ANALISI MATEMATICA 3

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1 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 Prova scritta del 8//003 prof. Marco Vignati ] Sia dato il problema di Cauchy xy + y = 0 i) Determinarne la soluzione locale. y () = 3 ii) Determinarne una soluzione massimale (insieme di definizione, espressione esplicita, grafico). iii) Discutere l unicità della soluzione massimale. ] Sia data la successione di funzioni f n : R R, n N, definita come: f n (x) = 3n x ( + n x ). i) Determinarne l insieme di convergenza puntuale e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza è uniforme nell intervallo [, 3]. iii) Stabilire se la convergenza è uniforme nell intervallo [4, + ). 3] Siano dati il dominio regolare D = ed il campo vettoriale F :R R, con Calcolare l integrale { (x, y) R : 0 x ; 3 y 6 3x F (x, y) = ( y 3 x + xy ; 3x + xy ). D F N ds dove N rappresenta il versore normale esterno su D. },

2 ] L equazione è definita per y e, se x 0, possiamo scriverla in forma normale come y = f (x, y) = x y. Le variabili possono essere separate, arrivando ad integrali semplici da calcolare. Poiché f C ((0, + ) (, + )), il problema ha una ed una sola soluzione locale y = y (x); fino a quando y (x) > si ha y (x) y (x) = x = y (x) = log x = y (x) = + ( ) log x e questo rimane valido per tutti gli x > 0 per cui log x, cioè per x (0, e ]. Per x 0 + abbiamo y (x) +, e nessun prolungamento ad x < 0 è possibile. Quando, invece, x (e ) abbiamo y (x), y (x) 0, e quindi la soluzione locale può essere prolungata ad ogni x > 0, ottenendo la soluzione (ovviamente massimale) + y (x) = ( log x ) se x (0, e ] se x [e, + ) Questa soluzione è unica, perché le condizioni y (x) e y (x) 0 escludono che y possa assumere valori diversi da per x e. ] Tutte le funzioni f n sono definite in R; inoltre, f n (0) = 0 per ogni n, mentre se x 0 si ha f n (x) 3xn n x = 3. Perciò la successione di funzioni converge puntualmente, per ogni x, x alla funzione limite { /x se x 0 f (x) = 0 se x = 0. Tutte le f n sono continue in R, f non è continua in x = 0, e quindi la convergenza in [, 3] non può essere uniforme. Per x 4 invece f n (x) f (x) = 3n x ( + nx) 3 x = 3 6nx x ( + nx) = 3 nx + x ( + nx) c nx n x = c 3 nx c n per opportune costanti positive c, c. Quest ultima stima non dipende da x e quindi ( ) lim sup f n (x) f (x) = 0 ; n + x 4 la convergenza in [4, + ) è perciò uniforme.

3 3] Il valore dell integrale F N ds coincide, per il Teorema della Divergenza, con il valore D dell integrale divf (x, y) dx dy. La divergenza del campo vettoriale F vale D divf (x, y) = F x (x, y) + F (x, y) = x + y + x = y y e quindi D F N ds = divf (x, y) dx dy = D = = 0 0 3x 6 3 y dy dx = D 0 y dx dy (7 8x + 94 ) x dx =... =. [ ( 6 3x ) 9] dx 3

4 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 Prova scritta del 3//003 prof. Marco Vignati ] Sia dato il problema di Cauchy y = xe x+y y () = log i) Determinarne una soluzione locale. ii) Determinarne una soluzione massimale (insieme di definizione, espressione esplicita, grafico). iii) Discutere la (eventuale) unicità della soluzione massimale. ] Sia data la successione di funzioni f n : R R, n N, definita come: f n (x) = (n x) n + x i) Determinarne l insieme di convergenza puntuale e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza è uniforme nell intervallo [, + ). iii) Calcolare lim n + 4 f n (x) dx. 3] Per a parametro reale, siano date le forme differenziali definite in R. ω a = (ae x y) dx + ( 3y x ) dy i) Stabilire per quali valori a R la forma ω a è esatta in R. ii) Per questi valori a, trovare il potenziale F a che si annulla nel punto (0, ). iii) Determinare il valore di a per cui la funzione y = f a (x), definita implicitamente dalla relazione F a (x, y) = 0, ha un punto stazionario in x = 0, e determinare la natura di questo punto. 4

