Analisi Statistica Spaziale
|
|
- Gerardina De Marco
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Analisi Statistica Spaziale Posa D., De Iaco S. UNIVERSITÀ del SALENTO DIP.TO DI SCIENZE ECONOMICHE E MATEMATICO-STATISTICHE FACOLTÀ DI ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 2007/2008
2 Analisi Statistica Spaziale 2 Kriging non stazionario Kriging non stazionario Tale metodo è anche denominato kriging con un modello trend Figura: distribuzione spaziale di un fenomeno non stazionario
3 Analisi Statistica Spaziale 3 Kriging non stazionario Campo aleatorio non stazionario Sia Z un campo aleatorio non stazionario espresso come segue: Z(u) = m(u) + Y (u), dove m(u) rappresenta la componente deterministica di Z ed è denominata trend Y (u) rappresenta la componente residua ed è tale che E[Y (u)] = 0, u D R d
4 Analisi Statistica Spaziale 3 Kriging non stazionario Campo aleatorio non stazionario Sia Z un campo aleatorio non stazionario espresso come segue: Z(u) = m(u) + Y (u), dove m(u) rappresenta la componente deterministica di Z ed è denominata trend Y (u) rappresenta la componente residua ed è tale che E[Y (u)] = 0, u D R d
5 Analisi Statistica Spaziale 3 Kriging non stazionario Campo aleatorio non stazionario Sia Z un campo aleatorio non stazionario espresso come segue: Z(u) = m(u) + Y (u), dove m(u) rappresenta la componente deterministica di Z ed è denominata trend Y (u) rappresenta la componente residua ed è tale che E[Y (u)] = 0, u D R d
6 Analisi Statistica Spaziale 4 Componente trend m(u) Componente trend m(u) Il trend m(u) viene spesso descritto da un modello polinomiale del tipo: L m(u) = a l f l (u) l=0 dove a l, l = 0,...,L, sono coefficienti incogniti; f l (u) rappresentano i monomi.
7 Analisi Statistica Spaziale 5 Componente trend m(u) Ad esempio, nel caso bidimensionale (piano) u = (x, y), l espressione esplicita di un trend lineare in termini delle coordinate cartesiane x, y risulta essere: m(x, y) = a 0 + a 1 x + a 2 y. In tal caso, f 0 (u) = 1, f 1 (u) = x, f 2 (u) = y.
8 Analisi Statistica Spaziale 5 Componente trend m(u) Ad esempio, nel caso bidimensionale (piano) u = (x, y), l espressione esplicita di un trend lineare in termini delle coordinate cartesiane x, y risulta essere: m(x, y) = a 0 + a 1 x + a 2 y. In tal caso, f 0 (u) = 1, f 1 (u) = x, f 2 (u) = y.
9 Analisi Statistica Spaziale 5 Componente trend m(u) Ad esempio, nel caso bidimensionale (piano) u = (x, y), l espressione esplicita di un trend lineare in termini delle coordinate cartesiane x, y risulta essere: m(x, y) = a 0 + a 1 x + a 2 y. In tal caso, f 0 (u) = 1, f 1 (u) = x, f 2 (u) = y.
10 Analisi Statistica Spaziale 6 Stima per un campo aleatorio non stazionario Stima per un campo aleatorio non stazionario Sia {Z(u), u D} un campo aleatorio spaziale non stazionario. Obiettivo: stimare il campo aleatorio Z in una localizzazione u mediante uno stimatore di tipo lineare Ẑ(u) = n λ i (u)z(u i ). i=1
11 Analisi Statistica Spaziale 7 Stima per un campo aleatorio non stazionario I coefficienti λ i sono determinati in modo che siano rispettate le seguenti condizioni: non distorsione dello stimatore, minimo della varianza dell errore.
12 Analisi Statistica Spaziale 7 Stima per un campo aleatorio non stazionario I coefficienti λ i sono determinati in modo che siano rispettate le seguenti condizioni: non distorsione dello stimatore, minimo della varianza dell errore.
13 Analisi Statistica Spaziale 7 Stima per un campo aleatorio non stazionario I coefficienti λ i sono determinati in modo che siano rispettate le seguenti condizioni: non distorsione dello stimatore, minimo della varianza dell errore.
14 Analisi Statistica Spaziale 8 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione richiede che ] E [Ẑ(u) Z(u) = 0, per cui: ] E [Ẑ(u) E [Z(u)] = 0 n λ i (u)m(u i ) m(u) = 0 i=1 [ n L ] L λ i (u) a l f l (u i ) a l f l (u) = 0 i=1 l=0 l=0
15 Analisi Statistica Spaziale 8 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione richiede che ] E [Ẑ(u) Z(u) = 0, per cui: ] E [Ẑ(u) E [Z(u)] = 0 n λ i (u)m(u i ) m(u) = 0 i=1 [ n L ] L λ i (u) a l f l (u i ) a l f l (u) = 0 i=1 l=0 l=0
16 Analisi Statistica Spaziale 8 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione richiede che ] E [Ẑ(u) Z(u) = 0, per cui: ] E [Ẑ(u) E [Z(u)] = 0 n λ i (u)m(u i ) m(u) = 0 i=1 [ n L ] L λ i (u) a l f l (u i ) a l f l (u) = 0 i=1 l=0 l=0
17 Analisi Statistica Spaziale 8 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione richiede che ] E [Ẑ(u) Z(u) = 0, per cui: ] E [Ẑ(u) E [Z(u)] = 0 n λ i (u)m(u i ) m(u) = 0 i=1 [ n L ] L λ i (u) a l f l (u i ) a l f l (u) = 0 i=1 l=0 l=0
18 Analisi Statistica Spaziale 8 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione richiede che ] E [Ẑ(u) Z(u) = 0, per cui: ] E [Ẑ(u) E [Z(u)] = 0 n λ i (u)m(u i ) m(u) = 0 i=1 [ n L ] L λ i (u) a l f l (u i ) a l f l (u) = 0 i=1 l=0 l=0
19 Analisi Statistica Spaziale 9 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Ne segue che: [ L n ] a l λ i (u)f l (u i ) f l (u) = 0, i=1 l=0 per cui, per qualunque valore dei coefficienti incogniti a l, l = 0,...,L, deve risultare: n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), i=1 l = 0,...,L.
