Calcolo delle Probabilità

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1 Esercitazione 6 maggio 04 Calcolo delle Probabilità Davide Petturiti davide.petturiti@sbai.uniroma.it web: Esercizio. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione U([0, ]) e U([0, ]), rispettivamente. Denotando con Z = X + Y, determinare la densità f Z (z), il valore atteso E(Z), la varianza Var(Z), e la probabilità P(X < Y Y < ). Esercizio. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, entrambe con distribuzione normale e E(X) = E(Y ) = 0, Var(X) = e Var(Y ) = 4. Determinare la funzione di densità congiunta f (x, y) del vettore aleatorio (X, Y ) e l equazione delle relative curve di livello. Sia (X 0,Y 0 ) il vettore aleatorio ottenuto da (X,Y ) eseguendo una rotazione (in senso antiorario) di un angolo µ intorno all origine. Determinare le funzioni di densità marginali f X 0 e f Y 0 di X 0 e Y 0, e per quali angoli µ (se esistono) le variabili aleatorie X 0 e Y 0 sono indipendenti. Esercizio 3. Sia (X,Y ) il vettore aleatorio con densità Ω k(x + )(y + ) se (x, y) A, f (x, y) = dove k è una costante reale positiva ed A è il parallelogramma di vertici (,0), (,), (0,) e (0,). Determinare il valore della costante k, le densità condizionate f X Y e f Y X, e la probabilità P(Y < X Y < ). Esercizio 4. Il codominio di un vettore aleatorio (X, Y ) è costituito dalle coppie equiprobabili (, 0), (, ), (, ), (0,4), (, 3), (,0), 4 5,. Determinare la funzione di ripartizione F Z (z) di Z = 5X + Y. Esercizio 5. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) le cui componenti assumono valori non-negativi è Ω 4ye x y se x 0, y 0, f (x, y) = 0 altrove. Posto Z = X + Y, calcolare per ogni z 0 la funzione di sopravvivenza S Z (z) e la funzione di rischio h Z (z) di Z. Esercizio 6. Un vettore aleatorio (X,Y ) ha densità congiunta Ω p k x f (x, y) = + y se (x, y) C, dove k è una opportuna costante positiva e C è il settore della corona circolare individuata dalle circonferenze centrate nell origine di raggio 3 e 4 che giace nel primo quadrante. Determinare il valore di k, le densità marginali f X (x) ef Y (y), e la probabilità dell evento E = (X > Y ). SUGGERIMENTO: quando il codominio del vettore aleatorio coinvolge delle circoferenze, per facilitare l integrazione potrebbe essere utile passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari.

2 Svolgimento degli esercizi Esercizio Sappiamo che X ª U([0,]), Y ª U([0,]), e che X e Y sono indipendenti, quindi la densità congiunta del vettore aleatorio (X,Y ) risulta Ω f (x, y) = f X (x)f Y (y) = per (x, y) [0,] [0,], 0 atrove, il cui grafico è mostrato in Figura (a). (a) Funzione di densità congiunta f (x, y) (b) Funzione di densità f Z (z) di Z Figura : Grafici di f (x, y) ef Z (z) Posto Z = X + Y si osserva facilmente che C Z = [0,3] inoltre, poiché X e Y sono indipendenti, la sua densità f Z può essere trovata come convoluzione delle densità di X e Y, ovvero Essendo f Z (z) = (f X f Y )(z) = Z + f X (t)f Y (z t)dt. Ω per 0 t, f X (t) = Ω e f Y (z t) = per 0 z t () z t z, si ha che f X (t)f Y (z t) 6= 0 per max{0, z } t min{, z}, quindi possiamo riscrivere f Z come segue ( R min{,z} f Z (z) = max{0,z } dt = I per z [0,3], 0 altrove. Per calcolare I ci serve determinare gli estremi di integrazione al variare di z [0,3]. Risulta che max{0, z } = z () z 0 () z ; max{0, z } = 0 () z 0 () z ; min{, z} = z () z ; min{, z} = () z ; da cui, ricordando che z [0,3], segue che per z [0,], max{0, z } = 0 e min{, z} = z; per z (,), max{0, z } = 0 e min{, z} = ; per z [,3], max{0, z } = z e min{, z} =. Abbiamo quindi che 8 R z >< 0 dt = [t]z 0 = z per z [0,], R I = 0 >: dt = [t] 0 = per z (,), R z dt = [t] z = 3 z per z [,3],

3 da cui 8 >< f Z (z) = >: z per z [0,], per z (,), 3 z per z [,3], il cui grafico è mostrato in Figura (b). Ricordando che l indipendenza di X e Y implica Cov(X,Y ) = 0, segue che Infine, essendo E(Z) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = + = 3, Var(Z) = Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + Cov(X,Y ) = + 4 = 5. P(Y < ) = Z 0 dx Z 0 dy = e P(X < Y < ) = Z 0 dx Z x dy = 4, risulta P((X < Y ) ^ (Y < )) P(X < Y < ) P(X < Y Y < ) = = = P(Y < ) P(Y > ). 3

