Appunti di Analisi matematica

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1 pputi di alisi matematica Laurea magistrale LMSSF Rimii 2 settembre 204 Idice Numeri reali 2. Massimo, miimo estremo superiore e iferiore Successioi e serie di umeri reali 4 2. Succesioi umeriche Sottosuccessioi e Teorema di Bolzao Weierstrass Esercizi per casa Successioi di Cauchy Serie umeriche Esercizi per casa Lo spazio R d 3 3. Prodotto scalare, orma e loro proprietà Successioi covergeti i R d Topologia elemetare di R d Fuzioi Esercizi per casa Successioi di fuzioi covergeti putualmete e uiformemete Elemeti di teoria della misura 2 4. Fuzioi iiettive/suriettive/biiettive Isiemi umerabili Misure su σ-algebre Esercizi per casa Scatole e misura estera di Lebesgue i R d Isiemi misurabili secodo Lebesgue i R d Fuzioi misurabili e itegrale Misurabilità e passaggi al limite Teoremi di riduzioe Covergeza i media e i misura Esercizi di riepilogo co soluzioi Soluzioi Esercizi tratti da prove scritte receti 45 Riferimeti bibliografici [L] [SB] [R] J. Lebl, Basic alysis: Itroductio to Real alysis, reperibile liberamete, assieme ad altro materiale, al lik C. P. Simo, L. E. Blume, Matematica 2, per l Ecoomia e la Scieze sociali, Uiversità Boccoi Editore. Reperibile i biblioteca. W.. Rudi, Real ad complex aalysis. Third editio. McGraw-Hill Book Co., New York, 987. Reperibile i biblioteca

2 Il libro [L] cotiee materiale ed esercizi su successioi e serie. Il testo [SB] cotiee ella parte iiziale ua discussioe su isiemi aperti, chiusi e fuzioi cotiue i più variabili. Il libro [R] tratta la teoria della misura.. Numeri reali Richiamiamo le otazioi per i umeri aturali () N := {, 2, 3,... }, per i umeri iteri e per i umeri razioali Z := {0,,, 2, 2, 3, 3,... } { p } Q := q : p, q Z Ogi umero x = p q Q si può scrivere come allieameto decimale umero co la virgola limitato o illimitato periodico. Esempi di umeri razioali soo 3 4 = 0.75 oppure 3 = 0.3 oppure = 3.2. Ci soo però umeri che o soo razioali. Essi soo allieameti decimali illimitati o periodici. d esempio, si può dimostrare che 2 / Q, π = / Q. L isieme costituito dai umeri decimali di qualsiasi tipo (limitati o illimitati) è l isieme dei umeri reali R = {a 0, a a 2 a 3 : a 0 Z e a k {0,,..., 9} se k }. bbiamo l iclusioe (stretta) Q R. 2 Nell isieme dei umeri reali, cosideriamo la relazioe di disuguagliaza, co le cosuete proprietà. I particolare, ricordiamo che tra due qualsiasi umeri reali x e y vale esattamete ua delle segueti tre proprietà: x < y, x = y o x > y. Ua cosegueza di tale fatto è la seguete proposizioe Proposizioe.. Siao a, b R. Se vale a b + ε per ogi ε > 0, allora è a b. Dimostrazioe. ssumiamo per assurdo a > b. Nell ipotesi a b + ε per ogi ε > 0 scegliamo ε = (a b)/2. Questo produce a b + a b 2, che implica a b. Quidi abbiamo ua cotraddizioe... Massimo, miimo estremo superiore e iferiore Defiizioe.2 (massimo e miimo). Sia R è u isieme di umeri reali. U umero b R si dice massimo di se b b a per ogi a. I tal caso si scrive b = max. U umero b R si dice miimo di se 2 Uo studio dettagliato del sistema dei umeri reali è fuori dallo scopo di questo corso. d esempio: qual è il sigificato cocreto di u allieamete decimale a 0, a a 2...? Se x = a 0.a a 2... e y = b 0.b b 2..., che cos è xy? 2

3 b b a per ogi a. I tal caso si scrive b = mi. Osserviamo subito che, se esistoo, max e mi soo uici. Esempio.3. = [0, [ ha miimo 0, ma o esiste max. L isieme B = ], 2] o ha miimo. Defiizioe.4 (maggiorati e miorati di u isieme di umeri reali). U umero b R si dice maggiorate di R se risulta b a per ogi a. U umero b R si dice miorate di R se risulta b a per ogi a. d esempio, 3 è u maggiorate di [0, [. Etrambi i umeri 2 e 0 soo miorati dello stesso isieme [0, [. Ifie, [0, +[ o ha maggiorati. Defiizioe.5 (isieme superiormete/iferiormete limitato). U isieme R si dice superiormete limitato se ammette maggiorati. Si dice ifermete limitato se ammette miorati. Ifie diciamo che R è limitato se è sia superiormete che iferiormete limitato. d esempio, N è iferiormete ma o superiormete limitato. Defiizioe.6 (estremo superiore/iferiore). Sia R superiormete limitato. L estremo superiore di è il più piccolo di tutti i maggiorati di. Esso si idica co il simbolo sup : sup := mi{maggiorati di }. Se è iferiormete imitato, allora l estremo iferiore di è il più grade di tutti i miorati di. Esso si idica co il simbolo if : if := max{miorati di }. Se R o è superiormete limitato, allora si scrive/dice che sup = +. Se ifie R o è iferiormete limitato, allora si scrive/dice che risp. if =. I altre parole, u umero λ R è estremo superiore di se valgoo: λ è u maggiorate di. λ µ per ogi µ maggiorate di. Osservazioe.7. Osserviamo che: u isieme può o avere estremo superiore/iferiore (ad esempio = [0, +[ o ha estremo superiore perché o ha maggiorati). I tal caso si dice che sup = +. Se l estremo superiore sup esiste, allora esso è uico. Lo stesso vale per if Se b = max, allora b = sup. Il vicecersa o è vero. alizzare ad esempio l isieme = [0, [. Esempio.8. Se = {/ : m N}, allora max = sup =, metre if = 0. L isieme o ha miimo. Proposizioe.9 (Proprietà di approssimazioe). Sia R, co sup R. llora, per ogi ε > 0 esiste a ε tale che a ε > sup ε. Se ivece o è superiormete limitato (sup = +), allora per ogi λ R esiste a λ tale che a λ > λ. 3

4 Scambiado if e sup, si trova l affermazioe equivalete: se if R, allora per ogi ε > 0 esiste a ε < if + ε. Ifie, se if =, possiamo trovare per ogi λ R u umero a λ co a λ < λ. Proprietà di completezza di R. Ogi isieme R superiormete limitato ammette estremo superiore. 3 Osservazioe.0. Sato R, superiormete limitato. Poiamo = { a : a }. È facile verificare che sup( ) = if (farlo come esercizio). Usado questo fatto, si trova l affermazioe equivalete: ogi isieme iferiormete limitato è dotato di estremo iferiore. 2. Successioi e serie di umeri reali 2.. Succesioi umeriche Ua successioe (a ) N è ua famiglia di umeri a R idicizzata da u parametro N. Defiizioe 2. (successioe covergete). Sia (a ) N ua successioe di umeri reali. La successioe si dice covergete se esiste λ R co la seguete proprietà: per ogi ε > 0 esiste ε N tale che a λ < ε per ogi > ε. I tal caso si scrive lim a = λ. Defiizioe 2.2 (successioe divergete). Ua successioe (a ) N si dice divergete a + se per ogi M > 0 esiste ε M > 0 tale che I tal caso si scrive lim a = +. a > M per ogi > M. Co ovvie modifiche si defiisce ua successioe divergete a. Può ifie aavveire che ua successioe o sia é covergete, é divergete. Esempio 2.3. Discussioe degli evetuali limiti delle successioi di termii a defiiti sotto: a =, a = ( ), a = 2. Osservazioe 2.4 (Calcolo dei limiti tramite passaggio al cotiuo). Sia (a ) ua successioe e sia f : [, +[ R ua fuzioe che soddisfa f () = a per ogi N. llora, se lim x + f (x) = λ, risulta ache lim + a = λ. I segueti fatti sull algebra dei limiti soo del tutto aaloghi a quelli studiati ei corsi elemetari: Proposizioe 2.5. Se a λ e b µ, co λ, µ R, allora: a + b λ + µ; a b λµ; a /b λ/µ, purché µ = Si può dimostrare che la proprietà di completezza è falsa i Q. d esempio, l isieme = {x Q : x 2 < 2} o ammette estremo superiore λ Q, pur essedo superiormete limitato. 4 Osserviamo che se b µ = 0, allora b = 0 per sufficietemete grade. Quidi a /b è be defiita, almeo per grade. 4

