La retta nel piano cartesiano

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1 La retta nel piano cartesiano Cominciamo con qualche esempio. I) Rette parallele agli assi cartesiani Consideriamo la retta r in figura: i punti della retta hanno sempre ordinata uguale a 3. P ( ;3) Q ( 5;3) ecc. Scrivendo y = 3 indichiamo tutti i punti che hanno ordinata uguale a 3, cioè tutti e soli i punti della retta r. Diciamo allora che y = 3 è l equazione della retta r (o associata alla retta o che descrive la retta) Quindi se diciamo di considerare la retta di equazione y = disegneremo la retta in figura. Osservazione: l asse avrà equazione y = 0 In generale quindi una retta parallela all asse avrà equazione y = k (k numero reale) nalogamente una retta parallela all asse y avrà tutti i punti con la stessa ascissa e quindi avrà un equazione del tipo = k (k numero reale). Per esempio in figura abbiamo =, = 3, = 0 (asse y). 3

2 II) Retta passante per l origine Consideriamo ora la seguente retta r passante per l origine O del sistema di riferimento. Osserviamo che (per la similitudine dei triangoli OP' P, OQ' Q, ecc ) il rapporto tra l ordinata y e l ascissa di un qualsiasi punto su r è sempre. Cioè PP' QQ' = =... = OP' OQ' y p p = In generale se y P( ; y) r (cioè se P appartiene alla retta r) si osserva che =. Ma questa relazione può anche essere scritta y = L equazione y = è quindi l equazione della retta r (descrive la relazione tra ascissa e ordinata dei suoi punti). Il coefficiente è chiamato coefficiente angolare della retta (o inclinazione o pendenza) e in generale indicato con m. Quindi in generale una retta passante per l origine ha equazione y = m dove m è un numero reale ed è detto coefficiente angolare della retta. 4

3 Esempi Proviamo a disegnare alcune rette conoscendo la loro equazione. a) y = 3 Potremo fare una tabella, assegnando dei valori alla e determinando i corrispondenti valori della y. y C è però un metodo più veloce che utilizza la quadrettatura del foglio: partiamo dall origine O (sappiamo che la retta passa per O); per determinare un altro punto di r consideriamo il coefficiente angolare m e ricordiamo y 3 che m =.Nel nostro caso abbiamo m = 3 : possiamo pensare 3 come e quindi se ci spostiamo orizzontalmente di quadretto (=) e saliamo in verticale di 3 quadretti (y=+3) partendo dall origine troviamo un punto P di r. possiamo ripetere il procedimento partendo da P per trovare un altro punto Q e così via (l inclinazione è sempre la stessa!). In questo modo, anche senza fare la tabella, individuiamo vari punti e possiamo disegnare la retta. 5

4 b) y = 3 In questo caso il coefficiente angolare è y m = = 3 Possiamo disegnare la retta utilizzando la quadrettatura: partendo da O possiamo spostarci orizzontalmente di 3 quadretti e poi salire verticalmente di quadretti. Ripetendo il procedimento più volte troveremo vari punti senza dover fare calcoli. Nota: attenzione a non confondere lo spostamento orizzontale () con lo spostamento verticale (y). c) y = Facciamo la tabella y E se usiamo il procedimento sul piano quadrettato? In questo caso m = = quindi, partendo da O, ci spostiamo a destra di () e scendiamo verticalmente di poiché y =. Esercizi Disegna le seguenti rette: a) = 5; y = 3 b) y = 4 ; y = 4 c) y = ; y = d) 3 3 y = ; y = 5 5 e) 5 4 y = ; y = 4 5 6

5 Osservazioni ) Per quanto abbiamo visto l equazione y = m del sistema di riferimento. rappresenta una retta passante per l origine O Se m > 0 la retta si trova nel I e III quadrante; Se m < 0 la retta si trova nel II e IV quadrante. Inoltre è chiaro che se m è, in valore assoluto, un numero elevato, l inclinazione della retta è maggiore (rispetto all asse ). ) Osserviamo infine che l asse y, pur essendo una retta per O, non può essere descritta da un equazione di questo tipo poiché non possiamo associargli un coefficiente angolare (l ascissa di tutti i suoi punti è 0 e non possiamo dividere per 0). 3) bbiamo visto che il coefficiente angolare m di una retta per l origine corrisponde al rapporto y se P( ; y) r. Se consideriamo due punti ( ; y ) e ( ; y ) appartenenti a r osserviamo che si ha: y y = m 7

