Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni.

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1 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Università di Pisa. Primo Compitino di Analisi Matematica I. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la successione a k k N definita dalla relazione di ricorrenza { a = 3 a k+ = a k + π sinπa k. i. Si provi che la successione a k è convergente e se ne calcoli il limite. ii. Si provi che la serie k= sinπa k è convergente e se ne calcoli la somma. Soluzione. i La funzione f : R R definita da fx = x + π sinπx è crescente, perché per ogni x y si ha siny sinx y x e quindi fy fx = y x + siny sinx. Inoltre, poiché 25 < 3 < 36 si ha 5 < 3 < 6 e quindi a a = π sinπ 3. Come è noto dalla teoria, ciò implica che la successione a k è decrescente e converge alla più grande soluzione x dell equazione fx = x che sia minore di a. In questo caso l equazione si scrive sinπx =, le cui soluzioni sono esattamente gli interi. Concludiamo che nel nostro caso lim k a k = 5. ii Dalla definizione di a k si ha sinπa k = πa k+ a k e sommando per k fra e n si ottiene: n n sinπa k = π a k+ a k = πa n+ a. k= k= Segue quindi che la serie è convergente e sinπa k = π5 3. k= Analogamente per altri valori di a, e per la funzione fx = x sinx.

2 2 Esercizio 2. Siano b k numeri reali non negativi, per k N. i. Si provi che per ogni n N si ha n n n + b k + b k exp b k. ii. Si provi che b k < + se e solo se + b k < +. iii. Si provi la disuguaglianza n k logn +. Soluzione. i La prima disuguaglianza si prova per induzione su n: infatti essa è una uguaglianza se n = base dell induzione ; inoltre se vale per il numero n, moltiplicando per + b n+ si trova passo induttivo n+ n + b k = + b k + b n+ n n+ + b k + bn+ + b k. La seconda disuguaglianza è equivalente, prendendo il logaritmo, a: n n n+ log + b k = log + b k che segue immediatamente dalla nota disuguaglianza log+x x. Oppure si può anche usare la disuguaglianza delle medie: [ n ] /n + b k n n + b k = + n da cui, ricordando che vale + x/n n expx per ogni x, n n + b k + b n n k exp b k. n ii È conseguenza immediata di i. iii Prendendo b k = /k, e osservando che n + n k + = = n +, k k da i segue subito logn + n k. b k n b k

3 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del Soluzioni. Esercizio. Si consideri la serie numerica n= a n di coefficiente a n := n a t b e nct. Trovare un numero positivo C tale che C n= a n 2C. NB: nelle diverse versioni dell esercizio nel testo d esame, b e a b + c = 3. Soluzione. Rendiamo più esplicita la dipendenza da n nell integrale con la sostituzione n c t = x, t b = n bc x b e = n c dx : Quindi a n := n a t b e nct = n a b+c x b e x dx = n 3 x b e x dx. a n = n= x b e x dx n 3, e si può stimare separatamente l integrale euleriano e la serie armonica generalizzata. Per stimare l integrale osserviamo che, per ogni esponente b la funzione x b è concava sull intervallo [, +. Quindi, per ogni x > vale minx, x b + bx. Integrando minx, e x dx x b e x dx + bx be x dx. Gli integrali ai lati della disuguaglianza si calcolano facilmente, e si trova per il primo minx, e x dx = xe x dx + e per l altro bx + b e x dx = b n= e x dx = [ x + e x] + [ e x] + = e x e x dx + b e x dx =. In conclusione /e x b e x dx, da cui, ritornando ad a n e sommando n 3 e n= a n n= n 3. Dalle stime col test integrale, n=3 n 3 x 3 dx = /8, da cui + /8 2 n= n 3 + /8 + /8 e in conclusione 9 8 e n= a n 5 4, corrispondente per esempio a C = 7/. NB: La serie n= a n con b = /2 e b = /3 valeva, , rispettivamente, n=

