Analisi statistica degli errori

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1 Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale che è il valore della misura la trattazione dei dati sperimentali richiede un analisi statistica

2 La statistica analizza con metodi scientifici dati relativi a - fenomeni ripetibili infinite volte (almeno in teoria) - che possono dare origine a più risultati *singolarmente imprevedibili *che si escludono a vicenda uno con l altrol I possibili risultati di tali fenomeni prendono il nome di variabili casuali o aleatorie

3 Esempi di eventi casuali Lancio di un dado o di una moneta Estrazione di un numero compreso in un certo intervallo Decadimento di un nucleo radioattivo Esiti di un trattamento farmacologico Durata media delle lampade

4 Statistica descrittiva e statistica inferenziale Statistica descrittiva: Organizza e sintetizza i dati relativi ad un campione relativamente piccolo Statistica inferenziale: Permette di estendere i risultati ottenuti per un campione ad una popolazione più ampia

5 La probabilità La statistica analizza i dati relativi agli eventi casuali in termini di probabilità p(e i ) ossia in termini di rapporto tra il numero k i di casi favorevoli di un certo risultato E i e il numero K totale di casi possibili, purché tutti questi siano ugualmente possibili: p(e i ) = k i /K

6 Dalla definizione data consegue: 0 p(e i ) 1 p(e i ) = 0 : l evento è impossibile p(e i ) = 1 : l evento è certo Se gli eventi E i sono mutuamente esclusivi ed esauriscono tutti i possibili risultati delle prove si ha: p(e 1 ) + p(e 2 ) + + p(e K ) = 1

7 Esempio: lancio di un dado La probabilità che in un lancio esca una qualsiasi delle facce è 1/6: 1 caso favorevole su 6 casi ugualmente possibili La probabilità che in un lancio esca il 3 o il 6 è 2/6: 2 casi favorevoli su 6 casi ugualmente possibili

8 Questa definizione richiede che si possa conoscere a a priori se un certo evento presenta n casi favorevoli su N casi possibili ed equiprobabili.

9 Probabilità empirica o a posteriori Se si eseguono su un sistema N prove e si osserva che l evento E i si verifica n volte (n i i = frequenza assoluta) si definisce frequenza relativa all evento f (o i probabilità empirica) il rapporto n i /N. Per definizione risulta: i n N f 1 i = i = = 1 i i N f N n 1 N = N i= 1 i= 1 N i= 1 N N n

10 Esiste una relazione tra probabilità a priori e probabilità empirica???

11 Legge empirica del caso Nei casi in cui è possibile conoscere la probabilità a priori di un evento E i si osserva che al crescere del numero totale N delle prove, eseguite nelle medesime condizioni, la frequenza relativa, fluttuando, tende a stabilizzarsi intorno al valore della probabilità a priori: p( E i ) = lim N n i N

12 Legge di distribuzione di probabilità Ad ogni evento casuale E si può associare una variabile casuale x a cui è associata quindi anche una probabilità p(x) corrispondente alla probabilità p(e) dell evento. Questa variabile può essere discreta o continua

13 Variabili discrete e variabili continue Variabile discreta = può assumere una serie discreta (finita o infinita) di valori. Es.: lancio di un dado 1, 2,, 6 Variabile continua = può assumere un infinità di valori che variano con continuità Es.:misura di una grandezza fisica

14 Distribuzione di probabilità di variabili discrete L insieme dei valori delle probabilità p(x i ) che competono alla variabile casuale x associata all evento aleatorio E costituisce la legge di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria considerata. Per tutti i possibili eventi del sistema deve risultare: i p( ) = 1 x i

15 Distribuzione di probabilità di variabili continue Per le variabili aleatorie continue non si può parlare di probabilità come per le variabili discrete ma si può associare ad esse una funzione f(x), detta funzione densità di probabilità, tale che la probabilità dp associata ad un intervallo infinitesimo dx è data da dp = f(x)dx. La probabilità che compete ad un intervallo finito [x 1,x 2 ] è allora: 2 ( x [ x, ]) = 1 x Pr 2 x x 1 f ( x) dx

16 Distribuzione di probabilità di variabili continue La funzione densità di probabilità è una funzione non negativa che soddisfa alla condizione + f ( x) dx = 1 detta condizione di normalizzazione.

