+ h(τ) x(t τ)dτ (2.1) Figura 2.1: Sistema lineare

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1 Capitolo Metodo di Volterra.1 Introduzione Per un sistema lineare, come riportato in figura.1, si può sempre definire una risposta impulsiva ht che relaziona, tramite un integrale di convoluzione, il segnale di ingresso xt con il segnale di uscita yt: y t = hτ xt τdτ.1 Figura.1: Sistema lineare Ciò può essere interpretato nel seguente modo: l uscita yt è data dalla composizione degli effetti dell ingresso xt in tutti gli istanti precedenti, pesati tramite una funzione peso ht denominata risposta impulsiva. Applicando la trasformata di Fourier, si ha Y f = H f X f. 5

2 dove H f = h t = ht e jπft Hf e jπft df.3 La funzione Hf prende il nome di risposta impulsiva in frequenza 1. Se ht è indipendente dal segnale xt applicato, allora il sistema si dice lineare. Se ht = k δt, dove δ è la funzione delta di Dirac, allora il sistema si dice istantaneo. Se ht = ft allora il sistema si dice con memoria. Nel caso di sistemi non lineari, Norbert Wiener pensò di estendere la precedente relazione.1 utilizzando la serie funzionale di Volterra, ovvero andando ad esprimere l uscita yt come una serie di funzioni integrali: y t = = + n=1 + y n t h 1 τ xt τdτ+ h τ 1, τ xt τ 1 xt τ dτ 1 dτ + + h 3 τ 1, τ, τ 3 xt τ 1 xt τ xt τ 3 dτ 1 dτ dτ Questa serie, detta serie di Volterra, converge alla soluzione sotto ipotesi normalmente verificate nei circuiti a microonde di nostro interesse. In essa, oltre alla risposta lineare y 1 t primo ordine, sono presenti un infinità numerabile di termini y n t, detti di ordine, 3, etc., che contribuiscono all uscita yt complessiva. Nel termine y t ad esempio, il contributo è dato dall ingresso xt moltiplicato per se stesso in istanti di tempo differenti t τ 1 e t τ, pesato da una opportuna funzione h τ 1, τ, ed integrato su tutto l asse dei tempi. Si può dare la seguente interpretazione: l uscita yt è data dalla somma di tanti contributi, ognuno dei quali rappresentato dal prodotto della funzione di ingresso xt 1 Tale nome deriva dal fatto che se xt è un impulso, allora la sua trasformata è la funzione delta di Dirac df e quindi l uscita diventa semplicemente Y f = Hf 6

3 per se stessa n-volte, presa ad istanti diversi e pesata tramite la funzione h n analoga alla risposta impulsiva ma di ordine. Le funzioni h n τ 1, τ,..., τ n possono essere viste come le risposte impulsive non lineari di ordine n e vengono chiamate Nuclei di Volterra kernel. Generalmente sono sufficienti i primi termini per descrivere con sufficiente accuratezza blande non linearità. Per i nuclei di Volterra si può operare la trasformazione di Fourier, ottenendo così le funzioni di trasferimento non lineare di ordine n H n f 1, f,..., f n = h n τ 1, τ,..., τ n e jπf 1τ 1 +f τ + +f nτ n dτ 1 dτ dτ n h n τ 1, τ,..., τ n = H n f 1, f,..., f n.5 e jπf 1τ 1 +f τ + +f nτ n df 1 df df n Focalizzando l attenzione sul termine n-esimo y n t della serie e sostituendo al fattore h n τ 1, τ,..., τ n la sua anti trasformata di Fourier, secondo quanto espresso nella relazione.5, si ha: y n t = h n τ 1,..., τ n x t τ 1 x t τ n dτ 1... dτ n = + = H n f 1,..., f n e jπf 1τ 1 + +f nτ n = df 1 df n x t τ 1,..., t τ n dτ 1 dτ n = H n f 1,..., f n x t τ 1,..., t τ n.6 e jπf 1τ 1 + +f nτ n dτ 1 dτ n df 1 df n Operando il cambio di variabile p i = t τ i nell integrale interno dell equazione 7