5 Nel caso i cui λ o µ assumao valori ±, si usao le cosuete regole sull algebra dei limiti. Ifie, le forme, 0 o, e soo forme idetermiate. Proposizioe 2.6 (uicità del limite). Se a L R e a M R, allora L = M. Dimostrazioe. ssumiamo per assurdo che a L e a M, suppoedo che L < M. pplicado la defiizioe di limite co ε = M L /4, troviamo che esiste N tale che Ioltre esiste tale che L M L 4 < a ( ) < L + M L 4. M M L 4 ( ) < a < M + M L 4. Uedo le disuguagliaze ( ) e ( ) troviamo che per ogi più grade di etrambi e vale M M L < a < L + M L. M L M L Ciò è i cotraddizioe co il fatto che stiamo assumedo M L > 0. Teorema 2.7 (Teorema del cofroto (o dei due carabiieri)). Siao (a ), (b ) e (x ) successioi i R. Se a x b per ogi e se a e b hao lo stesso limite L, allora ache x L. Dimostrazioe. Usiamo la defiizioe di limite: poiché a L, abbiamo che per ogi ε > 0 esiste ε tale che L ε < a < L + ε per ogi > ε. Ioltre esiste ñ ε tale che L ε < b < L + ε per ogi > ñ ε. Quidi, se max{ ε, ñ ε }, risulta Ciò dimostra che x L, come richiesto. L ε < a x b < L + ε. Usado il Teorema appea provato e la proprietà di approssimazioe, si può provare che esistoo successioi approssimati per l estremo superiore e iferiore. Corollario 2.8. Se R. llora esiste (x ) successioe i tale che x sup e esiste (y ) successioe i tale che y if. Dimostrazioe. Proviamo l esisteza di (x ) el caso sup <. Se sup = max, allora basta scegliere x = max, la successioe costate. Se l isieme o ha massimo, usiamo la proprietà di approssimazioe scegliedo ε =. Quidi, per ogi N esiste x che soddisfa x > sup. La successioe cosí costuita soddisfa sup x sup. Quidi per il Teorema del cofroto, x sup. Defiizioe 2.9 (successioe mootoa). Ua successioe (a ) N si dice mootoa crescete se (4) a a + per ogi N. Ua successioe (a ) N si dice mootoa decrescete se a a + per ogi N. Esercizio 2.0. Verificare che a = + è mootoa decrescete usado la defiizioe. Per sapere se ua successioe ha limite, si usa a volte i seguete teorema, che è ua cosegueza della proprietà di completezza di R. 5

6 Teorema 2. (limiti di successioi mootoe). Se ua successioe è mootoa, allora essa ammette limite lim a. Dimostrazioe. Studiamo il caso i cui (a ) è mootoa crescete. Idichiamo co := {a : N} R l isieme dei valori assuti dai termii della successioe. Dividiamo la prova i due casi. Caso. La successioe è limitata superiormete. I tal caso l isieme ammette estremo superiore. Proviamo che lim a esiste e che precisamete vale lim a = sup. Usiamo la proprietà di approssimazioe. Pereso ε > 0, esiste a tale che a > sup ε. Tale a è u elemeto di e quidi ha la forma a = a ε per u opportuo ε N. Quidi vale a ε > sup ε. Quidi, poiché a è mootoa crescete, risulta a > sup ε > ε. D altra parte è sempre a sup per ogi N. Quidi la prova è coclusa. Caso B. La successioe o è limitata superiormete. I questo caso si prova che La prova è lasciata al lettore. lim a = +. Esempio 2.2. NO è vero che ua successioe che ha limite è mootoa. La successioa ( ) a 0 ma o è mootoa. tede 2.2. Sottosuccessioi e Teorema di Bolzao Weierstrass. Defiizioe 2.3. Ua successioe (a ) N si dice limitata se esiste u umero M 0 tale che M a M per ogi N. Esercizio 2.4. Verificare che la successioe a = + ( ) è limitata. È utile cosiderare le sottosuccessioi di ua successioe (a ) N. Per costruire ua sottosouccessioe, scegliamo ua famiglia mootoa crescete strettamete di idici e cosideriamo la uova successioe (a k ) N. k < k 2 < < k < Esempio 2.5. Se a = ( ), allora a 2 = e a 2 =. Teorema 2.6 (Teorema di Bolzao Weierstrass). Se (x ) N è ua successioe limitata i R. llora esiste λ R ed esiste ua sottosuccessioe (a k ) covergete a λ. Osserviamo che l ipotesi di limitatezze è idispesabile. d esempio, la successioe a = 2 tede a + e ogi sua sottosuccessioe tede a +. Quidi essa o ammette sottosuccessioi covegeti. Il Teorema di Bolzao Weiestrass è ua cosegueza immediata del seguete fatto. Teorema 2.7. Ogi successioe (a ) di mumeri reali ammette ua sottosuccessioe mootoa. 6

7 Dimostrazioe. Sia (a ) ua successioe. Itroduciamo la seguete termiologia. U umero k N si dice picco di (a ) se a k > a j per ogi j > k. Chiamiamo P N l isieme dei picchi. Caso. L isieme P ha ifiiti elemeti. llora, se elechiamo i ordie crescete i picchi, k < k 2 <, la sucessioe (a k ) N è mootoa decrescete strettamete. Caso 2. L isieme P è vuoto o ha u umero fiito di elemeti. I tal caso, scegliamo u umero k N che sia piú grade strettamete di tutti i picchi. Poicé k o è u picco, esisterà k 2 > k tale che a k a k2. Ma emmeo k 2 è u picco. Quidi esiste k 3 > k 2 tale che a k2 a k3. Proseguedo i questo modo si costruisce ua successioe mootoa crescete (a k ) N. La dimostrazioe è coclusa Dimostrazioe del Teorema di Bolzao Weierstrass. Sia (a ) limitata. Per il teorema appea provato, esiste (a k ) N sottosuccessioe mootoa. Tale successioe è covergete i quato mootoa. Ioltre il suo limite è u umero reale (perche (a k ) è limitata) Esercizi per casa. Verificare che se lim a = λ R, allora ogi sottosuccessioe a k coverge a λ. 2. Verificare che se ua successioe (a ) è covergete ( a a ) λ R, allora (a ) è limitata. 3. Verificare usado la defiizioe che la successioe + è mootoa decrescete. 2 N 4. Se a > 0 e b > 0 per ogi e se (a ) è crescete e (b ) è decrescete, prevare che a è b crescete. 5. Siao (a ) e (b ) due successioi. Suppoiamo che a λ R e che (b ) sia limitata. Provere che (a b ) è limitata. 6. Letta la dimostrazioe del Teorema 2.7, dire quali soo i picchi della successioe ( ) N. Quali soo i picchi della successioe a = ( )? Quali quelli ella successioe defiita come segue: se 3 a = 2 se se Sia (a ) ua successioe. Verificare che se a + e a 2, allora a +. Sia (b ) ua successioe che soddisfa b per ogi. Dimostrare che lim b 2 =. 8. Sia (a ) ua successioe limitata e sia (b ) ua successioe che teze a 0. Provare che lim + a b = Calcolare, evetualmete passado a variabile cotiua, i limiti segueti: lim b per ogi valore di b > 0 2 lim log( + ) lim lim si(/) (suggerimeto: porre + = x) lim e e 2 + e 2 lim + 2 (e / ) Osserviamo, usado l esercizio. proposto sopra, che ua successioe che amette due sottosuccessioi covergeti a limiti differeti o ha limite. d esempio, la successioe (( ) ) ha le due sottosuccessioi costati ( ) 2 = e ( ) 2 =. Quidi o ha limite. 7