20 Analisi Statistica Spaziale 9 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario Ne segue che: [ L n ] a l λ i (u)f l (u i ) f l (u) = 0, i=1 l=0 per cui, per qualunque valore dei coefficienti incogniti a l, l = 0,...,L, deve risultare: n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), i=1 l = 0,...,L.
21 Analisi Statistica Spaziale 10 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione impone L + 1 vincoli, ovvero n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), i=1 l = 0,...,L Nel caso stazionario, dove L = 0, f 0 (u) = 1, la condizione di non distorsione risulta essere una sola, ovvero n λ i (u) = 1. i=1
22 Analisi Statistica Spaziale 10 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di non distorsione nel kriging non stazionario La condizione di non distorsione impone L + 1 vincoli, ovvero n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), i=1 l = 0,...,L Nel caso stazionario, dove L = 0, f 0 (u) = 1, la condizione di non distorsione risulta essere una sola, ovvero n λ i (u) = 1. i=1
23 Analisi Statistica Spaziale 11 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Si desidera minimizzare la varianza dell errore tenendo conto dei vincoli di non distorsione. Il metodo di Lagrange consente di risolvere tale problema di minimo vincolato in maniera del tutto analoga al caso stazionario.
24 Analisi Statistica Spaziale 11 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Si desidera minimizzare la varianza dell errore tenendo conto dei vincoli di non distorsione. Il metodo di Lagrange consente di risolvere tale problema di minimo vincolato in maniera del tutto analoga al caso stazionario.
25 Analisi Statistica Spaziale 12 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Tuttavia, occorre introdurre (L + 1) moltiplicatori di Lagrange (µ 0, µ 1,...,µ L ) poichè in tale caso devono essere rispettati (L + 1) vincoli di non distorsione.
26 Analisi Statistica Spaziale 13 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Il sistema del kriging non stazionario sarà costituito da (n + L + 1) equazioni nelle (n + L + 1) incognite (λ 1,...,λ n, µ 0,...,µ L ): n λ j (u)γ ij j=1 L µ l (u)f l (u i ) = γ i0 (u) i = 1,...,n l=0 n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), l = 0,...,L i=1
27 Analisi Statistica Spaziale 13 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Il sistema del kriging non stazionario sarà costituito da (n + L + 1) equazioni nelle (n + L + 1) incognite (λ 1,...,λ n, µ 0,...,µ L ): n λ j (u)γ ij j=1 L µ l (u)f l (u i ) = γ i0 (u) i = 1,...,n l=0 n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), l = 0,...,L i=1
28 Analisi Statistica Spaziale 14 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Analogamente, in termini della covarianza C ij = C(u i u j ), si ottiene: n L λ j (u)c ij + µ l (u)f l (u i ) = C i0 (u) i = 1,...,n j=1 l=0 n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), l = 0,...,L i=1 Il valore minimo della varianza dell errore risulta pari a: n L σr(u) 2 = σ 2 λ i (u)c i0 (u) µ l (u)f l (u) i=1 l=0
29 Analisi Statistica Spaziale 14 Stima per un campo aleatorio non stazionario Vincoli di efficienza nel kriging non stazionario Analogamente, in termini della covarianza C ij = C(u i u j ), si ottiene: n L λ j (u)c ij + µ l (u)f l (u i ) = C i0 (u) i = 1,...,n j=1 l=0 n λ i (u)f l (u i ) = f l (u), l = 0,...,L i=1 Il valore minimo della varianza dell errore risulta pari a: n L σr(u) 2 = σ 2 λ i (u)c i0 (u) µ l (u)f l (u) i=1 l=0
30 Osservazioni 1) Analogamente al caso stazionario, il kriging universale richiede la conoscenza di una delle due funzioni strutturali C(u, v) = E [Z(u) m(u)] [Z(v) m(v)] = E [Y (u) Y (v)], 2γ(u, v) = V ar [Z(u) Z(v)] = V ar [Y (u) Y (v)] = E [ (Y (u) Y (v)) 2]. Ciò comporterebbe la stima simultanea del trend m(u) e del semivariogramma γ(u,v) dalle osservazioni (z(u 1 ),...,z(u n )). Per cui il kriging universale risulta essere non soddisfacente. Per la soluzione di questo problema, Matheron (1973) propose il formalismo delle Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine L. Tuttavia, nelle applicazioni, la stima di C o γ dei residui viene effettuata lungo la direzione ortogonale a quella del trend.
31 Osservazioni 1) Analogamente al caso stazionario, il kriging universale richiede la conoscenza di una delle due funzioni strutturali C(u, v) = E [Z(u) m(u)] [Z(v) m(v)] = E [Y (u) Y (v)], 2γ(u, v) = V ar [Z(u) Z(v)] = V ar [Y (u) Y (v)] = E [ (Y (u) Y (v)) 2]. Ciò comporterebbe la stima simultanea del trend m(u) e del semivariogramma γ(u,v) dalle osservazioni (z(u 1 ),...,z(u n )). Per cui il kriging universale risulta essere non soddisfacente. Per la soluzione di questo problema, Matheron (1973) propose il formalismo delle Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine L. Tuttavia, nelle applicazioni, la stima di C o γ dei residui viene effettuata lungo la direzione ortogonale a quella del trend.