5 ] La funzione f (x, y) = xe x+y è di classe C (R ) e quindi il problema ammette una ed una sola soluzione locale. Separando le variabili si ottiene y e y = xe x = ( e y) = ((x )e x ) = e y = (x ) e x + c e tenendo conto della condizione iniziale la costante c assume il valore /, per cui la soluzione locale è [ ] y (x) = log (x ) ex, valida fino a che l argomento del logaritmo rimane positivo, cioè per (x ) e x < / x e questo accade per x (, α) con α >. Per x α abbiamo y (x) +, per cui quella trovata è la (unica) soluzione massimale, il cui grafico è ammette come asintoto verticale la retta x = α ed come asintoto orizzontale sinistro la retta y = log x ] Tutte le f n sono funzioni definite e continue in R. Per ogni x fissato abbiamo f n (x) = (n x) n + x = n + x nx n + x n n = per cui c è convergenza semplice, in R, alla funzione f (x). Poi (n x) sup f (x) f n (x) = sup x x n + x = sup nx x n + x. 5

6 Uno studio qualitativo del grafico della funzione (dispari) g n (x) = g n (0) = 0 = nx n + x mostra che lim g n (x), e g n (x) > 0 se e solo se n < x < n. Perciò, g n presenta x ± un massimo assoluto, relativamente ad [, + ), in x = n, con valore g n (n) =, per ogni n. Questo implica che la convergenza in [, + ) non è uniforme. Se invece x [, 4] lo stesso ragionamento mostra che, per n 4, le funzioni g n sono monotòne crescenti in [, 4], e quindi sup f (x) f n (x) = sup g n (x) = g n (4) = x [,4] x [,4] 8n n Perciò in [, 4] la convergenza è uniforme, e questo garantisce la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale. Quindi: lim n + 4 f n (x) dx = 4 f (x) dx = 3. Oss.: in alternativa al metodo generale utilizzato sopra per studiare la convergenza uniforme di {f n } ad f, in questo caso particolare si sarebbe potuto osservare che le funzioni f n sono quozienti di due polinomi di II grado, omogenei in n ed x. Perciò, fattorizzando il termine n si ottiene [ ( (x/n]) x ) f n (x) = + (x/n) = h n dove h (t) = ( t). Il grafico di h è semplice da studiare + t t ( x e quello di f n (x) = h si ottiene da quello di h dilatando l asse delle ascisse del fattore n. n) x linea sottile n = 3; linea media n = 9; linea grossa n = 30. 6

7 3] Ogni ω a = A (x, y) dx + B (x, y) dy ha coefficienti di classe C (R ) ; Poiché R è stellato, l esattezza equivale alla chiusura della forma. Poiché A y = = B x ogni forma ω a è esatta in R. Integrando, otteniamo F a (x, y) = F a (0, ) + = x 0 x 0 A (t, ) dt + y ( ae t + ) y ( dt + 3t x ) dt = ae x a + x + y 3 + xy x = ae x xy + y 3 + a. B (x, t) dt Abbiamo F a C (R ), con F a (0, ) = 0 e F a (0, ) = B (0, ) = 3 0. Applicando y il Teorema del Dini, sappiamo che in un intorno di x = 0 esiste una ed una sola funzione y = f a (x) definita implicitamente dalla relazione F a (x, y) = 0. La sua derivata prima in x = 0 vale f a A (0, ) (0) = B (0, ) = a + 3 e quindi x = 0 è un punto stazionario per a =. In questo caso la relazione si riduce a f (x) = F xx (F y ) F xy F x F y + F yy (F x ) (F y ) 3 f (0) = F xx (0, ) F y (0, ) = 3 > 0 per cui la funzione f presenta, in x = 0, un punto di minimo locale. 7

