Analisi statistica degli errori

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi statistica degli errori"

Transcript

1 Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale che è il valore della misura la trattazione dei dati sperimentali richiede un analisi statistica

2 La statistica analizza con metodi scientifici dati relativi a - fenomeni ripetibili infinite volte (almeno in teoria) - che possono dare origine a più risultati *singolarmente imprevedibili *che si escludono a vicenda uno con l altrol I possibili risultati di tali fenomeni prendono il nome di variabili casuali o aleatorie

3 Esempi di eventi casuali Lancio di un dado o di una moneta Estrazione di un numero compreso in un certo intervallo Decadimento di un nucleo radioattivo Esiti di un trattamento farmacologico Durata media delle lampade

4 Statistica descrittiva e statistica inferenziale Statistica descrittiva: Organizza e sintetizza i dati relativi ad un campione relativamente piccolo Statistica inferenziale: Permette di estendere i risultati ottenuti per un campione ad una popolazione più ampia

5 La probabilità La statistica analizza i dati relativi agli eventi casuali in termini di probabilità p(e i ) ossia in termini di rapporto tra il numero k i di casi favorevoli di un certo risultato E i e il numero K totale di casi possibili, purché tutti questi siano ugualmente possibili: p(e i ) = k i /K

6 Dalla definizione data consegue: 0 p(e i ) 1 p(e i ) = 0 : l evento è impossibile p(e i ) = 1 : l evento è certo Se gli eventi E i sono mutuamente esclusivi ed esauriscono tutti i possibili risultati delle prove si ha: p(e 1 ) + p(e 2 ) + + p(e K ) = 1

7 Esempio: lancio di un dado La probabilità che in un lancio esca una qualsiasi delle facce è 1/6: 1 caso favorevole su 6 casi ugualmente possibili La probabilità che in un lancio esca il 3 o il 6 è 2/6: 2 casi favorevoli su 6 casi ugualmente possibili

8 Questa definizione richiede che si possa conoscere a a priori se un certo evento presenta n casi favorevoli su N casi possibili ed equiprobabili.

9 Probabilità empirica o a posteriori Se si eseguono su un sistema N prove e si osserva che l evento E i si verifica n volte (n i i = frequenza assoluta) si definisce frequenza relativa all evento f (o i probabilità empirica) il rapporto n i /N. Per definizione risulta: i n N f 1 i = i = = 1 i i N f N n 1 N = N i= 1 i= 1 N i= 1 N N n

10 Esiste una relazione tra probabilità a priori e probabilità empirica???

11 Legge empirica del caso Nei casi in cui è possibile conoscere la probabilità a priori di un evento E i si osserva che al crescere del numero totale N delle prove, eseguite nelle medesime condizioni, la frequenza relativa, fluttuando, tende a stabilizzarsi intorno al valore della probabilità a priori: p( E i ) = lim N n i N

12 Legge di distribuzione di probabilità Ad ogni evento casuale E si può associare una variabile casuale x a cui è associata quindi anche una probabilità p(x) corrispondente alla probabilità p(e) dell evento. Questa variabile può essere discreta o continua

13 Variabili discrete e variabili continue Variabile discreta = può assumere una serie discreta (finita o infinita) di valori. Es.: lancio di un dado 1, 2,, 6 Variabile continua = può assumere un infinità di valori che variano con continuità Es.:misura di una grandezza fisica

14 Distribuzione di probabilità di variabili discrete L insieme dei valori delle probabilità p(x i ) che competono alla variabile casuale x associata all evento aleatorio E costituisce la legge di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria considerata. Per tutti i possibili eventi del sistema deve risultare: i p( ) = 1 x i

15 Distribuzione di probabilità di variabili continue Per le variabili aleatorie continue non si può parlare di probabilità come per le variabili discrete ma si può associare ad esse una funzione f(x), detta funzione densità di probabilità, tale che la probabilità dp associata ad un intervallo infinitesimo dx è data da dp = f(x)dx. La probabilità che compete ad un intervallo finito [x 1,x 2 ] è allora: 2 ( x [ x, ]) = 1 x Pr 2 x x 1 f ( x) dx

16 Distribuzione di probabilità di variabili continue La funzione densità di probabilità è una funzione non negativa che soddisfa alla condizione + f ( x) dx = 1 detta condizione di normalizzazione.