8 2.4. Successioi di Cauchy Ricordiamo prelimiarmete la disuguagliaza triagolare (6) (verifica immediata passado ai quadrati). x + y x + y x, y R. Defiizioe 2.8 (successioe di Cauchy). Ua successioe (a ) N si dice di Cauchy se per ogi ε > 0 esiste ε N tale che a a m < ε per ogi, m ε. Esercizio 2.9 (svolti i classe). Verificare usado la defiizioe quale delle seguetio successioi è di Cauchy. a = a = ( ) a = a = +. Proposizioe Ua successioe di Cauchy i R è limitata. Dimostrazioe. Prediamo ε =. Esiste tale che a a k < per ogi. Quidi D altra parte a = a a + a a a + a + + a. a max{ a,..., a }. Mettedo assieme le due stime, cocludiamo che per ogi N vale Quidi (a ) è limitata dal umero M > 0. a max{ a,..., a, + a } =: M. La codizioe di Cauchy caratterizza le successioi covergeti i R. Teorema 2.2. Ua successioe (a ) di umeri reali è covergete se e solo se è di Cauchy. Dimostrazioe. Sia a λ per qualche λ R. Preso ε > 0 esiste ε tale che Ma allora a λ < ε ε. a a k = a λ + λ a k a λ + a k λ < 2ε, k ε. Questo prova che ogi successioe covergete è di Cauchy. Ora proviamo la parte più sigificativa. Sia (a ) ua successioe di Cauchy i R. Ci propoiamo di provare che esiste λ R tale che a λ per +. Per la proposizioe precedete, a è limitata. Quidi, per il Teorema di Bolzao Weierstrass, esiste λ R e esiste ua sottosuccessioe a k λ, per. Sia ora ε > 0. Sappiamo le segueti due cose: dal fatto che a k λ, otteiamo N : a k λ < ε ; ( ) dalla codizioe di Cauchy abbiamo ivece: N : a a k < ε, k. ( ) Scegliamo ora = max{, }. Uedo uedo ( ) e ( ) troviamo, pr ogi, Questo prova che a λ. a λ a a k + a k λ < 2ε, 8

9 2.5. Serie umeriche Defiizioe 2.22 (serie umerica). Prediamo ua successioe (a ) i R e cosideriamo la successioe (7) (s ) N defiita per ogi come segue: s := a k k= La coppia di successioi ((a ) N, (s ) N ) si chiama serie umerica di termie geerale a. e viee spesso idicata co il simbolo a. Defiizioe 2.23 (serie covergete/divergete/oscillate). La serie di termie geerale a si dice covergete se esiste fiito il limite lim S = lim Si dice divergete a + ifiito se il limite è + e divergete a se s. Se ifie il limite lim s o esiste, la serie si dice oscillate o irregolare. Notazioe. Se il limite lim s esiste (fiito o ±), allora tale limite si chiama somma della serie e si idica co a := lim s = lim a k Esempio Discussi i classe i segueti esempi: (a) La serie di termie geerale a = diverge a +. Ifatti s = + per +. (b) La serie (+) coverge e risulta ( + ) =. k= Ifatti, usado la formula (+) = +, si ottiee s = a + + a = per + a k. k= ( ) ( ) ( ) = + + Osservazioe 2.25 (Serie a termii o egativi). Ua particolare classe di serie è quella i cui il termie geerale soddisfa a 0 per ogi. I tal caso si vede subitro che la successioe (s ) è mootoa crescete (vale ifatti per ogi la disuguagliaza s + = s + a s ). Quidi ua serie a termii o egativi può fare due cose: covergere a ua somma o egativa; divergere a +. Quidi lim k=0 a k = λ, co λ [0, +]. Dal Teorema 2.2 ricaviamo il seguete criterio di covergeza: 9

10 Teorema 2.26 (criterio di Cauchy). Ua serie ε N tale che +p k= a è covergete se e solo se per ogi ε > 0 esiste a k < ε per ogi ε e p 0. Dimostrazioe. Per defiizioe, la serie a è covergete se e solo se la successioe s è di Cauchy, cioè se ε > 0 ε > 0 : s s +p < ε ε p 0. Visto che s +p s = +p a k la dimostrazioe è coclusa. k= Ua prima cosegueza del criterio di Cauchy è la seguete codizioe ecessaria di covergeza. Proposizioe 2.27 (codizioe ecessaria di covergeza). Se ua serie deve essere a è covergete, allora lim a = 0. (2.) Dimostrazioe. Sia a covergete. Scriviamo la codizioe di Cauchy co p = 0. ε > 0 ε > 0 : a < ε ε. Questo corrispode esattamete al fatto che a 0. La codizioe è solo ecessaria ma o sufficiete, coeme testimoia l esempio che segue. Esempio 2.28 (serie armoica). Vale = +. Osserviamo iazitutto che essedo la serie a termii o egativi, se essa o coverge a ua somma fiita, allora di certo diverge a +. ssumiamo per assurdo che la serie sia covergete. llora varrebe la codizioe di Cauchy ε > 0 ε N : +p k= Scegliedo p = 2, troviamo la somma di + addedi < ε ε p 0. k 2 k = ( + ) k= Quidi la codizioe di Cauchy è violata o appea scegliamo, ad esempio, ε = 4. Questo prova che la serie ha somma +. Esercizio Verificare che: Se (x ) è ua successioe e x λ, allora per ogi q N vale lim + x +q = λ. Sia a ua serie. Provare che, dato q N, la serie a coverge se e solo se =q a coverge. Verificare ioltre che a = a + + a q + a =q 0

11 La serie geometrica Partiamo dalla formula seguete valida per ogi q = e N: 5 q k = q+ q k=0 per ogi q =. (2.2) Esempio 2.30 (serie geometrica). Cosideriamo la serie Usiamo (2.2) e otteiamo: Valgoo quidi le segueti cose: s := q k = q+ q. k=0 q, dove q R è u parametro assegato. =0 (a) Se q <, allora q + 0 per. Quidi la serie è covergete e vale q = q ; =0 (b) Se q, allora la serie diverge a +. Questo segue dalla discussioe dell esempio 2.24, se q =. Se ivece q >, si ha q + + per +. Quidi lim s = q + lim + q = q = + (c) Se q, la serie è oscillate (perché la successioe q + o ha limite, se q ). Esercizio 2.3 (svolto i classe). Calcolo di k=p qk co q < e p N assegato Teorema 2.32 (Criterio del cofroto). Siao (a ) e (b ) due successioi o egative. a 0 e b 0 per ogi. Suppoiamo che la successioe (b ) domii a el seso seguete: llora: C > 0 q N : 0 a Cb q. Se b coverge a ua somma fiita, ache a coverge a ua somma fiita. Se a = +, allora ache b = +. Dimostrazioe. Dimostriamo la prima affermazioe soltato. La secoda è aaloga. Ricordiamo itato che se q N, ua serie x coverge se e solo se la coda che parte dal termie q, cioè la serie =q x, coverge. ssumiamo che b <. llora =q b coverge. Quidi esiste µ R per, i modo mootoo. Ma allora 5 Verifica: basta osservare che b q + b q+ µ, a q + + a q+ C(b q + + b q+ ) Cµ. ( + q + q q )( q) = ( q) + q( q) + + q ( q) = ( q) + (q q 2 ) + (q 2 q 3 ) + + (q + ) = q +.