17 Distribuzione di probabilità di variabili continue Si può allora definire la funzione di distribuzione F per una variabile continua x come: x F ( x) = f ( t) dt che rappresenta la probabilità di osservare un valore non inferiore ad x e che soddisfa la condizione F( ) = 1.

18 Valore atteso Se x i sono i possibili valori di una variabile casuale, ciascuno con probabilità p(x i ), si definisce valore atteso di x la quantità: µ = x i i p ( x i ) Per la legge empirica del caso, per un campione N di prove, se N la media campionaria x tende al valore atteso: N + µ = x f ( x) dx nixi N N i= x = = x ifi ( xi ) x N ip N 1 i ( xi ) i= 1 i= 1 = µ

19 Varianza Varianza σ 2 = media del quadrato degli scarti fatta sulla popolazione σ 2 = ( x i µ ) i p( x Descrive la dispersione della variabile casuale attorno al valor medio µ. La radice quadrata σ rappresenta la deviazione standard della popolazione che può essere stimata da un campione di misure tramite lo scarto quadratico medio. 2 i )

20 La distribuzione binomiale o di Bernoulli La distribuzione binomiale (o di Bernoulli) dà la distribuzione di probabilità per eventi casuali ciascuno dei quali può assumere, in maniera indipendente dagli altri, solo uno tra due valori (evento dicotomico).

21 Esempi Qual è la probabilità che lanciando N = 9 dadi la faccia con il numero 5 esca R = 3 volte? Qual è la probabilità che in famiglie aventi N = 3 figli ci siano R = 2 femmine? Su N = 15 pazienti operati quanti (R) ci aspettiamo abbiano complicazioni se la percentuale di complicazioni osservata è del 20%? Se il 10% dei bulloni prodotti da una macchina è difettoso che probabilità abbiamo che su N = 100 bulloni R = 10 siano difettosi?

22 La distribuzione binomiale o di Bernoulli P( R, N ) = N! R! ( N R)! p R (1 p) ( N R) N = numero di prove R = numero di successi p = probabilità di successo in una prova q = 1 p = probabilità di insuccesso P(R,N) = probabilità di avere R successi su N prove successi ( = numero di eventi favorevoli)

23 Caratteristiche della distribuzione binomiale Dipende da 2 parametri: N e p Il numero medio di successi è dato da: R = N i= 1 RP( R, N) La deviazione standard è data da: = Np σ R = Npq = Np( 1 p)

24 Caratteristiche della distribuzione binomiale In generale: se p ½ la distribuzione binomiale non è simmetrica ed il numero medio di successi non coincide con il numero più probabile p < ½ : il massimo si sposta verso lo zero; p > ½ : il massimo si sposta dalla parte opposta si osserva che, se la probabilità p non è molto vicina ai valori estremi 0 ed 1, al crescere di N la distribuzione binomiale tende a simmetrizzarsi intorno al valor medio Np

25 P(R,N) Distribuzione di probabilità che la faccia "cinque" esca R volte (R = 0, 1,..., 9) nel lancio di N = 9 dadi p = 1/6 4,00E-01 3,50E-01 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E R P(R,N) Distribuzione di probabilità per la nascita di R femmine (R = 0, 1, 2, 3) in una famiglia con N = 3 figli p = 1/2 4,00E-01 3,50E-01 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E R P(R,N) Distribuzione di probabilità che si verifichino R casi di complicazioni (R = 0, 1, 2,, 15) su N = 15 pazienti operati p = 0,2 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 0,00E P(R,N) Distribuzione di probabilità di R bulloni difettosi (R = 0, 1, 2,, 50) su N = 50 bulloni prodotti p = 0,1 2,00E-01 1,80E-01 1,60E-01 1,40E-01 1,20E-01 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R R

26 La distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson dà la distribuzione di probabilità di sistemi costituiti da un numero N molto elevato di elementi, ciascuno avente una probabilità p molto piccola di subire un evento casuale.