17 Distribuzione di probabilità di variabili continue Si può allora definire la funzione di distribuzione F per una variabile continua x come: x F ( x) = f ( t) dt che rappresenta la probabilità di osservare un valore non inferiore ad x e che soddisfa la condizione F( ) = 1.

18 Valore atteso Se x i sono i possibili valori di una variabile casuale, ciascuno con probabilità p(x i ), si definisce valore atteso di x la quantità: µ = x i i p ( x i ) Per la legge empirica del caso, per un campione N di prove, se N la media campionaria x tende al valore atteso: N + µ = x f ( x) dx nixi N N i= x = = x ifi ( xi ) x N ip N 1 i ( xi ) i= 1 i= 1 = µ

19 Varianza Varianza σ 2 = media del quadrato degli scarti fatta sulla popolazione σ 2 = ( x i µ ) i p( x Descrive la dispersione della variabile casuale attorno al valor medio µ. La radice quadrata σ rappresenta la deviazione standard della popolazione che può essere stimata da un campione di misure tramite lo scarto quadratico medio. 2 i )

20 La distribuzione binomiale o di Bernoulli La distribuzione binomiale (o di Bernoulli) dà la distribuzione di probabilità per eventi casuali ciascuno dei quali può assumere, in maniera indipendente dagli altri, solo uno tra due valori (evento dicotomico).

21 Esempi Qual è la probabilità che lanciando N = 9 dadi la faccia con il numero 5 esca R = 3 volte? Qual è la probabilità che in famiglie aventi N = 3 figli ci siano R = 2 femmine? Su N = 15 pazienti operati quanti (R) ci aspettiamo abbiano complicazioni se la percentuale di complicazioni osservata è del 20%? Se il 10% dei bulloni prodotti da una macchina è difettoso che probabilità abbiamo che su N = 100 bulloni R = 10 siano difettosi?

22 La distribuzione binomiale o di Bernoulli P( R, N ) = N! R! ( N R)! p R (1 p) ( N R) N = numero di prove R = numero di successi p = probabilità di successo in una prova q = 1 p = probabilità di insuccesso P(R,N) = probabilità di avere R successi su N prove successi ( = numero di eventi favorevoli)

23 Caratteristiche della distribuzione binomiale Dipende da 2 parametri: N e p Il numero medio di successi è dato da: R = N i= 1 RP( R, N) La deviazione standard è data da: = Np σ R = Npq = Np( 1 p)

24 Caratteristiche della distribuzione binomiale In generale: se p ½ la distribuzione binomiale non è simmetrica ed il numero medio di successi non coincide con il numero più probabile p < ½ : il massimo si sposta verso lo zero; p > ½ : il massimo si sposta dalla parte opposta si osserva che, se la probabilità p non è molto vicina ai valori estremi 0 ed 1, al crescere di N la distribuzione binomiale tende a simmetrizzarsi intorno al valor medio Np

25 P(R,N) Distribuzione di probabilità che la faccia "cinque" esca R volte (R = 0, 1,..., 9) nel lancio di N = 9 dadi p = 1/6 4,00E-01 3,50E-01 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E R P(R,N) Distribuzione di probabilità per la nascita di R femmine (R = 0, 1, 2, 3) in una famiglia con N = 3 figli p = 1/2 4,00E-01 3,50E-01 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E R P(R,N) Distribuzione di probabilità che si verifichino R casi di complicazioni (R = 0, 1, 2,, 15) su N = 15 pazienti operati p = 0,2 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E P(R,N) Distribuzione di probabilità di R bulloni difettosi (R = 0, 1, 2,, 50) su N = 50 bulloni prodotti p = 0,1 2,00E-01 1,80E-01 1,60E-01 1,40E-01 1,20E-01 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R R

26 La distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson dà la distribuzione di probabilità di sistemi costituiti da un numero N molto elevato di elementi, ciascuno avente una probabilità p molto piccola di subire un evento casuale.

