Algebra + numeri relativi +l calcolo letterale Equazioni, disequazioni, problemi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Algebra + numeri relativi +l calcolo letterale Equazioni, disequazioni, problemi"

Transcript

1 Algr + numri rltivi +l lolo lttrl Equzioni, isquzioni, prolmi + numri rltivi Rpprsnt on un numro rltivo l sgunti grnzz. SEZ. O g Altituin i 00 m sul livllo l mr. Trzo pino i un prhggio sottrrno. Prit i pso i kg. Inrmnto ll vnit l 0%. Przzi lti l %. L ttgli i Cnn è vvnut nl.c. Mnno soni ll prtnz i un gr. I numri rltivi rihisti sono: +00; ; ; +0; ; ; g. Srivi il moulo i sgunti numri rltivi , +, I numri ssoluti rihisti sono: 8 7; ; ; 0, ; ;,. Si i rltivo un numro otto i un sgno. I numri rltivi positivi sono pruti l sgno +. I numri rltivi ngtivi sono pruti l sgno. Lo zro non h sgno. L insim i numri rltivi intri si ini on Z, qullo i numri rltivi rzionli on Q, qullo i rli on R. Il moulo o vlor ssoluto i un numro rltivo è il numro stsso privto l sgno, ioè: + Briiol i tori Briiol i tori Srivi i numri rltivi h hnno i sgunti vlori ssoluti. 7,7 ± 7 7 ; ± ; ± ; 7, ± 7, Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi onori? +,, +, +0, Du numri rltivi sono onori s sono pruti llo stsso sgno; l oppi i vlori onori sono unqu, mntr i numri ll oppi sono pruti sgni ivrsi. Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi isori? +, 7,,, +8 Du numri rltivi sono isori s sono pruti sgni ivrsi; l oppi i vlori isori sono unqu, mntr i numri ll oppi hnno lo stsso sgno, sono quini onori. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

2 Szion O Algr Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi opposti?, +, + +,, + Du numri rltivi si iono opposti s sono isori hnno lo stsso vlor ssoluto; l oppi i vlori opposti sono unqu. Ossrvimo h nh l oppi sono ormt numri isori, m i loro vlori ssoluti non oiniono. 7 Conront i numri rltivi ll sgunti oppi insrno l opportuno sgno <, >, Pr onrontr u numri rltivi rior h: ogni numro positivo è mggior i qulsisi numro ngtivo ti u numri positivi è mggior qullo h h moulo mggior ti u numri ngtivi è mggior qullo h h moulo minor lo zro è mggior i isun numro ngtivo minor i isun numro positivo S si rpprsntno i numri rltivi su un rtt orintt, i ngtivi stnno sinistr llo zro i positivi str; in tl moo si può ir h ti u numri rltivi il mggior si trov smpr str l minor. Briiol i tori 7 < + prhé ogni numro ngtivo è minor i qulsisi numro positivo. > prhé ssno u numri ngtivi, è mggior qullo on vlor ssoluto minor. + > 0 prhé ogni numro positivo è mggior i 0. < + prhé ogni numro ngtivo è minor i qulsisi numro positivo. < prhé ssno u numri ngtivi, è minor qullo on vlor ssoluto mggior. 7 + < + prhé ssno u numri positivi, è minor qullo on vlor ssoluto minor. 8 Clol l sgunti somm lgrih (7) (+) + () Riorimo h l somm i u numri rltivi onori è un numro rltivo h h pr sgno il sgno i numri ti pr moulo l somm i mouli. Quini imo: +( + 7) +0 (8 + ) Riorimo poi h l somm i u numri rltivi isori è un numro rltivo h h il sgno ll no on il vlor ssoluto mggior pr moulo l irnz i mouli i numri, mntr l somm i u numri rltivi opposti è smpr zro. Quini imo: >, l somm rt h quini il sgno i +: + +( ) + 8 >, l somm rt h quini il sgno i 8: + 8 (8 ) Riorimo h il sgno + vnti ll prntsi lsi i sgni ntro prntsi uguli, il sgno mir tutti i sgni i numri ntro prntsi. Quini imo: 7 A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

3 + numri rltivi Esgui l sgunti moltiplizioni ivisioni. g h (+) (+) () () (+) () (7) (+) (+0) : () (+0) : (+) () : () () : (+) Riorimo h il prootto i u o più numri rltivi è ugul l numro rltivo h h pr vlor ssoluto il prootto i vlori ssoluti pr sgno il + s i u numri sono onori, il s sono isori. Quini imo: +( ) + +( ) +0 ( ) (7 ) Riorimo inoltr h il quozint i u numri rltivi è ugul l numro rltivo h h pr vlor ssoluto il quozint i vlori ssoluti i u numri pr sgno il + s i u numri sono onori, il sgno s sono isori. Quini imo: g h (0 : ) +(0 : ) + +( : ) +7 ( : ) 0 Esgui i sgunti lvmnti potnz. g (+) () (+) () (+) () () Riorimo h l potnz on sponnt intro positivo i un numro rltivo positivo è smpr positiv; l potnz i un numro rltivo ngtivo è positiv s l sponnt è pri, è ngtiv s l sponnt è ispri. Il moulo ll potnz è ugul ll potnz l moulo, quini imo: (+) + + () + + (+) + +8 () 8 Riorimo inoltr h l potnz h h pr sponnt un numro ngtivo è ugul un rzion h h pr numrtor l unità pr nomintor l potnz t m on sponnt positivo. Qusto è quivlnt lolr l potnz on sponnt positivo s ugul l riproo ll s t. Aimo quini: (+) + + () + () g 8 Appli l proprità ll potnz, quini lol l potnz. (+) (+) : (+) () () () : () () : () {[() ] } () : () () (+) () : () A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig Riorimo l proprità ll potnz: n m m+n n : m n m n n ( ) n n : n ( : ) n ( n ) m n m Briiol i tori

4 Szion O Algr Aimo: (+) + (+) + () + + () [() : ()] (+) +8 ( ) ( ) ( ) [( ) : ( )] ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + Esgui l sgunti strzioni i ri Riorimo h l ri qurt (ui) è l oprzion invrs ll lvmnto l qurto (l uo). Aimo quini: ± prhé (+) () ± prhé (+) 0 () 0 + prhé (+), m () prhé (), m (+) + Notimo quini h l rii i ini pri in gnrl hnno om risultto u vlori opposti, mntr l rii i ini ispri hnno om risultto un unio vlor onor on il rino. Risolvi l sgunti sprssioni. + + : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