27 Esempi Se la probabilità p che un certo individuo sia allergico ad un certo vaccino è che probabilità c è che su N = 2000 individui R risultino allergici al vaccino stesso? Se una macchina produce in un giorno N = 500 lampadine ed ogni lampadina presenta una probabilità p = 0.01 di essere difettosa che probabilità c è che tra le lampadine prodotte in un giorno R siano difettose? Un campione di sangue contenente N = 700 globuli rossi viene osservato al microscopio su un vetrino suddiviso da un retino in 100 cellette (p = 1/100). Qual è la probabilità che in una celletta capitino R globuli rossi? Che probabilità c è che in un secondo vengano emesse R particelle da un grammoatomo di sostanza radioattiva (N=10 23 atomi) i cui atomi hanno una probabilità p di decadere (emettendo una particella) pari a per secondo?

28 La distribuzione di Poisson Numero di prove N elevato formula della binomiale praticamente inutilizzabile (calcolo di fattoriali di numeri troppo grandi) Se N e p 0 in modo che λ = Np rimanga finito la distribuzione binomiale può essere approssimata con una funzione più semplice (distribuzione di Poisson) avente la forma: R λ λ P( R) = e λ = pn R!

29 Caratteristiche della distribuzione di Poisson Dipende solo dal parametro λ non è simmetrica ed il numero medio di successi non coincide con il numero più probabile Il numero medio di successi è dato da: R = Np =λ

30 Caratteristiche della distribuzione di Poisson La deviazione standard è data da: σ = R λ Al crescere del valore del parametro λ tende a divenire simmetrica e raggiunge il massimo intorno al valor medio

31 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 2 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 5 3,00E-01 2,00E-01 2,50E-01 1,80E-01 1,60E-01 2,00E-01 1,40E-01 1,20E-01 P(R) 1,50E-01 1,00E-01 P(R) 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 5,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R 0,00E R Distribuzione di Poisson per λ = Np = 7 Distribuzione di Poisson per λ = Np = 10 1,60E-01 1,40E-01 1,40E-01 1,20E-01 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 4,00E-02 2,00E-02 0,00E ,20E-01 P(R) 1,00E-01 8,00E-02 6,00E-02 P(R) 4,00E-02 2,00E-02 0,00E R R

32 La distribuzione di Gauss Per molte variabili casuali continue la densità di probabilità f(x) è data dalla distribuzione di Gauss o normale f ( x) = Ce h dove C, h ed m sono costanti. 2 ( x m) 2

33 Proprietà della distribuzione di Gauss La funzione di Gauss è: una funzione continua tra - e + ; simmetrica intorno al valore massimo C che si ha in corrispondenza di x = m; di larghezza w = 2/h, avendo definito la larghezza come la distanza tra le due ascisse in corrispondenza delle quali la funzione si riduce di 1/e [f(m ± 1/h) = C/e]. h prende il nome di modulo di precisione ed è tanto più grande quanto più la curva è stretta.

34 Proprietà della distribuzione di Gauss Presenta due flessi in corrispondenza di x = m ± 1 h 2 La funzione di Gauss dipende da due parametri: m ed h. Il valore di C si determina imponendo che la probabilità totale (= certezza) sia 1: + Ce h 2 ( x m) 2 dx = 1 C= h π

35 Il parametro m Il valor medio atteso µ èdato da µ = + xf ( x) dx = m In corrispondenza di µ la funzione di Gauss assume il valore massimo 1 σ 2 π

36 Il parametro h La deviazione standard σ si ricava dalla relazione: 2 σ = + 1 2h [ ] 2 x µ ( x) f ( x) dx = 2 σ rappresenta il valor medio dei quadrati degli scarti dalla media [(x µ) 2 ] e determina la larghezza della distribuzione.