27 Esempi Se la probabilità p che un certo individuo sia allergico ad un certo vaccino è che probabilità c è che su N = 2000 individui R risultino allergici al vaccino stesso? Se una macchina produce in un giorno N = 500 lampadine ed ogni lampadina presenta una probabilità p = 0.01 di essere difettosa che probabilità c è che tra le lampadine prodotte in un giorno R siano difettose? Un campione di sangue contenente N = 700 globuli rossi viene osservato al microscopio su un vetrino suddiviso da un retino in 100 cellette (p = 1/100). Qual è la probabilità che in una celletta capitino R globuli rossi? Che probabilità c è che in un secondo vengano emesse R particelle da un grammoatomo di sostanza radioattiva (N=10 23 atomi) i cui atomi hanno una probabilità p di decadere (emettendo una particella) pari a per secondo?

28 La distribuzione di Poisson Numero di prove N elevato formula della binomiale praticamente inutilizzabile (calcolo di fattoriali di numeri troppo grandi) Se N e p 0 in modo che λ = Np rimanga finito la distribuzione binomiale può essere approssimata con una funzione più semplice (distribuzione di Poisson) avente la forma: R λ λ P( R) = e λ = pn R!

29 Caratteristiche della distribuzione di Poisson Dipende solo dal parametro λ non è simmetrica ed il numero medio di successi non coincide con il numero più probabile Il numero medio di successi è dato da: R = Np =λ

30 Caratteristiche della distribuzione di Poisson La deviazione standard è data da: σ = R λ Al crescere del valore del parametro λ tende a divenire simmetrica e raggiunge il massimo intorno al valor medio

31 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 2 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 5 3,00E-01 2,00E-01 2,50E-01 1,80E-01 1,60E-01 2,00E-01 1,40E-01 1,20E-01 P(R) 1,50E-01 1,00E-01 P(R) 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 5,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R 0,00E R Distribuzione di Poisson per λ = Np = 7 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 10 1,60E-01 1,40E-01 1,40E-01 1,20E-01 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E ,20E-01 P(R) 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 P(R) 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R R

32 La distribuzione di Gauss Per molte variabili casuali continue la densità di probabilità f(x) è data dalla distribuzione di Gauss o normale f ( x) = Ce h dove C, h ed m sono costanti. 2 ( x m) 2

33 Proprietà della distribuzione di Gauss La funzione di Gauss è: una funzione continua tra - e + ; simmetrica intorno al valore massimo C che si ha in corrispondenza di x = m; di larghezza w = 2/h, avendo definito la larghezza come la distanza tra le due ascisse in corrispondenza delle quali la funzione si riduce di 1/e [f(m ± 1/h) = C/e]. h prende il nome di modulo di precisione ed è tanto più grande quanto più la curva è stretta.

34 Proprietà della distribuzione di Gauss Presenta due flessi in corrispondenza di x = m ± 1 h 2 La funzione di Gauss dipende da due parametri: m ed h. Il valore di C si determina imponendo che la probabilità totale (= certezza) sia 1: + Ce h 2 ( x m) 2 dx = 1 C= h π

35 Il parametro m Il valor medio atteso µ èdato da µ = + xf ( x) dx = m In corrispondenza di µ la funzione di Gauss assume il valore massimo 1 σ 2 π

36 Il parametro h La deviazione standard σ si ricava dalla relazione: 2 σ = + 1 2h [ ] 2 x µ ( x) f ( x) dx = 2 σ rappresenta il valor medio dei quadrati degli scarti dalla media [(x µ) 2 ] e determina la larghezza della distribuzione.

