r da cui C 2 =q mod 2 q =[q /2]

15 Esempio Convertire in binario il numero decimale (54) mod 2 = 0 = C 0 (least significant bit), 54/2 = mod 2 = 1 = C 1 27/2 = mod 2 = 1 = C 2 13/2 = 6 6 mod 2 = 0 = C 3 6/2 = 3 3 mod 2 = 1 = C 4 3/2 = 1 1 mod 2 = 1 = C 5 (most significant bit), 1/2 = 0 Quindi (54) 10 = (110110) 2

16 Esercizio Calcolare la rappresentazione in base due dei numeri: 18, 137, 75

17 Sistema ottale D =[0, 1, 2, 3 4, 5,6, 7] (453) 8 = 4 x x x 8 0 = (299) 10 Decimale-ottale: Divisione successive Esempio: (678) mod 8 = 6 (q=84) C 0 =6 84 mod 8 = 4 (q=10) C 1 =4 10 mod 8 = 2 (q=1) C 2 =2 1 mod 8 = 1 (q=0) C 3 =1 Quindi (678) 10 =(1246) 8

18 Conversione binario ottale Ciascuna cifra ottale corrisponde ad una tripletta di bit: 000=>0 001=>1 010=>2 011=>3 100=>4 101=>5 110=>6 111=>7 La conversione è quindi immediata Esempio: (25) 8 = (010101) 2 Esempio: ( ) 2 = (3453) 8

19 Sistema esadecimale D=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F] Nota: (A) 16 =(10) 10 (B) 16 =(11) 10 (C) 16 =(12) 10 (D) 16 =(13) 10 (E) 16 =(14) 10 (F) 16 =(15) 10 Le conversioni si effettuano allo stesso modo (forma polinomiale per passare a decimale, divisioni successive per passare a esadeciamle)

20 Sistema esadecimale In questo caso ciascuna cifra esadecimale può essere rappresentata da 4 bits 0000 => =>1 0010=>2 0011=> => =>5 0110=>6 0111=> => =>9 1010=>a 1011=>B 1100 =>C 1101 =>D 1110=>E 1111=>F Come per l ottale, le conversioni esadecimale binario sono banali: ( ) 2 = (2D9) 16 (3FA4) 16 = ( ) 2

21 Forma complemento Dato un intero N in base b e k cifre, il complemento a b di N, scritto C b (N) è il numero in base b tale che N+C b (N) = b k Per b=2, C 2 (N)=2 k -N Esempi: b=10, k=4, N=2553, C 10 (2553)= = 7447 b=10, k=3, N=945, C 10 (945)= = 55 b=2, k=5, N=(10100) 2, C 2 (10100)=(100000) 2 -(10110) 2 = (10100) 2 b=2, k=5, N=(01101) 2, C 2 (01101)=(100000) 2 -(01101) 2 = (10011) 2 b=2, k=6, N=(101100) 2, C 2 (101100)=(010100) 2

22 Regola pratica per il caso b=2 C 2 (N) = (2 k -1) N+1 Nel caso binario 2 k -1= (k volte) Sottrarre (2 k -1) N significa negare (invertire 0->1 ed 1->0) tutti i bit di N quindi si somma 1 Esempio: (01101) 2 Primo passo: si negano i bit, ottenendo Secondo passo: si somma 1, ottenendo 10011

23 Sottrazione con la forma complemento Vogliamo calcolare N-M: Si rappresenta N e M con lo stesso numero k di cifre (eventualmente aggiungendo zeri in sinistra) Si calcola il complemento C 2 (M) Si somma N+C 2 (M), questo è uguale a N+2 k -M Si scarta la cifra più significativa del risultato (cioè2 k ) Esempio : ( ) 2 ( ) 2 (204) 10 -(194) 10 C 2 ( )=( ) 2 +(1) 2 =( ) 2 ( ) 2 +( ) 2 =( ) 2 Risultato = ( ) = =

24 Rappresentazione di interi Senza segno: si usano k bit per la sequenza di k cifre il range di valori rappresentabili è [0, 2 k -1] Come possiamo rappresentare numeri negativi? Modulo e segno: si destina un bit al segno (p.es. il MSB) Esempio con 8 bit: (+54) 10 =( ) 2 (-54) 10 =( ) 2 Posso rappresentare i numeri fra -2 k-1-1 e 2 k-1-1 Problema: dato lo zero avrebbe due rappresentazioni diverse: ( ) 2 e ( ) 2 Inoltre non si trarrebbe vantaggio dalla possibilità di sottrarre e sommare con lo stesso circuito