5 + numri rltivi 7 + : : 8 7 : : : 8 87 : : ( ) + + : Applino l proprità ll potnz, risolvi l sgunti sprssioni. + : : 0 + : ( + ) + A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

6 Szion O Algr :( ) : :( ): :( ) : 8 0 : 8 : 8 ( ) Clol il vlor ll sgunti sprssioni. ( ) : ( ) : : : ( ) ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

7 + numri rltivi 0 : : : : : : :( ) + + : :( ) ( ) ( ) 7 ( ) :( ) 0 : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 7

8 Szion O Algr +l lolo lttrl Tr l sgunti sprssioni lttrli, quli sono monomi? xy 7 x (y z) 7 non è un monomio, poihé vi igur un izion; è un monomio intro; è un monomio rzionrio; non è un monomio prhé vi igur un sottrzion; non è un monomio, poihé vi igur un sottrzion; è un monomio rzionrio. Si i monomio un sprssion lgri in ui non igurno izioni sottrzioni. Un monomio si i riotto orm norml s si prsnt om prootto i un solo ttor numrio i potnz lttrli vnti si ivrs. Si i intro un monomio in ui non ompiono lttr l nomintor oppur lttr on sponnt ngtivo. Si i rzionrio un monomio in ui ompiono lttr l nomintor oppur lttr on sponnt ngtivo. Du monomi riotti orm norml sono uguli s hnno lo stsso oiint numrio l stss prt lttrl. Du monomi riotti orm norml sono simili s hnno l stss prt lttrl. Du monomi riotti orm norml sono opposti s sono simili hnno i oiinti numrii opposti. Trsorm l sgunt sprssion lttrl in un monomio riotto orm norml. xy z ( y z ) x y Clol l sgunti somm i monomi x y x y xy + xy Applino l proprità ommuttiv l prootto l sprssion ivnt: ( ) ( ) x x y y y z z Applino l proprità ssoitiv l proprità ll potnz ottnimo: x y z + x y z. 7 xy + xy + xy 8 L somm i u o più monomi simili è un monomio simil qulli ti, h h pr oiint numrio l somm lgri i oiinti. I monomi hnno l stss prt lttrl, ioè, prtnto sono simili, quini l loro somm è: ( + 8) +. I monomi non sono simili, quini l loro somm non è un monomio. I u monomi hnno l stss prt lttrl oiinti opposti, quini sono monomi opposti. L loro somm è ugul 0. Tr gli ni rionosimo u monomi simili, quini sommili, h sono +0, l ui somm è ; llor il risultto è +. I tr monomi sono tutti simili, on prt lttrl ugul x y ; i oiinti numrii sono rzioni, quini imo xy xy + xy Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 8

9 +l lolo lttrl Clol i sgunti prootti i monomi. +x y (x y z) ( ) g xy (y ) x y Clol i sgunti quozinti tr monomi. 8 : ( ) : : ( ) x y : (x ) 8 :( ) 7 Clol l sgunti potnz i monomi. xy 8 xy z ( ) (xy ) x ( ) ( ) : yz Applihimo l proprità l quozint i potnz i ugul s ottnimo: 0 (rior h qulunqu s lvt 0 à om risultto ). + + x y xy xy z xy (8) : () + Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: ( ) Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: x y x y Applihimo l proprità l prootto i potnz i ugul s ottnimo: + g 0x + y + z 0x y z x y x y x + y ++ x y ( ) ( ) Il prootto i u o più monomi è un monomio h h pr oiint il prootto i oiinti pr prt lttrl il prootto i ttori lttrli. Il quozint tr u monomi è, in gnrl, un monomio rzionrio in ui il oiint è ugul l quozint i oiinti i monomi l prt lttrl è ormt tutti i ttori lttrli ottnuti ll ivision ll prti lttrli i monomi stssi. Pr lvr potnz n-sim un monomio si lv potnz il oiint si moltiplino pr n gli sponnti i ttori lttrli. Briiol i tori Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

10 Szion O Algr (7 ) xyz Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: ( 7) + Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: 0 8 x y z x yz 8 Clol il vlor ll sgunti sprssioni on i monomi. 8 8xy :( xy):( xy) + xy + ( xy ):( + xy ) + 8xy :( xy) + xy + ( xy) xy + xy xy xy x 0x y :( + xy ) :( x) + ( x y ) :( xy) x x :( x) 8x y : x y x :( x) x + x x x xy xy x + 7 xy xy : xy xy + xy + xy xy + + xy xy xy xy + xy xy + 0 xy xy xy + : + + : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 0

11 +l lolo lttrl Tr l sgunti sprssioni ini i polinomi i monomi. x + x + x + x + ( ) Clol l sgunti somm i polinomi. Ossrvimo h i trmini sono monomi non simili tr loro, quini l loro somm non è un monomio, m è un polinomio. In qusto so i trmini sono monomi simili tr loro, pr ui l loro somm è un monomio simil gli ni. Du trmini sono monomi non simili tr loro l loro somm è un monomio, il trzo trmin prò non è simil ssi, quini l somm è un polinomio. In qusto so non sono prsnti né izioni né sottrzioni, quini l sprssion è snz ltro un monomio. ( + ) + ( + ) ( ) Eliminimo l prntsi mimo i sgni s il sgno vnti prntsi è un mno: Sommimo i trmini simili: Il risultto è. Si him polinomio rzionl intro l somm i u o più monomi rzionli intri; gli ni i tl somm sono i trmini l polinomio. Un polinomio si i inomio s è ormto u trmini, trinomio s è ormto tr trmini qurinomio s è ormto quttro trmini. Nll somm lgri i polinomi è suiint sommr i trmini simili: il risultto può ssr un polinomio, un monomio o un numro rl. Briiol i tori Briiol i tori [ ( ) + ] {[( ) + + ] } [ ] {[ + + ] } { + + } A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

12 Szion O Algr Clol i sgunti prootti i polinomi. ( x + x x) ( x) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x + x x) ( x) x x + x ( + ) Il prootto i un polinomio pr un monomio è il polinomio i ui trmini si ottngono moltiplino isun trmin l polinomio pr il monomio. Il prootto i u polinomi è ugul l polinomio i ui trmini si ottngono moltiplino isun trmin l primo polinomio pr isun trmin l sono. Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( + ) + ( x+ y)( x y) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x+ y)( x y) x xy + xy y x xy y ( x+ y+ )( x+ y ) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x+ y+ )( x+ y ) x + xy x xy + y y x + y x + xy x + y + y Esgui l sgunti ivisioni i un polinomio pr un monomio. ( x 8x + x):( x) Applihimo l proprità istriutiv ll ivision risptto ll somm ottnimo: ( x 8x + x):( x) x + x Nll ivision i un polinomio pr un monomio è nssrio h tutti i trmini l polinomio sino ivisiili pr il monomio. In qusto so il quozint è ugul l polinomio i ui trmini si ottngono ivino isun trmin l polinomio to pr il monomio. Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