37 La distribuzione di Gauss o normale Funzione di distribuzione gaussiana 1,60 Densità di probabilità 1,20 0,80 0,40 f 1 ( x µ ) 2σ ( x) = e 2πσ 2 2 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x

38 La curva di Gauss al variare di µ e σ Funzione di distribuzione gaussiana al variare del parametro µ Funzione di distribuzione gaussiana al variare del parametro σ 2,00 4,00 µ = 3,00; σ = 0,3 3,00 µ = 3,00; σ = 0,3 Densità di probabilità 1,00 µ = 4,00; σ = 0,3 µ = 1,00; σ = 0,3 Densità di probabilità 2,00 µ = 3,00; σ = 0,6 µ = 3,00; σ = 0,1 1,00 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 x 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x

39 Che cosa rappresenta σ? Densità di probabilità 1,50 1,00 0,50 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x L area sotto la curva rappresenta la probabilità che la variabile x acquisti un valore compreso tra gli estremi dell intervallo considerato. L area sotto la curva compresa tra [µ - σ; µ + σ] corrisponde al 68.27% dell area totale; tra [µ - 2σ; µ + 2σ] 2 corrisponde al 95.45% ; tra [µ - 3σ; µ + 3σ] 3 corrisponde al 99.73%.

40 Approssimazioni gaussiane della distribuzione binomiale e della distribuzione di Poisson Nelle condizioni in cui la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson tendono a simmetrizzarsi possono essere approssimate con una gaussiana avente - valore atteso µ = Np e deviazione standard σ = Npq per la binomiale; - valore atteso µ = λ e deviazione standard σ = λ per la poissoniana; In generale l approssimazione con la gaussiana è ritenuta buona quando: Np 5 ed N(1-p) 5 per la binomiale λ 8 per la poissoniana.

41 Come si applicano i metodi statistici all analisi delle misure???

42 Che cosa rappresentiamo nell istogramma? Frequenza assoluta ,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x L ampiezza x delle classi è costante l area di ciascun rettangolo è proporzionale alla frequenza assoluta ossia al numero n i di misure che cadono nell intervallo x. N i=1 n i = N L area di tutti i rettangoli è proporzionale al numero totale N di misure

43 Freque nza relativa Densità di frequenza Possiamo rappresentare diversamente queste informazioni? 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 2,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x 2,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x L area dei rettangoli è proporzionale alla frequenza relativa f i l altezza dei rettangoli è proporzionale alla densità di frequenza f i / x (= frequenza per intervallo unitario) N i= 1 f i N = i= 1 fi x x La somma delle aree dei rettangoli è uguale ad 1 = 1

44 Che succede aumentando il numero N delle misure del campione? Densità di frequenza Densità di frequenza 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, misure x = ,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x 1000 misure x = 0,08 2,04 2,20 2,36 2,52 2,68 2,84 3,00 3,16 3,32 3,48 3,64 3,80 x la frequenza di ciascun intervallo aumenta l ampiezza delle classi si restringe la frequenza relativa tende alla probabilità l istogramma tende a divenire una curva continua. L area di ciascun rettangolo indica la probabilità che la variabile x acquisti un valore compreso nell intervallo x. L area totale indica la probabilità che la variabile acquisti un valore compreso tra gli estremi dell intervallo rappresentato.

45 La funzione densità di probabilità per le misure di grandezze fisiche Nella condizione limite x N 0 L istogramma tende ad una curva continua, la funzione densità di probabilità. Per le misure delle grandezze fisiche la funzione densità di probabilità nel caso limite di N segue l andamento della distribuzione di Gauss o normale.

46 Valore vero di una misura Il valore atteso µ, calcolato per la distribuzione limite (corrispondente cioè ad una serie infinita di misure), può essere assunto come valore vero x* della misura della grandezza X. La deviazione standard σ, invece, caratterizza quantitativamente la precisione della misura.

47 Distribuzione degli errori La funzione di Gauss rappresenta sia la distribuzione delle misure x della grandezza X, sia la distribuzione dell errore errore definito come differenza tra il valore x della misura ed il valore vero x* o (il valore atteso): x x* = x µ. La distribuzione degli errori è centrata intorno allo zero.

