Analisi matematica I. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infinitesimi ed infiniti Politecnico di Torino 1
|
|
- Baldo Valle
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Analisi matematica I Confronto locale di funzioni Infinitesimi ed infiniti Politecnico di Torino 1
2 Confronto locale di funzioni Definizioni dei simboli di Landau Proprietà dei simboli di Landau Confronto di monomi Algebra degli o piccolo e iti fondamentali Principio di sostituzione Politecnico di Torino 2
3 c = uno dei simboli x,x,x,, f,g funzioni definite in Ic ()\{ c} gx ( ) 0, x Ic ( )\{ c} f ( x) = l x c gx ( ) Politecnico di Torino 3
4 Definizione Se l R, si dice che f è controllata da g per x c e si scrive f = Og, ( ) 7 Definizione Se l R \{ 0}, si dice che f è dello stesso ordine di grandezza di g per x c e si scrive f g, x c Politecnico di Torino 4
5 Definizione Se l = 1, si dice che f è equivalente a g per x c e si scrive f g, x c 9 Definizione Se l = 0, si dice che f è trascurabile rispetto a g per x c e si scrive f = og, ( ) Politecnico di Torino 5
6 Osservazione 1 Se l =, si considera gx ( ) = 0 g = o ( f ), x c f ( x) 11 Osservazione 2 I simboli O,,,o sono detti simboli di Landau Politecnico di Torino 6
7 sinx x 0 x = 1 sinx + x = 0 π sinx = o( tan x ), x 2 x equivale a equivale a sin x x, x 0 sin x infatti Esempi = o( x ), x + x π/ 2 sinx tan x = cosx x π/ 2 = 0 13 Esempi π cos x 2x π, x 2 x π/ 2 2 cosx x π infatti cos( t + π/ 2 ) = t 0 2t sint = = 1 t 0 2t Politecnico di Torino 7
8 Proprietà Per x c si ha f g f = Og ( ) f g f = Og ( ) f = og ( ) f = Og ( ) f g f g f g f lg infatti f ( x) = gx ( ) 0 f ( x) = gx ( ) 1 f g Politecnico di Torino 8
9 Proprietà Per x c si ha f g f = g + o( g) 17 Dimostrazione Risulta f g f ( x) f ( x) = 1 1= 0 gx ( ) gx ( ) f ( x) g( x) = 0 f g = o( g) gx ( ) f = g + o( g) Politecnico di Torino 9
10 Proprietà λ R \{} 0. x c Sia Per si ha o( λ f)= o( f), O( λf)= O( f) λ of ( )= of ( ), λo( f)= Of ( ) 19 Dimostrazione prima uguaglianza Poniamo g = o( λf ), x c. Allora g = o( λf) gx ( ) = 0 λf ( x) gx ( ) = 0 f ( x) g = o( f ), x c Politecnico di Torino 10
11 Osservazione 1 f ( x) f = o ( 1), x c = fx ( )= 0 1 f = O ( 1), x c f f ( x) R Ic \ c è itata in ( ) { } 21 f continua in x 0 f ( x)= f( x ) x x0 Osservazione 2 f ( x) f( x )= 0 x x0 f ( x) f( x )= ο( 1), x x f ( x)= f( x )+ ο( 1), x x Politecnico di Torino 11
12 Confronto monomi Confronto monomi per x 0 e x ± i) ii) n m x = o( x ), x 0 n > m n m x = o( x ), x ± n < m Politecnico di Torino 12
13 Dimostrazione i) ii) n n m x x = o( x ), x 0 = 0 m x n m x = 0 n m > 0 n n m x x = o( x ), x ± = x ± m x 1 m n = 0 m n > 0 x ± x Politecnico di Torino 13
14 Algebra degli o Consideriamo x 0 ox ox ox n n n ( )± ( )= ( ) n m p ox ( )± ox ( )= ox ( ), con p= min( n,m) n n ( λ )= ( ) per ogni λ R {0} ϕ( ) ( )= ( ) n n xox ox, m n m n x o( x )= o( x + ) m n m n ox ( ) ox ( )= ox ( + ) ; si ha o x o x, \ ϕ se è itata in un intorno di x = Politecnico di Torino 14