13 +l lolo lttrl 7 + : 0 Applihimo l proprità istriutiv ll ivision risptto ll somm ottnimo: 7 + : Clol i sgunti prootti notvoli. (x y) ( + ) (x y) ( + ) ( x) + ( y) ( x)( y) x + y xy ( ) + ( ) + ( )( ) + ( x ) + ( y) + ( x )( y) x + y + x y ( ) + ( ) + ( )( ) + + Clol i sgunti prootti notvoli. I prootti notvoli possono ssr shmtizzti osì: ( + )( ) ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) + ( + + ) Briiol i tori (x y)(x + y) + (x + y)(y + x) (x) (y) x y ( ) (x) (y) x y ( )( + ) ( ) ( ) Clol i sgunti prootti notvoli. (x + y) (x) + (x) (y) + (x)(+y) + (+y) 8x + x y + xy + 7y + + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

14 Szion O Algr Risolvi l sgunti sprssioni. { ( + ) [ ( + ) ( + ) ( )]} { + [ ]} { } { + } ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + + ) ( x+ y) + ( x+ y) ( x y) + ( x+ y) ( x + y + xy) + ( x y ) + x + y + 8xy x 8y 8xy + x y + x + y + 8xy + x y Clol il vlor ll sgunti sprssioni lttrli ttriuno ll lttr i vlori initi. ( + ) ( ) ; Sostituimo il vlor + ll lttr il vlor ll lttr : ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) [ ] [ ] [ ] ; +; Sostituimo il vlor ll lttr, il vlor + ll lttr il vlor 0 ll lttr : ( + ) ( ) ( )( 0) ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

15 Equzioni, isquzioni, prolmi Clol il vlor h ssum il polinomio to pr i vlori ll vriili initi. P(x) x + x 0 P(0) 0 + x P P(x, y) x xy + y x ; y P(, ) () ()() +() + 0 x ; y P(, ) () ()() + () + + Equzioni, isquzioni, prolmi Si i intità un uguglinz tr u sprssioni lttrli h è vriit pr qulunqu vlor ttriuito ll lttr h vi igur. Si i quzion un uguglinz tr u sprssioni lttrli, tt mmri ll quzion, h è vriit solo pr prtiolri vlori ttriuiti ll lttr h vi igur, tt inognit. L rii o soluzioni i un quzion sono i vlori h, sostituiti ll inognit, rnono vr l uguglinz. Si i gro i un quzion il vlor mssimo h ompr om sponnt ll'inognit ll quzion stss. Un quzion si i i primo gro s in ss l inognit igur solo on sponnt ugul. Un quzion trmint mmtt l mssimo un numro i soluzioni pri l gro ll quzion stss: un quzion i primo gro mmtt l mssimo un soluzion; un quzion i sono gro mmtt l mssimo u soluzioni,. Briiol i tori Risolvi l sgunti quzioni. (x ) ( + x) x + ( x) Esguimo i loli: x x x + x Applihimo l rgol l trsporto pr portr tutti i trmini ontnnti l inognit primo mmro i trmini noti sono mmro: x x x + x x Applihimo il sono prinipio i quivlnz ivino ntrmi i mmri ll quzion pr : x x 7 L quzion è trmint x 7 è l su uni ri. prinipio: ggiungno ntrmi i mmri i un quzion un stss sprssion lgri, ontnnt o no l inognit, si ottin un quzion quivlnt qull t. prinipio: moltiplino o ivino ntrmi i mmri i un quzion pr uno stsso numro ivrso zro si ottin un quzion quivlnt qull t. Di u prinipi sguono lun rgol prtih. Rgol i nllzion: s uno stsso trmin igur ni u mmri i un quzion, sso può ssr nllto. Rgol l trsporto: si può smpr trsportr un trmin i un quzion un mmro ll ltro purhé lo si mi i sgno. Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

16 Szion O Algr [(x ) (x )] + x + (x ) Esguimo i loli: [x + 0x + ] + x + 0x Applihimo l rgol l trsporto: x + 0x x 0x + 0x L quzion è impossiil prhé nssun numro moltiplito pr 0 à om risultto. x ( x )( x+ ) x Esguimo i loli: x x x + x Riuimo llo stsso nomintor h è il m..m. i, ioè : x x+ 8 x + x8 Applihimo il sono prinipio i quivlnz moltiplihimo pr ntrmi i mmri, liminno in qusto moo i nomintori: x x 8 x x 7 Applihimo l rgol l trsporto pr portr tutti i trmini ontnnti l inognit primo mmro i trmini noti sono mmro: x x x + x +8 7 x L quzion è trmint x è l su uni ri. 7x x+ x+ x Eliminimo i nomintori: 7 ( x ) + 0( x+ )( x+ ) ( x+ 0) 0 0 x + 0x + 0 x x + 0 x + 0x x x x 0 L quzion è intrmint prhé l uguglinz è vriit pr qulunqu vlor ttriuito ll x. 7 x x+ 0 x + + ( x) + ( x+ ) 0 ( x) + x+ x+ 0 x+ +x 0 + x 0 L quzion è trmint x 0 è l su uni ri. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

17 Equzioni, isquzioni, prolmi Risolvi l sgunti isquzioni rpprsnt grimnt l intrvllo ll soluzioni. 8 x + (x + ) < x + 7 x + x < x + 7 Applihimo l rgol l trsporto: x x x x < 0 Diviimo ntrmi i mmri pr mimo il vrso ll isquzion: 0 x > x > Rpprsntimo grimnt l intrvllo ll soluzioni: Si i isquzion un isuguglinz l tipo M < N o M > N ov M N sono u sprssioni lttrli. Pr risolvr un isquzion rzionl intr si sguono l stss prour vist pr l quzioni poi si trminno gli intrvlli ll soluzioni, riorno h s si moltiplino o iviono ntrmi i mmri pr un stss quntità ngtiv l isquzion mi i vrso. Du isquzioni si iono quivlnti s hnno gli stssi intrvlli ll soluzioni. Briiol i tori (x ) > (x + ) 8 x x+ > x + x+ 8 Applihimo l rgol l trsporto: x x >8 8x >8 8x < 8 Applihimo il sono prinipio i quivlnz iviimo ntrmi i mmri pr 8: x < 0 x ( x ) + x x + 8x x + 8x x + x + xx x + 8x x+ 8x x+ 8xx + x x x A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 7

