Lezione 8: Determinante e Inversa

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1 Lezione 8: Determinante e Inversa In questa lezione vogliamo descrivere due concetti fondamentali, il determinante, che è un numero associato ad ogni matrice quadrata, e l inversa di una matrice. L importanza di questi due concetti è sintetizzata nel risultato che riportiamo nell ultima sezione e che contiene tutto ciò che sappiamo sulle applicazioni lineari da R n a R n. 1 Definizione di determinante Le nostre conoscenze di algebra non sono sufficienti a dare una definizione diretta di determinante (che comunque trovate nell appendice alla fine di questa lezione), tuttavia ne daremo una definizione indiretta e poi calcoleremo il determinante in alcuni casi particolari che saranno i piu significativi per gli esercizi. Sia A una matrice quadrata, cioè una matrice n n. Ad essa vogliamo associare un numero reale, detto il determinante di A, che calcoleremo a partire dagli elementi di A con semplici regole. Il determinante contiene molte informazioni sulla matrice A. Vedremo infatti che la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Definizione 1.1. Definiamo determinante di una matrice quadrata A il numero indicato con det(a) con le seguenti proprietà che lo determinano unicamente, (anche se non lo dimostriamo): a) Se B è ottenuta da A scambiando due righe (o colonne) allora: det(a) = det(b) b) Se A ha due righe o due colonne uguali allora det(a) = 0. c) Se una riga (colonna) di A è somma di due elementi in R n allora il determinante di A è la somma dei determinanti delle matrici ottenute da A sostituendo la riga (colonna) in questione con ciascuno dei due addenti. 1

2 d) Se B è ottenuta da A moltiplicando una riga o una colonna per a allora: det(b) = adet(a) e) SeB èottenuta daasommando aduna riga(colonna) di Auna qualunque combinazione lineare delle altre righe (colonne), allora: det(b) = det(a) f) Sia A t la matrice trasposta di A, cioè la matrice in cui le righe sono le colonne di A. det(a t ) = det(a) g) Se A è di forma triangolare (superiore o inferiore): a 11 a det 0 a = a 11 a 22...a nn Grazie a questa definizione-teorema possiamo ridurre una matrice alla forma scala per righe (stando attenti a non dividere mai una riga per una costanteeatener contodegliscambi diriga). Unavoltagiuntiaquesta forma sappiamo che il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale(vedi parte (g) della proposizione precedente). Vediamo un esempio. Esempio 1.2. Calcoliamo il determinante della matrice (questo metodo non è consigliato in generale):

3 Scambiamo la prima riga con la seconda e usiamo la prima riga per eliminare tutti i termini nella prima colonna: Ora scambiamo la seconda con la terza riga: Ora possiamo usare la proprieta (g) che mi dice che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei termini sulla diagonale, dunque: det(a) = 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Si noti che oltre a moltiplicare i 4 termini sulla diagonale abbiamo dovuto moltiplicare per ( 1) tante volte quanti sono stati gli scambi di riga (in questo caso due). 2 Metodi per il calcolo del determinante Per matrici 2 2 e 3 3 esistono formule piu semplici per il calcolo del determinante, che non dimostriamo rimandando chi è interessato all appendice per la definizione alternativa. Matrici 2 2. Sia A una matrice 2 per 2: a11 a A = 12 a 21 a 22 Il suo determinante e : Matrici 3 3. det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 3

4 Sia A una matrice 3 per 3: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Il suo determinante e : det(a) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Un aiuto mnemonico per calcolarlo. Si riscrivano le prime due righe di A di fianco ad A. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Si sommano i prodotti delle diagonali a 11 a 22 a 33, a 12 a 23 a 31, a 13 a 21 a 32 e si sottraggono i prodotti delle diagonali opposte : a 13 a 22 a 31, a 12 a 21 a 33, a 11 a 23 a 32. Esempio: Sia Consideriamo A = quindi det(a) = (0+3+30) = 28. Per matrici piu grandi, ma anche come metodo alternativo per le matrici viste qui sopra, diamo un metodo basato su di una definizione ricorsiva di determinante, alternativa, ma del tutto equivalente, a quella vista nella sezione precedente. Cominciamo con il definire il concetto di minore di una matrice, di per sè importante. Definizione 2.1. Sia A M n,n una matrice quadrata di ordine n (cioè con n righe e n colonne). Indichiamo con A ij la sottomatrice quadrata di A ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna di A. A ij si dice un minore di A di ordine n 1. 4