4 2 Esercizio 2. Si consideri la funzione fx := x + u 2 2 u 2 log du 2 + u Calcolare la derivata sesta di fx nel punto x =. Soluzione. Poiché la derivata prima di f è f x = + x 2 2 x 2 log 2 + x si tratta di calcolare la derivata quinta di f x nel punto x =. Per la formula di Taylor, essa è 5! = 2 volte il coefficiente di x 5 nello sviluppo polinomiale di f x in x = all ordine 5. Si ha da noti sviluppi in x = + x 2 2 = + 2 x2 8 x4 + ox 5 e 2 x log = log x log + x = x 2 + x x3 8 x5 + ox 5 Da qui si trova f x = x x x5 + ox 5 e il valore della derivata sesta di f in, f 6 = f 5 = 7/2. Varie espressioni per di f x e di f 6 nelle diverse versioni del tema d esame: + x x 3 log 2 x + x 2 2 x 3 log 2 + x x 2 2 x 3 log 2 + x x x 3 log 2 x + x x 2 log 2 x + x 2 2 x 2 log 2 + x x 2 2 x 2 log 2 + x x x 2 log 2 x = x x3 7 x 5 2 5! + ox5 = x + 4 x3 49 x 5 6 5! + ox5 = x + 4 x3 + 9 x 5 6 5! + ox5 = x x x 5 2 5! + ox5 = x x3 7 x 5 2 5! + ox5 = x x3 83 x 5 2 5! + ox5 = x x x 5 2 5! + ox5 = x x3 + 3 x 5 2 5! + ox5

5 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del Soluzioni. Esercizio. Si consideri l integrale improprio x 2 x + + x 7 /3 esin x cos x dx Converge questo semplicemente? Converge assolutamente? Soluzione. Sia f la funzione di variabile x fx := x2 x + + x 7 /3. Poiché fx = x2 +o x 7/3 +o = x /3 + o questa funzione è infinitesima ed è positiva in un intorno + si noti che ciò non garantisce ancora che fx sia decrescente in un intorno +. La derivata di f è continua, e si annulla esattamente negli zeri di un polinomio, dunque al più in un insieme finito di punti precisamente: se P e Q sono rispettivamente i polinomi che appaiono a numeratore e denominatore in f := P Q /3, sia ha f = P Q /3 = P Q P/3 Q 4/3 e dunque f si annulla esattamente dove si annulla il polinomio P Q P/3. Siccome f si annulla in un insieme finito di punti, per il teorema degli zeri ha segno costante per ogni x abbastanza grande. Quindi la f è monotona in un intorno di + ; precisamente, decrescente infatti si è già stabilito che f è infinitesima e positiva all infinito. La funzione e sin x cos x è la derivata della funzione periodica gx := e sin x. In particolare, e sin x cos x ha integrale nullo sul periodo. Si può applicare il noto principio di convergenza per integrali oscillanti e si conclude che l integrale proposto è convergente. Oppure: Integrando per parti: T x 2 x + T T + x 7 /3 esin x cos x dx = fxgx dx = fx gx dx+ft gt fg. Si ha ft gt = o per T + perchè f è infinitesima e g è periodica, quindi limitata da una qualche costante M. Inoltre l integrale T fxg x dx = T f xgx dx è assolutamente convergente, in quanto, essendo f per x grandi, vale f xgx = f x gx Mf x, e quindi f xgx dx M T Ciò prova la convergenza semplice dell integrale. f xdx = M ft.

6 2 Infine, l integrale proposto non è assolutamente convergente. Infatti dalle stime per f segue che per un x > vale per esempio x 2 x + + x 7 /3 esin x cos x cos x, x per ogni x > x, pertanto la non assoluta convergenza segue per confronto dalla non assoluta convergenza di cos x dx, la quale a sua volta segue dal fatto che ogni intervallo x [n π, nπ] dà un contributo all integrale per cui nπ n π cos x dx x n π cos x xdx = 2 n cos x dx diverge per confronto con la serie armonica. x Esercizio 2. Calcolare l integrale improprio nella variante della versione del testo t 2t / t + t /3. t + 3t 2/3 + 3t / t + 3t 2/3 + t / t + 2t 2/3 + t / Soluzione. Si tratta di eseguire le operazioni richieste dalla procedura di integrazione. Cambio di variabile per integrale definito: t := x 3, = 3x 2, x. t 2t /3 + 4 = 3x 2 x 3 2x + 4 dx Fattorizzazione del polinomio a denominatore: Il polinomio x 3 2x+4 ha la radice x = 2 e quindi è divisibile per x+2. Si ottiene infatti x 3 2x+4 = x+2x 2 2x+2 medskip Decomposizione in frazioni reali semplici: Si determinano le costanti a, b, c tali che 3x 2 x 3 2x + 4 = identificando i coefficienti dei polinomi a x bx + c x 2 2x + 2 3x 2 = ax 2 2x bx + cx + 2.

