PROBABILITÀ. Probabilità e Statistica per le Scienze e l Ingegneria, 3/ed, P. Erto - Copyright 2008, The McGraw-Hill Companies srl

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1 PROBABILITÀ

2 Probabilità 2 EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀ Molto spesso ci troviamo di fronte a fenomeni regolati da leggi non note, o non completamente note. In questo ambito ci capita di dovere esaminare delle asserzioni logiche (che chiamiamo eventi) che, in tutta coscienza, non possiamo definire né vere né false, ma solo possibili. Dire che un asserzione (evento) è possibile, costituisce un esplicita ammissione di essere in uno stato di incertezza che è indubbiamente utile per non commettere errori, più di quanto non lo sia un affermazione di certezza che invece mascheri una sostanziale mancanza di informazioni. Solo i fatti successivi possono affermare o smentire un evento formulato in precedenza. I fatti rappresentano le circostanze che permettono di verificare gli eventi e, a differenza di questi ultimi, non ammettono le proprie negazioni. Consideriamo un ben definito fenomeno, quale l età di una autovettura.

3 Probabilità 3 L'età di questa autovettura è superiore ai 200 anni costituisce un'affermazione (evento) che è manifestamente falsa. Quest'autovettura ha un'età superiore ai km (a giudicarla dall'esterno) costituisce solo un evento possibile, che si rivelerà vero o falso soltanto dopo aver controllato il suo contachilometri. L'età è per noi un numero aleatorio ossia sconosciuto, sebbene già fissato. In generale, gli eventi sono espressi mediante asserzioni che riguardano un ente (ad es. un numero, un parametro, una funzione) aleatorio, cioè qualcosa non conosciuto ma ben determinato (ovvero individuato senza possibilità di fraintendimenti).

4 Probabilità 4 Ad un evento noi associamo una certa probabilità, la quale esprime il grado di fiducia che noi attribuiamo al suo verificarsi (ossia al fatto che esso sia vero). L'insieme di tutte le alternative possibili (ossia di tutti gli eventi elementari possibili in rapporto ad un ben definito fenomeno ed in rapporto ad un preciso stato di conoscenza o ipotesi H) costituisce il nostro spazio di riferimento o spazio campione S. Lo spazio campione S rappresenta un evento certamente vero, nel senso che l'asserzione che esprime tale insieme risulterà certamente vera, in quanto almeno uno degli eventi elementari in esso compresi certamente si verificherà.

5 Probabilità 5 EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀ Lo spazio campione S costituisce il nostro spazio di riferimento: ogni nostra valutazione di probabilità risulta condizionata dalla iniziale individuazione dello spazio campione S. E S { } { } Pr E = p Pr E = 1 p; E è la negazione di E. Se E 1, E 2,...,E n costituiscono una partizione dell'evento certo (o spazio campione) S, le rispettive probabilità p 1,, p i,..., p n devono essere tali che: n i= 1 p i = 1

6 Probabilità 6 Operazioni con gli eventi L unione (o somma logica) di due eventi A e B è un evento, indicato con A B, che si verifica quando almeno uno dei due eventi risulta vero. L intersezione (o prodotto logico o concomitanza) di due eventi A e B è un evento, indicato con A B oppure con AB, che si verifica quando entrambi gli eventi risultano veri. Gli eventi A e B sono detti incompatibili (o disgiunti o alternativi) se è impossibile che risultino veri entrambi, ossia quando A B =. Il complementare (o negazione) di un evento E è un evento, indicato con E, che si verifica quando e solo quando E risulta falso. L unione di eventi numerabili e tra loro incompatibili E1, E2,, En costituisce una partizione di S se necessariamente ne risulta vero uno per volta.

7 Probabilità 7 Per costruire lo spazio campione S (ossia l'evento certo) applichiamo la Tecnica del Prodotto Logico di tutti gli eventi considerati, in unione ai loro rispettivi eventi complementari. Fissati gli eventi A, BC, ed i loro rispettivi complementari A, BC,, è detto prodotto logico il seguente: ( A A)( B B)( C C) = = ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC Gli eventi che compongono le unioni sono detti costituenti di S (relativamente agli eventi A, B, C) La definizione può essere generalizzata al caso di n eventi ottenendo un numero totale di costituenti pari a 2 n.

8 Probabilità 8 ESEMPIO Consideriamo un aereo in fase di decollo, dopo il rilascio dei freni e sino alla fine della pista. Siamo interessati ai seguenti eventi: A) l'aereo decolla; B) l'aereo abortisce il decollo; C) l'aereo si disintegra. = ABC S = ( A A) ( B B) ( C C) = ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

9 Probabilità 9 Regole di coerenza: I regola: La probabilità Pr{E H} di un evento E è il livello di fiducia che attribuiamo al verificarsi di E condizionatamente al nostro stato di conoscenza H. H costituisce il riferimento delle nostre valutazioni, e se cambia (o evolve) dobbiamo tassativamente rivedere dette valutazioni. II regola: Attribuiamo al verificarsi dello spazio campione S l'intera nostra fiducia, viceversa, per un evento certamente falso la fiducia è nulla: Pr{ S } = 1; Pr{ } = 0

10 Probabilità 10 III regola: La probabilità di un qualsiasi evento E appartenente ad S risulta essere sempre positiva ed al più pari ad 1 (essendo pari a una frazione di Pr{ S }). IV regola: { E} 0 Pr 1 La probabilità dell'unione di due o più eventi mutuamente incompatibili (il verificarsi dell'uno esclude quello dei rimanenti) è pari alla somma delle probabilità attribuite ai singoli eventi: A S B { } { } { } A B =, Pr A B = Pr A + Pr B