La crescita (2) approfondimenti. R.Capolupo appunti macro2 (grafici dal DeLong)

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1 La crescia (2) approfondimeni R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 1

2 Crescia di K/L Indicheremo con g (k ) il asso di crescia di K/L: ( K / L ) ( K g( k ) = ( K / L ) Essendo K/L un quoziene il asso di crescia sarà dao dal asso di crescia del capiale il asso di crescia della forza lavoro / L ) R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 2

3 Algebricamene: Tasso di crescia del capiale: g( K K )= +1 K K Poiché sappiamo che : K +1 = K +sy -δk, sosiuendo nella prima si ha: K + sy ( δk ) K K = sy K δ R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 3

4 Quindi il asso di crescia del capiale per addeo, dividendo per Y e soraendo il asso di crescia della forza lavoro è: g ( k ) = K s / Y n Poiché K / Y è il rapporo capiale-prodoo, possiamo denoarlo con k e riscrivere il asso di crescia del capiale come: g( k ) s = δ k n R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 4

5 Esempio Con i dai n=0,02; δ=0,04 e s=0,20 e con un rapporo capiale /prodoo = 5 il asso di crescia del capiale per lavoraore sarà, applicando la formula: s 0,20 g( k ) = n = 0,04 0,02 = 0,02 k 5 Con un rapporo K/Y pari alla meà dell esempio precedene il capiale cresce del +2% all anno (verificare con K/Y= 2,5) R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 5

6 K/L funzione di K/Y Crescia del capiale per lavoraore come funzione del rapporo capiale/prodoo. Mosreremo il asso di crescia del capiale per lavoraore, rappresenao graficamene come funzione del rapporo capiale/prodoo, per i segueni valori dei parameri: asso di crescia della forza lavoro n = 0.02, asso di deprezzameno δ = 0.04, asso di risparmio s = Più alo è il rapporo capiale/prodoo, più basso è il asso di crescia del capiale per lavoraore. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 6

7 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 7

8 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 8 Come cresce Y/L? Dalla funzione di produzione C-D: Il asso di crescia di un prodoo i cui ermini sono elevai enrambi a poenza è uguale : α α = 1 E L K L Y + = + E E E n s y g 1 ) (1 ) ( α κ α

9 Calcolo del asso di crescia del livello di produzione per lavoraore Perano se assumiamo che il asso di crescia di E sia esogeno e pari a g, il asso di crescia di Y/L riordinando i ermini è pari a : s g( y ) = g + α ( n + g + ) κ Il asso di crescia del livello di produzione per lavoraore è una media ponderaa del asso di crescia del capiale per lavoraore e del asso di crescia dell efficienza del lavoro. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 9

10 Esempio numerico Assumiamo che g=0,2; α= 0,5; n= 0,02; δ= 0,04; s= 0,3, il asso di crescia g(y) è: Sosiuendo i valori si ha: s g( y ) = g + α ( n + g + ) κ g( y 0,3 ) = 0,02 + 0,5 (0,02 + 0,02 + 0,04) κ Supponendo che K/Y =κ =3 si ha: g(y))=0,03= 3% all anno Se K/Y= κ = 6, il asso di crescia g(y)= 0,5% all anno R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 10

11 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 11 Crescia del rapporo K/Y=κ Si raa del rapporo chiave in base al quale definiremo l equilibrio di sao sazionario (seady sae) Espresso per lavoraore sarà dao da (K/L)/(Y/L). Il suo asso di crescia quindi è dao dalla differenza ra i assi di crescia delle due variabili = = δ κ α δ κ g n s g n s y g k g g ( ) ( ) ( ) ( k

12 Semplificando si oiene: g( k s = (1 α) n + g + δ k ) ( ll significao è il seguene:il asso di crescia del rapporo capiale-prodoo dipende dalla differenza ra l invesimeno effeivo (SFORZO DI INVESTIMENTO) e l invesimeno necessario (n+g+δ). Per invesimeno necessario inendiamo quello che lascia immuao il rapporo capiale per addeo. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 12

13 Tasso di crescia di K/Y = differenza ra asso di crescia di K asso di crescia di Y R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 13