18 Szion O Algr Risolvi i sgunti prolmi ritmtii gomtrii on l iuto ll quzioni. Trov u numri onsutivi tli h l irnz tr il triplo l minor il oppio l mggior si ugul 8. Du numri sono onsutivi s l loro irnz è. Primo numro (minor) x Sono numro (suo sussivo) x + Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x (x + ) 8 x x 8 x x 8 + x 0 Primo numro x 0 Sono numro x In un lirri i i volumi sono tsti solstii, i liri i nrrtiv i rimnnti 0 sono 0 0 romnzi. Qunti liri i sono in qull lirri? Inihimo on x il numro totl i volumi prsnti sugli sli ll lirri. L quzion risolvnt il prolm è llor: x x+ x Risolvimo l quzion: 0x x+ x x x x 00 x 00 x 0 I volumi prsnti sull lirri sono 0. Sommno l trz prt i un numro ll su sst prt si ottin l mtà l numro stsso umntt i. Qul è il numro? Numro x Trz prt l numro x Sst prt l numro x Mtà l numro x Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x+ x x+ x+ x x+ x + x x + x + x x 0x quzion impossiil Il prolm non h soluzion, è impossiil. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 8

19 B A H O A K H B Equzioni, isquzioni, prolmi In un llvmnto i polli i onigli si ontno tst 08 zmp. Qunti sono i onigli qunti i polli? Numro i tst Numro i zmp 08 Inihimo on x il numro i polli; il numro i onigli è x (prhé vintmnt il numro gli nimli totli è ugul l numro i tst, ioè ). I onigli hnno zmp, mntr i polli solo, quini: numro i zmp i pollo x numro i zmp i oniglio ( x) Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x + ( x) 08 x + x 08 x x 08 x 8 x 8 x Numro i polli x ; numro i onigli x. 7 L istnz i un or l ntro i un ironrnz è ugul i l rggio l loro somm misur,8 m. Clol l lunghzz l rggio. 7 7 OH OA OA x OH x OH + OA,8 m OH + OA,8 m; sostituimo l sprssioni i OA OH: 7 x+ x, 8 7x+ x 0 7x + x 0 x 0 0 x 0 OA 0 m L s minor i un trpzio isosl è ugul ll mggior qust è ugul i l 0 lto oliquo. Spno h il primtro è m, lol l r l trpzio. DC AB AB CB Ossrvno l rlzioni t vimo h CB non 0 ipn nssun lto, quini lo ponimo ugul x. p m Ar ABCD? CB x AB x DC x x D C 0 L quzion risolvnt il prolm è: somm i lti primtro x + x + x + x x+ x+ 0x+ x x 0 0 A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

20 Szion O Algr 0 x x CB m AB 0 m DC m 0 Pr trminr l r è nssrio trminr il vlor ll ltzz CH. ABDC 0 HB 7 m Applihimo il torm i Pitgor l tringolo CHB: CH CB HB AB + DC CH Ar ( ) + ( 0 ) 88 m m TEOREMA DI PITAGORA In ogni tringolo rttngolo il qurto ostruito sull ipotnus è quivlnt ll somm i qurti ostruiti sui tti. i + i i Briiol i tori 7 In un tringolo rttngolo un tto è ugul i ll ltro l ipotnus misur m. Clol il primtro l tringolo. AB AC AC x AB x BC m Applihimo il torm i Pitgor rivimo l quzion risolvnt il prolm: p? AC + AB CB C x + x A B x + x x x x 7 8 AC 8 m AB 8 m p AB + BC + AC ( + + 8) 8 m A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 0

j Verso la scuola superiore Geometria euclidea e analitica

j Verso la scuola superiore Geometria euclidea e analitica j rso l suol suprior Gomtri uli nliti Ossrv l spzzt stilisi quli ll sgunti rmzioni sono vr quli ls. B D G E B è onsutivo B. DE è onsutivo G. B è onsutivo D. B è int D. B è onsutivo D. E è onsutivo G. Il

Dettagli

Sistemi lineari COGNOME... NOME... Classe... Data...

Sistemi lineari COGNOME... NOME... Classe... Data... Cpitolo Sistmi linri Risoluzion grfi lgri rifi pr l lss prim COGNOME............................... NOME............................. Clss.................................... Dt...............................

Dettagli

+ poligoni e l equivalenza di figure piane + triangoli + quadrilateri

+ poligoni e l equivalenza di figure piane + triangoli + quadrilateri + poligoni + poligoni l quivlnz i figur pin + tringoli + quriltri + poligoni l quivlnz i figur pin 1 Stilisi s l sgunti ffrmzioni sono vr o fls. SEZ. E In un poligono i lti sono onsutivi u u. L somm gli

Dettagli

a b }. L insieme Q è pertanto l insieme delle frazioni.

a b }. L insieme Q è pertanto l insieme delle frazioni. I1. Insimisti I1.1 Insimi Il ontto i insim è un ontto primitivo, prtnto non n vin t un finizion rigoros. Si può ir, intuitivmnt, h un insim è un ollzion i oggtti pr ui vlgono lun proprità: Un lmnto i un

Dettagli

Trasformazioni geometriche +sometrie Omotetia e similitudine Teoremi di Euclide e teorema di Talete

Trasformazioni geometriche +sometrie Omotetia e similitudine Teoremi di Euclide e teorema di Talete Trsormzioni gomtrih +somtri Omotti similituin Tormi i Euli torm i Tlt +somtri Stilisi s l sgunti rmzioni sono vr o ls. SEZ. N g h i l pplino un isomtri un igur, ss si orm. L simmtri ntrl è un prtiolr rotzion.

