Spazio vettoriale Euclideo

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1 Spazio vettoriale Eclideo Nell isieme R delle ple ordiate, o vettori ad compoeti, di meri reali abbiamo defiito la somma + v di de vettori e il prodotto αv di o scalare per vettore; la strttra cosi otteta l abbiamo omiata spazio vettoriale dimesioale stadard. Qesto spazio vettoriale e il modello per ogi spazio vettoriale fiitamete geerato, o che e lo stesso, per ogi spazio vettoriale di dimesioe fiita s R. Nell isieme R abbiamo poi defiito il prodotto scalare T v di de vettori; la strttra cosi otteta viee omiata spazio vettoriale Eclideo dimesioale stadard. I effetti a partire dal prodotto scalare abbiamo defiito ozioi eclidee come la relazioe di ortogoalita v fra de vettori e la lghezza o orma di vettore. I qesta lezioe mostriamo che l ortogoalita e la orma cosi defiite i R cotiao a possedere le proprieta salieti che posseggoo el piao e spazio Eclideo ordiari. Proprieta dell ortogoalita Proposizioe 1 La relazioe di ortogoalita s R possiede le segeti proprieta : (1) Il vettore llo di R e ortogoale a se stesso ed e l ico vettore di R che e ortogoale a se stesso: se e solo se = 0, per ogi R ; (2) La relazioe di ortogoalita e simmetrica: per ogi, v R ; v se e solo se v ; (3) La relazioe di ortogoalita e compatibile co le operazioi di somma di vettori e prodotto di scalari per vettori: per ogi, v 1, v 2 R e α 1, α 2 R. se v 1 e v 2 allora (α 1 v 1 + α 2 v 2 ), se v 1 e v 2 allora (α 1 v 1 + α 2 v 2 ), Qeste proprieta derivao direttamete dalla defiizioe di ortogoalita. Ad esempio, la prima parte della (3) si prova come sege. v 1 e v 2 sigifica che T v 1 = 0 e T v 2 = 0, cio implica che T (α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 T v 1 + α 2 T v 2 = α α 2 0 = 0 e cio sigifica che (α 1 v 1 + α 2 v 2 ).

2 Complemeto ortogoale Nello spazio Eclideo ordiario, fissato pto O e cosiderati i vettori co origie i O, si ha che: (1.1) vettore e ortogoale ad dato vettore o llo a se e solo se esso e ortogoale alla retta geerata da a; (1.2) i vettori ortogoali ad a data retta per O soo ttti e soli qelli che stao sl piao per O ortogoale alla retta; (2.1) vettore e ortogoale a de dati vettori o allieati a 1 e a 2 se e solo se esso e ortogoale al piao geerato da a 1 e a 2 ; (2.2) i vettori ortogoali ad dato piao per O soo ttti e soli qelli che stao slla retta per O ortogoale al piao. Esempi Fissato ello spazio sistema di riferimeto cartesiao ortogoale moometrico co origie i O, idetifichiamo i vettori dello spazio co vettori di R 3. (1) I vettori di R 3 ortogoali al vettore (2, 3, 5) soo ttte e sole le solzioi della eqazioe lieare 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 0, cioe i vettori del tipo ( 2 3 p 5 2 q, p, q) = p( 3 2, 1, 0) + q( 5 2, 0, 1) dove p, q variao i R. Dqe i vettori di R 3 ortogoali al vettore (2, 3, 5) soo ttti e soli i vettori del piao geerato dai vettori ( 3 2, 1, 0) e ( 2 5, 0, 1). (2) I vettori di R 3 ortogoali ai vettori (1, 2, 0) e (1, 0, 3) soo ttte e sole le solzioi del sistema lieare { x1 + 2x 2 = 0 x 1 + 3x 3 = 0 cioe i vettori del tipo (p, p 2, p 3 ) = p(1, 2 1, 1 3 ) dove p varia i R. Dqe i vettori di R 3 ortogoali ai vettori (1, 2, 0) e (1, 0, 3) soo ttti e soli i vettori della retta geerata dal vettore (1, 2 1, 1 3 ). Qesti fatti si estedoo ad R el modo segete Proposizioe 2 Siao a 1,..., a m vettori di R ; (1) vettore di R e ortogoale a ciasc vettore a i se e solo se e ortogoale a ciasc vettore del sottospazio a 1,..., a m ; (2) l isieme dei vettori di R ortogoali a ciasc vettore di dato sottospazio di R e sottospazio di R. Qesta proposizioe sege direttamete dalle proprieta dell ortogoalita. Defiizioe 1 Il sottospazio di R formato dei vettori ortogoali a ciasc vettore di sottospazio V di R si dice complemeto ortogoale di V e si idica co V : V = {x R : x v, v V}.