5 Vediamo degli esempi. Esempio 2.2. Se A = abbiamo A 11 = 6 1 0, A 23 = 3 6 0, A 42 = , Vogliamo ora definire il determinante di una qualsiasi matrice A, procedendo ricorsivamente sull ordine di A. La definizione che diamo è del tutto equivalente a quella vista nella sezione precedente, non lo dimostriamo, ma rimandiamo lo studente interessato ad un qualsiasi libro di algebra lineare. Definizione 2.3. Definiamo ricorsivamente det(a), ove A è una matrice quadrata. Se A ha ordine 1, cioè ha 1 riga e 1 colonna, cioè A = (a 11 ), poniamo det(a) = a 11. Supponiamo ora di saper calcolare il determinante delle matrici di ordine n 1. Sia Γ ij = ( 1) i+j det(a ij ) allora det(a) = a 11 Γ 11 +a 12 Γ a 1n Γ 1n = n a 1k Γ 1k k=0 Questo è il metodo per calcolo del determinante sviluppando secondo la prima riga. Vediamo come si traduce in pratica, per le matrici 2 2 e 3 3 ritroviamo i risultati visti in precedenza. 5

6 Se A = a b è una matrice 2 2 abbiamo c d det(a) = ad bc. 2 3 Ad esempio: det = = 8 3 = 5, 1 4 2k 3 det k 2 = 2k 4 3 k 4 2 = 8k 3k 2 Se a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 è una matrice 3 3 abbiamo: Γ 11 = ( 1) 1+1 a22 a deta 11 = det 23, a 32 a ( 33 ) Γ 12 = ( 1) 1+2 a21 a deta 12 = det 23, a 31 a 33 Γ 13 = ( 1) 1+3 a21 a deta 13 = det 22 a 31 a 32 Quindi det(a) = a 11 Γ 11 +a 12 Γ 12 +a 13 Γ 13 = a22 a a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det 23 a21 a +a 33 a 31 a 13 det 22 = 33 a 31 a 32 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Come infatti abbiamo visto in precedenza. Osservazione 2.4. Si può dimostrare che in generale se si sviluppa il determinante di una matrice A M n,n secondo una qualsiasi riga o colonna si ottiene sempre lo stesso numero, quindi conviene sviluppare secondo la riga o la colonna con il maggior numero di zeri. Lo sviluppo di det(a) secondo la r-esima riga è: det(a) = a r1 Γ r1 +a r2 Γ a rn Γ rn = n k=0 a rkγ rk 6

7 Lo sviluppo di det(a) secondo la s-esima colonna è: det(a) = a 1s Γ 1s +a 1s Γ 2s +...+a ns Γ ns = n k=0 a ksγ ks Verifichiamo con un esempio: Sia A = Lo sviluppo di det(a) secondo la terza riga è:, Ora det(a) = 0Γ 31 3Γ 32 +5Γ 33 +0Γ 34 = 3Γ 32 +5Γ Γ 32 = ( 1) 3+2 det = ( 1) = Γ 33 = ( 1) 3+3 det = +( 3) = quindi det(a) = 3 1+5( 3) = 18. Lo sviluppo di det(a) secondo la seconda colonna è: Ora det(a) = 3Γ 12 +0Γ 22 3Γ 32 +0Γ 42 = 3Γ 12 3Γ Γ 12 = ( 1) 1+2 det = (+5) = 5, Γ 32 = ( 1) 3+2 det = ( 1) = quindi det(a) = 3( 5) 3 1 = 18. 7

