Lavoro ed energia. Lavoro di una forza Teorema dell energia cinetica Forze conservative Conservazione dell energia

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1 Lavoro ed energia Lavoro di una forza Teorema dell energia cinetica Forze conservative Conservazione dell energia

2 Lavoro di una forza Consideriamo una forza F applicata ad un punto materiale P che si sposti di una quantità s lungo una traiettoria rettilinea. Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto scalare: L = F s=f s cos θ = F s s F P θ s

3 L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0 Casi particolari L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s È la componente della forza lungo lo spostamento l unica a compiere lavoro!

4 Il lavoro può essere positivo (la componente della forza lungo lo spostamento ha lo stesso verso del primo) o negativo ( la componente della forza lungo lo spostamento ha verso opposto al primo) In generale

5 Lavoro per un percorso generico Si scompone il lavoro in lavori infinitesimali lungo il percorso, e il lavoro totale è dato dalla somma di questi contributi L = L 1 +L 2 +L 3 + = Σ i L i

6 Unità di misura del lavoro Nel SI il lavoro si misura in Joule: L = F Δs 1 J = 1 N m

7 Concetto di energia Non è semplice definire il concetto di energia, ma in generale si intende la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro. L energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l energia che un corpo possiede per il fatto che si muove. Trattandosi di una grandezza omogenea al lavoro, si misura in J nel SI.

8 Teorema dell energia cinetica Data una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare: K = ½ mv 2 Secondo il teorema dell energia cinetica o delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove (di moto accelerato dato che agisce una forza ) è uguale alla variazione di energia cinetica: L = ΔK = K f - K i = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 = ½ m(v f 2 - v i2 )

9 Teorema dell energia cinetica: derivazione Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo δt, in cui il punto materiale percorre uno spazio anch esso infinitesimo δs. In questo intervallo il moto sarà uniformemente accelerato, per cui la velocità media sarà data dalla media aritmetica delle velocità iniziale e finale. L = F Δs = ma v m Δt = m(v f -v i /Δt) (v f +v i /2)Δt = = ½ m(v f -v i ) (v f +v i ) = = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 = K f K i = ΔK Diretta conseguenza della 2 a legge della dinamica: F=ma

10 Seconda derivazione. Moto uniformemente accelerato 1) v=v 0 +a(t-t 0 ) t-t 0 = v-v 0 /a 2) s=s 0 +v 0 (t-t 0 )+½a(t-t 0 ) 2 s=s 0 + v 0 (v - v 0 ) /a + ½ (v - v 0 ) 2 / a s=s 0 + (2 v 0 v 2 v v 2 2 v 0 v + v 02 )/2 a s s 0 = (v 2 v 02 )/2a a(s s 0 )=1/2(v 2 v 02 )

11 Lavoro di una forza variabile Teorema dell energia cinetica derivato e valido per accelerazione costante. F=ma Anche la forza è costante. Come si calcola il lavoro fatto da una forza variabile? Vale il teorema dell energia cinetica?

12 Lavoro di una forza variabile Una forza variabile nel piano F-x descrive un area che può essere approssimata come somma di rettangoli di forza costante. La sommatoria Σ di questi triangoli, quando la base Δx tende a zero, si chiama integrale e si indica con Il teorema dell energia cinetica è valido anche nel caso di forze variabili

13 Forze conservative Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B. Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita (si conserva la differenza di energia, e quindi il lavoro) Forze non conservative Forze conservative

14 Forze conservative: forza peso

15 Esempio/problema Calcolare il lavoro fatto dallo scalatore contro la forza gravitazionale per spostare un peso di massa m=15 Kg ad una altezza h di 10 m. La pendenza della salita è γ= π/2 - θ = 30

16 Esempio/problema Quando si trasporta qualcosa ad un altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello! θ 1 =π/3 θ 2 =π/6 m=15 Kg h=10 m θ 1 =π/3 d 1 =20 m L1=? θ 2 =π/6 d 2 =11.55 m L2=?

17 Energia potenziale Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione, l energia potenziale U, tale che: L = U i - U f = -ΔU (teorema dell energia potenziale) L energia potenziale o posizionale di un corpo rappresenta l energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l azione di una forza di tipo conservativo. Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).

18 Conservazione dell energia meccanica Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative. Per il teorema dell energia cinetica: L = ΔK Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0 Se indichiamo con E l energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0 Principio di conservazione dell energia (meccanica): L energia si può trasformare da una forma all altra, ma l energia totale di un sistema si conserva Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l energia non viene conservata Generalizzabile a tutte le forme di energia!

19 Energia potenziale gravitazionale La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a: U = Ph = mgh Energia posseduta da un corpo ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv 2 + m g h = costante

20 Energia potenziale gravitazionale

21 h=70 m m=1 kg a=g=9.8 m/s 2 v 0 = 0 m/s v finale =? L=? Esercizio s(t)=1/2 a t 2 s(t finale )=1/2 g t 2 finale = h=70 m 2h 140 t finale = s = s = 3. 78s g 9.8 v = a t = m/s = m/s K = 1/2 m v 2 = Kg m 2 /s 2 = 686 J Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U = mgh = 1Kg 9.8 m/s 2 70 m = 686 J

22 Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola?

23 Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra U=mgh=70Kg 9.8m/s 2 6m=4116J Applicando il principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v 2 => v = m / s =10.8m / s = 39km / h Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola? La stessa! mgh 2 v = = 2gh m

24 Energia potenziale elastica Per una forza di natura elastica esiste una proporzionalità diretta fra deformazione e forza deformante: F = -k x (legge di Hooke). La forza elastica è una forza conservativa a cui è associata l energia potenziale U = ½ k x 2.

25 Potenza La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E definita come il rapporto fra il lavoro compiuto e l intervallo di tempo impiegato: P = ΔL/Δt Potenza istantanea P = dl/dt = dk/dt = mv dv/dt = ma v = F v Nel SI si misura in Watt (simbolo W): 1 W = 1 J /s. Il chilowattora (kwh) è un unità di misura di energia: 1 kwh = 10 3 W s = J

26 Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato?

27 Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? L=mgh=60 Kg 9.8 m/s2 4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo 1 cavallo- vapore=mgh/s= Js=735 W In Inghilterra 746 W!

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