12 Il umero Cµ è quidi u maggiorate della successioe mootoa s = a q + + a q+. Quidi a Cµ. =q Duque la serie =q coverge. Ma allora ache la serie completa a coverge a u umero fiito. Esercizio 2.33 (svolti i classe). Studio della covergeza delle serie 2 + Calcolo del limite Studio della covergeza delle serie 2.6. Esercizi per casa k lim + q co k N e q > ) ). 2 (svolto cofrotado co ( 4. Verificare usado la defiizioe che la successioe ( 2 ++ ) è di Cauchy. (9) 2 2. Soo date due successioi (a ), (b ) co termii positivi a > 0 e b > 0 per ogi N. Suppoiamo di sapere che il loro quoziete coverge a u limite λ fiito e strettamete positivo: a lim = λ ]0, +[ + b Quele delle segueti affermazioi è vera o falsa? (lcue possoo essere vere o false a secoda delle situazioi. Fare i dovuti commeti). (a) Esiste tale che a 2λb per ogi. (b) Esiste tale che a 2 λb per ogi. (c) a 2λb per ogi N. (d) Esiste tale che a λb per ogi. (e) Esiste M > 0 tale che a Mb per ogi N. (Ricordare che ua successioe covergete è limitata...). Se la serie b diverge a +, cosa possiamo dire di a? Se Se la serie b è covergete, cosa possiamo dire di a? 3. Studiare la covergeza di: ( ) È oto che la serie α 2

13 coverge a ua somma fiita se α > e diverge a + se α. Studiare la covergeza delle segueti serie: 3/2 + /4 + p + al variare di p > 0 umero reale. 5. Sia q N u umero fissato. Poiamo { se q a = 2 se q + e b = { 2 se q 2 se q + Discutere la covergeza di a e b. 6. Sia (p ) N ua successioe di umeri aturali. ssumiamo di sapere che p + per +. Provare che se ua successioe a tede a u limite λ, allora ache lim a p + = λ. È vero il viceversa? 7. Siao a 0 e λ 0 due successioi o egative. Provare i segueti due fatti: (a) Se a è covergete, allora ache a2 è covergete. (b) Se a è covergete e se λ λ > 0 per, allora λ a è covergete ach essa. 3. Lo spazio R d 3.. Prodotto scalare, orma e loro proprietà Utilizzeremo lo spazio euclideo R := {x : x = (x,..., x ), co x j R per ogi j =,..., } co le operazioi stadard di somma tra vettori e prodotto di u vettore co uo scalare. Defiizioe 3. (Prodotto scalare stadard). Defiiamo per ogi x = (x,..., x d ) e y = (y,..., y d ) R d, x, y = x k y k. k= Proprietà verificate: x, y = y, x per ogi x, y R. (λx + λ x ), y = λ x, y + λ x, y, per ogi x, x, y R, λ, λ R. x, x 0 x R. Ioltre x, x = 0 se e solo se x = 0, il vettore ullo. Defiizioe 3.2 (vettori ortogoali). x e y R si dicoo ortogoali se vale x, y = 0. Defiizioe 3.3 (Norma euclidea). Poiamo x = x, x = d x 2 j. j= Vale λx = λ x, per ogi λ R, x R. Vale x 0 x R. Ioltre x = 0 se e solo se x = 0. Vale la disuguagliaza triagolare x + y x + y, per ogi x, y R. Defiizioe 3.4. La distaza tra due puti x e y i R è il umero x y. 3

14 Notazioe. I molti libri di aalisi si utilizza il simbolo x al posto di x per idicare la orma di u vettore di R d. Nche i questi apputi a volte si userà tale covezioe. Esercizio 3.5. Siao x = (, 2, 2) e y = (2,, 3). Calcolare ioltre la distaza tra x e y. Esercizio 3.6. Trovare tutti i vettori ortogoali a v = (, 2, ). Trovare poi tutti i vettori simultaeamete ortogoali a u = (,, 0) e v = (0,, ). Defiizioe 3.7 (ormalizzato di u vettore di R d ). Se x = 0, tra tuti i vettori λx, co λ > 0 e esiste uo solo co orma uitaria. Esso corrispode alla scelta λ = ed ha duque la forma x Tale vettore si chiama ormalizzato di x: x x = Esercizio 3.8. Normalizzare il vettore x = (.2). x x. Esercizio 3.9. Verificare usado le proprietà del prodotto scalare, che, per ogi x, y R, vale x + y 2 = x x, y + y 2. (3.) Osservazioe 3.0. Se x e y soo ortogoali, allora vale il Teorema di Pitagora x + y 2 = x 2 + y 2. Teorema 3. (Disuguagliaza di Cauchy-Schwarz (seza dimostrazioe)). Vale x, y x y, (3.2) per ogi x, y R. Ioltre vale l uguagliaza i (3.2) se e solo se x e y soo liearmete dipedeti. 6 Corollario 3.2. Vale la disuguagliaza triagolare x + y x + y, per ogi x, y R. Dimostrazioe. x + y 2 = x x, y + y 2 per Cauchy-Schwarz x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Defiizioe 3.3 (Palla euclidea). Defiiamo, dati x R d, r > 0, la palla di cetro x e reggio r. B(x, r) := {y R d : x y < r}. Esempio 3.4. La palla B((0, 0), r) R 2. La palla uidimesioale B(x, r) = ]x r, x + r[ Successioi covergeti i R d Ua successioe (x ) N i R d è ua famiglia di vettori (x,..., x d ) R d, idicizzati da N. Defiizioe 3.5 (Successioe covergete). Ua successioe (x ) N = (x,..., x d ) N di vettori i R d si dice covergete a x = (x,..., x d ) R d se per ogi ε > 0 esiste ε > 0 tale che I tal caso, si scrive x x oppure x x < ε, ε. lim x = x. + 6 Cioè λx + µy = 0 per ua opportua scelta di scalari λ, µ che soddisfio λ 2 + µ 2 > 0. 4

15 Esercizio 3.6. Verificato che la successioe i R 2 defiita da x = (/, ( + )/) coverge al vettore (0, ), per + Teorema 3.7. Ua successioe (x ) N ha limite x = (x,..., x d ) R d se e solo se per ogi k =,..., d, la successioe i R (x k ) N coverge a x k. La dimostrazioe è molto elemetare. ltrettato elemetare è la geeralizzazioe i dimesioe d del Teorema di Bolzao Weierstrass. La ozioe di successioe limitata i R d si geeralizza cme segue: Defiizioe 3.8 (successioe limitata). Ua successioe (x ) N i R d si dice limitata se esiste M > 0 tale che x M N. (I altri termii ua successioe è limitata se tutti i suoi termii coo coteuti i ua palla di raggio M sufficietemete grade.) Teorema 3.9 (Bolzao Weierstrass). Se (x ) N è ua successioe limitata i R d, allora esiste x R d ed esiste (x k ) sottosuccessioe di (x ) tale che x k x, per. La dimostrazioe è omessa, perché o cotiee alcua ovità sostaziale rispetto al caso uidimesioale Topologia elemetare di R d Defiizioe 3.20 (Isieme aperto). U isieme Ω R si dice isieme aperto se per ogi x Ω esiste ε > 0 tale che B ε (x) Ω. Defiizioe 3.2 (Isieme chiuso). U isieme F R si dice chiuso se vale F = R \ Ω co Ω isieme aperto. Ua otazioe per l isieme complemetare di R d è ache c := R d \ = {x R d : x / }. Si coviee di assumere che l isieme vuoto è aperto. Lo spazio R d itero è baalmete aperto, ma è ache chiuso, i quato complemetre di u aperto. Si può dimostrare che, e R d soo gli uici isiemi sia aperti che chiusi i R d. Esempio Ecco alcui eesmpi di isiemi aperti e chiusi: (2) Gli itervalli a estremi esclusi ]a, b[ R soo aperti. Le palle B(x, r) R d soo aperte per ogi x R d e r > 0. Dimostrato i classe usado la disuguagliaza triagolare. L estero di ua palla {y R d : y x > r} è u isieme aperto. Quidi le palle chiuse {y R d : y x r} soo isiemi chiusi per ogi r 0. I particolare, se r = 0 vediamo che i sigoli puti {x} R soo isiemi chiusi. Proposizioe Valgoo le segueti proprietà sulle uioi e itersezioi di aperti:. Se (Ω λ ) λ Λ è ua famiglia qualsiasi di isiemi aperti idicizzati da u parametro λ Λ, allora Ω λ è aperto. λ Λ 2. Se Ω,..., Ω p soo p isiemi aperti (famiglia fiita), allora Ω Ω p è aperto. 3. No è vero che u itersezioe qualsiasi di isiemi aperti è aperta. d esempio, gli isiemi Ω = B(0, /) soo aperti per ogi, ma la loro itersezioe Ω = {0} o è aperta. N 5

