5.2 Sistemi ONC in L 2

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1 5.2 Sistemi ONC in L 2 Passiamo ora a considerare alcuni esempi di spazi L 2 e di relativi sistemi ONC al loro interno. Le funzioni trigonometriche Il sistema delle funzioni esponenziali { e ikx 2π }, k = 0, ±1, ±2,... (5.28) che avevamo già visto in (5.9), costituisce una base ON in L 2 (0, 2π). Usando le formule di Eulero, esso può essere riscritto come sistema trigonometrico: { } 1 cos nx sin nx,, ; n = 1, 2, 2π π π (5.29) Il sistema delle potenze e i polinomi ortogonali Oltre al sistema delle funzioni trigonometriche, di cui ci siamo occupati finora, un altro esempio di sistema completo in uno spazio L 2 è il sistema delle potenze {x n } = {1, x, x 2, x 3,...} (5.30) Si può dimostrare che il sistema (5.30) è completo in L 2 in qualsiasi intervallo finito (a, b), ma evidentemente esso non è ortogonale: anche per n m. b a x n x m 0 (5.31) 131

2 È possibile tuttavia ortogonalizzarlo, passando dalle funzioni x n a loro combinazioni lineari, che saranno polinomi P n (x), costruiti in modo tale che 11 b a P n (x)p m (x) = h n δ nm. A questo scopo si sceglie P 0 (x) = 1, si pone P 1 (x) = x + α e si fissa α in modo che P 1 (x) sia ortogonale a P 0 (x); poi si pone P 2 (x) = x 2 + βx + γ e si fissano β e γ in modo che P 2 (x) sia ortogonale a P 1 (x) e a P 0 (x), e così via. È ovvio che i coefficienti α, β, γ... dipenderanno dall intervallo (a, b) che definisce L 2 (a, b); inoltre i polinomi P n (x) così ottenuti potranno essere moltiplicati per opportune costanti per normalizzarli a 1 o a un altra costante h n a scelta. Il sistema di polinomi ortogonali cosi ottenuto è completo in L 2 (a, b). Di conseguenza ogni funzione f(x) L 2 (a, b) può essere approssimata in media quadratica, bene quanto si vuole, con una serie di polinomi ortogonali: f(x) = α n P n (x). n=0 Per esempio nell intervallo (, 1) la procedura di ortogonalizzazione conduce ai polinomi di Legendre, definiti dalla formula di Rodrigues: P n (x) = 1 d n 2 n n! n (x2 1) n, (5.32) dove si è usata la normalizzazione convenzionale: P m (x)p n (x) = 2 2n + 1 δ mn. (5.33) Per dimostrare che (P m, P n ) = 0 per n m basta scrivere, per m < n (P m, P n ) = cost P m (x) dn [ ] 1 d n (x2 ) n n = cost P m(x) (x 2 ) n, n (5.34) dove si è integrato n volte per parti tenendo conto che i contributi negli estremi si annullano poiché d l +1 l (x2 1) n = 0 per ogni l n 1, (5.35) 11 Per ragioni di comodità e tradizione non sempre le costanti positive h n sono scelte uguali a

3 e accorgersi che d n P m(x) = 0 n m + 1. (5.36) n Dalla (5.32) segue che i primi polinomi di Legendre sono P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 2 (3x2 1),. Inoltre è facile dimostrare che i polinomi di Legendre obbediscono all equazione differenziale di Legendre (1 x 2 )P n (x) 2xP n(x) + n(n + 1)P n (x) = 0 con n = 0, 1, 2, (5.37) che si può scrivere nella forma compatta L x P n (x) = λ n P n (x) con L x = d (x2 1) d e λ n = n(n + 1). (5.38) Dimostrazione: F n (x) = [ ] d (x2 1) d Pn (x) è ancora evidentemente un polinomio di grado n; può quindi essere scritto nella forma con gli α (n) l proporzionali a P l (x)f n (x) = = F n (x) = n l=0 α (n) l P l (x) (5.39) P l (x) d (x2 1) d P n(x) [ (x 2 1) d ] d P l(x) P n(x) = F l (x)p n (x), dove si è ripetutamente integrato per parti; usando di nuovo la (5.39) e la (5.33) si ricava subito che α (n) l = 0 per l < n; che α n (n) valga proprio n(n + 1) segue dal conto esplicito della potenza più alta di F n : d (x2 ) d xn + = d (x2 )nx n + = n d xn+1 + = n(n+1)x n +. (5.41) (5.40) Polinomi ortogonali su intervallo infinito 133

