Equazioni di secondo grado

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1 Equazioni di secondo grado Un'equazione di secondo grado nell'incognita x è scritta nella forma: ax + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri reali, e a 0 altrimenti l'equazione non sarebbe più di secondo grado). Equazioni pure b = 0) Un'equazione di secondo grado si dice pura se b = 0: ax + c = 0. Un'equazione pura si può sempre ricondurre alla forma x = k, e - se k 0 l'equazione ha due soluzioni opposte; - se k < 0 l'equazione è impossibile. x 9 = 0 Riconduciamo alla forma x = k x + 9 = 0 Riconduciamo alla forma x = k x = 9 x = 9 x = 9 k = 9 > 0 x = 9 k = 9 < 0 9 x 1, = ± = ±3. eq. impossibile Equazioni spurie c = 0) Un'equazione di secondo grado si dice pura se c = 0: ax + bx = 0. Un'equazione spuria ha due soluzioni distinte, di cui una uguale a x 1 = 0. 5x + 3x = 0 x5x + 3) = 0 x 1 = 0 Raccogliamo x Per la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell'equazione si ottengono annullando ciascun fattore. 5x + 3 = 0 5x = 3 x =

2 Equazioni complete a,b,c 0) Un'equazione di secondo grado si dice completa se a, b, c 0: ax + bx + c = 0. Si dice determinante la quantità = b ac. Le soluzioni di un'equazione di secondo grado dipendono dal determinante: - se > 0 l'equazione ha due soluzioni distinte date da x 1, = b ± b ac ; a - se = 0 l'equazione ha due soluzioni coindidenti date da 1 - se < 0 l'equazione è impossibile. x 1, = b a ; x + 3x 5 = 0 Calcoliamo il = 3) 5) = 9 > 0 due soluzioni distinte. x 1, = 3) ± 9 = 3 ± 9 = 3 ± 7 x 1 = 10 = = 5 x = = 1 x 1x + 9 = 0 Calcoliamo il = 1) 9 = 0 = 0 due soluzioni coincidenti. x 1, = 1) = 1 8 = 3 x + x + 3 = 0 Calcoliamo il = 1) 1 3 = 11 < 0 equazione impossibile. eq. impossibile 1 La formula x1, = b si ottiene da quella del caso precedente, ponendo = 0. a

3 Equazioni di secondo grado parametriche k 1) x k + )x + k + 1 = 0 Discussione 1. Se k 1) = 0 k = 1 Discutiamo il caso a = 0 caso in cui l'equazione diventa di primo grado). Sostituiamo il valore di k nell'equazione. L'eq. diventa 6x = 0 x = Se k 1 Se a 0 l'equazione è di secondo grado. Calcoliamone il. = [ k + )] k 1) k + 1) = k + k + ) k 1) = 16k Se > 0 16k + 0 > 0 k > 5 Se > 0 l'equazione ha due soluzioni distinte. x 1, = k + ) ± 16k + 0 k 1) = k + ) ± k + 5) k 1) = k + ) ± k + 5 k 1) = = [k + ) ± k + 5] k 1) = k + ± k + 5. k 1. Se = 0 16k + 0 = 0 k = 5 x 1, = k + ) k 1) = = 5 8 = 3 Se = 0 l'equazione ha due soluzioni coincidenti. Sostituiamo il valore di k nella formula. ) = Se < 0 16k + 0 < 0 k < 5 eq. impossibile. Se < 0 l'equazione è impossibile. Riassunto Se k = 1 x = 1 3. Se k 1 : Se k > 5 Se k = 5 x 1, = k + ± k + 5. k 1 x 1, = Se k < 5 eq. impossibile. 3

4 x k + 1)x + k = 0 Discussione 1. Discutiamo il caso a = 0. Non c'è niente da discutere perchè a = 1: è sempre diverso da 0.. = k + 1) 1 k = k + k + 1 k = k k + 1 = k 1). il dell'equazione è un quadrato perfetto).1 Se > 0 k 1) > 0 k 1 dove nell'ultimo passaggio si è considerato che k 1) è un quadrato, quindi è sempre positivo fuorchè per i k che ne annullano la base, in questo caso k = 1). x 1, = k + 1 ± k 1) = k + 1 ± k 1) Se > 0 l'equazione ha due soluzioni distinte. x 1 = k = = k x = = 1. Se = 0 k 1) = 0 k = 1 dove nell'ultimo passaggio si è considerato che k 1) è un quadrato, quindi è uguale a 0 solo se si annulla la base, in questo caso per k = 1). Se = 0 l'equazione ha due soluzioni coincidenti. Sostituiamo il valore di k nella formula. x 1, = k + 1 = = 1..3 Se < 0 k 1) < 0 impossibile Riassunto dove nell'ultimo passaggio si è considerato che k 1) è un quadrato, quindi non è mai negativo). Se k 1 { x1 = k x = 1 Se k 1 x 1, = 1