16 Dimostrazioe. Proviamo la prima affermazioe: sia x λ Ω λ. Scegliamo u qualsiasi λ Λ tale che x Ω λ. llora esiste ε > 0 tale che B(x, ε) Ω λ. I particolare sarà x λ Ω λ. Questo prova il puto. Proviamo la secoda affermazioe. La proviamo per due isiemi Ω e Ω 2. Sia x Ω Ω 2. llora x Ω che è aperto. Quidi esiste ε tale che B(x, ε ) Ω. Ripetedo per Ω 2 troviamo che per u opportuo ε 2 > 0 vale B(x, ε 2 ) Ω 2. Scegliedo ε = mi{ε, ε 2 } è facile vedere che B(x, ε) Ω Ω 2. È utile ache osservare il seguete fatto: gli isiemi chiusi cotegoo tutti i limiti delle successioi covergeti i essi coteuti. Precisamete: Proposizioe Se (x ) è ua successioe di elemeti di u chiuso F R d e se (x ) è covergete a qualche x = lim + x R d, allora x F. Dimostrazioe. Sia x F per ogi co F isieme chiuso. Suppoiamo per assurdo che x x / F. Poiché F c è aperto, esiste ua palla B(x, ε) F c. Poiché x x, esiste ache ε per cui x x < ε se ε. Quidi per tutti gli ε vale x F c. Questo cotraddice però l ipotesi secodo cui x F per ogi N Fuzioi Ua fuzioe f : R q, co R d è ua legge che ad ogi elemeto x di associa u elemeto f (x) R q. Liguaggio. Se f : R d è ua fuzioe, l isieme si chiama domiio di f. Il grafico di f è l isieme { (x, y) R d R q : x, y = f (x) } = { (x, f (x)) : x } R d R q. Se E, allora l isieme f (E) := { f (x) : x E} si chiama immagie di E attraverso f. Se ifie G R q, allora l isieme f (G) := {x : f (x) G} si chiama cotroimmagie o preimmagie di G atttraverso f. Esercizio 3.25 (svolto i classe). Data la fuzioe f : R R, f (x) = x 2, idividuare: il grafico di f ; l isieme f ([0, 2[); l isieme f (], 4[). Defiizioe 3.26 (fuzioe cotiua). Sia R d e sia f : R ua fuzioe. Si dice che: f è cotiua i u puto x se per ogi successioe x, x x, risulta f (x ) f (x); f è cotiua ell isieme se è cotiua i ogi puto x. 7 Discussioe iformale: se è data ua fuzioe cotiua di ua variabile, R x g(x) R, allora la fuzioe f (x, x 2 ) = g(x ) è ua fuzioe cotiua delle variabili (x, x 2 ) R 2 a valori i R. Somme, prodotti, quozieti (a deomiatori o ulli) e composizioi di fuzioi cotiue soo cotiue. 7 volte si scrive f C(), per idicare che f è cotiua su. 6

17 Esempio lla luce dei puti evideziati, osserviamo ad esempio che la fuzioe f (x, x 2 ) = x + x 2 è cotiua, perche x g(x) = x è cotiua da R ad R. Quidi f (x, x 2 ) = x e f 2 (x, x 2 ) soo cotiue elle due variabili (x, x 2 ) R 2 e ifie la loro somma è cotiua. Molte altre fuzioi possoo essere ricoosciute come cotiue i base ad argometi simili. La cotiuità può essere ache caratterizzata seza successioi, come segue: Proposizioe Sia R d e sia f : R q. llora f è cotiua i x se e solo se per ogi ε > 0 esiste δ = δ ε > 0 tale che f (y) f (x) < ε y y x < δ ε. Dimostrazioe. Sia f cotiua i x. Suppoiamo per assurdo che esista u umero ε 0 > 0 tale che per ogi δ > 0 possiamo trovare y co y x < δ e f (y) f (x) ε 0. Scegliedo ad esempio δ = troviamo allora che per ogi N esiste u puto x che soddisfi x x < e f (x ) f (x) ε 0. dado al limite per si trova ua cotraddizioe co il fatto che f è cotiua i x. Ora, viceversa assumiamo che f sia cotiua i u certo x, cioè che per ogi ε > 0 esista δ = δ ε > 0 tale che f (y) f (x) < ε y che soddisfi y x < δ ε. Sia ora x, x x. pplivcado la defiizioe di limite co δ = δ ε, possiamo affermare che esiste δε N tale che x x < δ ε per ogi δε. Ma allora questo implica che f (x ) f (x) < ε per gli stessi. Quidi abbiamo dimostrato che f è cotiua i x. Usado questa caratterizzazioe si può otteere il seguete corollario, che ci permette di idividuare facilmete molti isiemi aperti/chiusi i R d e che sarà utile al mometo dello studio delle fuzioi misurabili. Corollario Se f : R d R q è cotiua, allora per ogi sottoisieme aperto Ω R q, risulta f (Ω) aperto el domiio R d. Brevemete, cotroimmagii di isiemi aperti attraverso fuzioi cotiue soo aperti. Per evitare complicazioi questo corollario è formulato solo per fuzioi defiite su tutto lo spazio = R d. Dimostrazioe. Sia Ω R q u aperto (o vuoto per evitare baalità) e sia x f (Ω). Questo sigifica che f (x) Ω. Poiché Ω è aperto, esiste u ε > 0 piccolo a sufficieza affiché B( f (x), ε) Ω. Scegliedo il δ ε forito dalla defiizioe di cotiuità i x, avremo che per ogi y R d che soddisfi y x < δ ε, sarà f (y) f (x) < ε e quidi f (y) Ω. Questo dice che B(x, δ ε ) f (Ω). Quidi abbiamo ricoosciuto che f (Ω) è aperto. Osservazioe I particolare, il corollario precedete ci dice che se ua fuzioe a valori scalari f : R d R è cotiua, allora gli isiemi defiiti da disuguagliaze strette del tipo {x R d : f (x) > b} e {x R d : f (x) < b} soo aperti per ogi scelta di b R. Ifatti, vale {x R d : f (x) > b} = f (]b, +[), cioè la cotroimmagie dell aperto ]b, +[ R. Per passaggio al complemetare, troviamo che isiemi defiiti da disuguagliaze deboli del tipo {x R d : f (x) b} e {x R d : f (x) b} soo chiusi per ogi b. È ovviamete sempre sottoiteso che le fuzioi coivolte davoo essere cotiue. 7