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione UNITÀ LE FRAZIONI Tst Tst i utolutzion 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 n Il mio puntggio, in ntsimi, è n Risponi ogni qusito sgnno un sol ll ltrnti. n Conront l tu rispost on l soluzioni. n Color, prtno sinistr,

Dettagli

Grandezze, funzioni empiriche e matematiche. 1 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Grandezze, funzioni empiriche e matematiche. 1 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Grnzz unzioni Grnzz, unzioni mpirih mtmtih Grnzz irttmnt invrsmnt proporzionli Applizioni ll proporzionlità Grnzz, unzioni mpirih mtmtih Stilisi s l sunti rmzioni so vr o ls. SZ. I Un rnzz è vriil s ssum

Dettagli

INTEGRALI. 1. Integrali indefiniti

INTEGRALI. 1. Integrali indefiniti INTEGRALI. Intgrli indiniti Si un unzion ontinu in [, ]. Un unzion F dinit ontinu in [, ], drivil in ], [, disi primitiv di in [, ] s F, ], [. Tormi. S F è un primitiv di in [, ] llor nh G F, on R, è un

Dettagli

Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone

Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone Mhin non ompltmnt spifit Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spifit Comptiilità Vrsion l 5/12/02 Sono mhin in ui pr lun onfigurzioni

Dettagli

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010 Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- Dt un circonrnz di cntro O rggio unitrio, si prndno

Dettagli

Circuiti Sequenziali Macchine Non Completamente Specificate

Circuiti Sequenziali Macchine Non Completamente Specificate CEFRIEL Consorzio pr l Formzion l Rir in Inggnri ll Informzion Politnio i Milno Ciruiti Squnzili Mhin Non Compltmnt Spifit Introuzion Comptiilità Riuzion l numro gli stti Mtoo gnrl FSM non ompltmnt spifit

Dettagli

Ellisse. L ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi. definizione. P semidistanza focale

Ellisse. L ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi. definizione. P semidistanza focale Elliss dfinizion L lliss è il luogo gomtrio di punti dl pino tli h l somm dll distnz d du punti fissi F1 F2 dtti fuohi è ostnt, ioè: smiss mggior smiss minor P smidistnz fol F 2 smidistnz fol F 1 F 2 smiss

Dettagli

Matematica. Indice lezione. (Esercitazioni) dott. Francesco Giannino dott. Valeria Monetti. Funzione esponenziale

Matematica. Indice lezione. (Esercitazioni) dott. Francesco Giannino dott. Valeria Monetti. Funzione esponenziale Mtmtic (Esrcitzioni) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich dott. Frncsco Ginnino dott. Vlri Montti Indic lzion Funzion sponnzil Equzioni disquzioni sponnzili Funzion ritmo Equzioni disquzioni ritmich

Dettagli

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino: Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono

Dettagli

Scomposizione di polinomi 1

Scomposizione di polinomi 1 Somposizione i un polinomio Cpitolo Somposizione i polinomi 1 erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona

Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona Minimizzzion gli Stti in un Rt Squnzil Sinron Murizio Plsi Murizio Plsi 1 Sintsi i Rti Squnzili Sinron Il proimnto gnrl i sintsi si svolg ni sgunti pssi: 1. Rlizzzion l igrmm gli stti prtir ll spifih l

Dettagli

Corso di Automi e Linguaggi Formali Parte 3

Corso di Automi e Linguaggi Formali Parte 3 Esmpio Sdo il pumping lmm sist tl ch ogni prol di tin un sottostring non vuot ch puo ssr pompt o tglit rpprsntrl com Invc non in dv ssr in posso Corso di Automi Linguggi Formli Gnnio-Mrzo 2002 p.3/22 Corso

Dettagli

6) Nel 1991 Carl Lewis ha stabilito il record del mondo dei 100 m percorrendoli in 9,86 s. Qual è la velocità media in km/h?

6) Nel 1991 Carl Lewis ha stabilito il record del mondo dei 100 m percorrendoli in 9,86 s. Qual è la velocità media in km/h? 1) L unità l SI pr l tmprtur l mss sono, rispttivmnt gri grmmi klvin kilogrmmi Clsius milligrmmi Clsius kilogrmmi klvin grmmi 2) Qul mtril ffon nll olio ( = 0,94 g/m 3 )? ghiio ( = 0,92 g/m 3 ) sughro

Dettagli

Matematica 15 settembre 2009

Matematica 15 settembre 2009 Nom: Mtriol: Mtmti 5 sttmbr 2009 Non sono mmss loltrii. Pr l domnd rispost multipl, rispondr brrndo o rhindo hirmnt un un sol lttr. Pr l ltr domnd srivr l soluzion on svolgimnto ngli spzi prdisposti..

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare - Fogli 1-2 Corso di Laurea in Matematica 2 ottobre 2016

Esercizi di Algebra Lineare - Fogli 1-2 Corso di Laurea in Matematica 2 ottobre 2016 Esrizi i Algr Linr - Fogli 1-2 Corso i Lur in Mtmti 2 ottor 2016 1. Logi tori lmntr gli insimi Esrizio 1.1 Ngr un ssrzion. Espliitr l ngzion ll sgunti ssrzioni: (P ) ogni stunt i qust ul minornn, oppur

Dettagli

e una funzione g ε S f tali che = sup g : g S f tale che h ε f < ε/2; analogamente, per

e una funzione g ε S f tali che = sup g : g S f tale che h ε f < ε/2; analogamente, per C.13 ntgrl di Rimnn Prmttimo il sgunt risultto. Lmm C.13.1 Si f un funzion limitt su = [, b]. Allor f è intgrbil s solo s pr ogni ε > 0 sistono un funzion h ε S + f un funzion g ε S f tli h h ε g ε < ε.

Dettagli

Monomi e polinomi. Verifica per la classe prima COGNOME... NOME... Classe... Data...

Monomi e polinomi. Verifica per la classe prima COGNOME... NOME... Classe... Data... Cpitolo Monomi e polinomi Monomi Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Elettronica dei Sistemi Digitali Sintesi di porte logiche combinatorie fully CMOS

Elettronica dei Sistemi Digitali Sintesi di porte logiche combinatorie fully CMOS Elttroni di Sistmi Digitli Sintsi di port logih omintori full CMOS Vlntino Lirli Diprtimnto di Tnologi dll Informzion Univrsità di Milno, 26013 Crm -mil: lirli@dti.unimi.it http://www.dti.unimi.it/ lirli

Dettagli

L insieme N e l insieme Z Le cifre e i numeri Le quattro operazioni e le potenze in N Le espressioni La misura e i problemi

L insieme N e l insieme Z Le cifre e i numeri Le quattro operazioni e le potenze in N Le espressioni La misura e i problemi L nsm N l nsm Z L r numr L quttro oprzon l potnz n N L sprsson L msur prolm L r numr 1 Stls s l sunt rmzon sono vr o ls. SEZ. A l m n o p q 39 è un numro spr. 112 è un numro pr. In 79, 9 è un r. 10 è un

Dettagli

Minimizzazione degli Stati in una macchina a stati finiti

Minimizzazione degli Stati in una macchina a stati finiti Rti Loih Sintsi i rti squnzili sinron Minimizzzion li Stti in un mhin stti initi Proimnto: Spiih Dirmm li stti Tll li stti Minimizzzion li stti Coii li stti Tll ll trnsizioni Slt lmnti i mmori Tll ll itzioni

Dettagli

GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE

GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE Al fin di stbilir un gomtri sull llissoid di rotzion è ncssrio non solo dfinir l quzioni dll curv idon d individur

Dettagli

Corso di Analisi: Algebra di Base 5^ Lezione Logaritmi. Proprietà dei logaritmi Equazioni logaritmiche. Disequazioni logaritmiche. Allegato Esercizi.