4 Esercizio Essendo X ª N (0,) e Y ª N (0,), le relative densità risultano f X (x) = p e x e f Y (y) = º p y º e 8, e dall indipendenza di X e Y segue che la densità congiunta del vettore aleatorio (X,Y )è il cui grafico è mostrato in Figura (a). f (x, y) = f X (x)f Y (y) = x 4º e y 8 per x, y R, (a) Funzione di densità congiunta f (x, y) (b) Curve di livello Essendo poi E(X) = E(Y ) = Cov(X,Y ) = 0, segue che Figura : Grafico di f (x, y) e relative curve di livello E(XY) = 0. Il vettore aleatorio (X,Y ) ha distribuzione normale bivariata a componenti indipendenti, quindi f (x, y) ha un massimo assoluto in corrispondenza del vettore delle medie di X e Y, ovvero in µ = (0,0), dove risulta f (0,0) = 4º º 0.095, inoltre f (x, y) è positiva su tutto il piano R. Da ciò segue che f (x, y) assume valori in 0, 4º. Per k 0, 4º l equazione delle curve di livello si ottiene imponendo f (x, y) = k, ovvero x 4º e y 8 = k () e x y 8 = 4ºk () x y 8 = ln(4ºk), che corrisponde ad un ellisse. La Figura (b) mostra alcune curve di livello ottenute per alcuni valori di k. Per µ [0,+), il vettore aleatorio (X 0,Y 0 ) che corrisiponde ad una rotazione di (X,Y ) in senso antiorario intorno all origine può essere espresso come Ω X 0 = X cos(µ) Y sin(µ), Y 0 = X sin(µ) + Y cos(µ), dove, per µ fissato, cos(µ) e sin(µ) sono costanti reali. Quindi, costruendo la matrice cos(µ) sin(µ) A = sin(µ) cos(µ) ed utilizzando la notazione di prodotto tra matrici, possiamo porre (X 0,Y 0 ) = (X,Y )A, da cui segue che (X 0,Y 0 ) ha ancora distribuzione normale bivariata. Si noti che det(a) =. OSSERVAZIONE: Se un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione normale bivariata, presa una matrice reale A di dimensione ( ) con determinante non-nullo ed un vettore riga b di dimensione ( ), la trasformazione lineare di (X,Y ) data da (X 0,Y 0 ) = (X,Y )A + b ha ancora distribuzione normale bivariata. 4

5 OSSERVAZIONE: Se una variabile aleatoria X ha distribuzione normale N (µ, æ), e a, b sono costanti reali, allora Y = ax + b ha distribuzione N (aµ + b, a æ). Per un µ fissato poniamo: U = X cos(µ) che ha distribuzione N (0, cos(µ) ) con E(U) = 0, Var(U) = cos (µ) e U (t) = e cos (µ)t ; V = Y sin(µ) che ha distribuzione N (0, sin(µ) ) con E(V ) = 0, Var(V ) = 4sin (µ) e V (t) = e 4sin (µ)t ; W = X sin(µ) che ha distribuzione N (0, sin(µ) ) con E(W) = 0, Var(W) = sin (µ) e W (t) = e sin (µ)t ; Z = Y cos(µ) che ha distribuzione N (0, cos(µ) ) con E(Z) = 0, Var(Z) = 4cos (µ) e Z (t) = e 4cos (µ)t ; e ciò ci permette di riscrivere Ω X 0 = U + V, Y 0 = W + Z, Anche i vettori (U, V ) e(w, Z) hanno distribuzione normale bivariata poiché cos(µ) 0 (U,V ) = (X,Y ) 0 sin(µ) inoltre si ha, ricordando che E(U) = E(V ) = E(W) = E(Z) = E(XY) = 0, sin(µ) 0 e (W, Z) = (X,Y ) 0 cos(µ) Cov(U, V ) = E(UV) E(U)E(V ) = E((X cos(µ))( Y sin(µ))) = cos(µ) sin(µ)e(xy) = 0, Cov(W, Z) = E(WZ) E(W)E(Z) = E((X sin(µ))(y cos(µ))) = sin(µ) cos(µ)e(xy) = 0, quindi U, V sono indipendenti, ed anche W, Z., OSSERVAZIONE: Se un vettore aleatorio (X,Y ) ha distribuzione normale bivariata allora X e Y sono indipendenti se e solo se Cov(X,Y ) = 0. In generale, ciò non è vero se (X,Y ) non ha distribuzione normale bivariata. Possiamo determinare la funzione di ripartizione di X 0 e di Y 0 come segue X 0(t) = U+V (t) = U (t) V (t) = e (cos (µ)+4sin (µ))(t) e Y 0(t) = W+Z (t) = W (t) Z (t) = e (sin (µ)+4cos (µ))(t), da ciò si può concludere che X 0 ª N f X 0(x) = p º(cos (µ) + 4sin (µ)) p p 0, cos (µ) + 4sin (µ) e Y 0 ª N 0, sin (µ) + 4cos (µ) e quindi e x (cos (µ)+4sin (µ)) e f Y 0(y) = p º(sin (µ) + 4cos (µ)) Infine, X 0 e Y 0 sono stocasticamente indipendenti se e solo se Cov(X 0,Y 0 ) = 0, quindi essendo E(X ) = Var(X) =, E(Y ) = Var(Y ) = 4, Cov(X 0,Y 0 ) = E(X 0 Y 0 ) E(X 0 )E(Y 0 ) e y (sin (µ)+4cos (µ)). = E((X cos(µ) Y sin(µ))(x sin(µ) + Y cos(µ))) E(X cos(µ) Y sin(µ))e(x sin(µ) + Y cos(µ)) = cos(µ)sin(µ)e(x ) cos(µ)sin(µ)e(y ) = 3cos(µ)sin(µ), dalla legge di annullamento del prodotto segue che Cov(X 0,Y 0 ) = 0 quando cos(µ) = 0 oppure sin(µ) = 0, ovvero X 0,Y 0 sono indipendenti per µ = º n con n {0,,,...}. 5