4 .6 si ottiene agevolmente la seguente espressione: y n t = H n f 1,..., f n x p 1,..., p n = = e jπf 1p 1 + +f np n dp 1... dp n df 1 df n H n f 1,..., f n X p 1 e jπf 1p 1 dp1 X p n e jπfnpn dp n e jπf 1+ +f nt df 1 df n H n f 1,..., f n Xf 1... Xf n e jπf 1+ +f nt df 1 df n.7 Questa esprime l n-esimo termine della risposta del sistema in funzione dell ingresso f per mezzo della funzione di trasferimento non lineare dello stesso ordine H n f 1, f,..., f n. Trasformando secondo Fourier si ottiene il contributo allo spettro di uscita dovuto al termine di ordine n: + Y n f = H n f 1,..., f n = = Xf 1 Xf n e jπf 1+ +f nt df 1... df n e jπft = H n f 1,..., f n Xf 1 Xf n + e jπf f 1+ +f nt df 1... df n = H n f 1,..., f n Xf 1 Xf n δ f f f n df 1... df n.8 In ciascun termine Y n f si ha che il contributo ad una certa frequenza f si ottiene integrando H n f 1, f,..., f n Xf 1 Xf 1 Xf n per tutte e sole le frequenze tali che f 1 +f + +f n = f. Le diverse frequenze dunque si mescolano nell attraversare un sistema non lineare. 8

5 Il problema non lineare è quindi risolvibile una volta noti i nuclei di Volterra o le rispettive trasformate di Fourier..1.1 Singolo tono in ingresso Supponiamo per esempio di avere in ingresso un tono reale x t = A cos πf o t = e A jπfot + e jπfot.9 la cui trasformata di Fourier è X f = A δ f f o + δ f + f o.10 Dalla equazione.4 si ha: e jπfot τ + e jπfot τ y t = A + A 4 + A3 8 h 1 τ h τ 1, τ h 3 τ 1, τ, τ 3 dτ+ e jπfot τ 1 + e jπfot τ 1 e jπfot τ + e jπfot τ e jπfot τ 1 + e jπfot τ 1 e jπfot τ + e jπfot τ e jπfot τ 3 + e jπfot τ 3 dτ 1 dτ + dτ 1 dτ + dτ 1 dτ dτ Utilizzando la relazione.5, con qualche piccola manipolazione algebrica si 9

6 ottiene y t = A H 1 f o e jπfot + A H 1 f o e jπfot + + A H f o, f o e jπfot + H f o, f o e jπfot + 4 H f o, f o + H f o, f o + A3 H 3 f o, f o, f o e jπ3fot + H 3 f o, f o, f o e jπ3fot H 3 f o, f o, f o e jπfot + H 3 f o, f o, f o e jπfot H 3 f o, f o, f o e jπfot + H 3 f o, f o, f o e jπfot + + H 3 f o, f o, f o e jπfot + H 3 f o, f o, f o e jπfot Per poter procedere ad una ulteriore semplificazione è utile ricordare due proprietà fondamentali delle funzioni di trasferimento non lineari: Simmetria rispetto alla permutazione degli argomenti H f 1, f = H f, f 1.13 Simmetria di tipo hermitiana in frequenza H f 1, f = H f 1, f.14 Utilizzando queste proprietà è possibile riscrivere le f.d.t. non lineari nel seguente modo fino al terzo ordine: 30