25 K= >

26 Rappresentazione di interi Soluzione: si usano k bit e si rappresentano i numeri negativi in complemento a 2 (in questo modo il bit più significativo rappresenta il segno) Il range è [-2 k-1, 2 k-1-1] Esempio (8bit):

27 Soluzione: si usano k bit e si rappresentano i numeri negativi in complemento a 2 K= nego i bit

28 Diverse codifiche/interpretazioni C2 MS Nat Codice C2 MS Nat Codice

29 Overflow Esempio: 71 e 60 sono due interi entrambi rappresentabili su 8 bit in complemento a 2 La somma 71+60=131 non è rappresentabile Se calcoliamo la somma binaria otteniamo: = ( ) 2 =(-128+3) 10 =-125

30 Rappresentazione numeri reali Virgola fissa: si stabilisce un numero di bit K 1 da assegnare alla parte intera ed un numero di bit K 2 da assegnare alla parte frazionaria Per esempio si destinano 32 bit:16 alla parte intera e 16 alla parte frazionaria Adatta solo a casi particolari in cui l intervallo di valori da rappresentare è noto a priori Inadatta nella maggior parte delle applicazioni scientifiche o finanziarie

31 Rappresentazione floating point Si parte dalla rappresentazione scientifica in cui un numero è il prodotto di 2 parti: una parte frazionaria ed un fattore di scala Esempio: il numero può essere rappresentato equivalentemente come: x x x x10 4 etc rappresentazione normalizzata: la cifra più a sinistra e immediatamente preceduta dal punto decimale deve essere diversa da zero

32 Rappresentazione in floating point Nel caso mantissa ed esponente sono rappresentabili in binario Esempi: Numero Rappres. Mantissa Esponente normalizzata ( ) x ( ) x ( ) x

33 Codifica floating point La caratteristica (o esponente) corrisponde al fattore di scala della rappresentazione scientifica La mantissa corrisponde alla parte frazionaria Il segno viene rappresentato con un bit a parte Standard IEEE: Short float: 8 bit di esponente, 23 di mantissa (32bit) Long float: 16 bit di esponente, 47 di mantissa (64 bit)

34 Codifica dei caratteri Repertorio. Insieme dei caratteri considerati, definito mediante i nomi dei caratteri e magari una loro rappresentazione visiva Numero di codice: tabella in cui ciascun carattere del repertorio è messo in corrispondenza 1-a-1 con un insieme di numeri naturali Codifica: un metodo per associare a ciascun numero di codice una sequenza di ottetti (gruppi da otto bits) che poi sono utilizzabili per la trasmissione o la memorizzazione elettronica Nel caso più semplice ogni carattere ha un numero tra 0 e 127 e la codifica è semplicemente la codifica binaria del numero in 7 bit

35 Codifica ASCII American Standard Code for Information Interchange Serve per rappresentare caratteri (sia visibili che alcuni caratteri di controllo) 7 bits per carattere, dunque si possono rappresentare 2 7 = 128 caratteri diversi I codici da 0 a 1F sono usati per i caratteri di controllo I codici da 20 a 7E sono usati per caratteri stampabili (e segni di interpunzione) Ordine alfabetico: cifre 0-9 prima dei caratteri alfabetici, maiuscole prima delle minuscole (si rifletterà nell ordinamento delle stringhe)

36 Tabella de codici ASCII

37 Alcuni caratteri di controllo 04 (Crtl-D): End-of-terminal 07 (Crtl-G): Bell 08 (Crtl-H): Backspace 0A (Crtl-J): New line 0C (Crtl-L): New page 0D (Crtl-M): Carriage return 1B tasto Espace

38 Vantaggi e limitazione del codice ASCII ASCII è un codice standard e (ad eccezione di alcune variati nazionali pressoché in disuso) molto sicuro; purtroppo: I caratteri internazionali di numerose lingue europee non sono contemplati Per non parlare delle lingue asiatiche per le quali il numero di simboli è elevatissimo La standardizzazione è importante: nella trasmissione e memorizzazione elettronica i caratteri sono rappresentati da ottetti di bit ed è importante che il trasmettitore e il ricevitore adottino le stesse convenzioni!

39 UNICODE La versione 3.0 di UNICODE (Febbraio 2000) definisce 49,194 caratteri Il vantaggio di UNICODE è di definire un insieme di caratteri adatti a trattare tutti i linguaggi Mentre con altri standard lo stesso carattere può avere codifiche diverse (a seconda dell alfabeto usato), in Unicode ogni carattere ha una codifica unica Ha grande diffusione industriale (Apple, HP, IBM, Microsoft, Oracle, Sun, Sybase, etc ) Supportato da vari SO e internet browsers più recenti

40 UNICODE Il codice usa 16 bit (fino a 64K caratteri)