18 Esempio 3.3. Usado l osservazioe precedete, verificato i classe che {(x, x 2 ) R 2 : x > 0} è aperto e che Ω := {x R d : < x < 2} è aperto. Basta ricordare che la fuzioe orma è cotiua e scrivere Ω = Ω Ω 2, dove Ω = {x : x > } e Ω 2 = {x : x < 2} soo etrambi aperti e la loro itersezioe è quidi aperta. Teorema 3.32 (Teorema di Weierstrass). Se R d è chiuso e limitato e se f : R è cotiua, (5) allora esistoo x, x + tali che f (x ) = mi f () e f (x + ) = max f (). Gli isiemi chiusi e limitati i R d si chiamao ache isiemi compatti. Osserviamo che il teorema di Weierstrass è falso se rimuoviamo l ipotesi di chiusura o di limitatezza. Basta osservare le fuzioi f : ]0, ] R, f (x) = x, che ha miimo ma o massimo sull isieme ]0, ] (che è limitato ma o chiuso), e g : [, +[ R, g(x) = x, che ha massimo ma o ha miimo sull isieme (chiuso ma o limitato) [, +[ Esercizi per casa () Siao = {, 2, 3} e B = {, 2, 5} R. Dire chi soo gli isiemi B, B, \ B, B \. 8 (2) Verificare che dati due isiemi, B R d, vale ( B) c = B c c. Verificare che se ( λ ) λ Λ è ua famiglia di isiemi i R d, allora ( λ λ ) c = λ c λ. Che cosè l isieme ( {x} c) c? x R (3) Usado l esercizio precedete e passado al complemetare la Proposizioe (3.23), dimostrare che se (F λ ) λ è ua famiglia di chiusi i R d, allora λ F λ è chiuso. Che cosa si può dire di F λ? Che cosa si può dire di ua uioe fiita F F p di p isiemi chiusi i R d? L uioe di isiemi chiusi [ λ, λ] è chiusa? λ ]0,[ (4) Defiiamo la differeza simmmtrica tra e B. B := ( \ B) (B \ ). Cos è ], 2] [0, 3]? Verificare che i geerale vale B = B e che risulta ache B = ( B) \ ( B). Verificare poi che B = se e solo se = B. (5) Sia (a ) ua successioe i R co a > 0 per ogi. Suppoiamo di sapere che esiste ua sottosuccessioe (a k ) N che coverge a zero. Verificare che N [0, a ] = {0}. Sia poi r > 0 per ogi N. Suppoiamo di sapere che esiste r k + per. Trovare N B(0, r ), dove B(0, r ) è la palla i R d. È possibile che risulti ache N B(0, r ) = {0}? (6) Sia R d u isieme limitato e sia B R d u sottoisieme qualsiasi. Di quale tra i segueti isiemi possiamo dire che è limitato? B, B, \ B, B \, c. 8 Ricordiamo che \ B := {x : x / B} = B c. 8

19 (7) Sia f : R R defiita come segue: 2 se x 0 f (x) = se 0 < x 2 3 se x > 2. Trovare f (]a, +[) per ogi a R. Dire se è aperto o meo, al variare di a. (8) Dire quale dei segueti isiemi è aperto, chiuso, oppure e aperto e chiuso. {x R 2 : x < x = 0}; {x = (x, x 2 ) R 2 : x = 0}; ]0, [ ]0, [ R 2 ; ]0, [ {} R 2. {2} [0, ]; R \ Z. N ] 2, + 2 [. (9) Sia f : R R, f (x) = { x se x 0 se x < 0. Idividuare gli isiemi f (]b, +[), al variare di b R Successioi di fuzioi covergeti putualmete e uiformemete Ua successioe di fuzioi ( f ) N è ua famiglia di fuzioi f : R q defiite tutte su (5) uo stesso isieme R d. Defiizioe 3.33 (Successioe covergete putualmete). Sia R d. fuzioi f : R q si dice covergete putualmete a f : R q se Ua successioe di I altre parole, se vale quato segue: lim f (x) = f (x) per ogi fissato x. + ε > 0 x ε,x N tale che f (x) f (x) < ε ε,x. (3.3) Notiamo che la scrittura ε,x idica che il umero i questioe dipede da etrambi x ed ɛ. Esempio alisi delle segueti successioi. (a) f : [0, +[ R, f (x) = x + f (x) = 0 per ogi x. (b) f : [0, ] R, f (x) = x tede putualmete al limite { 0 se 0 x < f (x) = se x =. 2 tede putualmete a alla fuzioe ideticamerte ulla Osserviamo che il limite è ua fuzioe discotiua, sebbee le fuzioi f siao tutte cotiue su [0, ]. (c) f : R R, f (x) = si(x), tede alla fuzioe ideticamete zero, per +. 9

20 Ua codizioe di covergeza piú forte delle covergeza putuale è la covergeza uiforme. Defiizioe 3.35 (successioe covergete uiformemete). Sia R d e sia f : R q ua successioe di fuzioi. Si dice che f coverge uiformemete alla fuzioe f : R q se vale quato segue: ε > 0 ε N tale che f (x) f (x) < ε ε x. (3.4) Nella codizioe (3.4) abbiamo usato il simbolo ε per evideziare il fatto che il umero i questioe dipede solo da ε e o da x. D altro cato, i (3.3) il umero ε,x dipede, come già detto, da etrambi ε ed x. Si può riformulare la covergeza uiforme (3.4) ella forma compatta: lim sup f (x) f (x) = 0. + x Osservazioe La covergeza uiforme implica la covergeza putuale. Questo si vede cofrotado (3.4) e (3.3). NON È VERO che la covergeza putuale implica la covergeza uiforme. Esempio Discussi i classe:. f : [0, ] R, f (x) = { se 0 x 0 se < x La successioe tede putualmete al limite f (x) = 0, se 0 < x e f (0) =. La covergeza o è uiforme. 2. La successioe f (x) = x+ tede al limite 0 putualmete su R. Il limite o è uiforme. Il 2 limite diveta uiforme se defiiamo f : [ M, M] R, sempre f (x) = x La successioe f : [0, ] R, f (x) = x tede al suo limite putuale { 0 se 0 x < f (x) = se x =. ma la covergeza o è uiforme. Ifatti sup [0,] f (x) f (x) = per ogi fissato N. Defiizioe 3.38 (fuzioe caratteristica). Sia R d. La fuzioe : R d R, { se x (x) = 0 se x R d \ si chiama fuzioe caratteristica o idicatore dell isieme. Esercizio Studiata la covergeza uiforme e putale di f : R R, f = [,+] e di g : R R, g (x) = [,+]. Teorema Sia R d e sia f : R q ua famiglia di fuzioi cotiue su che coverga uiformemete a u limite f : R q. llora la fuzioe limite f è cotiua su. Dimostrazioe. Dobbiamo provare che per ogi fissato x, per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tale che y y x < δ ε f (y) f (x) < ε. Sappiamo per ipotesi che f coverge uiformemete a f. Quidi per ogi ε esiste ε tale che f (z) f (z) < ε per ogi ε e z. I particolare f ε (z) f (z) < ε z. (3.5) 20