8 Un importanza particolare è riservata al teorema di Binet che sostanzialmente ci dice che il determinante ha la proprieta moltiplicativa, cioè il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti (per la somma ciò è molto lontano dall essere vero!). La dimostrazione di questo teorema esula dagli scopi del corso, ma si può trovare in qualsiasi testo di algebra lineare. Teorema 2.5. Teorema di Binet. Siano A e B due matrici quadrate n n. det(ab) = det(a) det(b) 3 Inversa di una matrice Definizione. Una matrice A si dice invertibile se esiste una matrice B (denotata con A 1 ) tale che: AB = BA = I Vediamo ora due metodi per calcolare l inversa. Teorema 3.1. La matrice A è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Proof. Dimostriamo che se A è invertibile allora il suo determinante è diverso dazero. SihacheAA 1 = I,quindi, perilteoremadibinet,det(a)det(a 1 ) = det(aa 1 ) = det(i) = 1, quindi det(a) 0. Viceversa, se il determinante di A è diverso da zero si può costruire l inversa di A, nel modo seguente: Sia det(a ij ) il determinante della matrice ottenuta da A rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna. Si ha che A 1 = B, ove l elemento b ij di B è dato dalla formula: b ij = 1 det(a) ( 1)i+j det(a ji ) a b Esempio. Sia A = la sua inversa si puo calcolare immediatamente c d una volta noto il determinante det(a) = ad bc (diverso da zero). ( d ) A 1 b = ad bc ad bc c ad bc 8 a ad bc

9 Ora diamo un metodo alternativo per il calcolo della matrice inversa. È difficile dire quale dei due metodi sia piu efficace, dipende dal tipo di problema. Calcolo dell inversa con il metodo di Gauss Supponiamo di avere una matrice A invertibile e di volerne calcolare l inversa. Consideriamo la matrice: A I ottenuta mettendo accanto ad A la matrice identita. Poi effettuiamo il metodo di Gauss sulla matrice A riducendola alla matrice identita. La matrice identita si trasformera nella matrice inversa di A. Vediamo un esempio. Consideriamo la matrice A = Dobbiamo applicare il metodo di Gauss alla matrice: Facciamo la seconda riga meno la prima: Poi la prima riga meno due volte la seconda riga: Abbiamo ottenuto: A 1 = Vediamo un altro esempio, stavolta parametrico. 9

10 Stabilire per quali valori di k la seguente matrice è invertibile, e per tali valori calcolarne l inversa con il Metodo di Gauss. k 3k 0 A = k 2k 3 Calcoliamo il determinante di A, ad esempio sviluppando secondo la prima colonna. 1 1 det(a) = kγ 11 +0Γ 21 +0Γ 31 = k( 1) 2 det = k(2 k) = k() k 2k 3 Quindi A è invertibile per k 0 e k 3. Consideriamo ora k 3k A I = k 2k k 3k (III kii) k 3 0 k 1 ( I k, III 0 0 (k 3) ) k k k (II III) k L inversa è quindi: k k k (I 3II) k k 1 k 6k k

11 Stabilire per quali valori di k la seguente matrice è invertibile, e per tali valori calcolarne l inversa. k +1 4k A = 3 1 det(a) = (k+1) 12k = 13k 1, quindi A è invertibile per k 1 13 Usiamo la formula per l inversa b 11 = 1 det(a) ( 1)1+1 det(a 11 ) = 1 13k 1, b 12 = 1 det(a) ( 1)1+2 det(a 21 ) = 4k 13k 1, b 21 = 1 det(a) ( 1)2+1 det(a 12 ) = 3 13k 1, b 22 = 1 det(a) ( 1)2+2 det(a 22 ) = k+1 A 1 = B =. 13k 1 ( 1 13k k+1 4k 13k+1 k+1 13k 1 4 La composizione di applicazioni lineari Ricordiamo che se F : R n R s e T : R s R m sono due applicazioni lineari, allora l applicazione lineare composta T F : R n R m è definita da (T F)(x) = T(F(x)). Siano A M m,s la matrice associata a T, B M s,n la matrice associata a F, C M m,n la matrice associata a T F. Ci proponiamo di stabilite il legame tra queste 3 matrici. Abbiamo che F(x) = Bx per ogni x R n e T(z) = Az per ogni z R s (prodotto righe per colonne), quindi (T F)(x) = T(F(x)) = T(Bx) = A(Bx) = (AB)x, per l associatività del prodotto righe per colonne. Quindi la matrice C associata a T F è proprio la matrice AB. Verifichiamolo direttamente su di un esempio. Sia F : R 2 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice 0 1 B = e sia T : R 3 R 4 l applicazione lineare associata alla matrice A = )