7 I H 1 f o = H 1 f o ejφ 1 H f o, f o = H f o, f o ejφ H f o, f o = II H f o, f o H f o, f o = H f o, f o = e jφ = H f o, f o = H f o, f o = reale H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o ejφa 3 H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o e jφa 3.15 III H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o = = H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o ejφb 3 H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o = = H 3 f o, f o, f o = H 3 f o, f o, f o e jφb 3 L uscita, fino al terzo ordine, sarà quindi data da y t = A H 1 f o cos πf o t + φ A H f o, f o cos πf o t + φ + A H f o, f o + + A3 H 3 f o, f o, f o cos π3f o t + φ a A3 H 3 f o, f o, f o cos πf o t + φ b Come si può osservare dalla.15, dal solo tono a frequenza f o il sistema non lineare genera una serie di armoniche più un eventuale contributo in dc. In particolare, avendo considerato non linearità fino al terzo ordine, in uscita si ottengono armoniche fino a 3f o. Si osserva inoltre che il fasore a fondamentale è composto da due contributi: il primo è dovuto alla risposta lineare del sistema, mentre il secondo, detto di distorsione del terzo ordine è dovuto proprio alla risposta non lineare del terzo ordine. La somma 31

8 vettoriale dei due termini può dar luogo ad un fasore di ampiezza maggiore caso di espansione o minore caso di compressione della sola risposta lineare. La situazione viene illustrata nella figura.. Figura.: Spettro d uscita in modulo e fase di un sistema non lineare in risposta ad un singolo tono Allo stesso risultato si sarebbe giunti partendo dall equazione.7 che esprime i termini in frequenza, riottenendo quindi di nuovo la relazione Doppio tono in ingresso Prendiamo ora in considerazione il caso di toni a frequenze f a e f b in ingresso al sistema non lineare. Essi possono essere così scritti: x t = A 1 cos πf a t + A cos πf b t e jπfat + e jπfat = A 1 la cui trasformata di Fourier è X f = A 1 δ f f a + δ f + f a + A + A = e jπf bt + e jπf bt δ f f b + δ f + f b Dalla equazione.4 possiamo calcolare i vari termini y n t che formano la rispos- 3

9 ta del sistema: y 1 t = A 1 A δ f f a + δ f + fa + δ f f b + δ f + fb H 1 f e jπft df = = A 1 H 1 f a e jπfat + H 1 f a e jπfat + A H 1 f b e jπfbt + H 1 f b e jπf bt = = A 1 H 1 f a cos πf a t + φ 1a + + A H 1 f b cos πf b t + φ 1b.19 Analogamente y t = A 1 δ f 1 f a + δ f1 + f a + + A δ f 1 f b + δ f1 + f b A 1 δ f f a + δ f + f a + + A δ f f b + δ f + f b H f 1, f e jπf 1+f t df 1 df = = A 1 H f a, f a cos πf a t + φ a + + A H f b, f b cos πf b t + φ b A 1 H f a, f a + A H f b, f b + + A 1 A H f a, f b cos π f a + f b t + φa+b + + A 1 A H f a, f b cos π f a f b t + φa b 33

10 e + A 1 y 3 t = δ f 1 f a + δ f1 + f a + + A δ f 1 f b + δ f1 + f b A 1 δ f f a + δ f + f a + + A δ f f b + δ f + f b A 1 δ f 3 f a + δ f3 + f a + + A δ f 3 f b + δ f3 + f b H 3 f 1, f, f 3 e jπf 1+f +f 3 t df 1 df df 3 = = A3 1 4 H 3 f a, f a, f a cos π3f a t + φ 33a + + A3 4 H 3 f b, f b, f b cos π3f b t + φ 33b + + 3A3 1 4 H 3 f a, f a, f a cos πf a t + φ 3a I + + 3A3 4 H 3 f b, f b, f b cos πf b t + φ 3b I + + 3A 1 A H 3 f a, f a, f b cos π f a + f b t + φ3a+b A 1A 4 + 3A 1 A 4 + 3A 1A 4 + 3A 1 A + 3A 1A H 3 f b, f b, f a cos π f b + f a t + φ3b+a + H 3 f a, f a, f b cos π f a f b t + φ3a b + H 3 f b, f b, f a cos π f b f a t + φ3b a + H 3 f a, f a, f b cos πf b t + φ 3b II + H 3 f b, f b, f a cos πf a t + φ 3a II