32 Osservazioni 1) Analogamente al caso stazionario, il kriging universale richiede la conoscenza di una delle due funzioni strutturali C(u, v) = E [Z(u) m(u)] [Z(v) m(v)] = E [Y (u) Y (v)], 2γ(u, v) = V ar [Z(u) Z(v)] = V ar [Y (u) Y (v)] = E [ (Y (u) Y (v)) 2]. Ciò comporterebbe la stima simultanea del trend m(u) e del semivariogramma γ(u,v) dalle osservazioni (z(u 1 ),...,z(u n )). Per cui il kriging universale risulta essere non soddisfacente. Per la soluzione di questo problema, Matheron (1973) propose il formalismo delle Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine L. Tuttavia, nelle applicazioni, la stima di C o γ dei residui viene effettuata lungo la direzione ortogonale a quella del trend.
33 Osservazioni 1) Analogamente al caso stazionario, il kriging universale richiede la conoscenza di una delle due funzioni strutturali C(u, v) = E [Z(u) m(u)] [Z(v) m(v)] = E [Y (u) Y (v)], 2γ(u, v) = V ar [Z(u) Z(v)] = V ar [Y (u) Y (v)] = E [ (Y (u) Y (v)) 2]. Ciò comporterebbe la stima simultanea del trend m(u) e del semivariogramma γ(u,v) dalle osservazioni (z(u 1 ),...,z(u n )). Per cui il kriging universale risulta essere non soddisfacente. Per la soluzione di questo problema, Matheron (1973) propose il formalismo delle Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine L. Tuttavia, nelle applicazioni, la stima di C o γ dei residui viene effettuata lungo la direzione ortogonale a quella del trend.
34 Osservazioni 1) Analogamente al caso stazionario, il kriging universale richiede la conoscenza di una delle due funzioni strutturali C(u, v) = E [Z(u) m(u)] [Z(v) m(v)] = E [Y (u) Y (v)], 2γ(u, v) = V ar [Z(u) Z(v)] = V ar [Y (u) Y (v)] = E [ (Y (u) Y (v)) 2]. Ciò comporterebbe la stima simultanea del trend m(u) e del semivariogramma γ(u,v) dalle osservazioni (z(u 1 ),...,z(u n )). Per cui il kriging universale risulta essere non soddisfacente. Per la soluzione di questo problema, Matheron (1973) propose il formalismo delle Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine L. Tuttavia, nelle applicazioni, la stima di C o γ dei residui viene effettuata lungo la direzione ortogonale a quella del trend.
35 Osservazioni 2) Il sistema del kriging non universale presenta una ed una sola soluzione se e solo se: 1 il covariogramma è una funzione definita positiva; 2 le (L+1) funzioni f l (u) sono linearmente indipendenti.
36 Analisi Statistica Spaziale 17 Kriging indicatore Kriging indicatore Tecnica non-parametrica che consente di stimare la distribuzione di probabilità di Z(u) in ogni localizzazione u non campionata.
37 Analisi Statistica Spaziale 18 Kriging indicatore Formalismo indicatore Sia {Z(u), u D} un campo aleatorio spaziale stazionario del secondo ordine. Mediante il formalismo indicatore, l informazione disponibile viene codificata in bits (0 e 1).
38 Analisi Statistica Spaziale 18 Kriging indicatore Formalismo indicatore Sia {Z(u), u D} un campo aleatorio spaziale stazionario del secondo ordine. Mediante il formalismo indicatore, l informazione disponibile viene codificata in bits (0 e 1).
39 Analisi Statistica Spaziale 19 Kriging indicatore Campo aleatorio indicatore Il campo aleatorio indicatore I(u;z) viene definito come segue: 1 Z(u) z I(u;z) = 0 Z(u) > z Per un prefissato valore di soglia z il campo aleatorio I(u,z) presenta distribuzione Bernoulliana.
40 Analisi Statistica Spaziale 19 Kriging indicatore Campo aleatorio indicatore Il campo aleatorio indicatore I(u;z) viene definito come segue: 1 Z(u) z I(u;z) = 0 Z(u) > z Per un prefissato valore di soglia z il campo aleatorio I(u,z) presenta distribuzione Bernoulliana.
41 Analisi Statistica Spaziale 20 Kriging indicatore Momenti del primo ordine Valore atteso E [I(u;z)] = 1 Prob [Z(u) z] + 0 Prob [Z(u) > z] = = Prob [Z(u) z] = F(z), u D
42 Analisi Statistica Spaziale 21 Kriging indicatore Momenti del secondo ordine Covariogramma indicatore C I (h;z) = E [I(u + h;z) I(u;z)] F 2 (z) Varianza V ar [I(u;z)] = C I (0;z) = F(z) F 2 (z) Semivariogramma indicatore γ I (h;z) = E{ [I(u + h;z) I(u;z)] } 2 2
43 Analisi Statistica Spaziale 21 Kriging indicatore Momenti del secondo ordine Covariogramma indicatore C I (h;z) = E [I(u + h;z) I(u;z)] F 2 (z) Varianza V ar [I(u;z)] = C I (0;z) = F(z) F 2 (z) Semivariogramma indicatore γ I (h;z) = E{ [I(u + h;z) I(u;z)] } 2 2
44 Analisi Statistica Spaziale 21 Kriging indicatore Momenti del secondo ordine Covariogramma indicatore C I (h;z) = E [I(u + h;z) I(u;z)] F 2 (z) Varianza V ar [I(u;z)] = C I (0;z) = F(z) F 2 (z) Semivariogramma indicatore γ I (h;z) = E{ [I(u + h;z) I(u;z)] } 2 2
45 Analisi Statistica Spaziale 22 Kriging indicatore Mappa indicatrice Sia {z(u α ),α = 1, 2,...,n} una realizzazione di Z nelle localizzazioni u α D,α = 1, 2,...,n. Per un prefissato valore di soglia z è possibile individuare una realizzazione di I, ovvero {i(u α ;z),α = 1, 2,...,n}
46 Analisi Statistica Spaziale 22 Kriging indicatore Mappa indicatrice Sia {z(u α ),α = 1, 2,...,n} una realizzazione di Z nelle localizzazioni u α D,α = 1, 2,...,n. Per un prefissato valore di soglia z è possibile individuare una realizzazione di I, ovvero {i(u α ;z),α = 1, 2,...,n}
47 Analisi Statistica Spaziale 23 Kriging indicatore Figura: trasformazione della mappa dei valori di Z nella mappa dei valori di I, per un prefissato valore di soglia (z = 4).