7 Il sistema lineare corrispondente è a + b = 3, 2a + 2b + c =, 2a + 2c =, da cui a = 6/5, b = 9/5, c = 6/5. Il valore di a si può anche trovare subito ponendo x = 2, da cui 2 = a. Preparazione per l integrazione con funzioni elementari: La seconda frazione si decompone ulteriormente in forma di derivata logaritmica P /P : 3x 2 x 3 2x + 4 = 6 5 Si ha perciò x x 2 5 x 2 2x + 2 = 6 5 = 6 5 x x x 2 2x + 2 x 2 2x x 2 x 2 2x x 2 2x + 2 = x x 2 x 3 2x + 4 dx = 6 dx 5 x + 2 dx + 9 x 2 2x + 2 x 2 2x + 2 dx + 3 dx 5 x 2 + = = 6 [ ] logx [ ] logx 2 2x dx 3 [ ] arctanx = 5 = 6 5 log 3 log log arctan. 5 = 6 2 3π log 3 log 2 + =, Per le altre varianti, analogamente: 3 t + t /3 = 3x 2 x 2x 2 + 2x + 5 dx = = π log 2 log arctan =, t + 3t 2/3 + 3t /3 + 2 = 3x 2 x + 2x 2 + x + dx = = 7 2 log 3 4 log 2 π 3 =, t + 3t 2/3 + t /3 + 3 = = 27 9π log 3 + log x 2 x + 3x 2 + dx = =, t + 2t 2/3 + t /3 + 2 = = π log 3 log 2 3x 2 x + 2x 2 + dx = =,

8 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del Soluzioni. Esercizio. Si studi la funzione f :], + [ R così definita: fx := 2x calcolando: i i limiti di fx per x e per x, ii gli eventuali punti di massimo e minimo, iii gli intervalli di monotonia. x + t log t, Soluzione. Dal calcolo delle derivate t log t = + log t e t log t = /t si ha subito che la quantità t log t al variare di t > è infinitesima per t, è convessa, raggiunge il valore minimo /e nel punto t = e. Perciò l integrando /+t log t si estende a una funzione continua su tutto l intervallo [, + [, con valori compresi fra e / e. Si ha quindi subito fx = o per x. Inoltre per e x t si ha / + t log t / + x log x e quindi fx x/ + x log x / log x, così fx = o anche per x +. Essendo fx > su tutto il dominio e inf x> fx =, f non ha minimo nel dominio. Dal teorema fondamentale del calcolo integrale, scrivendo fx = 2x segue che la f è derivabile e f x := x +t log t 2 + 2x log 2x + x log x = log 4x + 2x log 2x + x log x. +t log t Questo permette di dire subito che la f è crescente nell intervallo ], / log 4], ha un massimo assoluto per x = / log 4, è decrescente nell intervallo [/ log 4, + [.

9 2 Esercizio 2. Si determini il minimo k Z per cui esista e sia finito il limite e si calcoli questo limite. lim x x k tanx cos x tan x costan x, Soluzione. L espressione a denominatore ammette uno sviluppo della forma px k + ox k per qualche intero positivo k e qualche reale non nullo p. La domanda si può riformulare equivalentemente chiedendo il valore di questi k e p il limite corrispondente valendo quindi /p. Per semplificare i calcoli conviene svolgere le operazioni su espressioni letterali. L espressione a denominatore è: ff x F fx, ottenuta componendo le due funzioni: fx := tan x e F x := x cos x. Esse sono entrambe dispari, con f = F = e ammettono perciò sviluppi in x = della forma: fx := x + ax 3 + bx 5 + cx 7 + ox 7 F x := x + Ax 3 + Bx 5 + Cx 7 + ox 7. Lo sviluppo corrispondente per ff x F fx, tenendo conto delle semplificazioni dovute alle simmetrie, è x + Ax 3 + Bx 5 + Cx 7 + ax 3 + Ax 2 + Bx bx 5 + Ax cx 7 x + ax 3 + bx 5 + cx 7 Ax 3 + ax 2 + bx 4 3 Bx 5 + ax 2 5 Cx 7 + ox 7 = 3A 2 a 3Aa 2 + 2Ab 2Bax 7 + ox 7. Dai noti sviluppi di tan x e cos x si ha: a = 3 b = 2 5 A = 2 B = 24 da cui tanx cos x tan x costan x = 23 9 x7 + ox 7 e il limite richiesto 9/23. Si noti che lo sviluppo della tangente richiesto si può ottenere subito identificando i coefficienti a, b negli sviluppi a destra e sinistra a nella identità f = + f 2 verifica dalla funzione tangente: + 3ax 2 + 5bx 4 = + x + ax ox 4 ; similmente per altri coefficienti per esempio, risulta C = 7/35.