37 La distribuzione di Gauss o normale Funzione di distribuzione gaussiana 1,60 Densità di probabilità 1,20 0,80 0,40 f 1 ( x µ ) 2σ ( x) = e 2πσ 2 2 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x

38 La curva di Gauss al variare di µ e σ Funzione di distribuzione gaussiana al variare del parametro µ Funzione di distribuzione gaussiana al variare del parametro σ 2,00 4,00 µ = 3,00; σ = 0,3 3,00 µ = 3,00; σ = 0,3 Densità di probabilità 1,00 µ = 4,00; σ = 0,3 µ = 1,00; σ = 0,3 Densità di probabilità 2,00 µ = 3,00; σ = 0,6 µ = 3,00; σ = 0,1 1,00 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 x 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x

39 Che cosa rappresenta σ? Densità di probabilità 1,50 1,00 0,50 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 x L area sotto la curva rappresenta la probabilità che la variabile x acquisti un valore compreso tra gli estremi dell intervallo considerato. L area sotto la curva compresa tra [µ - σ; µ + σ] corrisponde al 68.27% dell area totale; tra [µ - 2σ; µ + 2σ] 2 corrisponde al 95.45% ; tra [µ - 3σ; µ + 3σ] 3 corrisponde al 99.73%.

40 Approssimazioni gaussiane della distribuzione binomiale e della distribuzione di Poisson Nelle condizioni in cui la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson tendono a simmetrizzarsi possono essere approssimate con una gaussiana avente - valore atteso µ = Np e deviazione standard σ = Npq per la binomiale; - valore atteso µ = λ e deviazione standard σ = λ per la poissoniana; In generale l approssimazione con la gaussiana è ritenuta buona quando: Np 5 ed N(1-p) 5 per la binomiale λ 8 per la poissoniana.

41 Come si applicano i metodi statistici all analisi delle misure???

42 Che cosa rappresentiamo nell istogramma? Frequenza assoluta ,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x L ampiezza x delle classi è costante l area di ciascun rettangolo è proporzionale alla frequenza assoluta ossia al numero n i di misure che cadono nell intervallo x. N i=1 n i = N L area di tutti i rettangoli è proporzionale al numero totale N di misure

43 Freque nza relativa Densità di frequenza Possiamo rappresentare diversamente queste informazioni? 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 2,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x 2,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x L area dei rettangoli è proporzionale alla frequenza relativa f i l altezza dei rettangoli è proporzionale alla densità di frequenza f i / x (= frequenza per intervallo unitario) N i= 1 f i N = i= 1 fi x x La somma delle aree dei rettangoli è uguale ad 1 = 1

44 Che succede aumentando il numero N delle misure del campione? Densità di frequenza Densità di frequenza 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, misure x = ,48 2,76 3,04 3,32 3,60 x 1000 misure x = 0,08 2,04 2,20 2,36 2,52 2,68 2,84 3,00 3,16 3,32 3,48 3,64 3,80 x la frequenza di ciascun intervallo aumenta l ampiezza delle classi si restringe la frequenza relativa tende alla probabilità l istogramma tende a divenire una curva continua. L area di ciascun rettangolo indica la probabilità che la variabile x acquisti un valore compreso nell intervallo x. L area totale indica la probabilità che la variabile acquisti un valore compreso tra gli estremi dell intervallo rappresentato.

45 La funzione densità di probabilità per le misure di grandezze fisiche Nella condizione limite x N 0 L istogramma tende ad una curva continua, la funzione densità di probabilità. Per le misure delle grandezze fisiche la funzione densità di probabilità nel caso limite di N segue l andamento della distribuzione di Gauss o normale.

46 Valore vero di una misura Il valore atteso µ, calcolato per la distribuzione limite (corrispondente cioè ad una serie infinita di misure), può essere assunto come valore vero x* della misura della grandezza X. La deviazione standard σ, invece, caratterizza quantitativamente la precisione della misura.

47 Distribuzione degli errori La funzione di Gauss rappresenta sia la distribuzione delle misure x della grandezza X, sia la distribuzione dell errore errore definito come differenza tra il valore x della misura ed il valore vero x* o (il valore atteso): x x* = x µ. La distribuzione degli errori è centrata intorno allo zero.