15 Limiti fondamentali Si ricordi che, per x c, f g f = g + o(g) 29 Limiti fondamentali sin x x =1 sinx x, x 0 sin x = x + o(x), x Politecnico di Torino 15
16 Limiti fondamentali 1 cos x x 2 = cos x = 1 2 x2 + o( 1 2 x2 ), x 0 cos x =1 1 2 x2 + o(x 2 ), x 0 31 Limiti fondamentali log(1 + x) x =1 log(1 + x) x, x 0 log(1 + x) =x + o(x), x Politecnico di Torino 16
17 Limiti fondamentali x 1 log x x 1 =1 log x x 1, x 1 log x = x 1+o(x 1), x 1 33 Limiti fondamentali e x 1 x =1 e x 1 x, x 0 e x =1+x + o(x), x Politecnico di Torino 17
18 Limiti fondamentali Sia α R\ {0}, allora (1 + x) α 1 x = α (1 + x) α 1 αx, x 0 (1 + x) α =1+αx + o(x), x 0 35 Esempio 1 Consideriamo la funzione Dallo sviluppo f(x) =e 3x2 e t =1+t + o(t), t 0, con la sostituzione t =3x 2 si ha e 3x2 =1+3x 2 + o(3x 2 ) =1+3x 2 + o(x 2 ) x Politecnico di Torino 18
19 Esempio 2 Consideriamo la funzione f(x) = 1 5x Dallo sviluppo (1 + t) α =1+αt + o(t), t 0, con la sostituzione t = 5x e ponendo α = 1 2 si ha 1 5x =(1 5x) 1/2 = ( 5x)+o( 5x) =1 5 2 x + o(x), x 0 37 Esempio 3 Consideriamo la funzione f(x) =log(1 2x 3 ) Dallo sviluppo log(1 + t) =t + o(t), t 0, con la sostituzione t = 2x 3 si ha log(1 2x 3 )= 2x 3 + o( 2x 3 ) = 2x 3 + o(x 3 ), x Politecnico di Torino 19
20 Esempio 4 Consideriamo la funzione Dallo sviluppo f(x) =x sin 4x sin t = t + o(t), t 0, con la sostituzione t =4x si ha x sin 4x = x 4x + o(4x) = x 4x + o(x) =4x 2 + o(x 2 ), x Politecnico di Torino 20
21 Se e per Principio di sostituzione f 1 f g 1 g x c f(x) g(x) = f 1 (x) g 1 (x) e f(x) g(x) = f 1(x) g 1 (x) 41 Dimostrazione prima uguaglianza f(x) g(x) = f(x) f 1 (x) f1(x) g 1 (x) g1(x) g(x) = f(x) f 1 (x) = f 1 (x) g 1 (x) f 1 (x) g 1 (x) g 1 (x) g(x) Politecnico di Torino 21
22 Esempio 1 Calcoliamo L = sin 2 2x 1 cos 3x 43 Esempio 1 sin 2 2x (2x) 2, x 0 ossia sin 2 2x 4x 2, x Politecnico di Torino 22
23 Esempio 1 1 cos 3x 1 2 (3x)2, x 0 ossia 1 cos 3x 9 2 x2, x 0 45 Esempio 1 Riassumendo: sin 2 2x 4x 2, x 0 1 cos 3x 9 2 x2, x 0 quindi L = 4x x2 = Politecnico di Torino 23
24 Esempio 2 Calcoliamo L = 3log(1+x 2 ) 1+2x 1 3log(1+x 2 ) 3x 2, x 0 1+2x 1=(1+2x) 1/ x = x, x 0 quindi 3x 2 L = x = 3x =0 47 Esempio 3 Calcoliamo e 5x 1 L = tan x 3 e 5x 1 5x, x 0 tan x 3 = quindi sin x3 cos x 3 sin x3 x 3, L = 5x x 3 = 5 x 2 x 0 = Politecnico di Torino 24
25 Calcoliamo L = x x + Esempio 4 Ã! r1+ 1x r1+ 1x µ 2 1= /3 x 2 1 quindi L = x 2 = 1 3x 2, x + x 1 x + 3x 2 = x + 1 3x =0 49 Se e per Proprietà f 1 = o(f) g 1 = o(g) x c f(x)+f 1 (x) g(x)+g 1 (x) = f(x) g(x) f(x)+f1 (x) g(x)+g 1 (x) = = f(x) g(x) Politecnico di Torino 25
26 Dimostrazione Poiché f + f 1 = f + o(f) f, x c e g + g 1 = g + o(g) g, x c la proprietà segue dal Principio di sostituzione 51 Esempio 1 Calcoliamo L = 2x 2 5log(1+3x 3 ) x 2 +2sinx Politecnico di Torino 26
