II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17

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1 II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 4 febbraio 7 Cognome: Nome: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione). Prima parte (Esercizi,, ) Esercizio. Valentino lancia un dado regolare a sei facce, il cui risultato indichiamo con X. Quindi estrae casualmente X lettere dall alfabeto inglese (6 lettere totali), una dopo l altra con reimmissione, componendo una parola. Successivamente Valentino lancia un altra volta il dado, il cui risultato indichiamo con Y, e compone casualmente una seconda parola di Y lettere. (a) Qual è la probabilità che la due parole composte abbiano lo stesso numero di lettere? (b) Qual è la probabilità che la prima parola composta sia CUORE? (c) Se la prima parola è CUORE, qual è la probabilità che la seconda parola sia un anagramma di CUORE? Soluzione. (a) Dobbiamo calcolare 6 6 P(X = Y ) = P(X = Y, X = i) = P(X = i, Y = i) = i= i= 6 P(X = i)p(y = i) = i= 6 i= 6 6 = 6. (b) Indichiamo con Z la prima parola. Osserviamo che la sua lunghezza è data da X, quindi è una variabile aleatoria. Affinché Z = CUORE, deve innanzitutto accadere che X = ; quindi, condizionalmente all evento {X = }, possiamo osservare che Z = (Z, Z, Z, Z 4, Z ) dove le variabili aleatorie Z i sono indipendenti con distribuzione uniforme discreta a valori nell alfabeto. In definitiva, la probabilità richiesta è P(Z = CUORE) = P(X =, Z = CUORE) = P(X = ) P(Z = CUORE X = ) = P(X = ) P(Z = C, Z = U, Z = O, Z 4 = R, Z = E) = P(X = ) P(Z = C) P(Z = U) P(Z = O) P(Z 4 = R) P(Z = E) = 6 6. (c) Indichiamo con W la seconda parola, mentre Z indica la prima parola. Per l indipendenza delle due parole, dobbiamo calcolare Dobbiamo calcolare P(W è un anagramma di CUORE Z = CUORE) = P(W è un anagramma di CUORE). Ci sono! = anagrammi di CUORE, e ciascuno ha la stessa probabilità calcolata al punto precedente: infatti, scelte arbitrariamente le lettere w, w, w, w 4, w, si ha P(W = (w, w, w, w 4, w )) = P(Y = ) P(W = (w, w, w, w 4, w ) Y = ) = 6 6. In definitiva P(W è un anagramma di CUORE) = 6 6 = 6.

2 Esercizio. Siano X e Y due variabili aleatorie a valori interi, con X e Y, con densità discreta congiunta data dalla formula seguente, per (k, n) N : p (X,Y ) (k, n) = P((X, Y ) = (k, n)) = q ( q) n {k } {n } {n k+}, dove q (, ) è un parametro fissato. Definiamo quindi la variabile aleatoria Z := Y X. (a) Si mostri che X ha distribuzione geometrica. (b) Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti? (c) Si mostri che Z è indipendente da X e ha distribuzione geometrica. (d) Si calcolino E[Y ] e Cov[X, Y ]. Soluzione. (a) La densità discreta di X è data per k N da p X (k) = p (X,Y ) (k, n) = q ( q) n = q ( q) k n N n=k+ n=k+ ( q) n (k+). Col cambio di variabili l = n (k + ), l ultima somma diventa la serie geometrica l= ( q) l = ( q) = q, pertanto p X (k) = q ( q) k. Ciò mostra che X è geometrica di parametro q. (b) X e Y non sono indipendenti. Basta notare che P(X =, Y = ) =, perché la densità discreta si annulla per n = k (grazie a {n k+} ), mentre P(X = ) > e P(Y = ) >. Per giustificare queste disuguaglianze, si può notare che P(X = ) = q( q) >, come mostrato nel primo, mentre P(Y = ) P(X =, Y = ) = p (X,Y ) (, ) = q >. (c) Calcoliamo la distribuzione congiunta di (X, Z). p (X,Z) (k, m) = P(X = k, Z = m) = P(X = k, Y X = m) = P(X = k, Y = k + m) = p (X,Y ) (k, k + m) = q ( q) k+m {k } {k+m } {k+m k+} = q ( q) k+m {k } {m } = ( q ( q) k {k } )( q ( q) m {m } ). Dato che la densità discreta congiunta di X e Z si fattorizza nel prodotto di due densità geometriche di parametro q, segue che X e Z sono indipendenti, entrambe con distribuzione geometrica di parametro q. (d) Possiamo scrivere Y = X + Z. Sappiamo che X e Z sono geometriche di parametro q, quindi hanno media /q e varianza ( q)/q. Per la linearità del valore medio E[Y ] = E[X] + E[Z] = q mentre per la bilinearità della covarianza, e per il fatto che v.a. indipendenti sono scorrelate, Cov[X, Y ] = Cov[X, X + Z] = Cov[X, X] + Cov[X, Z] = Cov[X, X] = Var[X] = q q.

