Enrico Borghi DESCRIZIONI CLASSICHE DEI FENOMENI ELETTROMAGNETICI

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1 Enrico Borghi DESCRIZIONI CLASSICHE DEI FENOMENI ELETTROMAGNETICI La materia ordinaria contiene, fra altre, particelle di due tipi, elettroni e protoni, che interagiscono scambiando fra loro particelle note col nome di fotoni. In condizioni normali la materia è in equilibrio, cioè non si evidenziano in essa conseguenze meccaniche macroscopiche dovute alla presenza dei due tipi di particelle e dei fotoni mediatori dell interazione fra esse. Tuttavia, data una distribuzione di materia, è possibile, mediante un opportuno impiego di energia/lavoro, squilibrare il suo contenuto elettronico spostando elettroni da punti della distribuzione ad altri punti. Lo squilibrio crea forze elettromagnetiche. Come descriverle? Sono disponibili due modi presentati approfonditamente nella Prima Parte dello studio Reinterpretare l Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica. Ecco una breve sintesi riepilogativa dei risultati forniti dallo studio: Descrizione carica/campo (effective theory) f L = ρ l E + ı l B = ρ l (E + U c B) E = 4π(ρ l p) E + 1 c = 0 B 1 E c = 4π( ı l + 1 c p = χ E E ; m = χ M B p + m) ; Descrizione fotoni/vuoto f EM = T p e ( T = 1 4π E D + H B 1 2δ(E D + H B)) ( D)E + ( H 1 c E + 1 c = 0 p e = D B D) B = 4πfEM D = εe ; B = µh ε = 1 + 4πχ E ; µ = 1 + 4πχ M w e = 1 8π (E D + H B) ; S w e + S e = 0 e = ce H 4π

2 dove: E, B, D, H = campi vettoriali; f L = densità di forza di Lorentz agente su un corpuscolo di prova dotato di piccola carica; f EM = densità di forza e.m. agente su un corpuscolo di prova in stato di squilibrio elettronico; ρ l = densità volumica di carica elettrica (libera); ı l = densità volumica di corrente elettrica (libera); p = intensità di polarizzazione elettrica; m = intensità di magnetizzazione; χ E = suscettività elettrica; χ M = suscettività magnetica; p = densità di carica elettrica (vincolata) di polarizzazione; p = densità di corrente elettrica (vincolata) di polarizzazione; m = densità di corrente elettrica (vincolata) di magnetizzazione; T = tensore di Maxwell; p e = densità di quantità di moto e.m.; ε = costante dielettrica; µ = permeabilità magnetica; S e = densità di flusso di potenza e.m. (vettore di Poynting); w e = densità di energia e.m. Si noti che con p e = D B = εe µh = E H 4π c = ce H 4π c2 = ce H 4π( c ) = 2 S e ( c ) 2 c = velocità di propagazione di una perturbazione e.m. nel vuoto; c/ = velocità di propagazione di una perturbazione e.m. in un mezzo caratterizzato da costante dielettrica ε e permeabilità magnetica µ. In entrambe le descrizioni il campo elettromagnetico è un oggetto matematico. La descrizione basata sui concetti di carica/campo è una effective theory, ovvero è un programma di calcolo che ha come unico scopo il calcolo della forza e.m. agente su una piccola carica di prova. In questa descrizione l interazione elettromagnetica è del tipo noto come azione a distanza cioè avviene senza la mediazione dei fotoni e con modalità che la descrizione, nella sua qualità di effective theory, non è interessata a precisare. La carica elettrica non possiede la proprietà di emettere/ricevere fotoni; essa deve essere intesa come un oggetto matematico, collegabile con l ampiezza di probabilità che un elettrone/protone emetta o riceva fotoni (v. ad esempio il cap. 3 di: R. Feynman, QED - La strana teoria della luce e della materia, Adelphi Edizioni), utile per quantificare l intensità dell interazione elettromagnetica. Data una distribuzione di materia caratterizzata da p, m e di carica/corrente, le equazioni di Maxwell consentono di determinare i campi E e B che compaiono nell espressione di f L. 2