11 . Probing Method Per poter applicare il metodo di Volterra, è necessario conoscere le espressioni dei nuclei H n. Infatti, a partire da questi e noto il segnale di ingresso, è possibile determinare il segnale di uscita applicando la relazione.4. Uno dei principali algoritmi utilizzati per il calcolo dei funzionali H n di Volterra è il cosiddetto probing-method che consiste nel calcolare i vari nuclei in modo iterativo, sfruttando la conoscenza dei nuclei di ordine inferiore. In particolare, la procedura può essere descritta nel seguente modo: - calcolo di H 1 f Si manda in ingresso un singolo tono ideale a frequenza f o e si calcola la risposta del sistema yt. Sfruttando le proprietà di ortonormalità delle funzioni esponenziali, si imposta un sistema tra i coefficienti dei vari esponenziali. In particolare, si considera solo il coefficiente del tono relativo alla frequenza f o che rappresenta il nucleo H 1 f cercato. - calcolo di H f 1, f Si mandano in ingresso due toni a frequenza f 1 e f e si ricava il coefficiente della risposta yt relativo al tono a frequenza f 1 + f. Essendo noti per il passo precedente H 1 f 1 e H 1 f, da tale coefficiente si ricava il nucleo H f 1, f cercato. - calcolo di H n f 1,..., f n Si mandano in ingresso n toni a frequenza f 1,..., f n e si ricava il coefficiente della risposta yt relativo al tono a frequenza f f n. Essendo noti dai passi precedenti i nuclei H 1,..., H n, da tale coefficiente si ricava il nucleo H n f 1,..., f n cercato...1 Esempio del probing method Per chiarire meglio l approccio, consideriamo ad esempio il circuito riportato in figura.3. 35

12 Figura.3: Circuito considerato nell esempio del probing method. L equazione che descrive il comportamento del circuito è di seguito riportata: i S t = y v + k v + C dv Vediamo allora come si applica il probing method.... Calcolo di H1 Si considera il seguente tono ideale in ingresso: i S t = e jπfot I S f = δ f f o.3 Sappiamo allora che in tal caso l uscita, ovvero il segnale vt può essere espresso nella seguente forma: v t = H 1 f o e jπfot + H f o, f o e jπfot +.4 Sostituendo quindi la.3 e la.4 nell equazione. si ottiene: e jπfot = C jπf o H 1 f o e jπfot + jπf o H f o, f o e jπfot k H 1 f o e jπfot + H f o, f o e jπ4fot y H 1 f o e jπfot + H f o, f o e jπfot A questo punto, uguagliando i coefficienti del termine e jπfot si ottiene: 1 = jπf o C + y H 1 f o.6 da cui H 1 f = 1 y + jπfc.7 36

13 ..3 Calcolo di H Si considera ora il segnale di ingresso costituito da toni ideali: i S t = e jπf 1t + e jπf t I S f = δ f f 1 + δ f f.8 In questo caso l uscita vt risulta essere: v t = H 1 f 1 e jπf 1t + H 1 f e jπf t + + H f 1, f 1 e jπf 1t + H f, f e jπf t + + H f 1, f e jπf 1+f t Sostituendo quindi la.8 e la.9 nell equazione. si ottiene: e jπf1t + e jπft = C jπf 1 H 1 f 1 e jπf1t + jπf H 1 f e jπft + + jπ f 1 + f H f 1, f e jπf 1+f t k H 1 f 1 e jπf1t + H 1 f e jπft + + H 1 f 1 H 1 f e jπf 1+f t y H 1 f 1 e jπf1t + H 1 f e jπft H f 1, f 1 e jπf1t + H f, f e jπf t + H f 1, f e jπf 1+f t In questo caso, se uguagliassimo i coefficienti del termine e jπf 1t o e jπf t otterremmo di nuovo l espressione di H 1. Viceversa, uguagliando i coefficienti del termine e jπf 1+f t si ottiene: 0 = jπ f 1 + f C + y H f 1, f + k H 1 f 1 H 1 f.31 37