6 III) Retta non parallela agli assi e non passante per l origine Consideriamo infine una retta r non parallela agli assi coordinati e non passante per l origine come quella in figura. Come possiamo determinare la sua equazione? Consideriamo il punto in cui la retta interseca l asse y: nel nostro caso Q (0;) Ricaviamo il coefficiente angolare considerando il triangolo in figura PHQ (poiché posso ricavare m da una coppia qualsiasi di punti di r): m = 3 L equazione della retta non sarà però y = perché la retta non passa per l origine: se tracciamo 3 y = ci accorgiamo che rispetto ad essa i punti di r hanno sempre l ordinata aumentata di. e 3 quindi l equazione di r risulta: y = + 3 In generale, se indichiamo con Q ( 0; q) il punto di intersezione della retta con l asse y, considerando un generico punto P r avremo (vedi figura): y q = m y q = m y = m + q m è il coefficiente angolare q è l ordinata del punto di intersezione di r con l asse y e viene anche detta ordinata all origine perché è l ordinata del punto di ascissa = 0. 8

7 Esempi a) Disegniamo la retta di equazione y = + (m=; q=) Partiamo da Q (0; ) : spostiamoci di e saliamo di (poiché m = = ) e così via. Naturalmente possiamo trovare anche le coordinate dei punti facendo la tabella,y ma il procedimento sul piano quadrettato è più veloce. b) Disegniamo la retta di equazione y = + (m = -; q = ) 9

8 Equazione generale della retta C è un equazione che comprende tutti i casi? Se consideriamo l equazione a + by + c = 0 dove a, b, c sono coefficienti reali, al variare del valore dei coefficienti abbiamo tutti i casi. c Se a = 0 e b 0 abbiamo rette del tipo y = e quindi parallele all asse ; b c Se a 0 e b = 0 abbiamo rette del tipo = cioè rette parallele all asse y; a a Se a 0 e b 0 ma c = 0 abbiamo y = cioè rette passanti per O (diverse dall asse ) b Se a 0, b 0 e c 0 abbiamo a c y = b b e quindi rette non passanti per l origine e non parallele agli assi. Esempio Disegna la retta di equazione y + 4 = 0 Ricaviamo la y: y = + 4 y = + Quindi m = e q =. 0

9 Rette parallele Per quello che abbiamo detto è chiaro che due rette, non parallele all asse y, sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Vediamo in figura le rette di equazione y = e y = +3. Rette perpendicolari Consideriamo una retta per l origine r di equazione y = m (per semplicità sia m > 0 ) e costruiamo il triangolo OD come in figura prendendo cioè OD = e D = m. questo punto disegniamo il triangolo OC prendendo C = e O = m (vedi figura) e tracciamo la retta s che avrà quindi equazione y =. m

10 Poiché i triangoli OD e OC sono uguali per costruzione, avranno tutti gli angoli uguali e in particolare OD = CO = α e allora essendo OC = 90 α avremo che l angolo OC = 90 cioè le rette r e s sono perpendicolari. La relazione che abbiamo trovato tra i coefficienti angolari di due rette perpendicolari passanti per l origine vale naturalmente anche per rette perpendicolari non passanti per l origine poiché quello che conta è il coefficiente angolare. Quindi possiamo dire che se una retta ha coefficiente angolare m, una retta con coefficiente angolare m' = m risulta ad essa perpendicolare (e viceversa se due rette sono perpendicolari e non parallele agli assi i loro coefficienti angolari sono uno l antireciproco dell altro). Vediamo per esempio in figura le rette perpendicolari di equazione y = e y = - +3.

