Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

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1 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome: N. matr.: Ancona, 18 marzo Trovare la soluzione dell equazione differenziale y (x) + 6y (x) + 10y(x) = 0 con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y (0) = Trovare la soluzione dell equazione differenziale y = x y 2 con la condizione iniziale y(0) = Calcolare l integrale doppio D x 2 dx dy dove D e il dominio costituito dal triangolo di vertici A( a, 0), B(a, 0) e C(0, h), con a ed h numeri reali positivi. 4. È data la funzione di due variabili f(x, y) = 2x 2 + 3y 2 3xy. Dimostrare che il vettore di componenti ( 3, 1) è ortogonale alla direzione di massima variazione della funzione nel punto P (1, 1). 5. Calcolare i punti di massimo e minimo relativo della funzione f(x, y) = xy e (x2 +y 2 )/2. 1

2 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome: N. matr.: Ancona, 28 giugno Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y (x) + 2ɛy (x) + k 2 y(x) = 0, dove ɛ e k sono due parametri reali positivi. Discutere la natura delle soluzioni al variare dei due parametri. Infine, per ɛ = 4 e k = 5, determinare la soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali y(0) = 0 e y (0) = Calcolare l integrale doppio D (x 2 + y 2 ) dx dy dove D e il dominio costituito dal cerchio di raggio R e centro l origine privato del primo quarto, e dal triangolo isoscele di vertici O(0, 0), A(R, 0) e B(0, R). 3. Calcolare i punti di massimo e minimo relativo e gli eventuali punti di sella delle funzioni ( f(x, y) = sin 2 x 1 ) cos y 4 ( g(x, y) = sin 2 x 1 ) cos 2 y Sia f(x, y) = x + λy, con λ reale. Calcolare l integrale f(x, y) ds, Γ dove Γ è la curva costituita dalla circonferenza di raggio R e centro l origine privata del primo quarto e dai due segmenti orientati [AO] e [OB] con A(R, 0) e B(0, R). Per quale valore di λ l integrale è nullo? 2

3 5. Si consideri il campo vettoriale ( y x 2 + y 2, ) λx x 2 + y 2, con λ reale, definito nel dominio D 1 = R 2, e sia ω la forma differenziale associata a tale campo. Per quale valore λ = λ 0 la forma differenziale ω è chiusa? È anche esatta e perchè? Nel caso λ = λ 0, si consideri ora la forma differenziale ω nel dominio D 2 = {(x, y) x > 0, y > 0, x 2 + y 2 > ɛ 2 } con ɛ > 0. Verificare che, nel dominio D 2, ω è anche esatta e calcolarne il potenziale U(x, y) con la condizione ausiliaria U(1, 0) = 1. 3

4 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome: N. matr.: Ancona, 29 luglio (7pt) Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale 4y (x) + y(x) = sen(3x), e successivamente trovare la soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali y(0) = 0 e y (0) = (7pt) Calcolare l integrale doppio (x 2 + y 2 ) dx dy D dove D è l unione del semicerchio unitario superiore (definito da {(x, y) 0 y 1 x 2 }) e dal triangolo di vertici ( 1, 0), (1, 0) e (0, 2). 3. (6pt) Calcolare i punti di massimo e minimo relativo e gli eventuali punti di sella della funzione f(x, y) = arctg(x 2 y 2 ) 4. (6pt ) Dire se esistono ed eventualmente calcolare i limiti lim (x,y) (0,0) lim arctg( 1 (x,y) (0,0) x 2 1 y 2 ), xy x 2 + y 2, lim (x,y) (0,0) x 2 y x 2 + y 2 5. (7pt) Trovare una parametrizzazione dell elica Γ definita implicitamente dalla relazione ρ = θ. Considerare la curva Γ 1 che compie 2 rotazioni complete attorno all origine e parte dall origine. Calcolare l integrale della fuzione f(x, y) = x 2 + y 2 lungo la curva Γ 1. 4