3 Osserviamo ifie che, dati m vettori a 1,..., a m i R, ed idicata co A = [a 1... a m ] la matrice m avete per coloe qesti vettori, si ha (1) il sottospazio geerato da a 1,..., a m e lo spazio coloa della matrice A : a 1,..., a m = C(A); (2) il complemeto ortogoale del sottospazio geerato da a 1,..., a m e lo spazio llo della matrice A T : a 1,..., a m = N (A T ). Ifatti: vettore x e ortogoale ad ogi vettore del sottospazio a 1,..., a m se e solo se x e ortogoale ad ogi vettore a 1,..., a m, cioe a1 Tx = 0 a1 T. i altri termii. x = 0, i breve A T x = 0. amx T = 0 am T Proprieta della orma Proposizioe 3 La fzioe orma s R possiede le segeti proprieta : (1) la orma di vettore e sempre maggiore-gale a zero e vale zero se e solo se il vettore e llo: 0 R ; = 0 se e solo se = 0; (2) la orma del vettore prodotto di vettore per o scalare e gale al prodotto della orma del vettore per il valore assolto dello scalare: r = r, R, r R; (3) la orma del vettore somma e miore o gale alla somma delle orme dei vettori addedi: + v + v ; (4) il qadrato della orma del vettore somma + v di de vettori e v fra loro ortogoali e gale alla somma dei qadrati delle orme dei vettori addedi, v : + v 2 = 2 + v 2. La (3) viee detta disgagliaza triagolare per il sigificato che assme el piao e spazio Eclidei ordiari v + v v

4 La (4) viee detta Teorema di Pitagora per il sigificato che assme el piao e spazio Eclidei ordiari v + v v Le prime de proprieta derivao direttamete dalla defiizioe di orma. No diamo la dimostrazioe della disgagliaza triagolare. Il teorema di Pitagora si prova el modo segete + v 2 = ( + v) T ( + v) Se e v soo ortogoali, si ha T v = 0, e = ( T + v T )( + v) = T + T v + v T + v T v = T v + v 2. + v 2 = 2 + v 2. Coessioe coi primi cocetti di Statistica. Abbiamo provato che dato i R vettore o llo a = (a 1, a 2,..., a ), ogi vettore b = (b 1, b 2,..., b ) di R si po scrivere i o ed solo modo come b = p + q, p a, q a, abbiamo defiito p = pr a (b) la proiezioe ortogoale di b s a, abbiamo provato che pr a (b) = at b a T a a, ed abbiamo defiito a T b a T a il coefficiete di Forier di b rispetto ad a. Rislta tile dire ache che p e la compoete di b parallela ad a e q e la compoete di b ortogoale ad a. Osserviamo ifie che per il teorema di Pitagora si ha b 2 = p 2 + q 2.

5 Nel caso particolare i ci a = (1, 1,..., 1) e il vettore co ttte le compoeti gali a o, si ha che (1) ogi vettore b = (b 1, b 2,..., b ) di R si po scrivere i o ed solo modo come b = p + q, dove: p e mltiplo scalare di (1, 1,..., 1) cioe vettore co ttte le compoeti gali; q e vettore ortogoale ad (1, 1,..., 1), cioe vettore co somma delle compoeti lla; (2) il coefficiete di Forier di b rispetto a a e a T b a T a = i=1 b i, la media aritmetica µ b delle compoeti di b; (3) la compoete di b parallela ad a e p = µ b a = (µ b, µ b,..., µ b ), il vettore co ttte le compoeti gali a µ b. (4) la compoete di b ortogoale ad a e q = b p = (b 1 µ b, b 2 µ b,..., b µ b ). (5) per il teorema di Pitagora si ha la relazioe che po essere riscritta 1 bi 2 = µ 2 b + (b i µ b ) 2, i=1 i=1 i=1 b 2 i = µ 2 b + 1 i=1 (b i µ b ) 2, dove al secodo membro il secodo addedo e la variaza del vettore b.