48 Analisi Statistica Spaziale 24 Kriging indicatore Stima della variabile indicatrice Lo stimatore Î(u; z) definito come segue Î(u; z) = n λ i (u; z)i(u i ; z) i=1 rappresenta un modello per la distribuzione di probabilità del campo aleatorio Z(u) condizionata alle osservazioni z(u i ), i = 1, 2,...,n.
49 Analisi Statistica Spaziale 25 Kriging indicatore Stima della funzione di ripartizione Si osservi che, per un prefissato valore di soglia z: Î(u, z) = F(u, z) dove F(u, z) rappresenta lo stimatore di Prob[Z(u) z z(u 1 ),...,z(u n )] Figura: stima di un punto della funzione di ripartizione
50 Analisi Statistica Spaziale 26 Kriging indicatore Stima della variabile indicatrice I pesi λ i (u; z), i = 1, 2,...,n, utilizzati nell espressione dello stimatore Î(u; z), sono soluzione del seguente sistema: n λ j (u; z)γ I (u i u j ; z) µ(u; z) = γ I (u i u; z) i = 1, 2,...,n j=1 n λ i (u; z) = 1 i=1 dove γ I (h; z), con h = u i u j, rappresenta il semivariogramma indicatore per un prefissato valore di soglia z.
51 Analisi Statistica Spaziale 27 Kriging indicatore Stima della funzione di ripartizione Per stimare un intera distribuzione di probabilità si sceglieranno K valori di soglia z k, k = 1, 2,...,K si risolveranno K sistemi del kriging. Figura: funzione di ripartizione stimata
52 Analisi Statistica Spaziale 28 Simulazione stocastica Simulazione stocastica Sia {Z(u), u A, A R n } un campo aleatorio, caratterizzato da una funzione di distribuzione e da un modello di covariogramma o variogramma. Si definisce simulazione stocastica una tecnica per la costruzione di modelli alternativi ed equiprobabili del campo aleatorio Z. Figura: mappe alternative ed equiprobabili
53 Analisi Statistica Spaziale 28 Simulazione stocastica Simulazione stocastica Sia {Z(u), u A, A R n } un campo aleatorio, caratterizzato da una funzione di distribuzione e da un modello di covariogramma o variogramma. Si definisce simulazione stocastica una tecnica per la costruzione di modelli alternativi ed equiprobabili del campo aleatorio Z. Figura: mappe alternative ed equiprobabili
54 Analisi Statistica Spaziale 29 Simulazione stocastica Osservazioni Ogni realizzazione simulata viene indicata con l indice s: {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S. La simulazione viene denominata condizionata se, in ciascuna localizzazione campionata, la realizzazione ottenuta soddisfa la condizione: z (s) (u i ) = z(u i ), s = 1, 2,...,S, dove z(u i ), i = 1, 2,...,n rappresentano i valori osservati di Z. Le diverse mappe simulate differiscono tra loro, anche se esse provengono dallo stesso campo aleatorio Z, con funzione di distribuzione e momenti del primo e del secondo ordine fissati.
55 Analisi Statistica Spaziale 29 Simulazione stocastica Osservazioni Ogni realizzazione simulata viene indicata con l indice s: {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S. La simulazione viene denominata condizionata se, in ciascuna localizzazione campionata, la realizzazione ottenuta soddisfa la condizione: z (s) (u i ) = z(u i ), s = 1, 2,...,S, dove z(u i ), i = 1, 2,...,n rappresentano i valori osservati di Z. Le diverse mappe simulate differiscono tra loro, anche se esse provengono dallo stesso campo aleatorio Z, con funzione di distribuzione e momenti del primo e del secondo ordine fissati.
56 Analisi Statistica Spaziale 29 Simulazione stocastica Osservazioni Ogni realizzazione simulata viene indicata con l indice s: {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S. La simulazione viene denominata condizionata se, in ciascuna localizzazione campionata, la realizzazione ottenuta soddisfa la condizione: z (s) (u i ) = z(u i ), s = 1, 2,...,S, dove z(u i ), i = 1, 2,...,n rappresentano i valori osservati di Z. Le diverse mappe simulate differiscono tra loro, anche se esse provengono dallo stesso campo aleatorio Z, con funzione di distribuzione e momenti del primo e del secondo ordine fissati.
57 Analisi Statistica Spaziale 30 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione La simulazione si differenzia da ogni altro algoritmo di interpolazione, per i motivi riportati di seguito. Un algoritmo di interpolazione fornisce una stima locale ẑ(u), nella localizzazione u non campionata che si discosti il meno possibile dal valore vero. Nella simulazione viene data priorità alle caratteristiche globali dei valori simulati, rispetto all accuratezza locale.
58 Analisi Statistica Spaziale 30 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione La simulazione si differenzia da ogni altro algoritmo di interpolazione, per i motivi riportati di seguito. Un algoritmo di interpolazione fornisce una stima locale ẑ(u), nella localizzazione u non campionata che si discosti il meno possibile dal valore vero. Nella simulazione viene data priorità alle caratteristiche globali dei valori simulati, rispetto all accuratezza locale.
59 Analisi Statistica Spaziale 31 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione Un algoritmo di interpolazione fornisce un solo modello numerico {ẑ(u), u A} che risulta essere il migliore in senso locale. La simulazione fornisce diversi modelli numerici alternativi {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S che rappresentano le caratteristiche globali del fenomeno. Le differenze osservate tra gli S modelli alternativi forniscono una misura di incertezza spaziale.