8 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 Prova scritta del 0/6/003 prof. Marco Vignati Durata della prova scritta: ore. Lo studente svolga fino a tre dei seguenti esercizi.. Calcolare, al variare del parametro r > 0, r, l integrale curvilineo dove ω = x x + y x + dx + y x + y x + dy γ r ω, e dove γ r rappresenta la circonferenza di raggio r e centro (0, 0), percorsa una volta in senso antiorario.. Verificare che la relazione x 3 y 3 + xy + = 0 definisce implicitamente una ed una sola funzione y = y (x). Studiare poi questa funzione (insieme di definizione, limiti alla frontiera, eventuali estremanti ed asintoti) e tracciarne un grafico qualitativo. 3. Sia data la successione di funzioni f n (x) = x 3 nx n(x + ) + x 4. i) Verificare che {f n } converge puntualmente in R, e calcolare la funzione limite. ii) Stabilire in quali intervalli I R la successione {f n } converge uniformemente. 4. Sia dato il problema di Cauchy y + y = y 3 y(0) = a, a R. i) Determinarne, al variare del parametro a, la soluzione locale. ii) Stabilire l intervallo di definizione della soluzione massimale, e tracciarne un grafico qualitativo. 8

9 ] La forma differenziale ω è definita, e di classe C, nell aperto Ω = R \ {(, 0)} ; inoltre, si verifica con il calcolo di due derivate parziali che ω è chiusa in Ω. Perciò, gli integrali coincidono tra loro quando sono calcolati lungo curve Ω-omotope. Questo significa che i possibili valori assunti dagli integrali sono solo due, a seconda che la curva circondi (r > ) oppure no (r < ) il punto (, 0). In questo secondo caso l integrale è nullo, perché la curva è Ω-omotopa a zero (cioè alla curva il cui sostegno è un singolo punto). Alternativamente, si può osservare che per 0 < r < la curva γ r ha il sostegno contenuto nella regione Ω = {(x, y) : x < } Ω, ed Ω è un aperto stellato (si tratta di un semipiano); perciò ω è esatta in Ω, e quindi ω = 0. γ r Se invece r > nessuno dei precedenti discorsi è valido. Calcoliamo ω in due diversi modi: γ r i) con la parametrizzazione γ r (t) = (cos t; sin t), π t π il calcolo diretto di γ r ω = π π [ ] ( r cos t)r sin t + r r cos t + r cos t sin t π [ ] r sin t dt = + r r cos t π + r r cos t dà risultato nullo, perché la funzione integranda è dispari e l intervallo di integrazione è simmetrico rispetto a t = 0. ii) la funzione F (x, y) = log [ (x ) + y ] è un potenziale, in Ω, di ω, e quindi la forma differenziale è esatta in Ω. Perciò ω = 0 per ogni r > 0 (r ). γ r dt γ r ω ] La funzione F (x, y) = x 3 y 3 + xy + è di classe C (R ). Inoltre per ogni x fissato, e lim F (x, y) = y ± F y (x, y) = x 3y. Per tutti gli x < 0 la funzione F (x, ) è sempre monotòna decrescente, assume valori sia negativi che positivi, e quindi si annulla una ed una sola volta. Questo permette di concludere che, almeno per x (, 0), la relazione F (x, y) = 0 definisce una ed una sola funzione implicita y = f (x). Per x = 0 abbiamo F (0, y) = ( y 3 = 0 solo per y =. Per x > 0, invece, la F (x, ) decresce se y, ) x/3 e ha un minimo a quota ( F x, ) x/3 = x 3 4 ( 3 3 x x+, sempre positiva; poi F (x, ) cresce per y x/3. ) x/3, ( x/3, ) e infine decresce per y +, annullandosi perciò una sola volta. Riassumendo, per ogni x R la relazione F (x, y) = 0 definisce una ed una sola funzione implicita y = f (x). Per x > 0 abbiamo f (x) > x/3. Per studiare il segno di f (x), calcoliamo F (x, 0) = x 3 +, e troviamo che f (0) 0 se e solo se x. Con il Teorema del Dini ricaviamo f (x) = 3x + f (x) x 3f (x) 9