3 Esercizio. Sia X una variabile aleatoria reale con densità c f X (x) = ( + x) (, )(x), dove c R è un opportuna costante. Definiamo la variabile aleatoria Y := log X. (a) Si determini il valore di c e si dica per quali p (, ) si ha X L p. (b) Si mostri che Y è assolutamente continua. (c) Si determini la distribuzione di M := max{x, Y }. Soluzione. (a) Imponendo che l integrale della densità valga uno, si ottiene [ ] = = c, c ( + x) dx = c ( + x) da cui c =. Dato che X > q.c. (la densità si annulla per argomenti negativi), si ha E[ X p ] = E[X p ] = x p ( + x) dx. La funzione integranda è continua in [, ), dunque è integrabile (in quanto misurabile e limitata) in ogni intervallo compatto [, M]. Per x essa è asintotica a /x p, pertanto è integrabile se e solo se p >, ossia p <. In definitiva, X L p se e solo se p <. (b) Calcoliamo la funzione di ripartizione di Y : per ogni y R F Y (y) = P(Y y) = P(log X y) = P(X e y ) = F X (e y ). Calcoliamo la funzione di ripartizione di X: per x > x [ F X (x) = ( + t) dt = ( + t) ] x = ( + x). In definitiva F Y (y) = F X (e y ) = ( + e y ). Questa funzione è C, quindi Y è assolutamente continua con densità f Y (y) = F Y e y (y) = ( + e y ). (c) Dato che log x x per ogni x >, si ha M = max{x, log X} = X, dunque M ha la stessa distribuzione di X. In alternativa, per ogni t >, F M (t) = P(M t) = P(X t, Y t) = P(X t, X e t ) = P(X min{t, e t }) = P(X t)) = F X (t), dal momento che t e t per ogni t R.

4 4 Seconda parte (Esercizi 4,, 6) Esercizio 4. Romeo si trova con i suoi amici, ciascuno dei quali ha una moneta. L amico numero uno dà la sua moneta a Romeo; quindi si unisce a lui, formando un gruppo di due persone. L amico numero due dà la sua moneta a una persona del gruppo (Romeo o il primo amico) scelta casualmente; quindi si unisce al gruppo, che diventa di tre persone. Procedendo, per ogni n N, l amico numero n dà la sua moneta a una persona scelta a caso tra le n del gruppo; quindi si unisce al gruppo, che diventa di n + persone. Definiamo gli eventi A i := l amico numero i dà la sua moneta a Romeo e indichiamo con S n il numero di monete che Romeo ha in tasca dopo che l amico numero n ha consegnato la sua moneta. Si noti che S n è una variabile aleatoria che assume valori tra e n. (a) Si mostri che P(S n = ) = n, P(S n = n) = n!. (b) Si esprima S n in termini degli eventi A i. Si deduca che (c) Si definisca la variabile aleatoria E[S n ] per n, Var[S n ] E[S n ] n N. Y n := S n E[S n ] e si calcoli il limite seguente: lim Var[Y n] =... (d) Si mostri che Y n converge in probabilità e si identifichi il limite. Soluzione 4. (a) L evento {S n = } significa che tutti gli amici dal numero al numero n danno la loro moneta a una persona diversa da Romeo, quindi P(S n = ) = P(A c A c... A c n) = 4 n = n n. L evento {S n = n} significa che tutti gli amici dal numero al numero n danno la loro moneta a Romeo, quindi P(S n = n) = P(A A... A n ) = 4 n = n!. (b) Possiamo scrivere S n = X + X X n dove X i = Ai è una variabile aleatoria Be( i ), quindi Per linearità del valore medio E[X i ] = i, E[S n ] = E[X ] E[X n ] = n. Dato che X i Be( i ), si ha inoltre Var[X i ] = i ( ) i i.