48 La deviazione standard della media Si può dimostrare che la deviazione standard della distribuzione delle medie di campioni aventi ciascuno N misure è data da: σ = x σ N ossia è 1 N volte più piccola di quella delle singole misure le medie campionarie si distribuiscono intorno alla media delle medie (valore vero) con una curva di distribuzione gaussiana più stretta di quella delle singole misure.

49 Valore più probabile e limiti di validità di una misura In generale il valore più probabile ed i limiti di validità della misura di una grandezza fisica devono essere stimati a partire da un campione ridotto di dati.

50 Stima dei parametri della distribuzione Che cosa vuol dire stimare un parametro? - ipotizzare la distribuzione cui obbedisce la popolazione da cui il campione è estratto; - calcolare il valore cui corrisponde la massima probabilità di coincidere con il parametro della popolazione.

51 Livello di confidenza ed intervallo di fiducia La stima dei parametri fatta da un campione ha comunque un carattere casuale cambia al variare del campione secondo una certa distribuzione di probabilità occorre stabilire qual è la probabilità ( = livello di confidenza ) che il valore vero dei parametri cada entro un certo intervallo (= intervallo di confidenza o di fiducia).

52 Probabilità per il valore di una misura Se le misure seguono una distribuzione normale ( = assenza di errori sistematici) l integrale di Gauss consente di valutare la probabilità che un particolare valore della misura cada in un certo intervallo (a,b): P b ( x µ ) 1 2 2σ ( a x b) = e σ 2π a 2 dx

53 Variabile standardizzata z L integrale precedente può essere reso indipendente da µ e σ definendo la variabile standardizzata z: z z misura le deviazioni della misura x dalla media in unità σ. Si ha allora: P( a i cui valori sono tabulati. z = x µ σ b z 1 x b = P za z z b = e 2 ) ( ) 2π z z a 2 dz

54 Intervalli di confidenza La probabilità che il valore di una misura cada entro un certo intervallo prende il nome di livello di confidenza e il corrispondente intervallo prende il nome di intervallo di confidenza o di fiducia. Intervallo di confidenza al % z = 1 Intervallo di confidenza al 95 % z = 1.96 Intervallo di confidenza al % z = 2 Intervallo di confidenza al 99 % z = 2.58 Intervallo di confidenza al % z = 3

55 Stima dei parametri della distribuzione gaussiana La miglior stima del valore atteso è la media x campionaria ; la miglior stima della deviazione standard è lo scarto quadratico medio s; s la miglior stima della deviazione standard della media è s N

56 Presentazione del risultato di una misura Dato un campione di N misure (N 30) distribuite normalmente: - la miglior stima del valor vero è la media aritmetica; - la stima dell incertezza della misura è espressa tramite la deviazione standard della media σ x = s N.

57 Presentazione del risultato di una misura Il risultato di un campione di misure di una certa grandezza X si presenta correttamente come segue: x = x ± 3 um ciò vuole significare che esiste la probabilità s N P( µ x 3σ ) = x 99.7% che una qualsiasi media campionaria scarti dal valore atteso meno di tre deviazioni standard della media.

58 Limiti di fiducia Per una popolazione normale, se x è la media campionaria, i limiti di fiducia per µ sono dati da: x ± z σ N dove N è il numero di misure del campione e z dipende dal livello di confidenza richiesto. Si ha quindi: µ = x ± σ z N

59 Limiti di fiducia Intervallo di confidenza al % z = 1 Intervallo di confidenza al 95 % z = 1.96 Intervallo di confidenza al % z = 2 Intervallo di confidenza al 99 % z = 2.58 Intervallo di confidenza al % z = 3

60 Limiti di fiducia: esempio Sono state condotte delle misure per ricavare il raggio di una sfera piena. I valori ottenuti per i raggi sono riportati nella tabella seguente: N misura Raggio (cm) Calcolare il raggio medio della sfera ed i valori di confidenza al 95% ed al 99% per il valore del raggio reale. R = 10 i= 1 R 10 i = 6.98cm σ 10 ( R R ) i i= 1 R = = ( 10 1) cm

61 Limiti di fiducia: esempio Per i limiti di confidenza si avrà quindi: 95%: * R * %: * R *

62 Teoria delle decisioni statistiche Che cosa si intende per decisione statistica? Esempi: 1. Una moneta viene lanciata 6 volte e testa si presenta 6 volte. Possiamo ritenere truccata la moneta?