12 Siano {e 1,e 2 }, {ẽ 1,ẽ 2,ẽ 3 }, {ē 1,ē 2,ē 3,ē 4 } le basi canoniche di R 2,R 3 e R 4 rispettivamente. Si ha che F(e 1 ) = ẽ 2 +2ẽ 3 F(e 2 ) = ẽ 1 +ẽ 2 T(ẽ 1 ) = ē 1 +ē 2 ē 3 T(ẽ 2 ) = ē 3 ē 4 T(ẽ 3 ) = ē 1 +ē 3 Quindi (T F)(e 1 ) = T(F(e 1 )) = T(ẽ 2 +2ẽ 3 ) = T(ẽ 2 )+2T(ẽ 3 ) = ē 3 ē 4 +2( ē 1 + ē 3 ) = 2ē 1 +3ē 3 ē 4 (T F)(e 2 ) = T(F(e 2 )) = T( ẽ 1 + ẽ 2 ) = T(ẽ 1 ) + T(ẽ 2 ) = (ē 1 + ē 2 ē 3 )+ē 3 ē 4 = ē 1 ē 2 +2ē 3 ē 4 La matrice C associata a T F è quindi: C = È facile ora verificare che C = AB Le applicazioni lineari da R n a R n Diamo ora un risultato importantissimo di equivalenza tra tante nozioni che abbiamo introdotto. Teorema 5.1. Sia f : R n R n una applicazione lineare, A la matrice associata a f nella base canonica di dominio e codominio. Le seguenti affermazioni sono equivalenti. 1. A è invertibile. 2. f è invertibile, cioè f è isomorfismo. 3. f è iniettiva. 12

13 4. f è suriettiva. 5. dim(im (f)) = rk (A) = n. 6. Le colonne di A sono linearmente indipendenti. 7. Le righe di A sono linearmente indipendenti. 8. Il sistema A x = 0 ha un unica soluzione. 9. Per ogni b R n il sistema A x = b ha un unica soluzione. 10. A si può trasformare nella matrice identica tramite l algoritmo di Gauss. Inoltre se queste condizioni sono veritficate la soluzione del sistema A x = b è x = A 1 b Proof. Mostriamo che ogni affermazione implica la successiva e poi l ultima implica la prima. (1) implica (2) perchè se chiamiamo B la matrice inversa di A abbiamo che l applicazione g : R n R n associata a B è l inversa di f. Infatti a f g è associata la matrice AB = I, quindi f g è l identità di R n, e analogamente a g f è associata la matrice BA = I, quindi g f è l identità di R n. (2) implica (3) in modo ovvio, perchè un isomorfismo è sia iniettivo che suriettivo. (3) implica (4) per il teorema della dimensione. (4) implica (5) perchè f suriettiva significa che Im (f) = R n e rk (A) = dim(im (f)) per definizione. (5) implica (6) perchè Im (f) è lo Span delle colonne di A. (6) implica (7) perchè il rango di una matrice è uguale al rango della trasposta. (7) implica (8) perchè se le righe di A sono linearmente indipendenti, quando applichiamo il metodo di Gauss per risolvere il sistema A x = 0 troviamo esattamente n pivots, quindi c è un unica soluzione. Mostriamo ora che (8) implica (9). Se l sistema A x = 0 ha un unica soluzione allora riducendo a scala la matrice A si ottiene una matrice A con esattamente n pivots. Allora riducendo a scala la matrice A b si ottiene una matrice del tipo A b, che ha anch essa esattamente n pivots (quelli di A ). 13