14 Crescia del rapporo capiale/prodoo Sia il asso di crescia del capiale per lavoraore sia quello del livello di produzione per lavoraore sono funzioni decresceni del rapporo capiale/prodoo. Più alo è il rapporo capiale/prodoo, più lena è la crescia. Il asso di crescia del rapporo capiale/prodoo è pari alla differenza fra i due e quindi è esso sesso una funzione decrescene del rapporo capiale/prodoo. La differenza ra crescia del capiale per lavoraore e crescia del livello di produzione per lavoraore è grande e posiiva quando il rapporo capiale/prodoo è basso e negaiva quando il rapporo capiale/prodoo è alo. Quando il asso di crescia del capiale è uguale al asso di crescia del prodoo, il asso di crescia del rapporo capiale- prodoo=0 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 14

15 Sao sazionario Tasso di crescia del rapporo capiale/prodoo in funzione del livello del rapporo capiale/prodoo. Il valore del rapporo capiale/prodoo in corrispondenza del quale il suo asso di variazione è nullo è un valore di equilibrio. Se il rapporo capiale/prodoo ha quel valore di equilibrio, permarrà a queso valore indefiniamene. Se si allonana da quel valore di equilibrio, enderà a riornare verso di esso. Nel grafico il asso di crescia del rapporo capialeprodoo è uguale a zero in corrispondenza di un rapporo capiale-prodoo = 4 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 15

17 Se il rapporo K/Y >K/Y* vuol dire che K cresce più di Y. La frazione di reddio che viene risparmiaa s diminuisce e quindi anche l accumulazione di K (K dovrà decrescere fino a porarsi a K/Y* Se K/Y minore di K/Y* accade il conrario: Y cresce più di K, s aumena e aumena I e l accumulazione di capiale R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 17

18 poiché in corrispondenza di un rapporo capiale prodoo sabile il suo asso di crescia è uguale a zero se ne deduce che: Il valore di equilibrio di sao sazionario si ha quando: s g( k ) = (1 α) ( n + g + δ = k 0 Ciò si verifica quando il rapporo capiale prodoo è al suo livello di sao sazionario: ( k * = n R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal ) + s g + δ 18

19 Convergenza del rapporo capiale/prodoo verso il suo valore di sao sazionario Se il rapporo capiale/prodoo pare da un valore diverso dal suo valore di equilibrio di sao sazionario, enderà a muoversi verso il valore di equilibrio. La figura mosra i senieri percorsi nel empo dal rapporo capiale/prodoo per i valori dei parameri s = 0.28, n = 0.02, g = 0.015, δ = e α = 0.5 e per i valori iniziali 1, 3 e 6. Il rapporo capiale/prodoo di sao sazionario κ* è 4. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 19

21 Come si comporano le alre variabili nello sao sazionario? Quando il rapporo κ èal suo livello di sao sazionario allora il asso di crescia della produzione per lavoraore g(y) = g ( asso di crescia esogeno). Anche il asso di crescia dello sock di capiale per lavoraore g(k)= g Il reddio o la produzione aggregaa (non per lavoraore) crescerà al asso di crescia del capiale per lavoraore g + n (asso di crescia della popolazione). Per dimosrarlo si pare dalla funzione di produzione: Y L = K L α α E 1 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 21

22 R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 22 Riscriviamo la funzione in modo da farla dipendere dal rapporo capiale-prodoo: Dividendo enrambi i membri per (Y/L) α si oiene Ed elevando enrambi i membri a (1/1- α) si ha: α α = 1 E Y K L Y L Y α α α = 1 1 E Y K L Y E Y K L Y α α = 1

23 Sosiuiamo il valore di k di sao sazionario: Y L α s α = E 1- α E n g 1 =k * + + δ α Dalla formula si deduce che essendo k* cosane sarà rappresenao da una rea menre E che rappresena il livello correne di efficienza del lavoro sarà rappresenao dalla funzione di produzione che mee in relazione l oupu con l efficienza del lavoro. Perano un modo alernaivo per dimosrare l equilibrio di sao sazionario è dao dalla figura che segue R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 23

24 Calcolo del livello di produzione per lavoraore di sao sazionario lungo il seniero di crescia di sao sazionario. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 24