60 Analisi Statistica Spaziale 31 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione Un algoritmo di interpolazione fornisce un solo modello numerico {ẑ(u), u A} che risulta essere il migliore in senso locale. La simulazione fornisce diversi modelli numerici alternativi {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S che rappresentano le caratteristiche globali del fenomeno. Le differenze osservate tra gli S modelli alternativi forniscono una misura di incertezza spaziale.
61 Analisi Statistica Spaziale 31 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione Un algoritmo di interpolazione fornisce un solo modello numerico {ẑ(u), u A} che risulta essere il migliore in senso locale. La simulazione fornisce diversi modelli numerici alternativi {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S che rappresentano le caratteristiche globali del fenomeno. Le differenze osservate tra gli S modelli alternativi forniscono una misura di incertezza spaziale.
62 Analisi Statistica Spaziale 31 Differenze tra simulazione e interpolazione Differenze tra simulazione e interpolazione Un algoritmo di interpolazione fornisce un solo modello numerico {ẑ(u), u A} che risulta essere il migliore in senso locale. La simulazione fornisce diversi modelli numerici alternativi {z (s) (u), u A}, s = 1, 2,...,S che rappresentano le caratteristiche globali del fenomeno. Le differenze osservate tra gli S modelli alternativi forniscono una misura di incertezza spaziale.
63 Analisi Statistica Spaziale 32 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Decomposizione di Cholesky CARATTERISTICHE PRINCIPALI tecnica di simulazione stocastica non condizionata; numero N di nodi in cui si intende ottenere i valori simulati non elevato, ovvero N 1000; numero sufficientemente elevato di mappe.
64 Analisi Statistica Spaziale 32 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Decomposizione di Cholesky CARATTERISTICHE PRINCIPALI tecnica di simulazione stocastica non condizionata; numero N di nodi in cui si intende ottenere i valori simulati non elevato, ovvero N 1000; numero sufficientemente elevato di mappe.
65 Analisi Statistica Spaziale 32 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Decomposizione di Cholesky CARATTERISTICHE PRINCIPALI tecnica di simulazione stocastica non condizionata; numero N di nodi in cui si intende ottenere i valori simulati non elevato, ovvero N 1000; numero sufficientemente elevato di mappe.
66 Analisi Statistica Spaziale 33 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D
67 Analisi Statistica Spaziale 33 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D
68 Analisi Statistica Spaziale 33 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D
69 Analisi Statistica Spaziale 34 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Notazione vettoriale Sia Z il vettore dei valori da simulare Z T = (Z(w 1 ),...,Z(w N )), per cui: E(Z T ) = (µ(w 1 ),...,µ(w N )) = µ T
70 Analisi Statistica Spaziale 35 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Notazione vettoriale V ar(z) = C(w 1, w 1 ) C(w 1, w 2 )... C(w 1, w N ) C(w 2, w 1 ) C(w 2, w 2 )... C(w 2, w N ) = Σ C(w N, w 1 ) C(w N, w 2 )... C(w N, w N ) Si osservi che Σ è una matrice N N simmetrica e definita positiva, dove il generico elemento C(ω i,ω j ) rappresenta la covarianza tra Z(ω i ) e Z(ω j ), i,j = 1,2,...,N.
71 Analisi Statistica Spaziale 35 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Notazione vettoriale V ar(z) = C(w 1, w 1 ) C(w 1, w 2 )... C(w 1, w N ) C(w 2, w 1 ) C(w 2, w 2 )... C(w 2, w N ) = Σ C(w N, w 1 ) C(w N, w 2 )... C(w N, w N ) Si osservi che Σ è una matrice N N simmetrica e definita positiva, dove il generico elemento C(ω i,ω j ) rappresenta la covarianza tra Z(ω i ) e Z(ω j ), i,j = 1,2,...,N.
72 Analisi Statistica Spaziale 35 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Notazione vettoriale V ar(z) = C(w 1, w 1 ) C(w 1, w 2 )... C(w 1, w N ) C(w 2, w 1 ) C(w 2, w 2 )... C(w 2, w N ) = Σ C(w N, w 1 ) C(w N, w 2 )... C(w N, w N ) Si osservi che Σ è una matrice N N simmetrica e definita positiva, dove il generico elemento C(ω i,ω j ) rappresenta la covarianza tra Z(ω i ) e Z(ω j ), i,j = 1,2,...,N.
73 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
74 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
75 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
76 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
77 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
78 Analisi Statistica Spaziale 36 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Processo di simulazione Il metodo di simulazione di Cholesky consente di scomporre Σ nel prodotto di matrici: Σ = LL T, dove L è una matrice N N triangolare inferiore; L T è la trasposta di L. Il processo Z può essere simulato mediante la seguente relazione Z = µ + Lε, ( ) dove ε = ε(ω 1 ),...,ε(ω N ) è un vettore di N variabili aleatorie non correlate, con E(ε) = 0, V ar(ε) = I, dove I è la matrice identica.
79 Analisi Statistica Spaziale 37 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Osservazioni Il processo simulato Z = µ + Lε rispecchia le stesse caratteristiche globali fissate inizialmente, essendo E(Z) = µ V ar(z) = Σ. Mediante un generatore di numeri pseudo-casuali è possibile determinare il vettore ε e quindi costruire più mappe alternative ed equiprobabili.
80 Analisi Statistica Spaziale 37 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Osservazioni Il processo simulato Z = µ + Lε rispecchia le stesse caratteristiche globali fissate inizialmente, essendo E(Z) = µ V ar(z) = Σ. Mediante un generatore di numeri pseudo-casuali è possibile determinare il vettore ε e quindi costruire più mappe alternative ed equiprobabili.