Corso di Analisi: Algebra di Base 5^ Lezione Logaritmi. Proprietà dei logaritmi Equazioni logaritmiche. Disequazioni logaritmiche. Allegato Esercizi. Corso di Anlisi: Algbr di Bs ^ Lzion Logritmi. Proprità di ritmi Equzioni ritmih. Disquzioni ritmih. Allgto Esrizi. LOGARITMI : Pr ritmo intndimo un sprssion lttrl indint un vlor numrio. Dfinizion : Si

Dettagli

Geometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano

Geometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano Geometri nliti +l pino rtesino Le funzioni rett, prol, iperole Le trsformzioni sul pino rtesino SEZ. P +l pino rtesino Osserv le oorinte ei seguenti punti: (, 0), (, ), C(, +), D + +, E(+, 9)., Che os

Dettagli

Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone

Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spiit Comptiilità Vrsion l 13/01/05 (Frrni( Antol) Mhin non ompltmnt spiit Sono mhin in ui

Dettagli

Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 25: Algoritmi sui grafi. Lezione 25 - Modulo 1. Problema. Notazioni per il percorso più breve

Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 25: Algoritmi sui grafi. Lezione 25 - Modulo 1. Problema. Notazioni per il percorso più breve Informti Informti LZION : lgoritmi sui grfi Lzion - Moulo Moulo : Prolm l prorso più rv Moulo : Spnning tr osto minimo Prolm l prorso più rv Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr

Dettagli

L ELLISSOIDE TERRESTRE

L ELLISSOIDE TERRESTRE L ELLISSOIDE TERRESTRE Fin dll scond mtà dl XVII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di rifrimnto pr l Trr è stt individut in un ELLISSOIDE DI ROTAZIONE. E l suprfici

Dettagli

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione Tst i utovlutzion 0 10 20 0 0 0 60 70 80 90 100 n Il mio puntggio, in ntsimi, è n Risponi ogni qusito sgnno un sol ll ltntiv. n Confont l tu ispost on l soluzioni. n Colo, ptno sinist, tnt sll qunt sono

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione UNITÀ ELEMENTI DI CALCOLO ALGEBRICO Test di utovlutzione 0 0 0 0 0 0 60 0 80 90 00 n Il mio punteggio, in entesimi, è n Rispondi ogni quesito segnndo un sol delle lterntive. n Confront le tue risposte

Dettagli

+ numeri reali Numeri decimali e periodici Estrazione di radice

+ numeri reali Numeri decimali e periodici Estrazione di radice numeri reli Numeri deimli e periodii Estrzione di rdie Numeri deimli e periodii SEZ. G Clol il vlore delle seguenti espressioni. 0 (, ), Trsformimo i numeri deimli nell orrispondente frzione genertrie

Dettagli

I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi.

I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi. I PRODOTTI NOTEVOLI Nel lolo letterle pit spesso di inontrre moltiplizioni tr prtiolri polinomi. I reltivi sviluppi si ottengono pplindo le regole fin qui viste, m i risultti, opportunmente semplifiti,

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi

Svolgimento di alcuni esercizi Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr

Dettagli

Risoluzione dei sistemi di equazioni col metodo delle matrici

Risoluzione dei sistemi di equazioni col metodo delle matrici Risoluzione ei sistemi i equzioni ol metoo elle mtrii Un sistem i n equzioni e n inonite può essere rppresentto ome mtrie formt i soli oeffiienti. Dto il sistem: x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= L su mtrie srà:

Dettagli

Funzione esponenziale e logaritmo. Proprietà di esponenziale e logaritmo.

Funzione esponenziale e logaritmo. Proprietà di esponenziale e logaritmo. Funzion sponnzil ritmo. Proprità di sponnzil ritmo. 6. Funzion sponnzil ritmo. Proprità di sponnzil ritmo. Funzion sponnzil f ( ) fissto f : ( + ) è l bs dll funzion sponnzil d è fisst è l sponnt dll funzion

Dettagli

FUNZIONI A DUE VARIABILI RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO

FUNZIONI A DUE VARIABILI RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO Pg. Pro. Muro D Ettorr UNZIONI A DUE VARIABILI RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO PREMESSE DERIVATE PARZIALI DI UNA UNZIONE A DUE O PIU VARIABILI Dt un unzon d n vrbl z=... n s dc drvt przl l unzon

Dettagli

CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A. 2006-2007 ESERCITAZIONI - 09.05.07 ALLEGATO al file Esercizi di geodesia. r a. Z c. nella quale

CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A. 2006-2007 ESERCITAZIONI - 09.05.07 ALLEGATO al file Esercizi di geodesia. r a. Z c. nella quale CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A. 6-7 ESERCITAZIONI - 9.5.7 ALLEGATO l fil Esrcizi di godsi Ellissoid trrstr Fin dll scond mtà dl VII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di

Dettagli

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo Δlessio elli Studente di Mtemti Spienz - Università di Rom Diprtimento di Mtemti Guido Cstelnuovo we-site: www.selli87.ltervist.org EQUAZIONI DI II GRADO. DEFINIZIONI Si die equzione di seondo grdo nell

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

Aquadue Duplo. Guida all utilizzo. click! NEW! ON! c. Collegare il programmatore al rubinetto.