10 e Poiché F y (x, f (x)) < 0 per ogni x, abbiamo f (x) 0 se e solo se f (x) 3x. Inoltre, F (x, 3x ) = 7x 6 x 3 + > 0 per ogni x, per cui f è sempre crescente. Ne segue che esistono f (x) e, Poiché 0 F (x, f (x)), ne segue che l unica scelta possibile per tali limiti è lim x ± lim f (x) = ±. x ± Per stabilire l esistenza di eventuali asintoti obliqui, supponiamo che per x ± si abbia f (x) = mx + q + ε (x) con ε (x) 0. Allora 0 F (x, mx + q + ε (x)) = x 3 (mx + q + ε (x)) 3 + mx + qx + xε (x) = ( m 3) x 3 + ( 3q ) mx + o ( x ) e questa relazione ( è verificata solo nel caso m = e q = /3. Poiché F x, x + ) > 0, ne segue che f (x) > x + 3 per ogni x, mentre F (x, x + α) = ( 3α) x + ( α 3α ) x + ( α 3) ha definitivamente il segni di ( 3α). Perciò x + 3 < f (x) < x + α per x abbastanza grande e per ogni α > 3. Quindi, la retta di equazione y = x + 3 è asintoto obliquo sia destro che sinistro per la funzione f. 4 y -4-0 x ] Tutte le funzioni sono continue in R; inoltre, f n (0) = 0 per ogni n, mentre se x 0 abbiamo, per n + f n (x) nx n(x + ) = x x + e quindi la successione di funzioni converge puntualmente, in R, alla funzione f (x) = x + x. 0

11 Per quanto riguarda la convergenza uniforme, abbiamo f n (x) f (x) = x 3 nx n(x + ) + x + x 4 x + = x 6 + x 5 + x 3 (x + ) [n(x + ) + x 4 ] = x 3 x 3 + x + (x + ) [n(x + ) + x 4 ]. Se I è un intervallo limitato, cioè se x K, abbiamo chiaramente f n (x) f (x) c n 0, e c è convergenza uniforme in I. Se invece I è illimitato abbiamo lim f n (x) f (x) = x e quindi non ci può essere convergenza uniforme. 4] L equazione differenziale può essere vista sia come equazione di Bernoulli che come equazione a variabili separabili. Le funzioni costanti y 0 e y ± sono soluzioni dell equazione differenziale, e quindi anche del problema di Cauchy ( a ) se a è uno di questi tre valori. Scrivendo l equazione in forma normale, y = f (x, y) = y 3 y, notiamo che f C (R ), per cui è possibile applicare il teorema di esistenza ed unicità locale ad un qualsiasi problema di Cauchy. Così, due distinte soluzioni dell equazione differenziale hanno grafici sempre disgiunti, e per le soluzioni y a si ha a < < a < 0 0 < a < < a = y a (x) < < y a (x) < 0 0 < y a (x) < < y a (x) Separando le variabili, nel caso a 0 e a ± otteniamo per ogni x. da cui e quindi x = ya(x) a y y 3 y = = ya(x) a dt t 3 t = x ( / t + / t + ) dt = ( ) a t log (ya ) (a ) ya y a (x) = a a (a ) e x. Se a < è definita per ogni x R, mentre se a > la soluzione è definita solo per x < ( ) a log. a

12 x - -4 dal basso all alto i casi: a = ; a = 0.; a = 0.5; a = 3.

13 Prova scritta dell 8/7/003 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 prof. Marco Vignati Durata della prova scritta: ore. Lo studente svolga fino a tre dei seguenti esercizi.. Sia dato il problema di Cauchy y = (6x ) y con y 0 parametro reale positivo. i) determinarne la soluzione locale; y() = y 0 ii) verificare che esiste almeno una soluzione massimale definita in R; iii) discutere l unicità della soluzione massimale.. i) Determinare la funzione g C (R ) che soddisfa g (, ) = e che rende esatta la forma differenziale ω = xz dx + ( yz + 3y ) dy + g (x, y) dz. ii) Per questa scelta di g, determinare il potenziale F = F (x, y, z) di ω, che soddisfa F (,, 4) = Sia data l equazione x ( + log y) y ( + x ) + 3 = 0. i) Verificare che questa equazione definisce implicitamente, in un intorno di x =, un unica funzione continua y = f (x) che soddisfa f () =. ii) Di questa funzione si calcoli lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine, con resto secondo Peano, centrato in x =. 4. Per x > 0 e n =,,... siano date le funzioni log x se x (0, n) (n +, + ) f n (x) = (n + x) (x n) log x + se x [n, n + ] n i) Determinare l insieme di convergenza puntuale e la funzione limite f. ii) La convergenza è uniforme nell insieme (0, ]? iii) E nell insieme [, + )? 3