11 Intersezione tra due rette Supponiamo di avere due rette non parallele, per esempio di voler trovare le coordinate del loro punto P di intersezione. y = e y = + 3 come in figura e In questo caso le coordinate si possono determinare facilmente anche osservando la figura: P (;). Ma in generale come possiamo trovarle? Poiché P r le sue coordinate devono verificare l equazione di r e poiché P s le sue coordinate devono verificare l equazione di s : quindi le coordinate ( ; y) del punto di intersezione devono verificare entrambe le equazioni cioè sono la soluzione del sistema Infatti risolvendo abbiamo: y = y = + 3 y = = + 3 y = 3 = 3 y = = In generale quindi per trovare le coordinate del punto di intersezione di due rette basterà risolvere il sistema formato dalle loro equazioni. Nota: se le rette sono parallele il sistema non avrà soluzione. 3

12 Equazione di una retta passante per un punto assegnato P ( o ; y ) ed avente un coefficiente angolare assegnato m 0 o Supponiamo di voler trovare l equazione della retta passante per P (; ) e avente coefficiente angolare m = 3. 0 Se trasliamo il sistema di riferimento portando l origine nel punto P (; ) avremo che, per un punto qualunque P ( ; y), la relazione tra le nuove coordinate ( ', y' ) e le vecchie coordinate (, y) riferite al sistema iniziale sarà ' = y' = y Ma nel nuovo sistema di riferimento sappiamo che l equazione di r è y ' = 3' e quindi, tornando a e y, otteniamo y = 3( ) 0 riferite al sistema traslato In generale, quindi, la retta passante per P ( o ; y ) con coefficiente angolare m avrà equazione 0 o y y o = m ( o ) 4

13 Equazione della retta passante per due punti assegnati Supponiamo di volere trovare l equazione della retta passante per (;3) e (6;5). Osserviamo che possiamo ricavare il coefficiente angolare della retta partendo dal triangolo y y tratteggiato in figura: m = e nel nostro esempio quindi abbiamo m =. questo punto possiamo utilizzare l equazione della retta per, per esempio, con coefficiente angolare m = : y 3 = ( ) In generale l equazione della retta passante per ; y ) e ; y ) avrà equazione: ( ( y y = y y ( ) che può essere anche scritta y y y y = ttenzione: se per ricavare m ci si affida al piano quadrettato occorre fare attenzione ai coefficienti angolari negativi. Per esempio le misure dei cateti del triangolo tratteggiato in figura sono ancora e 4 ma in questo caso è chiaro che m =. Infatti m = y y 4 = = = 5

14 rea di un triangolo Come possiamo, in generale, determinare l area di un triangolo C conoscendo le coordinate dei vertici? Consideriamo un esempio: (;) (6;6) C (8;). È chiaro che in questo caso conviene considerare C come base perché l altezza H corrisponde alla differenza tra l ordinata di e quella di (o C). Si ha cioè H = 4 e quindi rea ( C) = C H = 6 4 = Quindi è piuttosto facile determinare l area di C se un lato è parallelo ad uno degli assi (infatti in modo analogo se avessi avuto C (;7) avremmo calcolato l area rispetto alla base C parallela all asse y). Ma se C fosse C (7;3)? Possiamo in questo caso inscrivere il triangolo in un rettangolo (vedi figura) e determinare l area di C sottraendo all area del rettangolo le aree dei triangoli tratteggiati (facili da calcolare). 5 3 bbiamo in questo caso: area C = area rettangolo = 0 = 8 6

15 Ma potevamo determinare l altezza relativa ad una base? Proviamo a considerare come base: per trovare l altezza CH (vedi figura) dobbiamo prima determinare le coordinate di H. Per trovare H dobbiamo intersecare la retta per e con la retta per C perpendicolare a r. r : y = y = h C ( 7) y = 0 : y 3 = + y = = 5 H : = + 0 y = + 0 y = 5 Quindi HC = = e in conclusione, essendo = 4 ritroviamo rea ( C) = CH = 4 = 8 Questo secondo procedimento risulta quindi più laborioso del primo ma in seguito dimostreremo una formula che ci permetterà di trovare velocemente la distanza CH e allora converrà usare questo metodo per calcolare l area. Esempio Trova l area del triangolo di vertici ( ;) (5;5) C (6; ). rea ( C) =... 7

16 Fisica e rappresentazioni nel piano cartesiano a) Consideriamo un corpo (punto materiale) che si muove su una traiettoria rettilinea e supponiamo di aver rilevato la seguente tabella (t,s) t = tempo in secondi, s = posizione (rispetto ad un dato riferimento) in metri. t (s) s (m) Se rappresentiamo la tabella in un sistema di riferimento riportando i dati del tempo sull asse orizzontale e quelli delle posizioni sull asse verticale abbiamo: y I punti si trovano sulla stessa semiretta per O che ha equazione = s = s = t ( t 0) t o meglio s = t viene detta in fisica legge oraria del moto del corpo perché permette di stabilire la posizione del corpo in ogni istante. Infatti se voglio sapere la posizione del corpo all istante t = 5 (s) basta sostituire in abbiamo s = 5 = 0( m). s = t ed Osserviamo che rappresenta la velocità (costante) in m/s del corpo poiché per definizione v = s t v = = 4 = 6 3 Quindi nel grafico (t,s) la velocità del corpo corrisponde, se il moto è come in questo caso rettilineo uniforme, al coefficiente angolare presente nella legge oraria s = v t ( t 0) 8