81 Analisi Statistica Spaziale 37 Simulazione stocastica Decomposizione di Cholesky Osservazioni Il processo simulato Z = µ + Lε rispecchia le stesse caratteristiche globali fissate inizialmente, essendo E(Z) = µ V ar(z) = Σ. Mediante un generatore di numeri pseudo-casuali è possibile determinare il vettore ε e quindi costruire più mappe alternative ed equiprobabili.
82 Analisi Statistica Spaziale 38 Simulazione stocastica Simulazione sequenziale Simulazione sequenziale CARATTERISTICA PRINCIPALE: tecnica di simulazione stocastica condizionata Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D.
83 Analisi Statistica Spaziale 38 Simulazione stocastica Simulazione sequenziale Simulazione sequenziale CARATTERISTICA PRINCIPALE: tecnica di simulazione stocastica condizionata Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D.
84 Analisi Statistica Spaziale 38 Simulazione stocastica Simulazione sequenziale Simulazione sequenziale CARATTERISTICA PRINCIPALE: tecnica di simulazione stocastica condizionata Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D.
85 Analisi Statistica Spaziale 38 Simulazione stocastica Simulazione sequenziale Simulazione sequenziale CARATTERISTICA PRINCIPALE: tecnica di simulazione stocastica condizionata Assegnato un campo aleatorio Z, sia N il numero di localizzazioni prefissate ω 1, ω 2,...,ω N in cui si intende ottenere i valori simulati. I momenti del primo e del secondo ordine del campo aleatorio Z risultano essere: ( ) µ(u) = E Z(u) u D ( ) C(u, ω) = Cov Z(u), Z(ω) u, ω D.
86 Analisi Statistica Spaziale 39 Simulazione stocastica Simulazione sequenziale Simulazione sequenziale Sia { } z(u i ) = z i, i = 1, 2,...,n una realizzazione di Z, nelle localizzazioni campionate u i, i = 1, 2,...,n.
87 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
88 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
89 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
90 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
91 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
92 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
93 Algoritmo di simulazione sequenziale L algoritmo di simulazione sequenziale, per ciascuna delle s mappe, si articola nelle fasi: 1 estrazione casuale di un nodo, ad esempio ω 1; 2 stima della distribuzione di probabilità di Z(ω 1), condizionata all informazione disponibile ovvero ai valori campionati z(u i), u i (n), ( ) ( { }) P Z(ω 1) z n = P Z(ω 1) z z(u i), u i (n) ; 3 estrazione di un valore z (s) (ω 1) da quest ultima distribuzione. Il processo di simulazione continua, ripercorrendo le fasi 1, 2, 3, ovvero 1 viene selezionato casualmente un secondo nodo, ad esempio ω 2; 2 si stima la distribuzione di Z(ω 2), condizionata sia ai valori campionati che ai valori precedentemente simulati, ovvero ( ) ( { }) P Z(ω 2) z n + 1 = P Z(ω 2) z z(u i), u i (n); z (s) (ω 1) ; 3 si estrae un valore z (s) (ω 2) da quest ultima distribuzione.
94 Algoritmo di simulazione sequenziale Si reiterano le 3 fasi fino a quando non vengono esaminati tutti gli N nodi, a ciascuno dei quali viene associato un valore simulato. L insieme { } z (s) (ω i ), i = 1, 2,...,N rappresenta una realizzazione simulata del campo aleatorio Z.
95 Algoritmo di simulazione sequenziale Si reiterano le 3 fasi fino a quando non vengono esaminati tutti gli N nodi, a ciascuno dei quali viene associato un valore simulato. L insieme { } z (s) (ω i ), i = 1, 2,...,N rappresenta una realizzazione simulata del campo aleatorio Z.
Esempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliAmministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.
CLASSE quinta INDIRIZZO AFM-SIA-RIM-TUR UdA n. 1 Titolo: LE FUNZIONI DI DUE VARIABILI E L ECONOMIA Utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
Dettagli(a cura di Francesca Godioli)
lezione n. 12 (a cura di Francesca Godioli) Ad ogni categoria della variabile qualitativa si può assegnare un valore numerico che viene chiamato SCORE. Passare dalla variabile qualitativa X2 a dei valori
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati
BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi sulla varianza In un azienda che produce componenti meccaniche, è stato
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stima puntuale per la proporzione Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del
Dettagli1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
Dettagli11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi
. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche
Dettagli2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1
1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1
DettagliPotenza dello studio e dimensione campionaria. Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1
Potenza dello studio e dimensione campionaria Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1 Introduzione Nella pianificazione di uno studio clinico randomizzato è fondamentale determinare in modo
DettagliLEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco)
LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) IL P-VALUE (α) Data un ipotesi nulla (H 0 ), questa la si può accettare o rifiutare in base al valore del p- value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo,
DettagliLa variabile casuale Binomiale
La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola
DettagliMODELLO DI REGRESSIONE PER DATI DI PANEL
MODELLO DI REGRESSIONE PER DAI DI PANEL 5. Introduzione Storicamente l analisi econometrica ha proceduto in due distinte direzioni: lo studio di modelli macroeconomici, sulla base di serie temporali di
DettagliAutomazione Industriale (scheduling+mms) scheduling+mms. adacher@dia.uniroma3.it
Automazione Industriale (scheduling+mms) scheduling+mms adacher@dia.uniroma3.it Introduzione Sistemi e Modelli Lo studio e l analisi di sistemi tramite una rappresentazione astratta o una sua formalizzazione
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliIng. Simone Giovannetti
Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Ing. Simone Giovannetti Firenze, 29 Maggio 2012 1 Incertezza di Misura (1/3) La necessità di misurare nasce dall esigenza
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliANALISI DEI DATI BIOLOGICI
ANALISI DI DATI BIOLOGICI RAPPRSNTAR L COMUNITA tramite descrizioni grafiche e relazioni tra gli organismi presenti nei vari campioni. DISCRIMINAR dei siti sulla base della loro composizione biologica.