25 Implicazioni Il puno di inersezione ra le due curve rappresena il livello correne di produzione per lavoraore e ci dice che ale livello è sul seniero di crescia bilanciaa di sao sazionario. Se k* aumena la rea ruoa verso il basso e Y/L di sao sazionario aumena Il conrario accade quando per un qualsiasi moivo (riduzione di K o aumeni di Y) il rapporo K* diminuisce. La rea ruoa verso sinisra e il livello di Y/L* si riduce R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 25

26 Ancora sull equilibrio di lungo periodo Si ricordi che la condizione di equilibrio di crescia bilanciaa mee in relazione variabili quali s, n, g e δ La crescia sarà bilanciaa solo se K/Y (κ) ècosane. Quesa condizione è soddisfaa solo se : ( k * ) = s n + g + δ Se il rapporo K/Y è inferiore (superiore) a queso valore esso crescerà (diminuirà) perché l invesimeno neo sarà alo (basso) e queso farà aumenare (diminuire) lo sock di capiale R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 26

27 Il moliplicaore della crescia Se dalla formula precedene del livello di reddio per lavoraore di sao sazionario denoiamo l esponene α/(1- α) = λ, allora: Y L * =k λ E Chiameremo λ moliplicaore della crescia. Il livello di Y/L di sao sazionario è dao dal prodoo ra il rapporo K/Y di sao sazionario elevao al moliplicaore della crescia e dal livello di efficienza del lavoro * R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 27

28 Calcolo del livello di produzione per lavoraore lungo il seniero di crescia di sao sazionario I valori dei parameri sono i segueni: asso di crescia della forza lavoro n = 1% all anno; asso di crescia dell efficienza del lavoro g = 2% all anno; asso di deprezzameno δ = 3% all anno; asso di risparmio s = 37.5%; paramero indicaivo dei rendimeni decresceni del capiale α = 1/3. L efficienza del lavoro e il livello di produzione per lavoraore crescono in modo regolare lungo il seniero di crescia bilanciaa dell economia. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 28

30 Il ruolo del moliplicaore della crescia Perché κ viene elevao a λ (una poenza maggiore) anziché ad α? Perché il rapporo K/Y ha effei direi e indirei(feedback posiivi) sullo sock di capiale e quindi sulla crescia. Per uno sesso livello di prodoo l aumeno dello sock di capiale genera un incremeno della produzione, quesa a sua vola genera maggiore risparmio e quindi nuova accumulazione. Si ha cioè un processo di moliplicazione ra κ e crescia del reddio (produzione ) R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 30

31 Il moliplicaore della crescia: effeo della crescia del rapporo capiale/prodoo sul livello di produzione per lavoraore di sao sazionario. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 31

32 A quale rapidià l economia converge verso lo seady-sae? Se il rapporo κ diverge dal suo valore di sao sazionario κ *, si può approssimare, se lo scaro è piccolo, il asso di convergenza con la seguene formula: κ - κ * asso di convergenza (1-α)(n+g+δ) Se conosciamo il valore dei parameri dell economia possiamo misurare il empo necessario affiché κ converga a κ * R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 32

33 esempio Se (1-α)(n+g+δ)= 0,04 il divario ra κ correne e κ * verrà colmao solo del 4% in un anno Se (1-α)(n+g+δ)= 0,07 allora verrà colmao il 7% del divario in un anno E per colmare l inero divario? Nel primo caso ci vorranno circa 18 anni per colmare meà del percorso Nel secondo caso ci vorranno solo 10 anni per colmare meà del divario Maggiore è il asso di convergenza ano più rapidamene l economia raggiungerà lo sao sazionario. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 33

34 Il processo di convergenza nella realà: Il caso della Germania Convergenza della Germania occidenale verso il suo seniero di crescia di sao sazionario. La fine della Seconda guerra mondiale lasciò l economia della Germania occidenale in uno sao disasroso. Tuavia in 12 anni la Germania occidenale aveva colmao la meà dello scaro per ornare sul suo seniero di crescia di sao sazionario e nel giro di 30 anni aveva colmao l inero scaro. Gli economisi sudiano i senieri di crescia di equilibrio di sao sazionario per queso moivo: le economie convergono effeivamene verso di essi e poi vi permangono. Si veda la figura successiva R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 34