48 La deviazione standard della media Si può dimostrare che la deviazione standard della distribuzione delle medie di campioni aventi ciascuno N misure è data da: σ = x σ N ossia è 1 N volte più piccola di quella delle singole misure le medie campionarie si distribuiscono intorno alla media delle medie (valore vero) con una curva di distribuzione gaussiana più stretta di quella delle singole misure.

49 Valore più probabile e limiti di validità di una misura In generale il valore più probabile ed i limiti di validità della misura di una grandezza fisica devono essere stimati a partire da un campione ridotto di dati.

50 Stima dei parametri della distribuzione Che cosa vuol dire stimare un parametro? - ipotizzare la distribuzione cui obbedisce la popolazione da cui il campione è estratto; - calcolare il valore cui corrisponde la massima probabilità di coincidere con il parametro della popolazione.

51 Livello di confidenza ed intervallo di fiducia La stima dei parametri fatta da un campione ha comunque un carattere casuale cambia al variare del campione secondo una certa distribuzione di probabilità occorre stabilire qual è la probabilità ( = livello di confidenza ) che il valore vero dei parametri cada entro un certo intervallo (= intervallo di confidenza o di fiducia).

52 Probabilità per il valore di una misura Se le misure seguono una distribuzione normale ( = assenza di errori sistematici) l integrale di Gauss consente di valutare la probabilità che un particolare valore della misura cada in un certo intervallo (a,b): P b ( x µ ) 1 2 2σ ( a x b) = e σ 2π a 2 dx

53 Variabile standardizzata z L integrale precedente può essere reso indipendente da µ e σ definendo la variabile standardizzata z: z z misura le deviazioni della misura x dalla media in unità σ. Si ha allora: P( a i cui valori sono tabulati. z = x µ σ b z 1 x b = P za z z b = e 2 ) ( ) 2π z z a 2 dz

54 Intervalli di confidenza La probabilità che il valore di una misura cada entro un certo intervallo prende il nome di livello di confidenza e il corrispondente intervallo prende il nome di intervallo di confidenza o di fiducia. Intervallo di confidenza al % z = 1 Intervallo di confidenza al 95 % z = 1.96 Intervallo di confidenza al % z = 2 Intervallo di confidenza al 99 % z = 2.58 Intervallo di confidenza al % z = 3

55 Stima dei parametri della distribuzione gaussiana La miglior stima del valore atteso è la media x campionaria ; la miglior stima della deviazione standard è lo scarto quadratico medio s; s la miglior stima della deviazione standard della media è s N

56 Presentazione del risultato di una misura Dato un campione di N misure (N 30) distribuite normalmente: - la miglior stima del valor vero è la media aritmetica; - la stima dell incertezza della misura è espressa tramite la deviazione standard della media σ x = s N.

57 Presentazione del risultato di una misura Il risultato di un campione di misure di una certa grandezza X si presenta correttamente come segue: x = x ± 3 um ciò vuole significare che esiste la probabilità s N P( µ x 3σ ) = x 99.7% che una qualsiasi media campionaria scarti dal valore atteso meno di tre deviazioni standard della media.

58 Limiti di fiducia Per una popolazione normale, se x è la media campionaria, i limiti di fiducia per µ sono dati da: x ± z σ N dove N è il numero di misure del campione e z dipende dal livello di confidenza richiesto. Si ha quindi: µ = x ± σ z N

59 Limiti di fiducia Intervallo di confidenza al % z = 1 Intervallo di confidenza al 95 % z = 1.96 Intervallo di confidenza al % z = 2 Intervallo di confidenza al 99 % z = 2.58 Intervallo di confidenza al % z = 3

60 Limiti di fiducia: esempio Sono state condotte delle misure per ricavare il raggio di una sfera piena. I valori ottenuti per i raggi sono riportati nella tabella seguente: N misura Raggio (cm) Calcolare il raggio medio della sfera ed i valori di confidenza al 95% ed al 99% per il valore del raggio reale. R = 10 i= 1 R 10 i = 6.98cm σ 10 ( R R ) i i= 1 R = = ( 10 1) cm

61 Limiti di fiducia: esempio Per i limiti di confidenza si avrà quindi: 95%: * R * %: * R *

62 Teoria delle decisioni statistiche Che cosa si intende per decisione statistica? Esempi: 1. Una moneta viene lanciata 6 volte e testa si presenta 6 volte. Possiamo ritenere truccata la moneta?