6 Esercizio 3 La densità congiunta è dove Ω k(x + )(y + ) per (x, y) A, f (x, y) = Il valore di k è dato da A = {(x, y) R : x 0, x + y x + } = {(x, y) R :0 y, x y } [ {(x, y) R : y, y x 0}. Z + Z + f (x, y)dxdy = k quindi la densità può essere riscritta come f (x, y) = il cui grafico è mostrato in Figura 3(a) e 3(b). Z 0 Ω 55 (x + )dx Z x+ x+ (x + )(y + ) per (x, y) A, (y + )dy = 55 k = () k = 55, (a) Funzione di densità congiunta f (x, y) (b) Funzione di densità congiunta f (x, y) (c) Funzione di densità f X (x) di X (d) Funzione di densità f Y (y) di Y Figura 3: Grafici di f (x, y), f X (x) ef Y (y) Le densità marginali risultano f X (x) = f Y (y) = Z + Z + i cui grafici sono riportati in Figura 3(c) e 3(d). Ω f (x, y)dy = 55 (x + )R x+ 6 x+ (y + )dy = 55 (x + x + 4) per x [,0], 8 >< 55 (y + )R y 6 (x + )dx = 55 (y3 + 4y + 4y) per y [0,), f (x, y)dx = 55 >: (y + )R 0 y (x + )dx = 6 55 ( y3 y + 4y + 8) per y [,], 6

7 Le densità condizionate sono date da 8 f (x, y) >< f X Y (x y) = f Y (y) = >: f Y X (y x) = (x+)(y+) (y 3 +4y +4y) (x+)(y+) ( y 3 y +4y+8) per y [0,), x y, per y [,], y x 0, ( f (x, y) (x+)(y+) f X (x) = per x [,0], x + y x +, (x +x+4) 0 altrove. Infine, poiché le due rette y = x + ey = x si intersecano in x =, si ha che P(Y < ) = 6 55 Z 0 (y 3 + 4y + 4y)dy = 43 0 e P( < Y < X) = 55 Z Z x (x + )dx (y + )dy = x+ 44, da cui segue che P((Y < X) ^ (Y < )) P( < Y < X) P(Y < X Y < ) = = P(Y < ) P(Y < ) = 0.

8 Esercizio 4 Il vettore aleatorio (X,Y ) può essere scritto in forma tabellare come segue Y TOT X TOT Poniamo Z = 5X + Y = '(X,Y ), dove ' è la funzione di due variabili reali '(t, s) = 5t + s, la quale risulta definita sul codominio di (X,Y ). Valutiamo ' sul codominio di (X,Y ) ottenendo: '(,0) = 5; '(,) = '(, 3) = ; '(, ) = '(0,4) = ' 4 5, = 8; '(,0) = 0; da cui ricaviamo che C Z = { 5,,8,0} con distribuzione di probabilità P(Z = 5) = P(X =,Y = 0) = ; P(Z = ) = P((X =,Y = ) _ (X =,Y = 3)) = P(X =,Y = ) + P(X =,Y = 3) = ; µ P(Z = 8) = P (X =,Y = ) _ (X = 0,Y = 4) _ µx = 45,Y = = P(X =,Y = ) + P(X = 0,Y = 4) + P µx = 45,Y = = 3 ; P(Z = 0) = P(X =,Y = 0) =. Da ciò segue immediatamente che 8 >< F Z (z) = >: 0 per z < 5, per 5 z <, 3 per z < 8, 6 per 8 z < 0, per z 0, il cui grafico è riportato in Figura 4. Figura 4: Funzione di ripartizione F Z (z) di Z 8

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