09. Luogo delle Radici

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1 Controlli Automatici 09. Luogo delle Radici Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e ggio Emilia {nome.cognome}@unimore.it

2 Proprietà dei sistemi in retroazione y sp e u y k G(s) + G cl (s) = kg(s) 1 + kg(s) Equazione caratteristica 1 + kg s = 0 Le radici sono i poli del sistema in retroazione Sistema del primo ordine y sp + e k u 1 s+2 y G cl (s) = k s k nuovo polo k = 8 10 k = 6 8 k = 4 6 k = 2 4 Luogo delle radici k = 0 2 Controlli Automatici Luogo delle Radici 2

3 Sistema del secondo ordine y sp + e k u 4 s 2 +5s+4 Proprietà dei sistemi in retroazione y G cl (s) = k 1 + k ω n 2 s δ ω n s + ω n δ = 1.25 Radici reali distinte ω n = 2 s = 1 s = 4 Luogo delle radici δ = k ω n = k k = 1 k = k = 0 k = Controlli Automatici Luogo delle Radici 3

4 Proprietà dei sistemi in retroazione y sp + e k u G(s) y G cl (s) = kg(s) 1 + kg(s) Poli 1 + kg s = 0 I poli del sistema in retroazione variano al variare del guadagno k da 0 a Controlli Automatici Luogo delle Radici 4

5 Luogo delle radici Luogo delle radici: Strumento per tracciare la collocazione nel piano complesso dei poli di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno y sp + e k u G(s) y y sp G cl (s) y Controlli Automatici Luogo delle Radici 5

6 Luogo delle radici: Proprietà 1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo 2. Ogni ramo: Parte (k = 0) dalla posizione di un polo in catena aperta Termina (k = ) nella posizione di uno zero del sistema o va all infinito 3. Il luogo è simmetrico rispetto all asse reale 4. Un punto dell asse reale appartiene al luogo delle radici se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) 5. Ha asintoti in numero pari al grado relativo (zeri all infinito) Controlli Automatici Luogo delle Radici 6

7 Luogo delle radici: Proprietà 6. Gli asintoti si incontrano in un punto dell asse reale e formano una stella con gli angoli tutti uguali tra loro. Il loro punto di incontro è σ asintoti = 1 n m n i=1 p i m i=1 z i 7. Gli asintoti formano con l asse reale gli angoli θ a,ν = 2ν + 1 π n m ν = 0, 1,, n m 1 Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta Controlli Automatici Luogo delle Radici 7

8 Luogo delle radici: Asintoti n m = 1 Instabilità n m = 2 Instabilità n m = 3 σ a = 1 n m n m p i i=1 i=1 z i Instabilità Controlli Automatici Luogo delle Radici 8

9 Luogo delle radici: Tracciamento Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono: 1. Tracciare sul piano complesso zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O 2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta 3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l asse reale 4. Trovare i punti dell asse reale che stanno sul luogo delle radici 5. Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere simmetrico rispetto all asse reale Controlli Automatici Luogo delle Radici 9

10 Sistemi del 1 ordine G(s) = 1 s + 1 Zero all infinito G(s) = s + 2 s + 1 O Controlli Automatici Luogo delle Radici 10

11 Sistemi del 2 ordine G(s) = 1 s 2 + 7s + 10 G(s) = s + 1 s 2 + 7s + 10 O Controlli Automatici Luogo delle Radici 11

12 Sistemi del 2 ordine G(s) = s + 3 s s + 41 δ = 0.78 Due poli complessi coniugati G(s) = s + 8 s s + 41 O O Controlli Automatici Luogo delle Radici 12

13 Sistemi del 3 ordine G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 5) p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 5 σ a = 1 n m n i=1 p i m i=1 z i σ a = = 2.6 Controlli Automatici Luogo delle Radici 13

14 Sistemi del 3 ordine G(s) = 1 (s + 1)(s 2 + 8s + 36) p 1,2 = 4 ± j 4.47 p 3 = 1 σ a = 1 n m n i=1 p i m i=1 z i σ a = = 3 Controlli Automatici Luogo delle Radici 14

15 Sistemi del 3 ordine G(s) = s + 8 (s + 1)(s + 2)(s + 5) p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 5 σ a = 1 n m n i=1 p i m i=1 z i σ a = = 0 Controlli Automatici Luogo delle Radici 15

16 Sistemi del 3 ordine G(s) = s + 4 (s + 1)(s + 2)(s + 5) p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 5 σ a = 1 n m n i=1 p i m i=1 z i σ a = = 2 Controlli Automatici Luogo delle Radici 16

17 Progetto di un controllore in retroazione r(t) + e(t) C(s) u(t) G(s) y(t) L s = C s G(s) Guadagno d anello Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione: G cl s = G s C(s) 1 + G s C(s) = L(s) 1 + L(s) soddisfi le specifiche di controllo Controlli Automatici Luogo delle Radici 17

18 Specifiche di controllo Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d anello abbia un numero opportuno di poli nell origine, oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema. Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento. Controlli Automatici Luogo delle Radici 18

19 Utilizzo del luogo delle radici Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche. Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo che, per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all interno della regione desiderata. Controlli Automatici Luogo delle Radici 19

20 Passi per la costruzione del controllore 1. Tenendo conto delle specifiche statiche, aggiungere poli nell origine. 2. Esaminare il guadagno d anello ottenuto per determinare l ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema. 3. Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo. 4. Vedere se con una semplice azione proporzionale (C s = k) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell origine per soddisfare le specifiche statiche) nella regione desiderata. 5. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui tutti i poli del sistema controllato stiano nella regione desiderata. 6. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E possibile utilizzare rltool per verificare la correttezza dell algoritmo di controllo disegnato. Controlli Automatici Luogo delle Radici 20