3 Le equazioni di Maxwell possono essere presentate anche così: (E + 4πp) = 4πρ l E + 1 c (B 4πm) 1 c E. Borghi -Descrizioni classiche dei fenomeni e.m. = 0 (E + 4πp) = 4πı l ovvero, avendo introdotto D = E + 4πp e H = B 4πm D = 4πρ l E + 1 c H 1 c = 0 D = 4πıl (1) D = E + 4πp = E + 4πχ E E = (1 + 4πχ E )E = εe Le sorgenti di D sono le cariche elettriche libere; le sorgenti di E sono le cariche elettriche libere e/o vincolate. Nel vuoto è ovviamente D = E. H = B 4πm = B 4πχ M H ; B = (1 + 4πχ M )H = µh Notiamo che si assume m = χ M H per ragioni storiche legate all idea che le sorgenti del campo H siano le cariche magnetiche (m = χ M H è simile alla p = χ E E nella quale compare E che ha come sorgenti le cariche elettriche) e non i dipoli magnetici, come correntemente si ritiene. Nel vuoto è ovviamente H = B. La descrizione basata sulla modellizzazione del sistema fotoni/vuoto si sviluppa su premesse assai diverse da quelle della descrizione carica/campo. Infatti essa si propone di tenere conto della mediazione dei fotoni, nei limiti in cui ciò è classicamente possibile, introducendo un corpo fittizio, l etere, dotato di proprietà elastiche descritte dal tensore T e tali da rendere conto della fenomenologia elettromagnetica classica. Il formalismo matematico di questa descrizione si sviluppa partendo da quello della descrizione carica/campo, presentata come nella (1), ed eliminando il concetto di carica/corrente elettrica dall espressione della forza di Lorentz. f L = ρ l E + ı l B = 1 1 ( D)E + 4π 4π ( H 1 D c ) B = f EM (2) Notiamo che viene eliminata la carica, a riprova del fatto che la carica elettrica è uno strumento matematico di comodo, ma non lo squilibrio elettronico che sta alla base di ogni manifestazione della forza elettromagnetica. 3

4 Notiamo anche che, una volta che la causa delle interazioni e.m. viene trasferita dai corpi elettricamente carichi (considerati nella descrizione carica/campo) al mezzo in tensione (considerato nella descrizione fotoni/vuoto), i corpi in cui è presente lo squilibrio elettronico sono soggetti allo stato di tensione del mezzo ma vengono considerati oggetti elettromagneticamente inattivi. I campi E,B che consentono di definire T e p e si ottengono da ( εe)e + ( B µ 1 εe c ) B = 4πf EM E + 1 c = 0 che è un sistema di 6 equazioni indipendenti (tre con termine noto f EM, due nel rotore di E, due solamente perché vale la condizione E + 1 B c = 0 e la divergenza di un rotore è identicamente nulla, e una nella divergenza di B) nelle 6 incognite E,B. Notiamo anche che in questa descrizione la f EM è funzione della derivata temporale della quantità di moto del mezzo, che è nulla in condizioni statiche, mentre nessuna differenza fra condizioni statiche e dinamiche compare nella f L, che rimane invariata in forma, a riprova del carattere di effective theory della relativa descrizione. Leggi di conservazione dell energia meccanica ed elettromagnetica di una distribuzione di materia e di carica elettrica in un campo di velocità U in presenza di un campo elettromagnetico. Descrizione carica/campo con w m = S m + ce ı (3) w m = 1 2 ρ mu 2 +w d ; densità di energia meccanica (energia cinetica + energia potenziale di deformazione elastica) della distribuzione di materia; ρ m = densità di massa; w d = 1 2 σ : e; σ = tensore degli sforzi meccanici; e = tensore di deformazione elastica; S m = σ U; densità di flusso di potenza meccanica. Con riferimento a un volume circondato da una superficie σ si ha, applicando il Teorema di Gauss: w m d = S m n (est) dσ + c E ıd (4) σ Questa è la legge di conservazione dell energia di una distribuzione di materia in un campo di velocità U, avente densità di massa ρ m, in stato di tensione meccanica descritta dal campo tensoriale σ, immersa in un campo elettromagnetico E,B e dotata di carica elettrica avente densità ρ. 4

5 Descrizione fotoni/vuoto (w m + w e ) + (S m + S e ) = 0 (5) Con riferimento a un volume circondato da una superficie σ con normale rivolta verso l interno si ha, applicando il Teorema di Gauss: (w m + w e ) d + (S m + S e ) n (est) dσ = 0 (6) σ Questa equazione mostra che ciò che si conserva nel volume è la somma dell energia meccanica della distribuzione di materia e dell energia elettromagnetica contenuta in, a patto che non vi sia flusso di potenza meccanica o potenza e.m. in entrata o uscita attraverso la superficie σ di. Possiamo così affermare che questa è la legge di conservazione dell energia meccanica ed elettromagnetica di una distribuzione di materia in un campo di velocità U, avente densità di massa ρ m, in stato di tensione meccanica descritta dal campo tensoriale σ e immersa in uno spazio in stato di energizzazione elettromagnetica descritta dal campo scalare w e. Quello che nella (6) vi è di diverso dalla (4) è la descrizione del sistema elettromagnetico al quale la (6) si deve considerare riferita. Abbiamo ancora in un volume circondato dalla superficie σ una distribuzione di materia in un campo di velocità U, ma non si tratta di materia elettricamente carica perché in essa non sono presenti né cariche né correnti elettriche. Lo stato di elettrizzazione di questo sistema fisico è connesso non con la presenza di cariche e correnti elettriche, ma con la presenza di energia e.m. avente densità w e e di flusso di potenza e.m. avente densità S e nello spazio in cui la materia è immersa. Sostituendo la (3) nella (5) si ottiene il teorema di Poynting: w e + S e = ce ı che mostra quindi di essere non una legge di conservazione dell energia e.m. ma il risultato del confronto di due leggi di conservazione dell energia che sono equivalenti. 5