Logica binaria. Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

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Elisabetta Nigro
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1 Logica binaria Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

2 Logica binaria 2

3 Rappresentazione dell'informazione I calcolatori elettronici rappresentano qualsiasi tipo di informazione come una sequenza di cifre binarie (bit) In particolare, sia i dati che il calcolatore elabora, sia le istruzioni che esegue, sono codificate con sequenze di bit Bit Una singola cifra binaria: oppure 1 Byte Una sequenza di 8 cifre binarie: es Parola (Word) Una sequenza di 4 bytes (= 32 cifre binarie) Logica binaria 3

4 Operazioni elementari sui bit Tre operazioni elementari R = A AND B R = A OR B R = NOT A A B R A B R A R 1 1 A R A R A R B B Logica binaria 4

5 Altre operazioni sui bit Ogni altra operazione su bit si può ottenere tramite composizione delle operazioni elementari AND, OR, NOT Esempio: Or Esclusivo (XOR, exclusive OR) A XOR B = 1 se e solo se (A= AND B=1) OR (A=1 AND B=) Ossia: A XOR B ( (NOT A) AND B ) OR ( (A AND (NOT B) ) R = A XOR B A B R Logica binaria 5

6 Operazioni sui bit: XOR R = A XOR B A B R A B R A R B A XOR B ( (NOT A) AND B ) OR ( (A AND (NOT B) ) Logica binaria 6

7 In generale Il metodo è valido per ogni tavola di verità Esempio: Il risultato è 1 se e solo se (A= AND B=) OR (A=1 AND B=) OR (A=1 AND B=1) Ossia ( (NOT A) AND (NOT B) ) OR ( A AND (NOT B) ) OR ( A AND B ) A B R Nota: questo procedimento non produce necessariamente l'espressione booleana piu' semplice per descrivere una funzione data. Nel corso di Calcolatori Elettronici verrà illustrato un algoritmo per rappresentare una tabella di verità con il numero minimo di operatori logici Logica binaria 7

8 In generale A A B R ( (NOT A) AND (NOT B) ) OR ( A AND (NOT B) ) OR ( A AND B ) (NOT A) AND (NOT B) B A AND (NOT B) A AND B Logica binaria 8

9 1-bit Half Adder Calcola la somma S e l'eventuale riporto C tra due bit A e B + = riporto + 1 = 1 riporto 1 + = 1 riporto = riporto 1 Dalla tabella di verità, osserviamo che S = A XOR B C = A AND B A B A B S C S C Logica binaria 11

10 2-to-1 Multiplexer (Mux) Dispositivo con tre ingressi: A, B e S (Selettore) L'output è uguale ad A se S=; L'output è uguale a B se S=1. A B R 2-to-1 multiplexer A B S R a b a a b 1 b S In maniera analoga si possono definire 4-to-1, 8-to-1, multiplexer Sono necessari più bit per il selettore Logica binaria 12

11 2-to-1 Multiplexer (Mux) una possibile realizzazione A B R 2-to-1 multiplexer A B S R S Logica binaria 13

12 Come si realizza un Mux? Possiamo anche usare la regola generale R = 1 se e solo se (A= AND B=1 AND S=1) OR (A=1 AND B= AND S=) OR (A=1 AND B=1 AND S=) OR (A=1 AND B=1 AND S=1) Ossia: ( (NOT A) AND B AND S ) OR ( A AND (NOT B) AND (NOT S) ) OR ( A AND B AND (NOT S) ) OR ( A AND B AND S) 2-to-1 multiplexer A B S R Logica binaria 14

13 Costruiamo un frammento di CPU 1-bit ALU (Arithmetic Logic Unit) Una componente fondamentale di una CPU Effettua operazioni aritmetiche (es, somme, prodotti) e logiche (AND e OR di bit, confronti tra numeri ecc) Come esempio consideriamo una ALU che dati due input, A e B, può calcolare l'and oppure l'or logico A B R 1-bit ALU A B Op R a b a AND b a b 1 a OR b Op Logica binaria 15

14 1-bit ALU Si può facilmente costruire utilizzando porte AND, OR e un multiplexer 2-to-1 A R 1-bit ALU A B Op R a b a AND b a b 1 a OR b B Op Logica binaria 16

15 Una ALU più sofisticata Usando un Mux 4-to-1 possiamo aggiungere altre due operazioni, ad esempio la somma e la negazione (NOT A) A B 4-to-1 Mux R half adder C Op 2 Indica che questo input è composto da 2 bit Logica binaria 17

16 Programmare la nostra ALU Si programma tramite micro istruzioni composte da 4 bit I primi due indicano l'operazione -> NOT 1 -> AND 1 -> OR 11 -> ADD Gli altri due indicano i valori di A e B Es: 111 -> ADD > AND 1 1 A B Op 1 Op 2 A B half adder C 4-to-1 Mux Op Logica binaria 18 2 R

17 Flip-flop Semplice circuito logico che puo' essere utilizzato per memorizzare il valore di un singolo bit S R Q S R Q next Azione Q Mantieni stato precedente 1 Reset 1 1 Set Set Logica binaria 19

18 Flip-flop Nota: X AND = X AND 1 = X Q Q Q X OR 1 = 1 X OR = X 1 Logica binaria 2

19 Flip-flop Nota: X AND = X AND 1 = X X OR 1 = 1 X OR = X 1 Logica binaria 21

20 Flip-flop Nota: X AND = X AND 1 = X X OR 1 = 1 X OR = X 1 Logica binaria 22

21 Flip-flop Nota: X AND = X AND 1 = X X OR 1 = 1 X OR = X 1 Logica binaria 23

22 Flip-flop Nota: X AND = X AND 1 = X X OR 1 = 1 X OR = X 1 Logica binaria 24

23 Implementazione alternativa S-R (Set-Reset) NOR latch Due output Q e Q, uno l'opposto dell'altro R Q S R Q next Azione Q Mantieni stato precedente 1 Reset 1 1 Set S Q 1 1?? Non ammesso (Q = Q =!!!) Logica binaria 25

24 Esercizi Per ciascuno dei circuiti seguenti, determinare la tebella di verità e disegnare il circuito booleano corrispondente [Parità] Disegnare un circuito booleano con tre ingressi, A, B, C, e una singola uscita R. Il valore di R deve essere tale che il gruppo di 4 bit ABCR deve avere un numero pari di cifre 1 Es: ABC = 11, R=; ABC=111, R=1; ABC=1, R=1 [Controllo parità] Disegnare un circuito booleano con quattro ingressi, A, B, C, D, e una singola uscita R. R vale uno se e solo se il gruppo di 4 bit ABCD contiene un numero pari di cifre 1 Es: ABCD=11, R=1; ABCD=111, R=; ABCD=11, R=1 Logica binaria 26

25 Idee chiave Porte logiche (AND, OR, NOT, XOR) Tabelle di verità Espressioni logiche Semplici circuiti combinatori MUX / DEMUX 1-bit ALU Flip-flop Logica binaria 27

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