17 b) Consideriamo adesso un corpo che si muove su una traiettoria rettilinea e per il quale abbiamo rilevato i seguenti dati t (s) s (m) Questa volta la posizione del corpo all istante iniziale t = 0 non è nell origine del sistema di riferimento ma è s ( 0) = ( m), s(0) significa posizione all istante t = 0 e si indica con s 0 (posizione iniziale). nche in questo caso abbiamo s v = costante (= m/s) t cioè si tratta di un moto rettilineo uniforme. La legge oraria sarà s = + t e rappresenta una retta con coefficiente angolare (velocità) passante per ( ;) In generale avremo s = s 0 + vt, t 0 0 ( s ). 0 = Osservazione Come caso particolare abbiamo che se il corpo è fermo, per esempio a distanza dall origine del sistema di riferimento, la legge oraria risulta s =. ( v = 0) Esercizi Disegna il grafico corrispondente alle seguenti leggi orarie ed indica s 0 e v : a) s = 3t b) s = t c) s = + t 9

18 Esercizi. Determina l equazione della retta s per (;3) parallela alla retta r : y =. Indica con l intersezione di s con l asse y. Tracciata la retta per parallela all asse y e detta C la sua intersezione con r, indica come risulta il quadrilatero OC e determinane perimetro e area. [ s : y = + ; (0;); C(; ) ; parallelogramma; p = 4 + 5; = 4 ]. Considera i punti ( ;3 ) e (;6). a) Determina l equazione della retta per e ; b) considera il quadrato avente lato e centro (;3). Quali sono le coordinate degli altri due vertici C e D? Determina perimetro e area di CD. [ r : y = + 4; C(5;3) D(;0); p = ; = 8] 3. Considera i punti (0;3), (3;5), C (5;). a) Determina le equazioni delle rette r, r C, r C b) Verificare che C è un triangolo rettangolo isoscele c) Determina perimetro e area di C. [ r : y = + 3; rc : 3 + y 9 = 0, rc : y = + 3; p = 3 + 6; = ] 4. Considera il triangolo di vertici (5; ), ( 3;5) e C ( 0; 4). Determina le coordinate del circocentro K del triangolo (ricorda che il circocentro è il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo). [ K (0; ) ] 5. Considera il triangolo dell esercizio precedente. Determina le coordinate dell ortocentro H del triangolo (ricorda che l ortocentro è il punto di intersezione delle altezze del triangolo). [ H (;0) ] 30

19 6. Considera il triangolo dell esercizio precedente. Determina le coordinate del baricentro G del triangolo (ricorda che il baricentro è l intersezione delle mediane ma che avevamo già determinato anche una formula per determinare le sue coordinate). Verificare che circocentro K, ortocentro H e baricentro G sono allineati. Su quale retta si trovano? [ G ( ; ), H, K, G r : y = + ] Considera il triangolo di vertici ( ;), (;5), C (3;0). Determina l equazione dell altezza hc uscente da C e detto H il suo punto di intersezione con il lato, determina l area del triangolo C considerando il lato come base. Confronta il risultato con quello che avresti ottenuto usando il metodo elementare di considerare il rettangolo all interno del quale si trova il triangolo. [ rea ( C) = 9] 8. Considera i punti ( ; ), (;4 ), C (3;). Determina circocentro K, ortocentro H e baricentro G del triangolo C e verifica che sono allineati. 3 7 [ K ; ; H (;4); G ; ] Considera i punti ( 5; ), ( 0;6), C( 3; 3). Determina le coordinate dell ortocentro H. [ H ( ;) ] 0. Considera le rette r : + y + 5 = 0, s : y =, t : y + 9 = 0. Determina le intersezioni delle rette indicandole con,,c. [ ( 3; 4), ( 7; ), C( ;4 ) ] 3