11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi

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1 . Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche - dal greco stochastikós congetturale ) In alcune situazioni, la variabilità casuale dei processi è talmente elevata che si preferisce descrivere i processi idrologici come puramente casuali Come tali, il valore di un osservazione risulta indipendente rispetto ad un osservazione precedente (p. es. il valore di portata massima annuale osservata in un certo anno non dipende dal valore del massimo osservato durante l anno precedente)

2 Questo tipo di descrizione statistica è appropriata per eventi idrologici estremi (portate e precipitazioni massime annuali; portate minime) I metodi statistici sono basati su principi matematici che descrivono la variazione casuale delle osservazioni. Non cercano di rappresentare i fenomeni che hanno determinato le osservazioni. Quindi, per es., una stessa funzione di distribuzione di probabilità può essere utilizzata per descrivere il comportamento delle piogge intense come quello delle portate di piena.

3 L analisi statistica nell ambito dell analisi idrologica I sistemi idrologici sono talvolta investiti da eventi estremi (precipitazioni, piene, siccità). La magnitudo di un evento estremo è inversamente proporzionale alla sua frequenza di accadimento: eventi molto severi accadono meno frequentemente di eventi di moderata intensità. Obiettivo dell analisi statistica dei dati idrologici: collegare la magnitudo degli eventi estremi alla loro frequenza di accadimento tramite l impiego di distribuzioni di probabilità.

4 I dati idrologici utilizzati a tale scopo sono assunti essere indipendenti e identicamente distribuiti. In pratica, questo si consegue utilizzando, per le analisi statistiche, i valori massimi annuali della variabile di interesse. Si consideri una serie di valori di portata massima annuale ogni valore è considerato indipendente rispetto agli altri

5 Trattamento probabilistico dei dati idrologici Come si collega la magnitudo degli eventi estremi alla loro frequenza di accadimento tramite l impiego di distribuzioni di probabilità? Popolazione: insieme di tutti i valori che la variabile casuale può assumere L insieme dei dati disponibili (p. es. 30 valori di portate massime annuali osservate presso una certa sezione di chiusura di un bacino) rappresenta un campione estratto da una ipotetica popolazione di dimensione infinita. Le proprietà statistiche dei campioni (media, varianza,...) variano da campione a campione, mentre quelle della popolazione sono uniche. Tramite tecniche di inferenza statistica, le proprietà della popolazione vengono stimate a partire da quelle del campione disponibile. Popolazione Inferenza statistica Campione osservato Campione Campione 2 Campione 3... Campione n... Insieme dei campioni da cui è formata la popolazione

6 Distribuzioni di probabilità Il processo di inferenza statistica consente di identificare le proprietà statistiche della popolazione a partire da quelle del campione. La funzione di probabilità così identificata consente di specificare, fra l altro, la probabilità che un generico valore x venga (o non venga) superato. Alcuni principi generali La probabilità deve soddisfare una serie di assiomi:. La probabilità di un evento è un numero compreso fra 0 e 2. La probabilità dell evento certo è 3. La probabilità di un evento ottenuto come somma di due eventi mutuamente escludentisi è pari alla somma delle probabilità dei due eventi. 4. La probabilità condizionata di un evento A, dato il verificarsi di un evento B, è data dal prodotto delle probabilità di A e di B (se i due eventi sono indipendenti fra loro).

7 Distribuzioni di frequenza e di probabilità Le funzioni di frequenza relativa e di frequenza cumulata sono definite per il campione. La funzione di densità di probabilità è rappresentata dal rapporto fra la funzione di frequenza cumulata e x, per n (numero di elementi del campione) tendente ad infinito e x tendente a zero. La funzione di probabilità F(x) rappresenta la probabilità che la variabile X assuma un valore compreso fra 0 ed x. g 0. 0 p( x) x x F(x) indica la probabilità di non superamento F F(x) x x x x x Distribuzioni di frequenza per descrivere il campione e funzioni di probabilità per descrivere la popolazione

8 Parametri statistici L obiettivo della statistica è quello di estrarre l informazione essenziale da un insieme di dati sintetizzandolo in un certo numero di parametri. popolazione campione xf ( x) dx tendenza centrale ( media) x n n i x i n ( x) f ( x) dx variabilita' (varianza) s ( xi x) n i ( x ) f ( x) dx 3 3 simmetria ( coeff. di asimmetria) C s n n ( x x) i ( n)( n2) s i 3 3