27 Esempio 1 5log(1+3x 3 )=o(2x 2 ), x 0 infatti 5log(1+3x 3 ) 2x 2 = 15 2 x = 5 3x 3 2x 2 =0 53 Esempio 1 x 2 = o(2 sin x), x 0 infatti x 2 2sinx = x 2 2x = x 2 = Politecnico di Torino 27
28 Esempio 1 Riassumendo: quindi 5log(1+3x 3 )=o(2x 2 ), x 0 x 2 = o(2 sin x), x 0 2x 2 L = 2sinx = x 2 x = x =0 55 Osservazione Si noti che se che f f 1 in generale non è vero (f(x) ± g(x)) = (f 1(x) ± g(x)) Ad esempio, siano f(x) = x 2 +2x, allora g(x) = x Politecnico di Torino 28
29 Osservazione p x2 +2x p x 2 1 x + = x + = x + (x 2 +2x) (x 2 1) x2 +2x + x 2 1 2x +1 =1 x ³q1+ q1 2x + 1x 2 57 Osservazione Posto f 1 (x) =x, si ha f(x) = x 2 +2x x = f 1 (x), x Politecnico di Torino 29
30 Osservazione f1 (x) g(x) p = x x2 1 x + x + = x + x 2 (x 2 1) x + x 2 1 = x + ³ x 1+ 1 q 1 1 x 2 =0 59 Osservazione Riassumendo x + f(x) g(x) =1 e x + f1 (x) g(x) = Politecnico di Torino 30
Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni
Analisi matematica I e applicazioni Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni 2 2006 Politecnico di Torino 1 e applicazioni Formule di Taylor con resto di Peano: caso e n =0 n =1 Formule di Taylor
DettagliForme indeterminate e limiti notevoli
Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliLimiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti
Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)
DettagliInfinitesimi e loro proprietà fondamentali. Molto spesso il calcolo dei limiti conduce allo studio di forme indeterminate. lim f(x) = 0.
Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella Infinitesimi e loro proprietà fondamentali Molto spesso il calcolo dei iti conduce allo studio di forme indeterminate del tipo 0 0,. Occorre quindi studiare i modi
DettagliINFINITESIMI ed INFINITI a cura di Angelica Malaspina Università degli Studi della Basilicata
INFINITESIMI ed INFINITI a cura di Angelica Malaspina Università degli Studi della Basilicata In queste pagine utilizzeremo il simbolo R = [, + ]. Se x 0 R, con la scrittura x x 0 intenderemo che x x 0
DettagliSimboli di Landau. Equivalenza. Esempi (limiti notevoli).
Simboli di Landau Conducono ad un algebra snella e significativa per il calcolo di iti Procurano un linguaggio tecnico per confrontare il comportamento di due funzioni nell intorno bucato di c (comportamento
DettagliI POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1
I POLINOMI DI TAYLOR c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 Il simbolo o piccolo Siano f (x) e g(x) funzioni infinitesime per x x 0 e consideriamo f (x) il lim
DettagliConfronto locale di funzioni
Confronto locale di funzioni Equivalenza di funzioni in un punto Sia A R ed f, g due funzioni definite in A a valori in R. Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Definizione. Si dice che f è equivalente
DettagliCORSO DI LAUREA IN FISICA
CORSO DI LAUREA IN FISICA ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi
DettagliQuando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).
Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora
DettagliSviluppi di Taylor e applicazioni
Sviluppi di Taylor e applicazioni Somma di sviluppi Prodotto di sviluppi Quoziente di sviluppi Sviluppo di una funzione composta Calcolo di ordini di infinitesimo e di parti principali Comportamento locale
DettagliCalcolo integrale. Regole di integrazione
Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su
DettagliCORSO DI LAUREA IN MATEMATICA
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia
DettagliRaccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,
Dettagli21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
DettagliSVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti
Esercizio 1 SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx log1
DettagliAnalisi Matematica 1 Tredicesima lezione
Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html
DettagliProprietà globali delle funzioni continue
Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa 2 2006 Politecnico di Torino 1 Data una funzione
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
DettagliIngegneria civile - ambientale - edile
Ingegneria civile - ambientale - edile Analisi - Prove scritte dal 7 Prova scritta del 9 giugno 7 Esercizio Determinare i numeri complessi z che risolvono l equazione Esercizio (i) Posto a n = n i z z
Dettagli1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU
- CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto 0, dopo aver visto se la funzione ammette ite (finito, nullo o infinito, per 0, può interessare
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale
DettagliQuando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).
Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora
DettagliInsiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte
Limiti e continuità Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte
DettagliAnalisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008
Analisi 1 Polo di Savona Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 1- PrA1.TEX [] Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri
DettagliESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI
ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI Tiziana Raparelli 5/5/9 CONOSCENZE PRELIMINARI Vogliamo calcolare f ( x, ax + bx + c ) dx. Se a =, allora basta porre bx + c
DettagliSoluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor
Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Formule di MacLaurin più usate (h, n numeri interi non negativi; a numero reale): e t =+t + t! + t3 tn +... + 3! n! + o(tn ) ln( + t) =t t + t3 3 t4 4 +...
Dettagli25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili
DettagliLimiti. Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna. (Università di Bologna) Limiti 1 / 24
Limiti Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Limiti 1 / 24 Esempi Sia f (x) = 2x + 2 ; calcoliamo f (x) per x che assume valori vicini a 1. Per prima cosa, prendiamo
Dettagli1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4
1 POLINOMIO DI TAYLOR 1 Formula di Taylor Indice 1 Polinomio di Taylor 1 Formula di Taylor 3 Alcuni sviluppi notevoli 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei iti 4 5 Soluzioni degli esercizi 6 La
Dettagli17 LIMITI E COMPOSIZIONE
17 LIMITI E COMPOSIZIONE L operazione di ite si comporta bene per composizione con funzioni continue. Teorema. Sia gx) = y 0 e sia f continua in y 0. Allora esiste fgx)) = fy 0 ). Questo teorema ci dice
Dettaglivuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim
AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente
DettagliDERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera?
DERIVATE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Data la funzione f(x) =+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? (a) f(x) nonè derivabile in x =0 (b) f (0) = (c) f (0) = (d)
DettagliAnalisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 1
Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio.
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliFunzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz
Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. Le due funzioni f(x) = ln(x
DettagliCalcolo differenziale 179
Calcolo differenziale 179 4. Sviluppi di Taylor In questa sezione ci addentriamo in uno dei temi centrali dell analisi, ossia la tecnica di approssimazione locale di una funzione (sufficientemente regolare)
Dettagli13 LIMITI DI FUNZIONI
3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con
DettagliProva scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 17/06/2014
Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 17/06/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME:............................................. Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello
DettagliMatematica e Statistica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali Derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013 Retta secante un grafico e rapporto incrementale Sia f una funzione e x 0 un punto
DettagliPolitecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4
A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = ( ) 2, B = 4 ( ). 2 a) Calcolare la matrice A. b) Enunciare ed applicare la regola di Cramer per determinare
DettagliSOLUZIONI COMPITO del 1/02/2013 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A
SOLUZIONI COMPITO del /0/0 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A Esercizio Osserviamo che la serie proposta è a termini di segno
DettagliTest in Itinere di Analisi Matematica
4 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 5 Novembre 2002 La funzione f(x) = x da R in R è surgettiva Per ogni x 0 si ha che x 1 = x 1 La funzione f(x) = x da [0, + [ in [0, + [ è iniettiva
DettagliLIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione
LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni.
Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Università di Pisa. Prima prova scritta di Analisi Matematica I. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la successione c n ) n N definita dalla
Dettagli19 LIMITI FONDAMENTALI - II
19 LIMITI FONDAMENTALI - II 3. Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni logaritmiche è: log1 + = 1. La dimostrazione di questo ite si ha subito dal ite Esempio.
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
DettagliLIMITI - ESERCIZI SVOLTI
LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±
DettagliA grande richiesta, esercizi di matematica.!
A grande richiesta, esercizi di matematica.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = sinx disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =sin(x+π/4); g(x) = sin(x-π/3) g(x) =sin(2x); g(x) = sin(x/3)
DettagliSviluppi di Taylor Esercizi risolti
Esercizio 1 Sviluppi di Taylor Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx ln1
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile
1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è R\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per
DettagliInfiniti e Infinitesimi
Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi
DettagliScritto d esame di Analisi Matematica I
Capitolo 2: Scritti d esame 07 Pisa, 8 Gennaio 999. Studiare il comportamento della serie al variare del parametro α > /2. ( ) n n sin α n 2α 2. Sia ( ) f(x) = log + sin3 x. 2 (a) Determinare la derivata
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
Dettagli1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26
ANALISI 1 1 UNDICESIMA LEZIONE DODICESIMA LEZIONE TREDICESIMA LEZIONE Derivata - definizione e teoremi di calcolo delle derivate Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat Teorema di Lagrange Monotonia
DettagliDIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim
DIFFERENZIAZIONE 1 Regola della catena Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Questa
DettagliCorso di Analisi Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la
DettagliCampo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.
Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua
Dettaglib x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R
9.. Esercizio. Data la funzione x tg( π x) se x < 4 f(x) = a se x = b x 2 + c se x > ANALISI Soluzione esercizi 9 dicembre 20 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c
Dettagli24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y 2 domf con x 6= y, sidefinisceilrapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y) =
DettagliProva scritta di Analisi Matematica 1 Prima parte, Tema A Ingegneria dell Energia, Univ. di Pisa COGNOME: NOME: MATR.: RISPOSTE:
Prova scritta di Analisi Matematica 1 Prima parte, Tema A Ingegneria dell Energia, Univ. di Pisa 12 gennaio 2013 COGNOME: NOME: MATR.: RISPOSTE: A B C D E 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 1 Prima
DettagliESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE
ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =,
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA
Luca Lussardi ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Esercizi svolti di analisi matematica per le facoltà ad indirizzo scientifico WWW.MATEMATICAMENTE.IT Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica Matematicamente.it
DettagliCORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A
Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova A da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 2 ) 2 sinx3 cos x+5) + arctan 3 x 3 x + π 4 ) 2 Si risolva la
DettagliMetodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B
Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/
DettagliCorsi di Laurea in Matematica e in Fisica. Prova scritta di Analisi Matematica I. Lecce, 12.IX.2016
Lecce, 12IX2016 1 Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- { 1 + x } f(x) = x exp 1 x sin(1/x)[e x + 2x 2 log cos x] x z 2 i z = z 2 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso
DettagliCorso di Analisi Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di LIMITI NOTEVOLI Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Numero e ( lim 1 + 1 n ( = e lim 1 + n + n) 1 = e + ) Dimostrazione
Dettagli} Funzioni scalari. Funzione Vettoriale di una Variabile Reale. Funzioni Vettoriali
Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 3 Ottobre Funzioni vettoriali Introduzione a iti e derivate F. Caliò Funzione Vettoriale di una Variabile Reale 4 Funzioni
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione
FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione 1 E data la funzione f(x) = sin(2x 5) Allora: (a) dom (f) = {x IR : 1 2x 5 1} (b) im (f) = [ 1, 1] (c) f ha periodo T= π 5 (d) f ha periodo T= 2π 5 2 La funzione
DettagliTASSI DI ACCRESCIMENTO
TASSI DI ACCRESCIMENTO Sia N il numero di individui di una data popolazione. N varia col tempo: N= f(t) Se indichiamo con t 1 e t 2 due istanti distinti di tempo, allora f(t 1 ) ed f(t 2 ) sono i numeri
DettagliPeccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 2004
1 Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 004 Formula di Taylor Generalizziamo la formula che abbiamo introdotto nella sezione 11 del capitolo 5, cercando d approssimare
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
Dettagli05 - Funzioni di una Variabile
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 05 - Funzioni di una Variabile Anno Accademico 2015/2016
DettagliElementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali
Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 37 index Spazi vettoriali
DettagliTeoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi
Dettagli27 DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI
27 DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI Definizione Sia f derivabile sull inervallo I. Se esise la derivaa della funzione x f (x) in x, allora (f ) (x) si dice la derivaa seconda di f in x, e si denoa con f (x)
DettagliEsercizio L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11. L equazione log 116 x = 1 4. ha soluzione [1] [5] 2 [4] 1 2 [2] 4 [3] Risposta
L equazione log 116 x = 1 4 ha soluzione [1] 1 4 [2] 4 [3] 1 2 [4] 1 2 [5] 2 Per la definizione di logaritmo, abbiamo «1 «1 1 4 1 4 1 4 1 x = = = 16 2 4 4 2 14 = 1 2. Si considerino le seguenti tre espressioni
DettagliANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI
ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x
DettagliCalcolo differenziale per funzioni in più variabili.
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo
DettagliInfinitesimi e loro proprietà fondamentali
6 Infinitesimi e loro proprietà fondamentali Definizione Sia f () una funzione definita in un intorno del punto 0, tranne eventualmente nel punto 0 Si dice che f() è un infinitesimo per 0 se f ( ) 0 0
Dettagli1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE
1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di
DettagliSoluzioni. 152 Roberto Tauraso - Analisi Risolvere il problema di Cauchy. { y (x) + 2y(x) = 3e 2x y(0) = 1
5 Roberto Tauraso - Analisi Soluzioni. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) = 3e x y() = R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Una primitiva di a(x) = è A(x) = a(x) dx = dx = x e il fattore
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di
DettagliIstituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini
Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali,
DettagliScritto d esame di Analisi Matematica
116 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 15 Gennaio 2000 x 0 sin x 4 x 4 (arctan x x) 4. 2. eterminare, al variare del parametro λ R, il numero di soluzioni dell equazione 2x 2 = λe
DettagliEsercizi relativi al capitolo 2
Esercizi relativi al capitolo. Funzioni pari e dispari Stabilire se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari.. f (x) = x 4 x. f (x) = 3 x 3 + x 3. f (x) = x3 3 x+x 4. f (x) = x sin
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliLEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: angoli, funzioni e formule goniometriche Indice 1 Goniometriche 1.1 Introduzione.............................. 1. La soluzione
DettagliSpazi vettoriali euclidei.
Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 05 - Limiti Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano M. Tumminello,
DettagliLOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA
LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 10/11, DISPENSA N. 2 Sommario. Assiomi dell identità, modelli normali. Forma normale negativa, forma normale prenessa, forma normale di Skolem. 1. L identità Esistono
DettagliAnalisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto
DettagliCalcolo differenziale per funzioni di una variabile
Capitolo 8 8. Definizione di derivata Sia y = f(x) definita nell intervallo A e sia fissato x 0 A. Diamo a x 0 un arbitrario incremento 0 su A, e indichiamo con y = f(x 0 + ) f(x 0 ) il corrispondente
DettagliI - LA FORMULA DI TAYLOR
I - LA FORMULA DI TAYLOR Data una funzione, ci si chiede se è possibile approssimarla con una funzione più semplice, per esempio con un polinomio, in un intorno di un punto assegnato. Vedremo che questa
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce
Dettagli