Aquadue Duplo. Guida all utilizzo. click! NEW! ON! c. Collegare il programmatore al rubinetto. Collgr il progrmmtor l ruintto. quu Duplo Pg. Gui ll utilizzo DY DY DY lik! DY Pr quu Duplo volution (o.): 80 prir il moulo i progrmmzion prmno sui u pulsnti ltrli insrir un ttri llin. ppn ollgt l ttri,

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito:

] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito: OPE OPERAZIONI BINARIE Definizione di operzione inri Dto un insieme A non vuoto, si him operzione (inri) su A ogni pplizione di A in A In generle, un'operzione su A viene indit on il simolo Se (x, y) è

Dettagli

Circonferenza e cerchio La circonferenza e il cerchio Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza

Circonferenza e cerchio La circonferenza e il cerchio Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza ironferenz e erhio L ironferenz e il erhio Poligoni insritti e irosritti un ironferenz L ironferenz e il erhio Stilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. SEZ. M e f g h Il rpporto tr l lunghezz

Dettagli

Equazioni di primo grado

Equazioni di primo grado Cpitolo Equzioni i primo gro Equzioni i primo gro erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

A.A.2009/10 Fisica 1 1

A.A.2009/10 Fisica 1 1 Mhine termihe e frigoriferi Un mhin termi è un mhin he, grzie un sequenz i trsformzioni termoinmihe i un t sostnz, proue lvoro he può essere utilizzto. Un mhin solitmente lvor su i un ilo i trsformzioni

Dettagli

Vettori - Definizione

Vettori - Definizione Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello

Dettagli

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA Prof. Luigi Ci 1 nno solstio 13-14 PPUNTI DI GEOMETRI NLITIC Rett orientt Un rett r si die orientt qundo: 1. È fissto un punto di riferimento, detto origine;. Dei due possiili versi in ui un punto si può

Dettagli

IL MOTO NELLA ZONA INSATURA

IL MOTO NELLA ZONA INSATURA L ritnzion dll umidità L suprfii d 1 4 rpprsntno l sussiv fsi di drnggio gio dll qu d un mzzo poroso. Al rsr dl drnggio l qu l si ritir ngli spzi intrstizili on suprfii urvtur ur rsnt d umntndo il rio

Dettagli

Il piano cartesiano e la retta

Il piano cartesiano e la retta Cpitolo Eserizi Il pino rtesino e l rett Teori p. Coorinte rtesine nel pino Stilisi ove si trov isuno ei punti ti. (I I qurnte, II II qurnte, III III qurnte, IV IV qurnte, x sse x, y sse y) A(0, 8) B(,

Dettagli

Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona

Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona Minimizzzion gli Stti in un Rt Squnzil Sinron Murizio Plsi Murizio Plsi 1 Sintsi i Rti Squnzili Sinron Il proimnto gnrl i sintsi si svolg ni sgunti pssi: 1. Rlizzzion l igrmm gli stti prtir ll spifih l

Dettagli

SPOSTAMENTO E RETTIFICA DI CONFINE

SPOSTAMENTO E RETTIFICA DI CONFINE SPOSEO E REIFI I OFIE Lo SPOSEO si qundo un confin ià rttilino vin sostituito con un ltro smpr rttilino L REIFI si qundo un confin polionl o curvilino vin sostituito con un ltro rttilino. SPOSEO REIFI

Dettagli

Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde

Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde Anno Tringoli rettngoli e teorem delle orde 1 Introduzione In quest lezione impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine,

Dettagli

x BP, controllando che risulta :

x BP, controllando che risulta : Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- PROBLEMA E dt un circonrnz di cntro O dimtro AB. Sul prolungmnto

Dettagli

tx P ty P 1 + t(z P 1)

tx P ty P 1 + t(z P 1) Esrcizi dll dcim sttimn - Soluzioni Indichimo con S R 3 l sfr unitri nll mtric Euclid di R 3, oro S {x, y, z R 3 x + y + z 1}. Indichimo con N S il polo nord il polo sud di S, rispttimnt, oro N,, 1 S,,

Dettagli

RACCORDI PER APPLICAZIONI SPECIALI GIUNTI ECCENTRICI E CONICI

RACCORDI PER APPLICAZIONI SPECIALI GIUNTI ECCENTRICI E CONICI RACCORDI PER APPLICAZIONI SPECIALI GIUNTI ECCENTRICI E CONICI 2 L soluzion dimnsionl ottiml pr signz prtiolri Rordi on snz ihir Innsti on snz ihir Clssi sondo nssità Dimtro di usit vriil Collgmnto l fondo

Dettagli

a è detta PARTE LETTERALE

a è detta PARTE LETTERALE I MONOMI Si die MONOMIO un espressione letterle in ui le unihe operzioni presenti sino il prodotto e l divisione. Esempio è detto COEFFICIENTE del monomio e è dett PARTE LETTERALE Un monomio si die ridotto

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y. INTRODUZIONE Ossrviamo, in primo luogo, ch l funzioni sponnziali sono dlla forma a con a costant positiva divrsa da (il caso a è banal pr cui non sarà oggtto dl nostro studio). Si possono allora vrificar

Dettagli

Appunti sulle disequazioni frazionarie

Appunti sulle disequazioni frazionarie ppunti sull disquazioni frazionari Sono utili l sgunti dfinizioni Una disquazion fratta o frazionaria è una disquazion nlla qual l incognita compar in qualch suo dnominator. Una disquazion razional è una

Dettagli

1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8

1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma

Dettagli

Successioni numeriche

Successioni numeriche 08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es. 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl

Dettagli

Probabilità e statistica Statistica Probabilità

Probabilità e statistica Statistica Probabilità Proilità e sttisti Sttisti Proilità Sttisti Risolvi i seguenti prolemi. SEZ. Q Polo h sull su lireri liri i nrrtiv spessi 3 m, 3 volumi i un enilopei i spessore m ognuno e voolri spessi 9, m. Clol lo spessore

Dettagli

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario. LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA Il cndidto risolv uno di du problmi di qusiti sclti nl qustionrio. N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico PROBLEMA Si ABC un tringolo quiltro di

Dettagli

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6.

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6. Corso di laura: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA PROPORZIONI Ossrvar l sgunti figur: Cosa possiamo dir di ss? Ch la suprfici dlla figura A sta alla suprfici dlla figura B com sta a 6.

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di Primo Grado Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno...

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di Primo Grado Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno... VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA Suol Seonri i Primo Gro Clsse Prim Suol..........................................................................................................................................

Dettagli

ESERCIZI IN PIÙ ESERCIZI DI FINE CAPITOLO

ESERCIZI IN PIÙ ESERCIZI DI FINE CAPITOLO L RLZIONI L FUNZIONI serizi in più SRIZI IN PIÙ SRIZI I FIN PITOLO TST Nell insieme ell figur, l relzione rppresentt goe ell o elle proprietà: TST L relzione «essere isenente i», efinit nell insieme egli

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno...

