Esercizi di Algebra. Anna Bigatti. 13 Novembre Ora vogliamo definire una operazione +, cioè dobbiamo definire quando fa a + b.

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1 Esercizi di Algebra Anna Bigatti 13 Novembre Operazioni in Z n Definizione 11 Siano a, b Z Diciamo che a = b in Z n oppure, equivalentemente, se n divide a b se e solo se esiste k Z tale che a = b + kn Esempio 12 In Z 10 abbiamo che 37 = 2147 perché 10 divide Ora vogliamo definire una operazione +, cioè dobbiamo definire quando fa a + b Esempio 13 Sia a + b := a + b : l operazione così definita ha la proprietà commutativa, associativa, e ha un elemento neutro (tale che 0 + a = a per ogni a ) Esempio 14 Sia a + b := a + 2b, quali proprietà ha? commutativa: NO controesempio: = = = = 4 Quindi non è commutativa perché 5 4 in Z 10 associativa: NO controesempio: (1 + 2) + 3 = = = = (2 + 3) = = = = 17 Quindi non è associativa perché in Z 10 (Di conseguenza non posso scrivere perché sarebbe ambiguo) Teniamo la definizione di + dell Esempio12 e definiamo un operazione compatibile con + Esempio 15 Sia a b := ab : l operazione così definita ha la proprietà commutativa, associativa, distributiva rispetto a + e ha un elemento neutro (tale che 1 a = a per ogni a ) Esempio 16 Sia a + b := 2ab, quali proprietà ha? commutativa: SI dimostrazione: a b = 2ab b a = 2ba Quindi è commutativa perché 2ab = 2ba in Z e allora 2ab = 2ba in Z 10 1

2 associativa: SI dimostrazione: (a b) c = 2ab c = 4abc a (b c) = a 2bc = 2a2bc Quindi è commutativa perché 4abc = 2a2bc in Z e allora 4abc = 2a2bc in Z 10 (Di conseguenza posso scrivere a b c perché non è ambiguo) distributiva: SI dimostrazione: (a + b) c = a + b c = 2(a + bc) a c + b c = 2ac + 2bc = 2ac + 2bc Quindi è distributiva perché 2(a + b)c = 2ac + 2bc) in Z Elemento neutro: NO controesempio: Non esiste inverso per 1 : infatti per ogni u Z 10 non è divisibile per 10 1 u 1) = 2u, perché 2u 1 è dispari e quindi Esercizio 17 Sia a + b = 1, quali proprietà ha? Definizione 18 In Z n definiamo le operazioni somma: a + b := a + b prodotto: a b := ab 11 La prova del 9 Calcolo (a mano) e ottengo 3827 Sarà giusto? Faccio la prova del 9: sommo (ripetutamente) le cifre di 187 e le cifre di = = 7 e = 3 ora moltiplico 7 e 3 (e sommo le cifre) e confronto il risultato con la somma (ripetuta) delle cifre di = = 3 e = = 2 sono diversi!! Allora ho sbagliato i conti! Il risultato giusto è 3927 : = = 3 Perché questo metodo funziona? Proviamo a calcolare in Z 9 : 187 = = (per la definizione di somma e la sua associatività) = (per la definizione di prodotto e la sua associatività) = (perché 10 = 1 e 1 è elemento neutro per il prodotto) = (per la definizione di somma e la sua associatività) = 16 = = (per tutte le proprietà che abbiamo usato prima) = 7 Analogamente abbiamo che 21 = 3 e 3927 = 3 Per la definizione di prodotto dobbiamo avere = 3927 Esercizio 19 Descrivere la prova dell 11 (usando Z 11 ) 2