10 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del Soluzioni. Esercizio. Dire se è convergente la serie + e 7 n, n= e, in caso affermativo, calcolare la parte intera del suo valore. Soluzione. La funzione x e x/7 è positiva, continua e decrescente sull intervallo [, + [. Perciò valgono le disuguaglianze di confronto con l integrale improprio: e x/7 dx < + n= e n/7 < + e x/7 dx. L integrale si calcola con il cambio di variabile x = t 7, dx = 7t 6, che lo riconduce al noto integrale euleriano: e x/7 dx = 7 e t t 6 = 7! = 54. Si conclude che la somma della serie è compresa strettamente fra 54 e 54 ed ha quindi parte intera 54. Osservazione. Si noti che né criterio del rapporto né il criterio della radice risolvono il problema della convergenza per la serie di termine a n := e 7 n, in quanto sia il rapporto a n+ /a n = e n+/7 +n /7, sia la radice n-sima, n a n = e n 6/7, convergono a. Funziona il confronto asintotico con la serie di termine generale /n 2, osservando che e 7 n = o/n 2 ; ciò tuttavia non risponde al problema della stima della somma. Esercizio 2. Sia x n n N la successione definita dalla relazione di ricorrenza { x = x n+ = + x n. i Si provi che la successione x n è convergente e se ne calcoli il limite. ii Si provi che la successione è convergente e se ne calcoli il limite. y n := x n+2 x n+ x n+ x n

11 2 Soluzione. i La funzione fx = + x è continua e crescente dall intervallo [, + [ in sé, e ha come unico punto fisso ξ = 3/2 + 5/2. Per quanto è noto dalla teoria, la successione x n è crescente e converge a ξ. ii. Per il teorema del valor medio y n = x n+2 x n+ x n+ x n = fx n+ fx n x n+ x n = f ξ n per qualche ξ n tale che x n < ξ n < x n+. Per il teorema dei due carabinieri anche ξ n converge a ξ ed essendo f x = x /2 /2 continua in ξ, la successione y n = f ξ n converge a f ξ = 5+ = 5. 4 Variante. Dall identità algebrica si ha subito y n := x n+2 x n+ x n+ x n = xn+ x n x n+ x n = lim y n = n + 2 ξ =. 5 + xn+ + x n Esercizio 3. Si determini il massimo a N per cui si abbia per almeno un b R. sin x 5 e x2 bx 5 lim < + x x a Soluzione. Poiché sin x = x + ox per x, vale lo sviluppo sin x 5 e x2 = x 5 + ox 5, e la domanda equivale a chiedere quale sia il grado del successivo termine non nullo nello sviluppo. Dagli sviluppi della funzione seno ed esponenziale si trova in effetti sin x 5 e x2 bx 5 = bx 5 7 x7 + ox 7, così la risposta alla domanda iniziale è a = 7, corrispondente al valore b =.