63 Teoria delle decisioni statistiche 2. Una casa farmaceutica assicura che un medicinale antiallergico è efficace nel 95% dei casi. In un campione di 200 individui che soffrono di questa allergia la medicina si dimostra efficace in 160 casi. Si può ritenere legittima l affermazione fatta dalla casa produttrice?

64 Teoria delle decisioni statistiche 3. Le resistenze alla rottura delle funi prodotte da una fabbrica hanno una media pari a 1800 N ed uno scarto quadratico medio pari a 100 N. Si pensa di aumentare la resistenza alla rottura immettendo una nuova tecnica nel processo produttivo. Un campione di 50 funi, prodotto con la nuova tecnica, mostra una resistenza media alla rottura di 1850 N. Possiamo ritenere che ci sia stato un effettivo miglioramento?

65 Teoria delle decisioni statistiche Ogni decisione presa intorno ad una popolazione sulla base di dati campionari si chiama decisione statistica. I procedimenti che permettono di accettare o rifiutare una ipotesi o di determinare se i campioni osservati differiscono significativamente dai risultati attesi prendono il nome di test di ipotesi o di significatività.

66 Teoria delle decisioni statistiche La probabilità massima con cui rischiamo di ritenere falsa una ipotesi che invece è vera prende il nome di livello di fiducia o di significatività del test. Ad esempio, richiedere un livello di fiducia del 5% in un test delle ipotesi significa che ci sono 5 probabilità su 100 di rifiutare l ipotesi quando dovrebbe essere accettata, cioè siamo fiduciosi al 95% di aver preso la decisione corretta.

67 Come si ripercuote l errore di una misura diretta sulle grandezze derivate???

68 Migliore stima di una grandezza derivata G = G(x, y, z, ) grandezza derivata Gli errori x, y, z, nelle misure dirette rappresentano piccole variazioni delle variabili indipendenti Possiamo assumere come migliore stima della grandezza derivata il valore della funzione calcolato in corrispondenza delle medie campionarie delle grandezze dirette: G ( x, y, z,...) = G( x, y, z,...)

69 Errore massimo sulla grandezza derivata Nelle ipotesi precedenti l errore massimo sulla grandezza derivata può essere stimato tramite la relazione: G G x x= x x + G y y= y y + G z z= z z +... in cui le derivate parziali sono prese in valore assoluto poiché si tratta di errore massimo.

70 Errore probabile sulla grandezza derivata Se gli errori sulle misure dirette sono indipendenti l errore errore probabile probabile σ G sulla sulla grandezza derivata grandezza derivata è dato da: = = = = z z z y y y x x x G z G y G x G σ σ σ σ

71 Errore relativo massimo sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata l errore relativo massimo è dato da: ε r = G G dg G = d ln G

72 Errore relativo massimo sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata tramite una relazione funzionale del tipo G = x α y β z γ L errore relativo massimo è dato da: ε r = d α β γ x y z ln( x y z...) = α + β + γ +... x y z

73 Errore relativo probabile sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata l errore relativo probabile è dato da: σ G ε r = G

74 Media pesata Può accadere che di una grandezza fisica si abbiano M serie di misure ottenute con strumenti diversi. Se le misure possono essere considerate consistenti, cioè non affette da errori sistematici ( le medie sono distribuite normalmente), la miglior stima della misura della grandezza è data dalla media pesata.