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno... VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA Suol Seonri Superiore Clsse Prim Suol..........................................................................................................................................

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di Primo Grado Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno...

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di Primo Grado Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno... VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA Suol Seonri i Primo Gro Clsse Prim Suol..........................................................................................................................................

Dettagli

Propulsione Aerospaziale. Cap. 4 Sez. d Ugelli per esoreattori e endoreattori. Esercizi svolti

Propulsione Aerospaziale. Cap. 4 Sez. d Ugelli per esoreattori e endoreattori. Esercizi svolti Politcnico di ilno Fcoltà di Innri Industril Corso di Lur in Innri roszil Insnmnto di Proulsion roszil nno ccdmico / C. 4 Sz. d Ulli r sorttori ndorttori Esrcizi svolti rv. dicmbr ESERCIZIO 4d. Un ullo

Dettagli

Informatica II. Capitolo 5. Alberi. E' una generalizzazione della struttura sequenza

Informatica II. Capitolo 5. Alberi. E' una generalizzazione della struttura sequenza Alri Informtic II Cpitolo 5 Alri E' un gnrlizzzion dll struttur squnz Si rilss il rquisito di linrità: ogni lmnto (nodo) h un solo prdcssor m può vr più succssori. Il numro di succssori (figli) può ssr

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe terza. Scuola... Classe... Alunno...

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe terza. Scuola... Classe... Alunno... VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA Suol Seonri Superiore Clsse terz Suol..........................................................................................................................................

Dettagli

= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme

= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è un scrittur in cui compiono operzioni tr numeri rppresentti, tutti o in prte, d lettere. Per clcolre il vlore numerico di

Dettagli

PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO

PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOLA ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI BIANCHI SCUOLE PARITARIE PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO CLASSI MATERIA PROF. QUARTA TURISMO Matmatica Andra Brnsco Làvor ANNO SCOLASTICO

Dettagli

Scuole Italiane all'estero ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica

Scuole Italiane all'estero ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica Sssion ordinri Estro Scuol Itlin llestro ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sssion SECONDA PROVA SCRITTA Tm di Mtmtic PROBLEMA E ssnto un cilindro quiltro Q il cui rio di bs misur. ) Si dtrmini il cono

Dettagli

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita 86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di

Dettagli

Equazioni di secondo grado Capitolo

Equazioni di secondo grado Capitolo Equzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Disequazioni di primo grado

Disequazioni di primo grado Cpitolo Disequzioni i primo gro Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Ulteriori esercizi svolti

Ulteriori esercizi svolti Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

ELABORAZIONE di DATI SPERIMENTALI

ELABORAZIONE di DATI SPERIMENTALI ELABORAZIONE DATI SPERIMENTALI Prof. Giovnn CATANIA Prof. Rit DONATI Dr. Tibrio T DI CORCIA L stribuzion norml o gusn com modlità borzion dti sprimntli qtittivmnt numro I N T R O D U Z I O N E Un Un dll

Dettagli

Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1

Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica  1 LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza

Dettagli

ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI

ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 PUNTI CRITICI Un punto critico è un punto in cui la funzion è diffrnziabil il piano tangnt al grafico è orizzontal Riconosciamo qusti punti prché il gradint è il vttor

Dettagli

Definizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che,

Definizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che, CAPITOLO 6 LE SIMILITUDINI 6 Rihimi i teori Definizione Si him similituine un orrisponenz iunivo l pino in sé tle he presi ue punti qulunque A B el pino e etti A B i loro orrisponenti si h he esiste un

Dettagli

(x, y) R, x, y A. def

(x, y) R, x, y A. def 1 F0 RELAZIONI DI EQUIVALENZA 1. Proprità ll rlzioi i u isim Si him rlzio i u isim A, o vuoto, ogi R A. S (x, y) R, iimo h «x è ll rlzio R o y». Normlmt, ll'sprssio (x, y) R si prfris l'sprssio xry, ismt

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

LE FRAZIONI LE FRAZIONI. La frazione è un operatore che opera su una qualsiasi grandezza e che da come risultato una grandezza omogenea a quella data.

LE FRAZIONI LE FRAZIONI. La frazione è un operatore che opera su una qualsiasi grandezza e che da come risultato una grandezza omogenea a quella data. LE FRAZIONI La frazion è un oprator ch opra su una qualsiasi grandzza ch da com risultato una grandzza omogna a qulla data. AB (Il sgmnto AB è stato diviso i tr parti sono stat prs du) Una frazion è scritta

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno...

VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore Classe Prima. Scuola... Classe... Alunno... VALUTAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLE ABILITÀ DI BASE PROVA DI MATEMATICA Suol Seonri Superiore Clsse Prim Suol..........................................................................................................................................

Dettagli

Numeri complessi - svolgimento degli esercizi

Numeri complessi - svolgimento degli esercizi Numri complssi - svolgimnto dgli srcizi ) Qusto srcizio richid di calcolar la potnza n-sima (n 45) di un numro complsso. Scriviamo z nlla forma sponnzial z ρ iθ dov ) ( ) ρ ( + θ π 6 dato ch sin θ cos

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono

Dettagli

ELENCO PREZZI AREE VERDI

ELENCO PREZZI AREE VERDI ALLEGATO B) AL CAPITOLATO SPECIALE D APPALTO ELENCO PREZZI AREE VERDI MANO D OPERA I przzi ll no opr pplir sono qulli i sguito lnti sunti l Przzirio ll Assoizion Itlin Costruttori l Vr (www.ssovr.it) Dsrizion

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

The cost of the material maintenance is averaged over the last 3 years.

The cost of the material maintenance is averaged over the last 3 years. Anlisi i osti i un Diprtimnto 11 TABLE 4 Dprition n mintnn osts (unit: ITL) Ctgory Y Prio Inrs vlu Annul vlu 1 Furnitur 5 1.1.90{31.12.95 219 311 127 43 862 225 2 Lirry 5 1.1.90{31.12.95 542 832 793 108

Dettagli

Costruiamo un aquilone SLED

Costruiamo un aquilone SLED Costruimo un quon SLED Sgnr sul sgmnto cod du rifrimnti 3 cm dgli spigoli (vrso l'trno) poi sul bordo ntrior dll du li 11 cm dgli spigoli (vrso l'strno); qusto punto si dvono pplicr l du mnich sul bordo

Dettagli

CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)

CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x) ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h)

Dettagli