12 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del Soluzioni. Esercizio. Sia λ R un parametro reale e sia x n n N la successione definita dalla relazione di ricorrenza { x = x n+ = λ arctanx n. i Per quali λ la successione x n è decrescente? ii Per quali λ la successione x n è convergente? iii Per quali λ la successione x n è infinitesima? iv Per quali λ la serie n= x n converge semplicemente? v Per quali λ la serie n= x n converge assolutamente? Soluzione. Osserviamo prima di tutto che, essendo la funzione arcotangente una funzione dispari, la successione y n := n x n verifica le relazioni y = e y n+ = n+ x n+ = λ arctan n x n = λ arctany n. In altre parole, la successione generata dalla ricorrenza con il parametro λ è la successione relativa al parametro λ moltiplicata per n. È perciò sufficiente studiare la ricorrenza nel caso λ. Nel caso λ la funzione fx := λ arctan x è crescente e continua dall intervallo [, + [ in sé. In questa situazione, come è noto dalla teoria, la successione x n generata è monotona crescente rispett. decrescente e converge al primo punto fisso di f a destra rispett. a sinistra di x a seconda che x fx, rispett. x fx ; oppure diverge se non esiste tale punto fisso caso che qui non si verificherà mai. Se λ si ha fx arctan x < x per ogni x > e x = è l unico punto fisso di f. Se λ > invece l equazione di punto fisso fx = x deve avere un altra soluzione x = p = pλ > per il teorema degli zeri infatti si ha, dallo sviluppo al primo ordine, fx x = λ x + ox > per x > in un intorno di zero, mentre fx x < per x sufficientemente grande. Poiché la funzione f è concava su [, + [ non può avere altri punti fissi e si ha fx > x in ], p[ e fx < x in ]p, + [. i. Per quanto detto, se λ, la successione x n è decrescente se e solo se f <, mentre se λ < la successione certamente non può essere decrescente si ha x < < x 2. Essendo f = λ arctan = λπ/4 si ha a conti fatti: x n è decrescente se e solo se λ 4 π. ii e iii. Se λ la successione x n converge a zero, perché in tal caso è decrescente e è l unico punto fisso di f a sinistra di x =. Se < λ 4/π, x n è decrescente, ma converge al punto fisso positivo p > di f. Se λ 4/π, x n è crescente e converge al punto

13 2 fisso positivo, ora p. Se λ <, come visto, la successione è della forma x n = n y n, con y n convergente a zero se λ, oppure a un limite non nullo se λ >. In conclusione: la successione x n è convergente se e solo se λ ed è infinitesima se e solo se λ iv e v. Se λ per i precedenti punti i e iii e per l osservazione iniziale, sono soddisfatte le condizioni del criterio di Leibnitz, e la serie n x n converge. Qualunque sia λ, poiché arctan x x si ha subito per induzione x n λ n, cosicché per λ < la serie converge anche assolutamente. D altra parte se λ > la serie non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria x n = o. Rimane il caso λ =. Per induzione proviamo che x n, n. n + Infatti x =, e se per un n vale x n /n +, allora, dalla disuguaglianza arctan x x x 3 /3 valida per ogni x si ha x n+ = arctan x n arctan n + n + 3n + 3 e il passaggio induttivo segue dalla elementare disuguaglianza n + 3n +, n. 3 n + 2 Per confronto con la serie armonica si ha che la serie diverge per λ =, e quindi anche che non converge assolutamente per λ = ±. In conclusione: n x n converge semplicemente se e solo se λ < e converge assolutamente se e solo se < λ <

14 3 Esercizio 2. Si calcoli l integrale definito 3 x arctan 2 x dx Soluzione. Integrando due volte per parti si trova per l integrale indefinito: x arctan 2 x dx = x2 x 2 2 arctan2 x arctan xdx = + x2 = x2 2 arctan2 x arctan xdx + arctan xdx = + x2 = x2 x 2 arctan2 x x arctan x + + x dx + arctan xdx. 2 + x2 Riconoscendo le primitive log + x 2 /2 rispettivamente arctan 2 x/2 per gli ultimi due integrali si trova infine x arctan 2 x dx = x2 2 arctan2 x x arctan x + 2 arctan2 x + 2 log + x2, da cui, ricordando che arctan 3 = π/3, 3 x arctan 2 x dx = 2 9 π2 π 3 + log 2.

15 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del 26/7/26. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la funzione f sull intervallo aperto I := ]π/2, π/2[ definita da: x fx = cos t t. i Provare che f è una funzione pari; ii Calcolare lim x π/2 fx e lim x π/2+ fx; iii Provare che f è una funzione convessa sul suo dominio I. Soluzione. i Osserviamo prima di tutto che l integrando ha limite per t : cos t t = cos t = ot t cos t t + ot = o, t pertanto l integrando è estendibile ad una funzione continua su I, e la fx è ben definita come integrale di Riemann, per ogni x I. Poiché cos t è una funzione pari e /t è dispari, l integrando è dispari e la funzione integrale fx è pari si ricordi che con il cambio di variabile t = s, = ds si trova: x ut = x u sds cosicché se ut è una funzione integrabile dispari la sua funzione integrale è pari. ii Poiché la funzionefx è pari i due limiti sono uguali. Osserviamo poi che per t [, π/2[ vale /t 2/π per cui, confrontando con il noto integrale della funzione / cos t, π/2 lim fx = x π/2 cos t t 2 π/2 π cos t = 2 π/2 π cos t = +. iii Per il teorema fondamentale del calcolo integrale f ha derivata f x = cos x x. Derivando ancora, con semplici disuguaglianze si trova che f è positiva sul dominio, e quindi f è convessa: infatti, come è noto, vale x sin x per x, e perciò si ha anche, per ogni x reale, x sin x sin 2 x, e quindi f x = cos2 x + x sin x cos x x 2 cos 2 x cos2 x + sin 2 x cos x x 2 cos 2 x = cos x x 2 cos 2 x. Variante. Si può osservare che è il rapporto incrementale della funzione convessa cos x x / cos x fra e x, pertanto f x = è una funzione crescente e f è convessa. cos x x