5 6. (8pt) Si consideri il campo vettoriale ( x x2 + y 2, ) y + λ, x2 + y 2 con λ reale, definito in D 1 = R 2 \ {(0, 0)}, e sia ω la forma differenziale associata a tale campo. Per quale valore λ = λ 0 la forma differenziale ω è chiusa? In tale caso calcolare il l integrale di tale forma lungo la circonferenza unitaria. La forma é esatta? Sempre nel caso λ = λ 0, si consideri ora la forma differenziale ω nel dominio D 2 = {(x, y) x > 1}. Verificare che, nel dominio D 2, ω è anche esatta e calcolarne il potenziale U(x, y) con la condizione ausiliaria U(1, 0) = 1. 5

6 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome: N. matr.: Ancona, 11 novembre 2006 (6pt) Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y (x) + 5y (x) + 6y(x) = e 2x, e successivamente trovare la soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali y(0) = 1 e y (0) = 0. (6pt) Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = y2 (1 x 4 ) x y(1) = 1 (6pt) Calcolare l integrale doppio D y 2 dx dy dove D è l unione di D 1 e D 2, e D 1 = {(x, y) R 2 1 x 2 +y 2 4, y 0} e D 2 è il triangolo di vertici A = ( 2, 0), B = (2, 0), C = (0, 8) (7pt) Calcolare i punti di massimo e minimo relativo ed assoluto della funzione f(x, y) = (x + y + 1) e x2 y 2. (4pt) Scrivere la serie di Taylor della funzione f(x) = 3 + x calcolata nel punto x 0 = 1. Trovare il raggio di convergenza di tale serie di potenze. 6

7 (7pt) Si consideri il campo vettoriale ( ) x + λy 1 + x 2 + y 2, y 1 + x 2 + y 2 + 2y + 1, con λ reale, definito in R 2, e sia ω la forma differenziale associata a tale campo. Trovare il valore λ = λ 0 per cui la forma differenziale ω è chiusa. Verificare se per tale valore é anche esatta e in caso affermativo trovare un potenziale. Successivamente calcolare il valore dell integrale della forma lungo la curva Γ(t) = ( t cos(t) 2π, t sin(t) 2π ) definita per 0 t 2π. 7

8 N. matr.: Ancona, 18 marzo Trovare la soluzione del seguente sistema lineare, utilizzando l algoritmo di riduzione oppure l eliminazione di Gauss: x + y + z + t = 0 2x + 2y z t = 0 x y z = 0 2x 2y + 3z + t = Trovare una base per lo spazio soluzione del seguente sistema omogeneo: 2x 4y + 3z + 2t = 0 x + 2y 2z 2t = 0 5x 10y + 7z + 4t = 0 z + 2t = 0. Calcolare inoltre il determinante della matrice dei coefficienti. 3. Determinare per quale valore di α il sistema omogeneo ammette soluzioni non nulle. x + y z = 0 2x 2y + 3z = 0 3x y + αz = Determinare per quali valori dei parametri α, β e γ la matrice A = 0 1/2 3/ α β γ risulta ortogonale. 5. Sia M 2,2 lo spazio delle matrici quadrate 2 2 e siano A 1, A 2, A 3 e A 4 M 2,2 le matrici ( ) 1 2 A 1 =, 3 4 ( ) 5 6 A 2 =, 7 8 ( ) 2 4 A 3 =, 6 8 ( ) A 4 = Determinare una base per span(a 1, A 2, A 3, A 4 ). 8

9 6. Dire se i seguenti vettori in R 4 sono linearmente indipendenti e determinare una base per il loro span. u 1 = ( 2, 3, 1, 0); u 2 = (2, 1, 0, 2); u 3 = (1, 2, 2, 2); u 4 = (1, 4, 3, 0). 7. Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. 9