14 Ma ricordando la.7, si ha H f 1, f = k H 1 f 1 H 1 f H 1 f 1 + f.3..4 Calcolo di H3 Si considera il segnale di ingresso costituito da 3 toni ideali: i S t = e jπf 1t + e jπf t + e jπf 3t.33 I S f = δ f f 1 + δ f f + δ f f 3 In questo caso l uscita vt risulta essere: v t = H 1 f 1 e jπf1t + H 1 f e jπft + H 1 f 3 e jπf3t + + H f 1, f 1 e jπf1t + H f, f e jπft + H f 3, f 3 e jπf3t + + H f 1, f e jπf 1+f t + H f 1, f 3 e jπf 1+f 3 t + + H f, f 3 e jπf +f 3 t + + H 3 f 1, f 1, f 1 e jπ3f1t + H 3 f, f, f e jπ3ft + + H 3 f 3, f 3, f 3 e jπ3f 3t H 3 f 1, f 1, f e jπf 1+f t + 3H 3 f 1, f 1, f 3 e jπf 1+f 3 t + + 3H 3 f 1, f, f e jπf 1+f t + 3H 3 f 1, f 3, f 3 e jπf 1+f 3 t + + 3H 3 f, f, f 3 e jπf +f 3 t + 3H 3 f, f 3, f 3 e jπf +f 3 t + + 6H 3 f 1, f, f 3 e jπf 1+f +f 3 t + 38

15 Sostituendo quindi la.33 e la.34 nell equazione. si ottiene: e jπf1t + e jπft + e jπf3t = = C + jπ f 1 + f + f 3 6H 3 f 1, f, f 3 e jπf 1+f +f 3 t k + H 1 f 3 H f 1, f e jπf 1+f +f 3 t + + H 1 f H f 1, f 3 e jπf 1+f +f 3 t + + H 1 f 1 H f, f 3 e jπf 1+f +f 3 t y + 6H 3 f 1, f, f 3 e jπf 1+f +f 3 t Uguagliando solo i coefficienti del termine e jπf 1+f +f 3 t si ottiene: 0 = 6 jπ f 1 + f + f 3 C + y H 3 f 1, f, f k H f 1, f H 1 f 3 + H f 1, f 3 H 1 f + + H f, f 3 H 1 f 1.36 da cui H 3 f 1, f, f 3 = 3 k H f 1, f H 1 f H f 1, f 3 H 1 f + + H f, f 3 H 1 f

16 .3 Metodo ordine per ordine Il metodo dei funzionali di Volterra è un metodo del tutto generico, che permette di determinare in forma analitica la risposta del sistema non lineare yt, qualunque sia il segnale di eccitazione xt, a partire dalla conoscenza dei nuclei H n. Il metodo ordine per ordine è invece un metodo particolare che permette di ricavare la risposta yt in modo molto più semplice ed immediato, nota però la forma del segnale di ingresso xt. Lo svantaggio di tale metodo è che risulta vincolato dalla forma stessa di xt: mentre con Volterra, noti i funzionali è possibile ricavare yt qualunque sia l ingresso, con questo metodo, se l ingresso dovesse cambiare saremmo costretti a ripetere l analisi da capo per conoscere la nuova risposta yt. Questo metodo è basato sul fatto di poter scrivere la risposta nella forma: y t = + n=1 y n t.38 dove ogni termine y n t dipende dalla potenza n-esima dell ingresso, per cui viene anche denominato termine di ordine n. Se in particolare si considera ora un ingresso del tipo z xt, con z coefficiente scelto in modo arbitrario, allora l uscita yt sarà data da: y t = + n=1 z n y n t.39 In generale la funzione yt comparirà in una equazione di tipo differenziale o in un sistema di equazione differenziali, che può essere espressa nella forma: dy t g y t,, zx t = 0.40 Sostituendo al posto di yt l espressione.39, si ottiene: + + d g z n n=1 zn y n t y n t,, zx t = 0.41 n=1 Derivando ora rispetto a z, si ottiene dalla relazione precedente + + d g nz n 1 n=1 nzn 1 y n t y n t,, x t = 0.4 n=1 40