5 k x k + 1)x + 1 = 0 Determinare per quali valori di k: 1. l'equazione ha soluzioni reali; Porre 0. da ora in poi, nei punti seguenti, ogni volta che otterremo un valore di k per cui le soluzioni dell'equazione soddisfano ad una certa proprietà richiesta, andrà controllato che quel valore soddis 0, condizione necessaria anchè le soluzioni esistano). l'equazione ha due soluzioni reali distinte; Porre > l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti; Porre = 0.. l'equazione non ha soluzioni reali; Porre < l'equazione ha un'unica soluzione; Porre a = 0. In tal modo l'equazione diventa di primo grado. 6. una soluzione dell'equazione è x 1 ; Sostituire x 1 a x nell'equazione. In tal modo si impone che x 1 sia soluzione. 7. la somma delle soluzioni è n; Porre b a = n. x 1 + x = n b a = n 8. il prodotto delle soluzioni è n; Porre c a = n. x 1 x = n c a = n 9. le soluzioni sono opposte; Porre b a = 0. x 1 = x x 1 + x = 0 b a = le soluzioni sono reciproche; Porre c a = 1. x 1 = 1 x x 1 x = 1 c a = la somma dei reciproci delle soluzioni è n; Porre b c = n. 1 x x = n x 1 + x x 1 x = n b a c a = n b c = n 1. la somma dei quadrati delle soluzioni è n; Porre x 1 + x = n x 1 + x ) x 1 x = n b ) c a a = n 13. la somma dei cubi delle soluzioni è n; Porre b a x x 3 = n x 1 + x ) 3 3x 1 x 3x 1 x = n x 1 + x ) 3 3x 1 x x 1 + x ) = n b ) c a b ) 3 c 3 b ) = n a a a a = n. ) 3 c 3 b ) = n. a a Per determinare quali siano gli eettivi valori delle soluzioni che soddisno la proprietà richiesta, basta sostituire nell'equazione il valore di k trovato, e risolvere l'equazione. 5

6 Ad esempio: 1. Per quali valori di k l'equazione ha soluzioni reali? 0 k 1) k 1 0 k + k + 1 k 0 k 1.. Per quali valori di k l'equazione ha soluzioni reali distinte? > 0 k 1) k 1 > 0 k + k + 1 k > 0 k > Per quali valori di k l'equazione ha soluzioni reali coincidenti? = 0 k 1) k 1 = 0 k + k + 1 k = 0 k = 1.. Per quali valori di k l'equazione non ha soluzioni reali? < 0 k 1) k 1 < 0 k + k + 1 k < 0 k < Per quali valori di k l'equazione ha una sola soluzione reale? a = 0 k = 0 k = Per quali valori di k una soluzione è x 1 = +1? k +1) k + 1)+1) + 1 = 0 kk ) = 0 7. Per quali valori di k la somma delle soluzioni è 3? b a = 3 k 1 k = 3 3k k 1 = 0 8. Per quali valori di k il prodotto delle soluzioni è 1 {? c a = 1 1 k = 1 k1 = non acc.) k = + acc.) 9. Per quali valori di k le soluzioni dell'equazione sono opposte? b a = 0 k 1 k = 0 k = 1 non acc.) 10. Per quali valori di k le soluzioni dell'equazione sono reciproche? { c a = 1 1 k = 1 k1 = 1 non acc.) k = +1 acc.) { k1 = 0 acc.) k = k 1 = 1 3 k = 1 acc.) non acc.) acc.) 11. Per quali valori di k la somma dei reciproci è 5? Determinare le soluzioni in tal caso. b c = 5 k 1 = 5 1 k = acc.) In tal caso l'equazione diventa: x 5x + 1 = 0 che ha soluzioni x 1, = 5) ± 5 1 = 5 ± 3 8 x 1 = 1 = x = 1 6