75 Media pesata = valor medio di ciascun campione σ j = deviazione standard della media di ciascun campione = peso della media x j = = = = = = M j j M j j j M j j M j j j p x p x ˆ σ σ µ x j 2 1 j j p σ =

76 Media pesata Applicando la legge di propagazione degli errori si verifica facilmente che la deviazione standard della media pesata σ µ è data da: σ µ = essendo σ j la deviazione standard della media di ciascun campione. N 1 j= 1 1 σ 2 j

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛ Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica Un po di statistica Christian Ferrari Laboratorio di Matematica 1 Introduzione La statistica è una parte della matematica applicata che si occupa della raccolta, dell analisi e dell interpretazione di

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli

Statistica inferenziale

Statistica inferenziale Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 7 marzo 20 Indice Indici di curtosi e simmetria Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana

Dettagli

La Distribuzione Normale (Curva di Gauss)

La Distribuzione Normale (Curva di Gauss) 1 DISTRIBUZIONE NORMALE o CURVA DI GAUSS 1. E la più importante distribuzione statistica continua e trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici. 2. Fu proposta da Gauss (1809) nell'ambito

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO. Pasquale Iandolo

Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO. Pasquale Iandolo Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO Pasquale Iandolo Laboratorio analisi ASL 4 Chiavarese, Lavagna (GE) 42 Congresso Nazionale SIBioC Roma

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono

Dettagli

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica negli esperimenti reali si effettuano sempre un numero finito di misure, ( spesso molto limitato ) l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica descrittiva

Dettagli

Distribuzioni discrete

Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Il confronto fra proporzioni

Il confronto fra proporzioni L. Boni Il rapporto Un rapporto (ratio), attribuendo un ampio significato al termine, è il risultato della divisione di una certa quantità a per un altra quantità b Il rapporto Spesso, in maniera più specifica,

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 LE PRINCIPALI DISTRIBUZIONI

Dettagli

SPC e distribuzione normale con Access

SPC e distribuzione normale con Access SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,

Dettagli

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale BIOSTATISTICA 2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Fisica. Prof. Roberto Falciani. Prof.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Fisica. Prof. Roberto Falciani. Prof. UIVERSITA DEGLI STUDI DI FIREZE Facoltà di Scienze M.F.. Corso di Laurea in Fisica Prof. Roberto Falciani Prof. Andrea Stefanini Appunti aggiuntivi al corso di ESPERIMETAZIOI I Analisi statistica degli

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Costruzioni Idrauliche A.A. 2004-05 www.dica.unict.it/users/costruzioni Statistica descrittiva Ing. Antonino Cancelliere Dipartimento

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

1 Valore atteso o media

1 Valore atteso o media 1 Valore atteso o media Definizione 1.1. Sia X una v.a., si chiama valore atteso (o media o speranza matematica) il numero, che indicheremo con E[X] o con µ X, definito come E[X] = i x i f(x i ) se X è

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso di Statistica medica e applicata Dott.ssa Donatella Cocca 1 a Lezione Cos'è la statistica? Come in tutta la ricerca scientifica sperimentale, anche nelle scienze mediche e biologiche è indispensabile

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti)

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) del provider IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) 1 del provider - premessa (1) in merito alla fase di gestione ordinaria dell outsourcing sono state richiamate le prassi di miglioramento

Dettagli

Statistiche campionarie

Statistiche campionarie Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Grafici delle distribuzioni di frequenza

Grafici delle distribuzioni di frequenza Grafici delle distribuzioni di frequenza L osservazione del grafico può far notare irregolarità o comportamenti anomali non direttamente osservabili sui dati; ad esempio errori di misurazione 1) Diagramma

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

Probabilità II Variabili casuali discrete

Probabilità II Variabili casuali discrete Probabilità II Variabili casuali discrete Definizioni principali. Valore atteso e Varianza. Teorema di Bienaymé - Čebičev. V.C. Notevoli: Bernoulli e Binomiale. Concetto di variabile casuale Cos'è una