10 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Algebra Lineare) Nome: N. matr.: Ancona, 22 aprile 2006 (a) Trovare la soluzione del seguente sistema lineare, utilizzando l algoritmo di riduzione oppure l eliminazione di Gauss: x + y + z + t = 1 2x + y + 2z + t = 0 x + y + t = 1 x + z + t = 1. (b) Determinare per quale valore di α il sistema omogeneo x + z = 0 x + y = 0 x αy + z = 0. ammette soluzioni non nulle. Trovare lo spazio delle soluzioni. (c) Sia P 3 [t] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3. Trovare una base per il seguente sottospazio {p(t) P 3 [t] p(1) = 0; p (1) p (0) = 0 } (d) Data l applicazione lineare T (x, y, z) = (x + 2y, z y, x) trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. Tovare inoltre una base per lo spazio immagine e per il nucleo. Scrivere infine la matrice associata all applicazione T rispetto alla base B = { (0, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)}. (e) Data la retta affine r definita dalle seguenti equazioni parametriche x = 2s + 1 y = s z = s dove s è un parametro reale, trovare il piano π che contiene r e il punto P = (1, 1, 0). Trovare infine l intersezione tra π e la retta vettoriale t = span[(1, 1, 1)]. 10

11 (f) Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. (g) Calcolare il determinante della matrice B =

12 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Algebra Lineare) Nome: N. matr.: Ancona, 8 giugno 2006 (a) Trovare una base per lo spazio soluzione del seguente sistema omogeneo: x + z = 0 y + t = 0 3x + y + 3z t = 0 x + y + z = 0. Calcolare inoltre il determinante della matrice dei coefficienti. (b) Discutere il seguente sistema non omogeneo al variare del parametro α: determinare se esistono soluzioni e in caso affermativo determinare lo spazio delle soluzioni x + (α 1)y + z = 0 2x + y = 1 αx + y = α. (c) Sia P 3 [t] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3. Sia p 1 = 1 + t, p 2 = t + t 2, p 3 = t 2 + t 3. Trovare una base per span(p 1, p 2, p 3 ) e completare tale base ad una base per P 3 [t]. (d) Sia e 1, e 2, e 3 la base canonica di R 3. T : R 3 R 3 tale che Data l applicazione lineare T (e 1 ) = e 2 + e 3, T (e 2 ) = e 2 e 3, T (e 3 ) = e 2 ; trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. Tovare inoltre una base per lo spazio immagine e per il nucleo. Scrivere infine un equazione cartesiana per lo spazio immagine e trovare un vettore ortogonale a tale spazio. 12

13 (e) Dato il piano affine π definito dalla seguente equazione cartesiana x + 2y + 3z = 1 trovare la retta passante per P = (1, 1, 0) e ortogonale ad r. Trovare infine l intersezione tra π ed r. (f) Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. 13

14 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Algebra Lineare) Nome: N. matr.: Ancona, 28 giugno Trovare la soluzione del seguente sistema lineare, utilizzando l algoritmo di riduzione oppure l eliminazione di Gauss: x 2y + z + t = 0 2x + y + 2z + t = 0 x + y + t = 1 2x + z t = Determinare per quale valore di α il sistema omogeneo x + 2y + z = 0 2x + y = 0 x αy + z = 0. ammette soluzioni non nulle. Trovare lo spazio delle soluzioni. 3. Determinare per quali valori dei parametri α, β e γ la matrice A = 0 2/2 1/ α β γ risulta ortogonale. 4. Data l applicazione lineare T (x, y, z) = ( 2x + y, y 2z, 2x + 2y 2z) trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. Tovare inoltre una base per lo spazio immagine e per il nucleo. 5. Data la retta affine r definita dalle seguenti equazioni parametriche x = s + 1 y = s + 2 z = 2s 14

15 dove s è un parametro reale, trovare il piano π che contiene r e il punto P = (0, 0, 1). Trovare infine l intersezione tra π e la retta vettoriale t = span[(1, 1, 1)]. 6. Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. 15