21 llora scriviamo, per y e usado la disuguagliaza triagolare, f (y) f (x) f (y) f ε (y) + f ε (y) f ε (x) + f ε (x) f (x) ε + f ε (y) f ε (x) + ε. bbiamo usato la covergeza uiforme (3.5) per stimare il primo e terzo termie. Ora poiché la fuzioe f ε è cotiua, esiste δ ε tale che f ε (y) f ε (x) < ε se y e y x < ε. Questo coclude la dimostrazioe. 4. Elemeti di teoria della misura 4.. Fuzioi iiettive/suriettive/biiettive Defiizioe 4. (fuzioe iiettiva suriettiva biiettiva). Sia f : B ua fuzioe. La fuzioe (7) f si dice iiettiva se per ogi a, a co a = a risulta f (a) = f (a ). 9 Ua fuzioe f : B si dice suriettiva se f () = B. Cioè se per ogi b B esiste a tale che f (a) = b. Ua fuzioe f : B si dice biiettiva se è iiettiva e suriettiva. Esempio 4.2. lcui esempi: f : {, 2} {3, 4, 5}, f () = 3 e f (2) = 5 g : {, 2} {3, 4, 5}, g() = 4, g(2) = 4. h : {0,, 2} {3, 4, 5}, h(0) = 3, h() = 4, h(2) = 5 f : R R, f (x) = x 2 f : R [0, +[, f (x) = x 2 f : R R, f (x) = e x f : R ]0, +[, f (x) = e x 4.2. Isiemi umerabili Per la costruzioe della teoria della misura soo importati gli isiemi umerabili. Detto i termii iformali, soo quegli isiemi i cui elemeti possoo essere eumerati usado i umeri aturali. Defiizioe 4.3 (Isieme fiito). U isieme si dice fiito co elemeti se esiste N e ua fuzioe f : {, 2,..., } biiettiva. I tal caso si dice che l isieme ha elemeti. Coveiamo che l isieme vuoto è fiito co 0 elemeti. Defiizioe 4.4 (isieme ifiito umerabile). U isieme si dice ifiito umerabile (o piú semplicemete umerabile) se o è fiito e se esiste ua fuzioe f : N iiettiva. Osservazioe 4.5. Se è u isieme ifiito umerabile, allora gli elemeti di possoo essere etichettati usado come idici i umeri aturali: = {a, a 2, a 3,... }. (4.) Per covicersee basta otare che f () = { f (a) : a } è u sottoisieme ifiito di N. Duque possiamo scrivere f () = {, 2, 3,..., }, dove gli j soo i ordie crescete: < 2 < 3 <. Quidi, poiché la f : f () è iiettiva e suriettiva, per ciascu j esiste u uico a j tale che f (a j ) = j. Questo forisce l eumerazioe scritta i (4.). Osserviamo che f () o può essere fiito, altrimeti sarebbe fiito ache. Notiamo ifie che la fuzioe ϕ : N, defiita da ϕ(a j ) = j per ogi j N è iiettiva e suriettiva. 9 Equivaletemete, se a ed a soddisfao f (a) = f (a ), allora risulta a = a. 2

22 Mostriamo ora alcui esempi di isiemi umerabili. Esempio 4.6. L isieme dei umeri aturali = N è baalmete umerabile. Basta scegliere f : N la fuzioe idetità, f () = per ogi. Sempre scegliedo la fuzioe idetità si ricoosce facilmete che l isieme dei umeri pari = {2, 4, 6,... } e quello dei umeri dispari {, 3, 5,... } soo umerabili. L isieme dei umeri Z = {0,,, 2, 2,... } è umerabile. Esempio 4.7. L isieme N N è umerabile. Verificato i classe che la fuzioe f : N N N, è iiettiva. f (k, ) = 2 k 3 Esempio 4.8. Utilizzado { u ragioameto simile a quello precedete, è possibile dimostrare che l isieme r } dei razioali Q = s : r Z s N è umerabile. No tutti gli isiemi ifiiti soo umerabili. Teorema 4.9 (Cator). Ogi itervallo o baale [a, b] R di umeri reali o è umerabile. Dimostrazioe. No presetata. U ulteriore proprietà importate della umerabilità è il suo buo comportameto rispetto a uioi umerabili. Teorema 4.0. Se ( ) N è ua famiglia di isiemi fiiti o umerabili, tutti coteuti i u isieme X, allora l uioe è fiita o umerabile. Dimostrazioe. No svolta i classe, ma si veda l esercizio (g) el paragrafo 4.4 per il caso semplificato di due soli isiemi Misure su σ-algebre Questa parte di corso è svolta seguedo il testo [R]. Defiizioe 4. (σ-algebra su u isieme X). Sia X isieme. Sia ua famiglia di sottoisiemi di X. Si dice che è ua σ-algebra su X se vale quato segue: () X ; (2) se E allora E c := X \ E ; (3) se E per ogi N, allora E. Liguaggio. Gli isiemi di ua σ-algebra si chiamao isiemi misurabili. La coppia (X, ) si chiama spazio misurabile. Duque ua σ-algebra è chiusa rispetto a passaggio al complemetare e a uioi umerabili. Osservazioe 4.2. Se è ua σ-algebra su u isieme X, allora:. Ifatti = X c Se E per ogi N, allora E. Ifatti, E ( ) c E E c. Ma quest ultima affermazioe è vera, perche, essedo E per ogi, è ache E c. 22

23 Se e B, allora \ B = B c. Due esempi elemetari di σ-algebre soo i segueti: Esempio 4.3 (La σ-algebra baale). Se X è u isieme, allora è ua σ-algebra. = {, X} Esempio 4.4. Se X è u isieme, allora l isieme della parti di X, cioè 2 X := l isieme di tutti i sottoisiemi di X, compresi lo stesso X e l isieme vuoto. è ua σ-algebra (chiamata a volte σ-algebra discreta). Esercizio 4.5. Scrivere l isieme delle parti 2 {,2,3}. Risulta { } 2 {,2,3} =, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, {, 2, 3}. La famiglia di isiemi appea elecata è ua σ-algebra su {, 2, 3}. 0 Defiizioe 4.6 (misura). Sia ua σ-algebra su u isieme X. Ua misura su è ua fuzioe µ : [0, +] tale che: () µ( ) = 0; (2) se E per ogi e la famiglia (E ) N è disgiuta, allora ( µ E ) = Liguaggio. La tripla (X,, µ) si chiama spazio co misura. La proprietà (2) si chiama additività umerabile. Osservazioe 4.7. Osserviamo le segueti cose. µ(e ). (4.2) (a) Riguardo alla proprietà di additività umerabile (2), otiamo che, se µ(e ) = + per qualche, oppure le la serie umerica µ(e ) diverge, allora l uguagliaza va iterpretata come + = +. (b) Se E,... E p soo p isiemi misurabili e disgiuti, allora vale l additività fiita: µ(e E p ) = µ(e ) + + µ(e p ). Per ricooscere tale proprietà basta usare l additività umerabile per la famiglia umerabile E, E 2,..., E p,,,... co ifiiti isiemi vuoti che seguoo i p isiemi assegati. (c) Se e B soo isiemi misurabili e se vale B, allora possiamo scrivere µ(b) = µ( (B \ )) = µ() + µ(b \ ). I particolare, poiché µ(b \ ) 0, vale µ() µ(b). (d) L addivitività umerabile (2) può ache essere euciata ella forma seguete: per ogi famiglia (E λ ) λ Λ di isiemi disgiuti a coppie e co Λ isieme umerabile, vale ( µ λ Λ ) E λ = µ(e λ ), λ Λ purché si faccia qualche precisazioe i più sul sigificato della somma al membro di destra. 0 No è u caso che l isieme delle parti dell isieme co 3 elemeti {, 2, 3} sia formato da 2 3 elemeti. 23