14 ] L equazione è a variabili separabili; per ogni y 0 > 0 la soluzione locale può essere calcolata con y y = 3x = Perciò, abbiamo y(x) y 0 dt t = x ( 3t ) dt = y (x) = x 3 x + y 0. y (x) = [ x 3 x + y 0 ], certamente valida fino a quando y 0 > x x 3 = g (x). La funzione g ha un massimo relativo in x = / 3, a quota /3 3e quindi il più ampio intervallo, contenente x =, in cui g (x) < y 0 ha la forma: -) (α, + ), con α <, nel caso y 0 > 4 7 ; -) (α, + ), con α [, ), nel caso y 0 (0, ]. - - y 0 > 4 7 y In entrambe le situazioni la soluzione locale y (x) = [ y0 g (x) ] si annulla del II ordine per x α +, e quindi può essere raccordata in modo C con la funzione che assume valore identicamente nullo per x α. Così, la funzione [ x 3 x + ] y 0 se x α ( ) y (x) = 0 se x α è una soluzione massimale, definita in R, del problema di Cauchy. Per quanto riguarda l unicità di questa soluzione, chiaramente è garantita per x > α. Perciò, possiamo avere altre soluzioni z (x) del problema di Cauchy solo se queste possono assumere valori positivi in qualche intervallo I (, α). Questo implica avere y (x) < 0 in qualche x I, e dalla relazione y = (6x ) y osserviamo che ciò può accadere solo per x < / 3. Pertanto, nel caso y 0 > 4 questo viene escluso, perché le condizioni x < α < 7 e x < / 3 sono incompatibili. In questo caso la funzione y in ( ) è l unica soluzione massimale del problema. Se invece y 0 (0, 4 ] altre soluzioni z (x) esistono. Ad esempio, possiamo risolvere il problema 7 di Cauchy y = (6x ) y y(0) = z 0 (> 0) 4

15 ottenendo la soluzione locale z (x) = [ x 3 x + ] z 0 in un intorno di x = 0. Se z 0 è scelto sufficientemente piccolo, questa soluzione è positiva in un intervallo del tipo (β, γ), con β < < 0 < γ < / 3 < α, e quindi la funzione [ x 3 x + ] y 0 se x α 0 se γ x α ( ) z (x) = [ x 3 x + ] z 0 se β x γ 0 se x β è un altra soluzione massimale del problema assegnato. y 0 > 4 7 y ] L esattezza della forma ω in R 3 equivale alla sua chiusura, e le richieste sulla funzione g si riducono al sistema x = g x y = g y che porta a soluzioni del tipo g (x, y) = x + y (, ) otteniamo che la forma cercata è + c. Introducendo il valore di g nel punto ω = xz dx + ( yz + 3y ) dy + Il generico potenziale di questa forma è allora che si annulla in (,, 4) scegliendo d = 9. ( x + y + ) dz. F (x, y, z) = x z + y z + y3 + z + d 3] La funzione F (x, y) = x ( + log y) y ( + x ) + 3 è di classe C (R R + ), si annulla in (, ), e F (, ) = 3 0. È possibile applicare il Teorema del Dini, ed ottenere esistenza y ed unicità locale di una funzione implicita y = f (x). La formula di Taylor porta a f (x) = f () + f () (x ) + f () 5 (x ) + o ( (x ) ),