14 Quindi il sistema A x = b ammette un unica soluzione. (9) implica (10) perchè se il sistema A x = b ammette un unica soluzione allora rk (A) = rk (A b) = n per il teorema di Rouché - Capelli. In particolare, applicando ad A l algoritmo di Gauss, poichè rk (A) = n si ottiene una matrice a scala A con n pivots, e continuando si ottiene la matrice identica (1) implica (10) perché basta applicare l algoritmo di Gauss alla matrice (A I), e le ipotesi mi garantiscono che ottengo una matrice del tipo (I B). Ma per quanto detto precedentemente sappiamo che B è proprio l inversa di A. Ora se le 10 proprietà equivalenti sono tutte verificate basta moltiplicare a sinistra per A 1 entrambi i membri dell uguaglianza A x = b e si ottiene x = A 1 b Esercizi 1) Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 f(x,y,z) = (x+2z,y+z,z). a) È un isomorfismo? Motivare la risposta. b) In caso di risposta affermativa al punto (a) si calcoli l inversa di f. 2) Si consideri in l applicazione f : R 3 R 3 tale che: f(x,y,z) = (x+y 2z, y +z, z). Si determini un applicazione g : R 3 R 3 tale che f g = id. 3) Determinare per quali valori di a la matrice 1 2 A = a 3 è invertibile. Scelto uno dei valori per cui è invertibile calcolarne l inversa. 4) Determinare per quali valori di a la matrice A = a 3 è invertibile. Scelto uno dei valori per cui è invertibile calcolarne l inversa. 5) Sia (e 1 = (1,0,0),e 2 = (0,1,0),e 3 = (0,0,1)) la base canonica dello spazio vettoriale reale R 3. Sia a R. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(e 1 ) = e 1 ae 2, T(e 2 ) = e 2 +e 3, T(e 3 ) = ae 3. 14

15 a) Si trovino i valori di a per i quali l applicazione e invertibile. b)sceltounodeivaloridiaperiqualit èinvertibilesenecalcolil inversa. 6) Si calcoli se è possibile l inversa della matrice A. 2 4 A = 1 2 7) a) Si calcoli l inversa della matrice: A = con un qualunque metodo. b) Sia L A l applicazione lineare associata ad A nella base canonica e sia T l applicazione lineare: Si calcoli T L A. T : R 3 R 3 (x,y,z) ( x+y z,z,x y) A Appendice: Definizione di determinante Sia A una matrice quadrata, cioè una matrice n n. Ad essa vogliamo associare un numero reale, detto il determinante di A, che calcoleremo a partire dagli elementi di A con semplici regole. Il determinante contiene molte informazioni sulla matrice A. Vedremo infatti che la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Definizione 1. Sia {1...n} l insieme dei primi n numeri naturali. Si definisce permutazione una funzione biettiva σ : {1...n} {1...n}. Spesso le permutazioni si indicano in questo modo: 1... n σ = σ(1)... σ(n) L insieme delle permutazioni si indica con S n. 15

16 Esempio Consideriamo la permutazione σ 1 = Questa permutazione scambia (oppure diciamo permuta ) gli elementi 1 e 2 e lascia inalterati 3 e 4. Si indica anche per semplicita σ 1 = (1,2). 2. Consideriamo la permutazione: σ 2 = Questa permutazione è la composizione delle permutazioni (1, 2) e (2, 3). Si indica anche con (1,2,3). Definiamo ora la parita di una permutazione σ. Consideriamo il numero di coppie (i,j) tali che i < j ma σ(i) > s(j). Se tale numero è pari diremo che la permutazione σ è pari, o che la sua parita p(σ) = 1, se tale numero è dispari diremo allora che la permutazione è dispari, cioe che la sua parita è p(σ) = 1. Nell esempio considerato sopra p(σ 1 ) = 1, p(σ 2 ) = 1. Una proprieta importante della parita è che p(σ 1 s 2 ) = p(s 1 )p(s 2 ). Definizione 2. Sia A = (a ij ) una matrice quadrata n n. Definiamo determinante di A il numero: det(a) = σ S n ( 1) p(σ) a 1,σ(1)...a n,σ(n) Esempio Sia A una matrice 2 per 2: a11 a A = 12 a 21 a 22 Il suo determinante e : det(a) = a 11 a 22 a 12 a Sia A una matrice 3 per 3: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 16

17 Il suo determinante e : det(a) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 come si può verificare direttamente dalla definizione. 17