5 Dato che gli eventi A i sono indipendenti, lo sono anche le v.a. X i, quindi per additività della varianza (c) Si ha Var[S n ] = Var[X ] Var[X n ] n = E[S n]. Var[Y n ] = E[S n ] Var[S n] E[S n ] E[S n] = E[S n ], perché E[S n ]. (d) Si noti che E[Y n ] =. Per la disuguaglianza di Chebychev, per ogni ε > P( Y n > ε) = P( Y n E[Y n ] > ε) Var[Y n] dunque Y n in probabilità. ε,

6 6 Esercizio. Achille lancia freccette che colpiscono il bersaglio triangolare B definito da B = {(x, y) R : x, y x}. La freccetta i-esima atterra nel punto (X i, Y i ) distribuito uniformemente in B, e gli esiti di lanci distinti sono indipendenti. Il punteggio ottenuto col lancio i-esimo è dato dall ascissa X i. (a) Si determini la distribuzione di X i e se ne calcolino media m e varianza σ. (b) Quante freccette deve mettere in conto di lanciare Achille, se vuole superare il punteggio di 4 con il 9% di probabilità? Soluzione. (a) Si noti che B ha area unitaria, pertanto la densità congiunta di (X i, Y i ) è data da f (Xi,Y i )(x, y) = B (x, y). Chiaramente X i, dunque f Xi (x) = se x [, ], mentre per x [, ] x f Xi (x) = f (Xi,Y i )(x, y) dy = dy = x. Si ha dunque m = E[X i ] = E[Xi ] = R R R x f Xi (x) dx = x f Xi (x) dx = x ( x x) dx = [ x 6 ] = 8 6 =, x ( x x) dx = [ x4 8 ] = 8 =, σ = E[X i ] m = 4 9 = 9. (b) Indichiamo con S n := X X n il punteggio ottenuto in n lanci. Per il teorema limite centrale, Z n := (S n mn)/(σ n) Z N(, ) in legge, pertanto ( Sn mn P(S n > 4) = P σ > 4 n ) ( ) ( ) ( n n n n P Z > = Φ = Φ n n n Dalla tavola della distribuzione normale si ricava che Φ(z) =.9 per z.9, pertanto n n.9 ( n).9 n = n ). da cui n n (.6) =.6,

7 7 Esercizio 6. Sia X = (X n ) n una catena di Markov sull insieme E = {,, } con il seguente grafo di transizione, dove q [, ] indica un parametro fissato: q Indichiamo come al solito P i ( ) := P( X = i). (a) Si scriva la matrice di transizione, si classifichino gli stati e se ne determini il periodo. (b) Si calcoli P (X = ). (c) Si mostri che esiste un unico valore del parametro q per cui la catena di Markov ammette una probabilità reversibile π = (π i ) i=,, e la si calcoli. (d) Per il valore di q determinato al punto precedente, si calcolino i limiti seguenti: Soluzione 6. lim P (X n = ) =... (a) Si ha p = lim P (X n = X n = ) =... q q Dato che, c è un unica classe di comunicazione, che è ovviamente chiusa e finita, dunque ricorrente positiva. Ciò significa che la catena di Markov è irriducibile e ricorrente positiva. Tutti gli stati hanno lo stesso periodo T =, ossia la catena è aperiodica: infatti p p p > e p p p p >, da cui T = M.C.D.{,,...} =. (b) Disintegrando rispetto al valore di X si ottiene. P (X = ) = P (X =, X = ) + P (X =, X = ) + P (X =, X = ) = p p + p p + p p = ( ) + q q = 9 + q q. In alternativa, ricordiamo che P i (X n = j) = (p n ) ij. La potenza seconda della matrice di transizione è p = p p = 9 + q q q q 9 quindi P (X = ) = (p ) = 9 + q q. 9 q q 9 q + q (c) Una probabilità è reversibile se e solo se π i p ij = π j p ji per ogni i, j {,, }. Questa relazione per i = j è sempre soddisfatta, quindi basta verificare solo i casi in cui i j. π p = π p π = π π = π. π p = π p π = π π = π = π.

8 8 π p = π p π q = π π = q π. Da ciò segue che π è reversibile se e solo se q = q = 6. Imponendo π + π + π = si ottiene infine π + π + q π = π + π + π = π = π =, π = π =. (d) Per il teorema di convergenza all equilibrio Per la formula di Bayes lim P (X n = ) = π =. P (X n = X n = ) = P (X n = X n = ) P(X n = ) P(X n = ) per la proprietà di Markov. Dato che = p P(X n = ) P(X n = ), e p =, otteniamo lim P (X n = ) = π = lim P (X n = X n = ) = = 6.

9 9 Tavola della distribuzione normale La tabella seguente riporta i valori di Φ(z) := z e x π dx, la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard N(, ), per z.. Ricordiamo che i valori di Φ(z) per z < possono essere ricavati grazie alla formula Φ(z) = Φ( z). z