16 dove f (x) = F x xf (x) + log f (x) (x, f (x)) = F x y f (x) x, da cui f () = 3 3 = e dove Abbiamo f (x) = F xx (F y ) F xy F x F y + F yy (F x ) (F y ) 3 (x, f (x)). F xx (x, y) = y F xy (x, y) = y x F yy (x, y) = x y = F xx (, ) = F xy (, ) = 3 F yy (, ) = e quindi f ( ) (9) ( 3) ( 3) ( 3) + ( ) 9 () = 7 Così lo sviluppo cercato è = 3. f (x) = f () (x ) + 3 (x ) + o ( (x ) ). 4] Il grafico della funzione f n è ottenuto aggiungendo a quello della funzione f (x) = log x, solo nell intervallo [n, n + ], una cunetta di forma parabolica, senza distruggerne la continuità. La cunetta, al crescere di n, si sposta verso destra e si riduce in altezza; il massimo scarto tra f ed f n si ottiene nel punto medio di [n, n + ], e vale. Perciò, la successione di 4n funzioni converge alla funzione f, e la convergenza è uniforme in (0, + ) x x n = n = 4 6

17 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 Prova scritta del 3/9/003 prof. Marco Vignati Durata della prova scritta: ore. Lo studente svolga fino a tre dei seguenti esercizi.. Siano dati il campo vettoriale F :R 3 R 3 e la regione E R 3 definiti come F (x, y, z) = (x; y; z) e E = { (x, y, z) : x + y z x + 3 }. Si calcolino: i) il flusso di F uscente da E; ii) il flusso uscente di F che attraversa la parte piana della frontiera di E.. Sia data la serie di funzioni + n= nxe n(x x), x R. i) Determinarne l insieme di convergenza puntuale. ii) Studiarne la convergenza uniforme negli intervalli [0, 3 ), [ 3, ) e [, ). 3. Determinare i valori a, b R affinché tutte le soluzioni del problema di Cauchy y + y y = e x y (0) = a y (0) = b siano limitate in (0, + ). 4. Determinare il massimo ed il minimo valore assunti dalla funzione f (x, y) = 3x y nell insieme E = { (x, y) : x + y ; x 0; y 0 }. 7

18 ] L insieme E è una regione compatta di R 3, che sul piano xy si proietta in D = { (x, y) : x + y x + 3 } = { (x, y) : (x ) + y 4 } disco chiuso di centro (, 0) e raggio. Al di sopra di D, la regione E è delimitata da sotto dal paraboloide di equazione z = x + y, e dall alto dal piano di equazione z = x + 3. Per calcolare il flusso di F uscente da E possiamo utilizzare il Teorema delle Divergenza F n dσ = (divf) (x, y, z) dx dy dz ; Poiché otteniamo E E divf = E ( F x + F y + F ) 3 = 3 z F n dσ = 3 dx dy dz = 3vol (E) = 3 (x + 3 x y ) dx dy E D [ = 3 4 (x ) y ] dx dy D ed utilizzando le coordinate polari nel piano, centrate in (, 0), date da x = + r cos ϑ, y = r sin ϑ abbiamo π ( F n dσ = 3 ) ( 4 r r dϑ dr = 6π ) 4 r r dϑ dr E = 6π 0 0 [r r4 4 ] 0 = 4π. La parte piana della frontiera di E può essere descritta come B = {(x, y, x + 3) : (x, y) D}, e parametrizzata per mezzo della funzione ϕ (x, y) = (x; y; x + 3), (x, y) D. Le derivate parziali di ϕ valgono ϕ x (x, y) = (; 0; ) e ϕ y (x, y) = (0; ; 0), per cui ϕ x ϕ y = ( ; 0; ), che è orientato verso l alto. Così F n dσ = ( x + x + 3) dx dy = 3 area (D) = π. B D 0 ] Chiaramente c è convergenza se x = 0. Per x 0 il criterio della radice porta a n un (x) = n n x e x) (x e (x x) e quindi c è convergenza se e x) (x <, cioè se 0 < x <. Per x < 0 o per x, invece, il termine generale della serie non tende a zero. Così, l insieme di convergenza semplice è l intervallo [0, ). Una condizione necessaria per avere convergenza uniforme nell insieme I è che u n,i = sup u n (x) 0 x I 8