3 12 Criteri di divisibilità Come si vede se un numero è divisibile per 11? Basta fare la somma a segni alterni delle sue cifre e controlare che il risultato sia divisibile per 11 : 3927 : = 11 quindi è divisibile per 11 Perchè funziona? Facciamo i conti in Z 1 1 : abbiamo che 3927 è divisibile per 11 se e solo se 3927 = classe(0) classe(7) = classe(7) = = 11 = 0 Esercizio 110 Descrivere i criteri di divisibilità per 3 e 9 13 Potenze Esercizio 111 Qual è l ultima cifra di 7 126? Se abbiamo tempo da perdere o un buon programma di calcolo, possiamo fare Ma possiamo rispondere alla domanda molto più facilmente L ultima cifra di un numero è (in base 10 ) il resto della divisione per 10, quindi è il suo rappresentante canonico in Z 10 (cioè quello compreso tra 0 e 9 ) Quindi calcoliamo il rappresentante canonico di Esercizio 112 Quanto vale in Z 12? in Z 15? = (7 263 ) = = 1 63 = ( 1 63 ) = 1 = 9 14 Applicazioni Z n Z m Esercizio 113 Sia ϕ : Z 6 Z 10 definita da ϕ(a) := ã E ben definita come applicazione? (cioè: è invariante se cambio rappresentante di a?) NO controesempio: ϕ(0) := 0 ϕ(6) := 6 Quindi non è ben definita perché 6 = 0 in Z 6 mentre 6 0 in Z 10 Esercizio 114 Sia ϕ : Z 6 Z 10 definita da ϕ(a) := 5a E ben definita? E iniettiva? E ben definita: SI dimostrazione: ϕ(a) := 5a Ogni altro rappresentante di a è del tipo a + 6k : ϕ(a + 6k) := 5(a + 6k) = 5a + 30k Quindi 5a + 30k in Z 10 per ogni k Z E iniettiva: NO controesempio: è ben definita perché 5a = ϕ(1) := 5 ϕ(3) := 15 Quindi non è ben iniettiva perché 1 3 in Z 6 mentre 5 = 15 in Z 10 3

4 Esercizio 115 Sia ϕ : Z 5 Z 10 definita da ϕ(a) := ã E ben definita? (in caso affermativo) e iniettiva? Esercizio 116 Sia ϕ : Z 5 Z 10 definita da ϕ(a) := 2a E ben definita? (in caso affermativo) e iniettiva? Esercizio 117 Sia ϕ : Z 10 Z 5 definita da ϕ(a) := ã E ben definita? (in caso affermativo) e iniettiva? Esercizio 118 Sia ϕ : Z 5 Z 5 definita da ϕ(a) := 2a E ben definita? (in caso affermativo) e iniettiva? 15 Crittografia Vediamo una breve descrizione del metodo RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1977) Associamo ad ogni lettera un numero di su cifre A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Vogliamo associare a ogni parola di r = 2 lettere (quindi 4 cifre) un numero in Z q quindi devo scegliere q maggiore della parola più grande, nel nostro caso 2626 Scelgo q = p 1 p 2, prodotto di due primi: q = = 2773 Calcolo la funzione di Eulero ψ(q) = (47 1)(59 1) = 2668 e scelgo un numero s tale che GCD(s, ψ(q)) = 1, per esempio s = 5 Ora rendo pubblica la mia chiave (q, s) = (2773, 5) e chiedo che mi si mandino i messaggi criptati con parole di r = 2 lettere in Z q elevate alla potenza s Quindi se uno mi vuole scrivere segretamente CARI-SALUTI, deve: fare parole di 2 lettere CA RI -S AL UT I- trasformarli in classi in Z q elevarli alla s = = = = = = = = = 988 spedire il messaggio risultante: W (48)I(68)Y (83)G(79)I(97)I(88) (dobbiamo anche accordarci su caratteri da associare ai numeri 27 ) ricevo il messaggio, in numeri, Per decodificarlo calcolo t tale che st + kψ(q) = 1 (per questo ho scelto s coprimo con ψ(q) ) 4

5 Uso l algoritmo euclideo: 2668 = = = Quindi 1 = 3 2 = 3 (5 3) = = ( ) 2 5 = e anche ( ) quindi t = 1601 (o anche elevo i numeri alla t (abbiamo già visto come calcolare grandi potenze in Z q ) ed ottengo il messaggio: = = 1809 Perché torna il messaggio originale?? Tutto il trucco è nel teorema di Fermat generalizzato che ci dice che in Z q abbiamo w kψ(q)+1 = w per ogni k e noi abbiamo costruito t tale che st = Perché nessun altro può decifrare il messaggio visto che tutti conoscono q e s?? Perché fattorizzare i numeri è difficile, soprattutto se scelgo due primi p 1 e p 2 di 60 o 100 cifre!! Quindi nessuno, a parte me, conosce ψ(q) e quindi nessuno può calcolare il t da usare per decifrare il messaggio 5