16 2 Esercizio 2. Trovare delle costanti reali a, b, c e λ per cui si abbia, per n + : n k log 2 k = a log 2 n + b log n + cn λ + on λ Soluzione. Poiché le funzioni log x e x sono entrambe positive e crescenti sull intervallo [, [ tale è anche la funzione x log 2 x. Quindi le sue somme inferiore e superiore relative alla suddivisione P := {, 2,..., n} dell intervallo di integrazione [, n] sono rispettivamente e n s = k log 2 k = S = n k log 2 k n log 2 n n k log 2 k = k=2 n k log 2 k. Inoltre, con la sostituzione log x = u, x = e u, dx = e u du si trova per l integrale: = n log n 2 3 3log n/2 x log 2 xdx = e 3u/2 u 2 du = e 3 v v 2 dv = ] v=3log n/2 2 = v= 3 log2 n 8 6 log n + n 3/ x log 2 xdx S si ottiene perciò [ e v v 2 2v + 2 Da queste relazioni e dalle disuguaglianze s n 2 6 log n + n 3/ log2 n log2 n 8 6 log n n 27 k log 2 k n 3/2 + n /2 log 2 n 6 27 e quindi, poiché le due espressioni ai lati delle disuguaglianze differiscono per n /2 log 2 n = on 3/2, si ha anche n 2 k log 2 k = 3 log2 n 8 6 log n + n 3/2 + on 3/

17 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Appello di Analisi Matematica I del 9/9/26. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la funzione della variabile reale x ], [. + x ux := log x λ Dire i per quali valori del parametro reale λ essa è convessa su ], [, rispettivamente ii su ], [. Soluzione. La derivata seconda della funzione ux, scritta nella forma ux = log + x λ log x è u x := + x 2 + λ x 2 perciò per un dato x nel dominio di u si ha u x se e solo se λ x2 + x 2. Quindi u è convessa in un dato intervallo J ], [ se e solo se vale la disuguaglianza precedente per ogni x J, vale a dire x 2 λ sup x J + x 2 si ricordi la definizione di estremo superiore. Per J =], [ l estremo superiore vale e per J =], [ l estremo superiore vale +. La risposta è dunque: i per ogni λ ; ii per nessun λ R. Nel secondo caso si noti anche che, qualunque sia λ, la funzione ux non può essere convessa in ], [ perché lim x ux =. Esercizio 2. Dire se esiste un polinomio px = a + bx + cx 2 + dx 3 tale che px cotπx log x lim x x 3 =. In caso affermativo esibirlo, determinando i coefficienti a, b, c, d. Soluzione. Poiché per x cotπxpx log x x 3 = x px tanπx log x tanπx x 4 = π + o px tanπx log x x 4, il limite considerato è nullo se e solo se log x tanπx = px + ox 4 per x, cioè px è il polinomio di Taylor d ordine 4 della funzione tanπx log x in x =. Dai noti sviluppi in x = si ottiene e quindi px = πx 2 + π 2 x 3 + tanπx = tanπx = πx + π3 3 x 3 + ox 3 log x = x 2 x x 3 + ox 3 tanπx log x = πx 2 + π π 2 x 3 + π 3 + π π3 3 x 4 + ox 4 x 4, da cui, sviluppando, i coefficienti a = 6 π + 3 π3, b = 29 6 π 4 3 π3, c = 9 2 π + 2π3, d = 6 π 4 3 π3. Esercizio 3. Calcolare l integrale improprio x + x 3 dx Soluzione. Con il cambio di variabile x = u 2/3, dx = 2/3u /3 si trova per T + T x + x 3 dx = 2 T 3/2 du 3 + u 2 = 2 π o da cui il valore dell integrale improprio π/3.