19 e questo esclude l intervallo [, ), perché ( ) lim lim u n (x) = lim n = +. n + x n + Se x I = [ 3, ) abbiamo x x, per cui 9 u n,i n e n/9 e c è convergenza totale (dunque anche uniforme). Quando invece x I = [0, 3 ), lo studio del segno di u n (x) = ne n(x x) (nx nx + ) 8 n evidenzia che u n ha un massimo relativo in x n = 4 ( ) ( ) u n (x n ) u n = exp n n, per cui n 0 e quindi u n,i 0, escludendo così la convergenza uniforme in [0, 3 ). 3] L equazione differenziale è lineare, non omogenea, a coefficienti costanti. Il polinomio caratteristico dell equazione omogenea associata è λ + λ, che ha come radici λ = e λ =. Così, la generica soluzione dell equazione omogenea associata è y H (x) = Ae x +Be x, A, B R. Poiché λ = non è radice del polinomio caratteristico, sappiamo che una soluzione particolare dell equazione non omogenea di partenza ha la forma u (x) = ce x, per qualche c R. Sostituendo questa u nell equazione differenziale otteniamo ce x ce x ce x = e x da cui ricaviamo c =. Perciò, la generica soluzione dell equazione assegnata è y (x) = Ae x + Be x + e x, A, B R. Imponendo le condizioni iniziali nel punto x = 0 troviamo a = A + B + A = a + b 3 b = A B così, la soluzione del problema di Cauchy è = B = a b 3 ; y (x) = a + b 3 e la limitatezza in (0, + ) si ha solo se a + b =. e x + a b e x + e x 3 9

20 4] L insieme E è l intersezione del disco chiuso di centro (0, 0) e raggio con il I quadrante, e quindi è compatto. La funzione f è continua in E, e per il teorema di Weierstrass f assume massimo e minimo assoluti in E. Poiché f (x, y) = ( 3; ) non si annulla mai, non ci sono punti stazionari all interno di E, quindi gli estremi sono assunti sulla frontiera. Considerando i tre archi di curva regolare che compongono E, abbiamo ) a (t) = f (t, 0) = 3t sempre decrescente; ) b (t) = f (0, t) = t sempre decrescente; ) c (t) = f (cos t; sin t) = 3 cos t sin t decrescente per 0 t t 0 = arctan 3, e poi crescente. Perciò il massimo valore di f in E viene assunto in (0, 0), e vale ; il mino\ imo viene assunto in (cos t 0, sin t 0 ) = ( 3 0, ) e vale

21 ANALISI MATEMATICA 3 Corso di laurea triennale in Fisica, F480 Prova scritta del 6//003 prof. Marco Vignati Durata della prova scritta: ore. Lo studente svolga fino a tre dei seguenti esercizi.. Determinare una funzione g : R R, g C (R), in modo che la forma differenziale ω = y g (xy) dx + 3xyg (xy) dy sia esatta in R.. Calcolare 8 e x n 3 x lim n + x + n dx giustificando il procedimento seguito. 3. Sia dato il problema di Cauchy ( ) x (x + ) y + (x + ) y = y () = π/4 i) Determinarne la soluzione locale, specificandone l insieme di definizione. ii) Calcolare la soluzione massimale di ( ). 4. Determinare il massimo ed il minimo valore assunti dalla funzione f (x, y) = x y + x 4y nella regione D = { (x, y) : x + y 0 }.