63 Teoria delle decisioni statistiche 2. Una casa farmaceutica assicura che un medicinale antiallergico è efficace nel 95% dei casi. In un campione di 200 individui che soffrono di questa allergia la medicina si dimostra efficace in 160 casi. Si può ritenere legittima l affermazione fatta dalla casa produttrice?

64 Teoria delle decisioni statistiche 3. Le resistenze alla rottura delle funi prodotte da una fabbrica hanno una media pari a 1800 N ed uno scarto quadratico medio pari a 100 N. Si pensa di aumentare la resistenza alla rottura immettendo una nuova tecnica nel processo produttivo. Un campione di 50 funi, prodotto con la nuova tecnica, mostra una resistenza media alla rottura di 1850 N. Possiamo ritenere che ci sia stato un effettivo miglioramento?

65 Teoria delle decisioni statistiche Ogni decisione presa intorno ad una popolazione sulla base di dati campionari si chiama decisione statistica. I procedimenti che permettono di accettare o rifiutare una ipotesi o di determinare se i campioni osservati differiscono significativamente dai risultati attesi prendono il nome di test di ipotesi o di significatività.

66 Teoria delle decisioni statistiche La probabilità massima con cui rischiamo di ritenere falsa una ipotesi che invece è vera prende il nome di livello di fiducia o di significatività del test. Ad esempio, richiedere un livello di fiducia del 5% in un test delle ipotesi significa che ci sono 5 probabilità su 100 di rifiutare l ipotesi quando dovrebbe essere accettata, cioè siamo fiduciosi al 95% di aver preso la decisione corretta.

67 Come si ripercuote l errore di una misura diretta sulle grandezze derivate???

68 Migliore stima di una grandezza derivata G = G(x, y, z, ) grandezza derivata Gli errori x, y, z, nelle misure dirette rappresentano piccole variazioni delle variabili indipendenti Possiamo assumere come migliore stima della grandezza derivata il valore della funzione calcolato in corrispondenza delle medie campionarie delle grandezze dirette: G ( x, y, z,...) = G( x, y, z,...)

69 Errore massimo sulla grandezza derivata Nelle ipotesi precedenti l errore massimo sulla grandezza derivata può essere stimato tramite la relazione: G G x x= x x + G y y= y y + G z z= z z +... in cui le derivate parziali sono prese in valore assoluto poiché si tratta di errore massimo.

70 Errore probabile sulla grandezza derivata Se gli errori sulle misure dirette sono indipendenti l errore errore probabile probabile σ G sulla sulla grandezza derivata grandezza derivata è dato da: = = = = z z z y y y x x x G z G y G x G σ σ σ σ

71 Errore relativo massimo sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata l errore relativo massimo è dato da: ε r = G G dg G = d ln G

72 Errore relativo massimo sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata tramite una relazione funzionale del tipo G = x α y β z γ L errore relativo massimo è dato da: ε r = d α β γ x y z ln( x y z...) = α + β + γ +... x y z

73 Errore relativo probabile sulla grandezza derivata Se G è una grandezza derivata l errore relativo probabile è dato da: σ G ε r = G

74 Media pesata Può accadere che di una grandezza fisica si abbiano M serie di misure ottenute con strumenti diversi. Se le misure possono essere considerate consistenti, cioè non affette da errori sistematici ( le medie sono distribuite normalmente), la miglior stima della misura della grandezza è data dalla media pesata.

75 Media pesata = valor medio di ciascun campione σ j = deviazione standard della media di ciascun campione = peso della media x j = = = = = = M j j M j j j M j j M j j j p x p x ˆ σ σ µ x j 2 1 j j p σ =

76 Media pesata Applicando la legge di propagazione degli errori si verifica facilmente che la deviazione standard della media pesata σ µ è data da: σ µ = essendo σ j la deviazione standard della media di ciascun campione. N 1 j= 1 1 σ 2 j

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