DettagliLa categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi
Utilizzo delle calcolatrici FX 991 ES+ Parte II PARMA, 11 Marzo 2014 Prof. Francesco Bologna bolfra@gmail.com ARGOMENTI DELLA LEZIONE 1. Richiami lezione precedente 2.Calcolo delle statistiche di regressione:
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliUniversità del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica
Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento e distribuzione campionaria della media Corsi di laurea triennale di area tecnica -
DettagliAnalisi di scenario File Nr. 10
1 Analisi di scenario File Nr. 10 Giorgio Calcagnini Università di Urbino Dip. Economia, Società, Politica giorgio.calcagnini@uniurb.it http://www.econ.uniurb.it/calcagnini/ http://www.econ.uniurb.it/calcagnini/forecasting.html
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliCapitolo 12 La regressione lineare semplice
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara
DettagliSTATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO. Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia
STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia SOMMARIO V.C. vettoriali Media e varianza campionarie Proprietà degli stimatori Intervalli di confidenza Statistica
DettagliIl problema è di modellizzare tali dati geografici in modo da gestirli poi automaticamente con pacchetti software.
ESEMPI DI MODELLIZZAZIONE DI DATI GEOGRAFICI Il tema di cui vogliamo occuparci è la modellizzazione dei dati geografici, intendendo con questo termine un qualsiasi dato-fenomeno che possa essere georeferenziato,
DettagliVARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che
VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile
DettagliBarriere assorbenti nelle catene di Markov e una loro applicazione al web
Università Roma Tre Facoltà di Scienze M.F.N Corso di Laurea in Matematica a.a. 2001/2002 Barriere assorbenti nelle catene di Markov e una loro applicazione al web Giulio Simeone 1 Sommario Descrizione
DettagliPro e contro delle RNA
Pro e contro delle RNA Pro: - flessibilità: le RNA sono approssimatori universali; - aggiornabilità sequenziale: la stima dei pesi della rete può essere aggiornata man mano che arriva nuova informazione;
DettagliESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola:
ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI: Per la prova è consentito esclusivamente l uso di una calcolatrice tascabile, delle tavole della normale e della t di Student. I risultati degli
Dettagli4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti
BIOSTATISTICA 4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO
DettagliEsercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco
Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Alfonso Iodice D Enza April 26, 2007 1...prima di cominciare Contare, operazione solitamente semplice, può diventare complicata se lo scopo
DettagliMetodi Stocastici per la Finanza
Metodi Stocastici per la Finanza Tiziano Vargiolu vargiolu@math.unipd.it 1 1 Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2011-2012 Lezione 6 Indice 1 Il metodo bootstrap 2 Esercitazione 3 Interpolazione
DettagliESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)
ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Una immagine (digitale) permette di percepire solo una rappresentazione 2D del mondo La visione 3D si pone lo scopo di percepire il mondo per come è in 3 dimensioni
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliPrincipi di analisi causale Lezione 2
Anno accademico 2007/08 Principi di analisi causale Lezione 2 Docente: prof. Maurizio Pisati Logica della regressione Nella sua semplicità, l espressione precedente racchiude interamente la logica della
DettagliStatistica. Lezione 6
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante
DettagliVERIFICA DELLE IPOTESI
VERIFICA DELLE IPOTESI Nella verifica delle ipotesi è necessario fissare alcune fasi prima di iniziare ad analizzare i dati. a) Si deve stabilire quale deve essere l'ipotesi nulla (H0) e quale l'ipotesi
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliProgrammazione Disciplinare: Calcolo Classe: Quarte - Quinte
Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Programmazione Disciplinare: Calcolo Classe: Quarte - Quinte Anno scolastico 01-01 I Docenti della Disciplina Salerno, settembre 01 Anno scolastico
DettagliMetodologia per l analisi dei dati sperimentali L analisi di studi con variabili di risposta multiple: Regressione multipla
Il metodo della regressione può essere esteso dal caso in cui si considera la variabilità della risposta della y in relazione ad una sola variabile indipendente X ad una situazione più generale in cui
DettagliESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA
ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI
DettagliEsercizio 1. Proprietà desiderabili degli stimatori (piccoli campioni)
STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 4 18.02.2013 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Proprietà desiderabili degli stimatori (piccoli campioni) Sia X una popolazione distribuita secondo la legge Bernoulliana
DettagliVERIFICA DELLE IPOTESI
VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi
DettagliCORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema
DettagliCorso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti
Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con
Dettagli1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.
Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi
DettagliAppendice III. Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi
Appendice III (articolo 5, comma 1 e art. 22 commi 5 e 7) Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi 1. Tecniche di modellizzazione 1.1 Introduzione. In generale,
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE
STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. : REGRESSIONE LINEARE Nella Scheda precedente abbiamo visto che il coefficiente di correlazione fra due variabili quantitative X e Y fornisce informazioni sull esistenza
DettagliRegressione Logistica: un Modello per Variabili Risposta Categoriali
: un Modello per Variabili Risposta Categoriali Nicola Tedesco (Statistica Sociale) Regressione Logistica: un Modello per Variabili Risposta Categoriali 1 / 54 Introduzione Premessa I modelli di regressione
DettagliAnalisi di dati di frequenza
Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato
DettagliMetodi statistici per le ricerche di mercato
Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per
DettagliLezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto
Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto Claudio Tamagnini Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di
DettagliVerità ed esperienza: come la natura genera le osservazioni sperimentali
Verità ed esperienza: come la natura genera le osservazioni sperimentali Andrea Onofri Dipartimento di Scienze Agrarie ed Ambientali Universitá degli Studi di Perugia 10 gennaio 2012 Indice 1 Presupposti
DettagliLineamenti di econometria 2
Lineamenti di econometria 2 Camilla Mastromarco Università di Lecce Master II Livello "Analisi dei Mercati e Sviluppo Locale" (PIT 9.4) Aspetti Statistici della Regressione Aspetti Statistici della Regressione
DettagliVerifica di ipotesi e intervalli di confidenza nella regressione multipla
Verifica di ipotesi e intervalli di confidenza nella regressione multipla Eduardo Rossi 2 2 Università di Pavia (Italy) Maggio 2014 Rossi MRLM Econometria - 2014 1 / 23 Sommario Variabili di controllo
DettagliEsercizi test ipotesi. Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010
Esercizi test ipotesi Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Verifica delle ipotesi - Esempio quelli di Striscia la Notizia" effettuano controlli casuali per vedere se le pompe
DettagliRegressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011
Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume
DettagliL Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)
L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) 1 CONCETTI GENERALI Finora abbiamo descritto test di ipotesi finalizzati alla verifica di ipotesi sulla differenza tra parametri di due popolazioni
DettagliEsercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test
STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 6 05.03.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test Il preside della scuola elementare XYZ sospetta che
DettagliUniversità di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008
Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi
DettagliSoluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini)
Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini) Esercizio 1 In uno studio sugli affitti mensili, condotto su un campione casuale di 14 monolocali nella città nella città
DettagliCapitolo 11 Test chi-quadro
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 11 Test chi-quadro Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università di Padova
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliTecniche di analisi multivariata
Tecniche di analisi multivariata Metodi che fanno riferimento ad un modello distributivo assunto per le osservazioni e alla base degli sviluppi inferenziali - tecniche collegate allo studio della dipendenza
DettagliStatistica inferenziale
Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo
DettagliSistemi Informativi Territoriali. Map Algebra
Paolo Mogorovich Sistemi Informativi Territoriali Appunti dalle lezioni Map Algebra Cod.735 - Vers.E57 1 Definizione di Map Algebra 2 Operatori locali 3 Operatori zonali 4 Operatori focali 5 Operatori
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliEsercitazione N. 1 Misurazione di resistenza con metodo volt-amperometrico
Esercitazione N. 1 Misurazione di resistenza con metodo volt-amperometrico 1.1 Lo schema di misurazione Le principali grandezze elettriche che caratterizzano un bipolo in corrente continua, quali per esempio
DettagliESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)
ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Calcolo delle corrispondenze Affrontiamo il problema centrale della visione stereo, cioè la ricerca automatica di punti corrispondenti tra immagini Chiamiamo
DettagliMetodi Computazionali
Metodi Computazionali Elisabetta Fersini fersini@disco.unimib.it A.A. 2009/2010 Catene di Markov Applicazioni: Fisica dinamica dei sistemi Web simulazione del comportamento utente Biologia evoluzione delle
DettagliMetodi statistici per le ricerche di mercato
Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliSTATISTICA IX lezione
Anno Accademico 013-014 STATISTICA IX lezione 1 Il problema della verifica di un ipotesi statistica In termini generali, si studia la distribuzione T(X) di un opportuna grandezza X legata ai parametri
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Nome N. Matricola Ancona, 14 luglio 2015 1. Tre macchine producono gli stessi pezzi
DettagliAnalisi discriminante
Capitolo 6 Analisi discriminante L analisi statistica multivariata comprende un corpo di metodologie statistiche che permettono di analizzare simultaneamente misurazioni riguardanti diverse caratteristiche
DettagliSVM. Veronica Piccialli. Roma 11 gennaio 2010. Università degli Studi di Roma Tor Vergata 1 / 14
SVM Veronica Piccialli Roma 11 gennaio 2010 Università degli Studi di Roma Tor Vergata 1 / 14 SVM Le Support Vector Machines (SVM) sono una classe di macchine di che derivano da concetti riguardanti la
DettagliDisegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica. Indici di Affidabilità
Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica Indici di Affidabilità L Attendibilità È il livello in cui una misura è libera da errore di misura È la proporzione di variabilità della misurazione
DettagliInterpolazione ed approssimazione di funzioni
Interpolazione ed approssimazione di funzioni Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 9 novembre 2007 Outline 1 Polinomi Valutazione di un polinomio Algoritmo di Horner
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliLineamenti di econometria 2
Lineamenti di econometria 2 Camilla Mastromarco Università di Lecce Master II Livello "Analisi dei Mercati e Sviluppo Locale" (PIT 9.4) La Regressione Multipla La Regressione Multipla La regressione multipla
DettagliEsercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)
Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso
DettagliIstituzioni di Statistica e Statistica Economica
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte
DettagliPolitecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dell Informazione AGENTI AUTONOMI E SISTEMI MULTIAGENTE Appello COGNOME E NOME
Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dell Informazione AGENTI AUTONOMI E SISTEMI MULTIAGENTE Appello COGNOME E NOME 5 luglio 2006 RIGA COLONNA MATRICOLA Il presente plico pinzato, composto di quattro
DettagliOrbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali
Orbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali Davide Farnocchia Università degli Studi di Pisa Facoltà di SMFN Corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 27-28 Contenuti Metodi a tre osservazioni
DettagliINTRODUZIONE AL CONTROLLO OTTIMO
INTRODUZIONE AL CONTROLLO OTTIMO Teoria dei Sistemi Ingegneria Elettronica, Informatica e TLC Prof. Roberto Zanasi, Dott. Giovanni Azzone DII - Università di Modena e Reggio Emilia AUTOLAB: Laboratorio
DettagliMINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE
MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione
DettagliISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015
ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 A047 MATEMATICA CLASSE PRIMA PROFESSIONALE DOCENTI : CARAFFI ALESSANDRA, CORREGGI MARIA GRAZIA, FAZIO ANGELA,
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
Dettaglirappresentazione astratta di un sistema e/o di una situazione reale tramite un insieme di dati/elementi ad essa analoghi
Modelli Definizione: rappresentazione astratta di un sistema e/o di una situazione reale tramite un insieme di dati/elementi ad essa analoghi Obiettivo: studio del comportamento del sistema e delle relazioni
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
Dettagli