4 Se l intervallo è infinito non è possibile utilizzare direttamente le potenze perché esse non sono quadrato sommabili (l integrale (5.31) non esiste). Tuttavia sull intervallo (, + ) si può introdurre un fattore di convergenza e x2, definire il sistema di funzioni {e x2 /2 x n }, quadrato sommabili sull asse reale qualunque sia n = 0, 1, 2,..., e ortogonalizzarlo secondo il metodo appena descritto. Questo conduce ai polinomi di Hermite, dati dalla formula di Rodrigues generalizzata H n (x) = () n e x2 e normalizzati come segue: dn n e x2, n = 0, 1, 2 (5.42) + e x2 H m (x)h n (x) = 2 n n! πδ mn. L ortogonalità dei polinomi dati dalla (5.42) si dimostra come per i polinomi di Legendre. I primi polinomi di Hermite sono H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2. L equazione differenziale a cui obbediscono i polinomi (5.42) è l equazione differenziale di Hermite: ovvero H n(x) 2xH n(x) + 2nH n (x) = 0 con n = 0, 1, 2,,, (5.43) e x2 [ d e x2 mentre le funzioni associate di Hermite ] d H n (x) = 2nH n (x), (5.44) ψ n (x) = e x2 /2 H n (x), n = 0, 1, 2 (5.45) che formano una base ortogonale in L 2 (R), (ψ n, ψ m ) = δ nm h n, sono soluzioni dell equazione dell oscillatore armonico quantistico: L x ψ n (x) = λ n ψ n (x) con L x = d2 2 + x2 e λ n = 2n + 1, (5.46) che si dimostra in stretta analogia alla (5.38). L esistenza del sistema ONC (5.45), ovviamente numerabile, implica che anche lo spazio delle funzioni quadrato sommabili sull intero asse reale è separabile. 134

5 Polinomi di Laguerre Analogamente nell intervallo (0, + ) si può partire dal sistema {e x/2 x n+γ/2 }, con γ >, e ortogonalizzarlo, ottenendo così i polinomi di Laguerre L γ n, su cui non ci soffermiamo. Le funzioni e x/2 x γ/2 L γ n(x) formano, per ogni γ > fissato, un sistema ONC in L 2 (0, ) Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali Abbiamo dato qualche esempio di sistemi ONC, ma ci si può chiedere se esista un modo più generale per costruirli. Per rispondere a questa domanda osserviamo che i polinomi di Legendre {P n } e le funzioni associate di Hermite {ψ n }, che sono sistemi ONC in un opportuno spazio L 2 (a, b), condividono la proprietà di essere autofunzioni di un operatore L, la cui espressione differenziale è data dagli L x rispettivamente di eq. (5.38) e eq. (5.46), munito di opportune condizioni al contorno che lo rendono autoaggiunto. Ciò significa, nei nostri casi particolari, che il dominio di L comprende solo quelle funzioni che, oltre a essere derivabili quanto basta, siano anche limitate e quadrato sommabili, cosicché si possa ripetutamente integrare per parti in modo da poter dimostrare (u, Lv) = (Lu, v) (v, Lu), (5.47) u, v che appartengono al dominio di L; per esempio su L 2 (R): (u, Lv) = = + [( + u (x)l x v(x) = d2 2 + x2 ) + ( ) u (x) d2 + 2 x2 v(x) u(x)] v(x). (5.48) Lo stesso vale anche per i sistemi trigonometrici, se si prende L x = i d, con condizioni al contorno periodiche u(π) = u( π). Infatti ( +π (u, Lv) = u (x) i d ) v(x) = i u (x)v(x) +π π π [ +π + i d ] [ +π π u (x) v(x) = i d ] π u(x) v(x) = (Lu, v). (5.49) 135

6 Notare l importanza delle condizioni al contorno periodiche per poter buttar via il contributo agli estremi nell integrazione per parti. Confrontando (φ n, Lφ n ) = λ n (φ n, φ n ) con la sua complessa coniugata e usando la (5.47) si vede subito che gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. È anche facile dimostrare che l insieme delle autofunzioni degli operatori autoaggiunti è ortogonale: da Lφ n = λ n φ n, Lφ m = λ m φ m, (5.50) moltiplicando scalarmente la prima equazione per φ m e la seconda per φ n, usando la (5.47) e sottraendo dalla prima equazione il complesso coniugato della seconda segue 0 = (λ n λ m ) (φ n, φ m ) (5.51) da cui (φ n, φ m ) = 0 se λ n λ m. (5.52) Notare che queste due proprietà sono identiche a quelle degli operatori (matrici) hermitiani negli spazi unitari finito dimensionali. Il discorso invece sulla completezza dei sistemi di autofunzioni di un operatore autoaggiunto in uno spazio infinito dimensionale è molto più delicato e non sarà affrontato qui: ci limitiamo a dire che tale sistema è completo per gli esempi visti qui (polinomi di Legendre in L 2 (, 1), funzioni associate di Hermite in L 2 (R), sistema trigonometrico in L 2 ( π, π)) e in molti altri, ma ciò non è sempre vero. Perché il sistema di autofunzioni di un operatore autoaggiunto sia completo è talvolta necessario includervi autofunzioni generalizzate, rappresentate da distribuzioni anziché da funzioni quadrato sommabili; daremo un esempio nel prossimo paragrafo. Vogliamo terminare questo paragrafo sottolineando l importanza delle condizioni al contorno. Per esempio l equazione i d u(x) = λu(x) (5.53) ammette la soluzione e iλx per ogni λ C; è solo la richiesta di periodicità u(π) = u( π) che seleziona i λ Z, e questa ci dà una base ortogonale in L 2 ( π, π); sull intervallo (, + ) i valori reali di λ sono selezionati dalla richiesta che u(x) sia limitata su tutto l asse reale. 136