17 Considerando ora z=0, cosa che corrisponde ad avere l ingresso nullo, si ottiene la seguente relazione: g y 1 t, dy 1 t, x t = 0.43 Si osserva allora che la relazione.43 non è altro che la relazione.40 riscritta per i termini del primo ordine. Procedendo in maniera analoga, si arriva alla conclusione che la relazione.40 debba essere soddisfatta ordine per ordine, da cui appunto il nome del metodo, ovvero che debba essere risolto il seguente insieme di equazioni: dy 1 t g n!y n t, n!, 0 = 0.44 Come si può intuire, tale metodo implica la risoluzione di equazioni differenziali non omogenee per la presenza di termini legati a xt; di conseguenza la soluzione, sempre ammesso che sia possibile determinarla in forma chiusa, dipenderà dal segnale xt applicato, ossia non è affatto generica, come lo era con il metodo di Volterra: cambiando xt l analisi dovrà essere ripetuta..3.1 Esempio del metodo ordine x ordine Consideriamo di nuovo il circuito riportato in figura.3, descritto dall equazione. che riportiamo qui di seguito per comodità Il segnale d uscita vt sarà dato da: i S t = y v + k v + C dv v t = + n=1 v n t.45 Sostituendo la.45 nell equazione risolutiva del circuito, si ottiene: + d v n t + y + v n t + k + v n t i S t C C C = 0.46 n=1 n=1 n=1 41

18 Ordine 1 Dall equazione.46 si ha: dv 1 t + y C v 1 t i S t C = 0.47 da cui v 1 t = t e y C τ 0 C i S t τ dτ.48 Ordine Dall equazione.46 si ha: da cui dv t v t = + y C v t + k C v 1 t = 0.49 t 0 k e y C τ C v 1 t τ dτ.50 Si noti quindi che per il calcolo di v t è necessario conoscere la risposta al primo ordine v 1 t data dalla.48 e quindi nota solo se è noto il segnale di ingresso xt. Ordine 3 Dall equazione.46 si ha: dv 3 t + y C v 3 t + k C v 1 t v t = 0.51 da cui v 3 t = t 0 y k C e C τ C v 1 t τ v t τ dτ.5.4 Vantaggi e svantaggi degli algoritmi di analisi in frequenza Un primo evidente vantaggio, rispetto ai metodi di analisi nel dominio del tempo, è l elevata velocità di esecuzione e la mancanza di errori di simulazione nel caso di algoritmi in freqeunza. Tuttavia risultano essere più complessi e presentano problemi di 4

19 stabilità: se le non linearità sono deboli, allora sono sufficienti pochi nuclei di Volterra o pochi ordini per determinare con sufficiente approssimazione la risposta yt. Quando invece le non linearità diventano più forti, si è costretti a considerare un numero sempre più grande di nuclei per determinare la risposta. E infine addirittura possibile, in casi estremi ma non rari, che tali metodi, soprattutto per esempio il metodo ordine per ordine, non convergano affatto, mentre nel caso dell analisi nel dominio del tempo, anche se più lentamente, si ha quasi sempre una soluzione stabile. Un altro vantaggio dei metodi in frequenza consiste nel determinare in modo immediato la risposta a regime permanente. Infine, uno dei principali svantaggi di tali metodi, che fa si che non vengano utilizzati per forti non linearità, consiste proprio nella mancanza di modelli descrittivi in frequenza degli elementi non lineari. Infatti, nel campo delle microonde, le non linearità sono quasi esclusivamente confinate nel dispositivo attivo, che in genere è caratterizzato con un modello a grande segnale descritto nel dominio del tempo. Viceversa, gli altri componenti circuitali, quali parassiti e reti di adattamento, sono considerati lineari e vengono facilmente caratterizzati nel dominio della frequenza esempio linee di trasmissione. Per poter allora sfruttare al meglio la semplicità di analisi degli elementi lineari nel dominio della frequenza e di quelli non lineari nel dominio del tempo, si ricorre ai cosiddetti metodi misti, tra i quali il bilanciamento armonico riveste un ruolo predominante. 43