22 ] La forma è di classe C (R ) e per la sua esattezza è sufficiente che sia chiusa, cioè che ( y g (xy) ) = y x (3xyg (xy)) = 4yg (xy) + y xg (xy) = 3yg (xy) + 3xy g (xy) = yg (xy) = xy g (xy) = g (xy) = xyg (xy). (Oss.: la funzione g dipende dalla sola variabile reale t = xy, per cui x g (xy) = g (t) t x = g (xy) y, e analogamente y g (xy) = g (t) t y = g (xy) x.) Perciò una qualsiasi funzione g che soddisfi l equazione differenziale g (t) = tg (t) soddisfa la richiesta, e questo porta alla famiglia di soluzioni g (t) = ct, per ogni c R. ] La successioni di funzioni continue f n (x) = ex n 3 x converge puntualmente, in R, alla x + n funzione f (x) = 3 x. Inoltre, se x [, 8] si ha f n (x) f (x) = e x n 3 x x + n + 3 x = e x + x 7/3 x + n c n per qualche c R, e quindi la convergenza è uniforme in [, 8] ; questo permette di passare al limite sotto al segno di integrale, ottenendo 8 e x n 3 x 8 ( lim n + x + n dx = e x n 3 ) x 8 lim dx = 3 45 x dx = n + x + n 4. 3] L equazione differenziale, se scritta in forma normale, si presenta come y = y x + x (x + ), ed è lineare, del I ordine, a coefficienti continui in (, ) (, 0) (0, + ). Il problema di Cauchy è assegnato con dato iniziale in x =, e questo ci permette di garantire l esistenza di un unica soluzione relativamente all intervallo (0, + ). Questa soluzione è data da y (x) = exp ( x dt t = x [ π 4 + x [ = π x 4 + x ) [ π x 4 + ] dt t + t ] du u + = x ( π 4 + arctan ( x ) π 4 t (t + ) exp ) ( t = arctan x x. ) ds s ] dt (usando t = u ) Per x 0 + si ha arctan x = x 3 x3/ + o ( x 3/), e la soluzione trovata può essere prolungata in modo continuo fino ad x = 0 ponendo y (0) = ; con questa scelta, la funzione y ha, in x = 0, derivata destra y + (0) = 3.

23 Per poter prolungare ulteriormente questa y almeno all intervallo (, 0), servirebbe riuscire a determinare una funzione z che, nell intervallo (, 0), fosse soluzione dell equazione differenziale e che fosse estendibile in modo continuo fino ad x = 0 con z (0) = e derivata sinistra z (0) =. Il generico problema di Cauchy per x (, 0) 3 x (x + ) z + (x + ) z = con x 0 (, 0) e z 0 R, porta a ( x ) [ dt z (x) = exp z 0 + t = exp = x 0 z (x 0 ) = z 0 x ( log ( xx0 )) [ z 0 + x x0 [z 0 + x x 0 t (t + ) = z 0 x0 + x x x x 0 t + = z 0 x0 + x x x x0 = z 0 x0 + x ( t t (t + ) exp x 0 x t (t + ) exp ] x 0 t x0 dt dt ( ) t du u ] u= x ) ds x 0 s ( log ] dt ( t x 0 )) [ x log + u u u= x 0 = z 0 x0 + x x log + x x x log + x0 x 0 = x log + x x + [ z 0 x0 x log + ] x 0. x 0 Quando x 0 abbiamo z (x) + [ z 0 x0 x log + ] x 0 x 0 ] dt (usando t = u ) e quindi l unica possibilità per garantire che z (x) sta nell usare z 0 x0 = log + x 0. x 0 Con questa scelta si ottiene z (x) = x log + x x = [ ( ) ( )] log + x log x x = x = x 3 + o (x) [( x + x x3/ 3 + o ( x 3/) ) ( x + x x3/ o ( x 3/) )] da cui si ricava che z (0) =. Perciò, la funzione 3 arctan x x y (x) = x log + x x se x [0, + ) se x (, 0] 3

24 risolve il problema di Cauchy ( ) in (, + ). Questa è la soluzione massimale di ( ), perché per x + è illimitata, e quindi non può essere prolungata a sinistra di x =. 4] La funzione f è di classe C (R ) e la regione D è il disco chiuso di centro (0, 0) e raggio 0. Il teorema di Weierstrass garantisce che f assuma massimo e minimo assoluti in D. Il gradiente di f, f (x, y) = ( x; y 4), si annulla solo in P = (, ), punto interno per D, con f (P ) = 6. Per i punti della frontiera D applichiamo,il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (x ) = λx λx = x (y + ) = λy = λy = y x + y = 0 x + y = 0 e poiche né x né y possono annullarsi dalle prime due equazioni ricaviamo y ( x) = λxy = x ( + y) = y = x e, utilizzando la terza equazione, troviamo i due punti A = (, 4) e B = (, 4). Per i valori di f abbiamo f (A) = 9 e f (B) =. Così, il minimo di f in D è assunto in A, mentre il massimo in P. 4