36 Effei di n sulla crescia Più alo è il asso di crescia della forza lavoro n, più basso sarà κ * Ciò perché occorre, per ogni lavoraore aggiunivo, arezzare i nuovi lavoraori con uno sock di capiale pari a quello già posseduo dagli alri lavoraori affinché possano avere la sessa produivià Minore perano sarà l ammonare di invesimeni che può essere desinao ad accrescere i nuovi invesimeni o il rapporo medio κ R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 36

37 esempio Consideriamo un economia descria da: α =1/2 così che il moliplicaore della crescia è λ= 1; g=1,5; δ=3,5; s= 21% e supponiamo che n = 1% cresca al 2%. Il rapporo k* sarà: K* vecchio = s/(n vecchio +g+δ) = 0,21/0,06= 3,5 K* nuovo = s/(n nuovo +g+δ) = 0,21/0,07= 3 Calcoliamo ora Y/L di sao sazionario prima e dopo (Y/L)* vecchio = (k*) λ x E = 3,5 1 x E (Y/L)* nuovo = (k*) λ x E = 3 1 x E Dividendo la seconda per la prima si ha: (Y/L)* nuovo / (Y/L)* vecchio = 3,0 x1,5/3,5x1,5= 0,857 La crescia della forza lavoro dell 1% ha ridoo la produzione per lavoraore che ora è pari all 86% del precedene livello di ss R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 37

38 Una misura degli effei della crescia della FL? Il Paese medio con un asso di crescia della forza lavoro minore dell 1% all anno ha un livello di produzione per lavoraore pari a quasi il 60% di quello degli Sai Unii. Il Paese medio con un asso di crescia della forza lavoro maggiore del 3% all anno ha un livello di produzione per lavoraore pari a solano il 20% di quello degli Sai Unii. Ma i Paesi sono poveri non perché hanno elevai assi di crescia della forza lavoro: in una qualche misura hanno elevai assi di crescia della forza lavoro perché sono poveri. Ciononosane, gli elevai assi di crescia della forza lavoro sono una poene causa di poverà relaiva nel mondo odierno. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 38

39 Gli effei di δ sulla crescia della produivià Un aumeno (riduzione) di δ esercierà su κ e sul asso di crescia di Y/L gli sessi effei di un aumeno (riduzione) de asso di crescia della FL Dalla formula di κ si noa che maggiore è δ minore sarà κ *. Il moivo è che il capiale si usura molo velocemene o divena obsoleo e deve essere ricosiuio con celerià. Quando δ l ammonare di invesimeni desinaa sosiuire il capiale usurao aumena e minore l ammonare di invesimeno neo desinao ad aumenarel inensià capialisica R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 39

40 Gli effei di g sulla crescia della produivià Un incremeno di g ha gli sessi effei di n e δ su κ : riduce il rapporo capiale-prodoo di sao sazionario Effei posiivi sul asso di crescia e sul livello di Y/L. Infai: Y/L*= κ * λ x E Benché un di g faccia diminuire κ *, esso fa aumenare l efficienza del lavoro E e quindi nel lungo periodo fa aumenare Y/L lungo il seniero di seady sae R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 40

41 Gli effei di s Maggiore è l ammonare di risparmio maggiore è κ * e maggiore è il livello di K/L e di Y/L di sao sazionario Si ricordi che κ * è definio da quella siuazione in cui l invesimeno necessario è uguale allo sforzo di invesimeno. Lo sforzo di invesimeno è s ossia la quanià di risparmio e di invesimeno più alo s maggiore dovrà essere l invesimeno necessario (= n+δ+g)k. Se s raddoppia, κ * raddoppia anch esso. Si ricordi che nk* rappresena la quoa di invesimeno necessaria ad arezzare i nuovi lavoraori, δk* è la quoa di invesimeno necessaria a sosiuire il capiale usurao e gk* è l ammonare di invesimeno necessario a far sì che il capiale a disposizione dei lavoraori aumeni allo sesso asso in cui aumena l efficienza del lavoro. R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 41