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali

Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali SECONDO APPUNTAMENTO CON LA SPERIMENTAZIONE IN AGRICOLTURA Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali La statistica descrittiva rappresenta la base di partenza per le applicazioni

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale)

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale) Esercizio 1. Un azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose, indipendentemente l una dall altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla produzione

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Dipartimento di Ingegneria Meccanica Chimica e dei Materiali PROGETTAZIONE E GESTIONE DEGLI IMPIANTI INDUSTRIALI Esercitazione 6 ORE ELEMENTI DI STATISTICA Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Anno Accademico

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Statistica descrittiva univariata

Statistica descrittiva univariata Statistica descrittiva univariata Elementi di statistica 2 1 Tavola di dati Una tavola (o tabella) di dati è l insieme dei caratteri osservati nel corso di un esperimento o di un rilievo. Solitamente si

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli 1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva Brugnaro Luca Progetto formativo complessivo Obiettivo: incrementare le competenze degli operatori sanitari nelle metodiche

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

Soluzioni Esercizi elementari

Soluzioni Esercizi elementari Soluzioni sercizi elementari Capitolo. carattere: itolo di Studio, carattere qualitativo ordinato modalità: Diploma, Licenza media, Laurea, Licenza elementare unità statistiche: Individui. carattere: Fatturato,

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi . Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Test statistici di verifica di ipotesi

Test statistici di verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 INTRODUZIONE 1.0 PREVENZIONE CONTRO INDIVIDUAZIONE. L'approccio tradizionale nella fabbricazione dei prodotti consiste nel controllo

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 3 A. Sia una variabile casuale che si distribuisce secondo

Dettagli

8 Elementi di Statistica

8 Elementi di Statistica 8 Elementi di Statistica La conoscenza di alcuni elementi di statistica e di analisi degli errori è importante quando si vogliano realizzare delle osservazioni sperimentali significative, ed anche per

Dettagli

Esercizio 1. Proprietà desiderabili degli stimatori (piccoli campioni)

Esercizio 1. Proprietà desiderabili degli stimatori (piccoli campioni) STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 4 18.02.2013 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Proprietà desiderabili degli stimatori (piccoli campioni) Sia X una popolazione distribuita secondo la legge Bernoulliana

Dettagli

Inferenza statistica. Statistica medica 1

Inferenza statistica. Statistica medica 1 Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella

Dettagli

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi Come posso confrontare diverse ipotesi? Nella statistica inferenziale classica vengono sempre confrontate due ipotesi: l ipotesi nulla e l ipotesi

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DEI DATI

RAPPRESENTAZIONE DEI DATI Rappresentazione dei Dati RAPPRESENTAZIONE DEI DATI Quando si dispone di un alto numero di misure della stessa grandezza fisica è opportuno organizzarle in modo da rendere evidente Quandoil si loro dispone

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Politecnico di Milano - Anno Accademico 200-20 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali,

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control ESERCIZI Esercizio 1. Per la caratteristica di un processo distribuita gaussianamente sono note media e deviazione standard: µ = 100, σ = 0.2. 1a. Calcolare la linea centrale

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ES1 Data la seguente serie di dati su Sesso e Altezza di 8 pazienti, riempire opportunamente due tabelle per rappresentare le distribuzioni di frequenze dei due caratteri,

Dettagli

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI SISTEMA NAZIONALE PER L'ACCREDITAMENTO DI LABORATORI DT-000 GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI INDICE parte sezione pagina 1. INTRODUZIONE. FONDAMENTI.1. Misurando,

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale ESERCIZIO nr. 1 I Presidi delle scuole medie superiori di una certa cittá italiana hanno indetto tra gli studenti dell ultimo anno una

Dettagli

CONTROLLI STATISTICI

CONTROLLI STATISTICI CONTROLLI STATISTICI Si definisce Statistica la disciplina che si occupa della raccolta, effettuata in modo scientifico, dei dati e delle informazioni, della loro classificazione, elaborazione e rappresentazione

Dettagli