9 Uso di una funzione di distribuzione di probabilità per descrivere un campione di dati Dato un campione di dati x, x 2, x 3,.. x n, della variabile casuale X, ci si pone il problema di determinare la forma di una funzione F(x) atta a rappresentare, con ragionevole approssimazione, la distribuzione vera, ma incognita, della X. Processo di inferenza statistica scelta della distribuzione In base a ragionamenti sulla naturale variabilità di X si presuppongono una o più forme analitiche per la distribuzione incognita stima dei parametri della distribuzione metodo dei momenti metodo della massima verosimiglianza metodi grafici test di controllo viene valuata l'affidabilità delle distribuzioni ipotizzate test di Kolmogorov-Smirnov test del Chi-quadro

10 Stima dei parametri della distribuzione Una funzione di distribuzione di probabilità rimane un astrazione fino a quando non viene collegata alle osservazioni del fenomeno fisico. Questo si ottiene stimando i parametri della distribuzione sulla base dei dati del campione disponibile. Tecniche disponibili: - metodo dei momenti - metodo della massima verosimiglianza - metodi grafici Metodo dei momenti - I parametri delle distribuzioni sono esprimibili in funzione dei parametri statistici della popolazione (media, varianza,...) - Si assume che i parametri statistici della popolazione coincidano con quelli del campione - I parametri della distribuzione prescelta vengono espressi in funzione dei parametri statistici del campione, u parametri F( x) exp exp x u

11 Tempo di ritorno Il concetto di probabilità di non superamento (associato ad un certo evento idrologico) è spesso sostituito (per ragioni di comodità di rappresentazione) da quello di tempo di ritorno T. Definizione T P( X xt ) dove x T è la variabile caratterizzata da un tempo di ritorno T se P=0.0, T=00 anni Il tempo di ritorno di un evento di assegnata intensità è quindi: Numero di anni in cui l evento di intensità assegnata viene eguagliato o superato in media volta.

12 Tempo di ritorno In queste definizioni, la parola chiave è in media. Infatti, il tempo di ritorno non è il numero di anni che separa due eventi di intensità eguale o superiore a quella assegnata. Secondo tale ultima definizione, dopo il verificarsi di un evento T-ennale (ovvero di probabilità di superamento /T), occorrerebbe attendere T anni affinché l evento si ripeta (con certezza). Questo non è vero: infatti, la probabilità di un tale evento rimane pari ad /T in ciascun anno, indipendentemente dal verificarsi di un simile evento nell anno precedente o in anni recenti.

13 Tempo di ritorno e valori di progetto Qual è la probabilità che un evento T-ennale si verifichi almeno una volta in N anni? Nota: la chiave qui è nel termine almeno una volta, ovvero una o più volte. Si utilizzino gli assiomi del calcolo della probabilità P almeno evento T ennale in N anni Pnessun evento T ennale in N anni T P( X x ) T P[nessun evento T-ennale in N anni] =P[evento T-ennale non superato in ciascun anno] N =(-/T)N P almeno evento T ennale in N anni T N

14 Tempo di ritorno e valori di progetto L espressione viene utilizzata nel calcolo della fallanza di un opera o di un intervento rischio idrologico intrinseco Quando si deve valutare il rischio intrinseco associato ad un certo evento, si calcola la probabilità che l evento temibile (evento che eguaglia o supera una assegnata soglia progettuale) si verifichi almeno una volta durante la vita presunta dell opera. Si consideri un opera o un intervento dimensionato con riferimento all evento x(t) di T anni di tempo di ritorno: il rischio RN[x(T)] ovvero la probabilità che, durante N anni di funzionamento, l opera risulti insufficiente una o più volte, è esprimibile come R N [ x ( T )] T N

15 Tempo di ritorno e rischio idrologico intrinseco Nel caso in cui N=T, R T [x(t)], al crescere di T, tende rapidamente al valore asintotico 0.63 Questo indica che la probabilità che un opera diventi insufficiente in un arco di tempo di durata pari al tempo di ritorno di progetto è pari, per valori non troppo piccoli di quest ultimo, al 63% circa.

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

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