42 Perché alcuni paesi sono più ricchi di alri? Ciò non è dovuo esclusivamene al livello del rapporo k* e all ammonare dello sforzo di invesimeno : alcuni Paesi sono poveri non solano perché invesono poco; in una qualche misura invesono poco perché sono poveri. L evidenza empirica dimosra che il asso di risparmio e di invesimeno rende più ricche le economie non solano nei modelli degli economisi ma anche nella realà? Sì, l evidenza dimosra che la causa della poverà è da ricercare in gran pare negli scarsi invesimeni. Ali assi di risparmio e di invesimeno sono una causa molo poene di crescia delle economie R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 42

44 esempio L economia è descria da:α = ½ ; λ= 1, n= 1%;, g= 1,5; δ= 0,35. s passa dal 18 % al 24% K* vecchio = s vecchio /(n+g+δ) = 0,18/0,06= 3 K* nuovo = s nuovo /(n+g+δ) = 0,24/0,06= 4 Calcoliamo ora Y/L di sao sazionario prima e dopo (Y/L)* vecchio = (k*) λ x E = 3 1 x E (Y/L)* nuovo = (k*) λ x E = 4 1 x E Dividendo la seconda per la prima si ha: (Y/L)* nuovo / (Y/L)* vecchio =4,0 x1,5/3x1,5= 1,333 Il reddio per lavoraore è il 33% più elevao rispeo al vecchio seniero di crescia bilanciaa R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 44

45 Cenni alla crescia endogena Il modello di Solow è ceramene uile per sudiare la crescia ma il suo principale difeo è quello di non fornire alcuna spiegazione sui migliorameni ecnologici che essendo assuni esogeni resano non spiegai dal modello. L'assuno fondamenale che disingue i modelli di crescia endogena da quello di Solow è che i faori accumulabili (o riproducibili) non obbediscono alla legge dei rendimeni marginali decresceni ma possono essere caraerizzai da rendimeni cosani (o addiriura cresceni). Soo quali condizioni la MPK non diminuisce? Vi sono diversi casi che possono giusificare una MPK cosane. Se, per esempio, durane il processo di accumulazione del capiale gli ageni divenano più abili e scoprono meodi o processi per aumenare la produivià i benefici dell'accumulazione di capiale possono essere molo superiori per la socieà nel suo complesso (anche se i rendimeni sono decresceni a livello di singola impresa). Si creano cioè delle esernalià posiive che sono asseni nel modello di Solow. Diverse ipologie esernalià sono sae considerae nei diversi modelli di crescia endogena. Noi preseneremo il modello più semplice di crescia endogena (senza esernalià) dal puno di visa didaico conosciuo come modello AK. In ale modello i rendimeni di scala del solo faore accumulabile, il capiale, sono cosani R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 45

46 Modello AK con l'assunzione aggiuniva che α=1 si ha: Y = AK L α 1 α dove la PMK =A Y = AK Ricordando l'equazione dinamica del capiale ed esprimendo uo in ermini procapie (leere minuscole es. k=k/l) abbiamo: Δ k = sf ( k) δk = sak δk e il asso di crescia (dividendo per k) è: k& k = sa δ R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 46

47 Ragioni di A cosane Rendimeni di scala cresceni. Se la funzione è Y=AK α L β e α =1 per cui α+β>1 Esernalià nella produzione Learning by doing (aumeni di produivià araverso processi di apprendimeno e piccole innovazioni incremenali dovue agli sessi lavoraori la considerazione di un nuovo faore produivo riproducibile: il capiale umano R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 47

48 Sineizzando: Se si raddoppia s, raddoppia il rapporo κ (dai i valori degli alri parameri) e il livello del reddio per lavoraore aumena di 2 elevao al moliplicaore della crescia (α/1- α) Un aumeno di n abbassa il rapporo κ perché aumena l invesimeno necessario nell economia (daa la formula del rapporo) Lo sesso accade per il asso di deprezzameno: abbassa κ e anche il livello del reddio per lavoraore Lo sesso dovrebbe valere per g. L invesimeno necessario aumena e quindi κ diminuisce. Tuavia l aumeno di g innalza il seniero di crescia di sao sazionario araverso sposameni della funzione di produzione (paramero E e l effeo finale sarà posiivo). R.Capolupo appuni macro2 (grafici dal 48