16 Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Algebra Lineare) Nome: N. matr.: Ancona, 27 luglio Trovare la soluzione (se esiste) del seguente sistema lineare non omogeneo, utilizzando l algoritmo di riduzione oppure l eliminazione di Gauss: x 2y + z + t = 1 y + 3z + t = 0 2x + y z + t = 1 x + z = Determinare per quale valore di α il sistema omogeneo x y + z = 0 (α 1)x + αz = 0 x + y = 0. ammette soluzioni non nulle. Trovare lo spazio delle soluzioni. 3. Dati i sottospazi vettoriali U = span 1 1, 1 0, 0 1 e W = span determinare la dimensione e una base per il sottospazio U W , Data l applicazione lineare T (x, y, z) = ( x + y z, x + z, y) trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. Tovare inoltre una base per lo spazio immagine e per il nucleo. 5. Date la rette affini r := (1, 1, 0)+ < (1, 1, 0) > ed s := (1, 0, 0)+ < (0, 1, 0) > verificare che sono incidenti (trovare il punto in comune). Scrivere l equazione cartesiana del piano che le contiene e trovare la retta ortogonale a tale piano passante per (1, 1, 0). 16

17 6. Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice Sia A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. 17

18 Matematica 2 (Algebra Lineare) N. matr.: Pesaro, 23 agosto Discutere il seguente sistema non omogeneo: trovare, se esiste, lo spazio delle soluzioni. x y + z + t = 1 x + y + t = 2 x + z = 3 x y + z t = 4. Calcolare inoltre il determinante della matrice dei coefficienti. 2. Discutere il seguente sistema non omogeneo al variare del parametro α: determinare se esistono soluzioni e in caso affermativo determinare lo spazio delle soluzioni αx y + z = α + 1 x + 2y = 2 x + y + z = Sia M 2,2 lo spazio delle matrici quadrate 2 2 e siano A 1, A 2 M 2,2 le matrici ( ) 1 2 A 1 =, 2 1 ( ) 0 1 A 2 =, 1 0 Si ponga A 3 = A 1 + A 2, A 4 = A 1 A 2, A 5 = A 4 A 3 : determinare una base per span(a 1, A 2, A 3, A 4, A 5 ). 4. Sia e 1, e 2, e 3 la base canonica di R 3. Data l applicazione lineare T : R 3 R 3 tale che T (e 1 ) = e 1 +2e 2 +e 3, T (e 2 ) = e 1 +e 2 +e 3, T (e 3 ) = 3e 1 e 3 ; trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. una base per lo spazio immagine e per il nucleo. Tovare inoltre 5. Trovare il punto comune P tra le rette r ed s definite rispettivamente da r : x = t + 1 y = t z = t s : { x + y + z = 2 x + y = 1 Scrivere l equazione cartesiana del piano π che le contiene entrambe. Trovare infine la retta ortogonale a π passante per P.. 18

19 6. Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. 19

20 Matematica 2 (Algebra Lineare) Nome: N. matr.: Ancona, 11 Novembre 2006 (a) Trovare la dimensione e una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo, utilizzando l algoritmo di riduzione oppure l eliminazione di Gauss: x + 2y + 2z + t = 0 2x + y z 2t = 0 5y + 3z = 0 3x + 4y 3t = 0. (b) Discutere il seguente sistema non omogeneo al variare del parametro α: determinare se esistono soluzioni e in caso affermativo determinare lo spazio delle soluzioni αx y + z = α x + αy = 2 x + y + z = 1. (c) Determinare gli autovalori ed autovettori della matrice A = indicando, per ciascun autovalore, l autospazio relativo, la molteplicita algebrica e quella geometrica. Si dica inoltre se la matrice A e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, si scriva la matrice P che opera la diagonalizzazione. (d) Data l applicazione lineare T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + y, x y z) trovare la matrice associata rispetto alla base canonica. Tovare inoltre una base per lo spazio immagine e per il nucleo. Completare la base dell immagine ad una base per tutto il codominio. (e) Sia v = (2, 1) e sia M 2,2 (R) lo spazio delle matrici quadrate 2 2 a valori reali. Trovare una base per il sottospazio W di M 2,2 (R) definito come segue W = {A M 2,2 (R) Av = 0}. Completare tale base ad una base per M 2,2 (R). 20

21 (f) Siano P il piano affine di equazione x + y z = 1 e r la retta definita da x = t + 2 y = t 1 z = 1 Verificare se sono incidenti o paralleli e trovare l eventuale intersezione. Trovare infine l equazione cartesiana del piano ortogonale a π e contenente la retta r. 21