24 Esempio 4.8 (misura di coteggio). Se X è u isieme qualsiasi, allora, sulla σ-algebra 2 X, possiamo defiire: { + se E è u isieme ifiito µ(e) = se E è fiito e ha elemeti. Si verifica che µ è ua misura. Esempio 4.9 (massa di Dirac). Su R d, prediamo = 2 Rd e fissiamo u puto z R d. Poiamo, per E R d, { se z E µ z (E) = 0 se z / E. Defiizioe 4.20 (misura di probabilità). Sia X u isieme, ua σ-algebra su X e µ ua misura su. La misura µ si dice misura di probabilità se µ(x) =. Ora aalizziamo il comportameto delle misure positive rispetto a uioi cresceti di isiemi. Proposizioe 4.2. Sia (X,, µ) uo spazio co misura. Sia E ua famiglia di isiemi misurabili che (20) soddisfio E E + per ogi N. llora vale ( µ E ) = lim + µ(e ). Osserviamo che è cruciale che la famiglia (E ) N sia mootoa (cioè che valga la codizioe E E + per ogi N). Questo si capisce ad esempio cosiderado la famiglia E = {, 2}, E = {} per ogi 2 di sottoisiemi di X = {, 2, 3} equipaggiato co la misura di coteggio. Dimostrazioe. Osserviamo che, poedo B = E, B 2 = E 2 \ E,..., B = E \ E per ogi N, risulta per ogi p N E = p E = p B e E = B. Qui abbiamo usato il fatto che la successioe di isiemi soddisfa E E + per ogi. Notiamo che gli isiemi B soo disgiuti a coppie. Quidi possiamo usare l additività umerabile: ( µ ) ( E = µ B ) ( ) = ( (+) = lim µ k= µ(b ) ( ) = lim ( B k ) (++) = lim µ k= k= µ(b k ) E k ) = lim µ(e ), Cofrotado il primo e l ultimo termie di questa catea di uguagliaze si ottiee la prova della proposizioe. Nell uguagliaza ( ) abbiamo usato l additività umerabile. Nell uguagliaza ( ) la defiizioe di somma di ua serie; i (+) abbiamo utilizzato l additività fiita e i (++) il fatto che k= B k = k= E k = E. La versioe al complemetare della proposizioe precedete è la seguete. Proposizioe Sia (X,, µ) uo spazio co misura. Sia E ua famiglia di isiemi misurabili che soddisfio E E + per ogi N. Suppoiamo ioltre che almeo uo degli isiemi E abbia misura fiita. llora vale Dimostrazioe. No svolta i classe. ( µ E ) = lim + µ(e ). Questa ipotesi o è ecessaria ella proposizioe riguardate l uioe di isiemi. 24

25 4.4. Esercizi per casa (a) Sia f : ]0, +[ R, defiita da f (x) =. Studiare covergeza putuale e uiforme x di f per +. Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe ( f ) sull isieme [b, +[, co b > 0 umero fissato. (b) Sia = [0, ] [0, /]. Dire chi è. ( Sia poi E = B 0, ) + + ( ). Descrivere l isieme E e E. (c) Usado la disuguagliaza triagolare, dimostrare che se w R d è u vettore o ullo e se R e r soo due umeri positivi co R + r w, allora B(0, R) B(w, r) =. (d) Sia v R d u vettore fissato di orma uitaria v =. Sia f : R d R, f = B(v,). Studiare la covergeza putuale e uiforme di di f. Suggerimeto: usare l esercizio (c). (e) Soo date due fuzioi f : B e g : C D, etrabe iiettive. Suppoiamo che B C. Verificare che la fuzioe composta g f : D, (g f )(x) = g( f (x)) è iiettiva. (f) Verificare che le fuzioi ϕ : N {umeri pari}, ϕ() = 2 e ψ : N {umeri dispari}, ψ() = 2 soo iiettive e suriettive. (g) Siao e B due sottoisiemi di u assegato isieme X etrambi umerabili e disgiuti (cioè B = ). Verificare usado i due esercizi precedeti, che B è umerabile. L affermazioe è valida ache se B =. Come si potrebbe modificare lo svolgimeto dell esercizio i questo caso? (h) Soo date due fuzioi f : R e g : R co R d. f (x) g(x) per ogi x, allora vale ache sup f sup g. È vero che se vale sup f sup g, allora è ache f (x) g(x) per ogi x? Provare che se vale (i) Se f : R e g : R soo fuzioi assegate, verificare che valgoo le disuguagliaze: sup( f + g) sup f + sup g e sup f + g sup f + sup g. Osservazioe 4.23 (additività e subadditività). Suppoiamo di avere ua misura µ : [0, +]. Sappiamo che, se ( ) è ua famiglia disgiuta di isiemi i, allora vale l additività µ( ) = µ( ). Se o assumiamo che gli isiemi siao disgiuti si ottiee, ad esempio per due isiemi,, 2 di misura fiita µ( 2 ) = µ( ) + µ( 2 ) µ( 2 ). (4.3) Per verificare la formula (4.3) scriviamo dapprima 2 come uioe disgiuta e usiamo l additivià: µ( 2 ) = µ( ( 2 \ )) = µ( ) + µ( 2 \ ). ( ) D altra parte, però, si ha, scrivedo come uioe disgiuta 2 = ( 2 ) ( 2 c ) troviamo µ( 2 ) = µ( 2 ) + µ( 2 c ) = µ( 2 ) + µ( 2 \ ) ( ) 25

26 Uedo ( ) e ( ) i modo da elimiare µ( 2 \ ), si trova (4.3) I geerale, se soo dati,...,, vale ( µ k= k ) µ( k ). k= dado al limite per + si ottiee, el membro di destra, per defiizioe di somma di ua serie k= µ( k). Nel membro di siistra, cosiderado gli isiemi E = k= k, risulta E E + e ache k= k = k= E k. Quidi, il membro di siistra si scrive ( µ k= ) k = µ(e ) µ( E ) = µ( ). Il risultato del limite si ottiee applicado la Proposizioe 4.2. bbiamo quidi otteuto la proprietà di subadditività umerabile ( ) µ k µ( k ), k= k= valida per ogi famiglia ( k ) k N di isiemi i Scatole e misura estera di Lebesgue i R d Defiizioe 4.24 (Scatole i R d ). Ua scatola è il prodotto cartesiao di itervalli chiusi e limitati S = I I d = [a, b ] [a d, b d ] R d. Richiediemo che a j b j per ogi j. Se ua scatola ha almeo u lato ullo (a j = b j per qualche j) la chiamiamo scatola degeere. Defiizioe La misura elemetare di ua scatola S = [a, b ] [a d, b d ] R d è: mis(s) = mis([a, b ] [a d, b d ]) = (b a ) (b d a d ). d esempio, i R mis[, 3] = 2. I R 2, mis([0, 2] [0, 3]) = 6, mis([2, 2] [3, 4]) = 0. Le scatole degeeri hao misura elemetare ulla. Defiiamo ora la misura estrera di Lebesgue. Sia Defiizioe 4.26 (ricoprimeto di u isieme attraverso scatole). Se E R d, ua famiglia di scatole (S ) N è u ricoprimeto di E se vale E S. Notiamo che ogi isieme ammette almeo u ricoprimeto co la famiglia di scatole (S ) = ([, ] [, ]) N. Nelle parti che seguoo sarà a volte sottoiteso che isiemi del tipo S, S k, etc. idicao scatole. Ioltre, tutti i ricoprimeti che iterverrao sarao effettuati attraverso famiglie di scatole. Defiizioe 4.27 (misura estera di Lebsegue). Dato u qualsiasi E R d, defiiamo { µ } (E) = if mis(s ) : (S ) N è u ricoprimeto di E [0, +] (4.4) 26

27 I sostaza, la misura estera è quel umero (evetualmete +) che ottimizza la somma mis S al variare di tutti i possibili ricoprimeti dell isieme assegato E. Se per ogi ricoprimeto (S ) la somma delle misure è +, allora la misura estera è +. Osservazioe Se = I I d, co I,..., I d itervalli limitati (aperti, chiusi, semiaperti a destra o a siistra) di estremi a b,..., a d b d, si può dimostrare che µ () = (b a ) (b d a d ) = mis(), cioè che la misura estera coicide co la misura elemetare. Mostrare l uguagliaza o è però baale come sembra. 2 Proposizioe 4.29 (Proprietà della misura estera µ : 2 Rd [0, +]). La misura estera di Lebesgue ha le segueti proprietà: (a) µ ( ) = 0; (b) se E F, allora µ (E) µ (F); (c) Se E R d per ogi N, allora µ ( ) E µ (E ). Dimostrazioe. La dimostrazioe di (a) è immediata. Basta scegliere il ricoprimeto S = {0} per ogi, i cui ogi scatola è la scatola degeere formata da u solo puto. La prova di (b) su può effettuare come segue: se µ (F) = +, allora o c è ulla da dimostrare. Se ivece µ (F) <, allora, per la proprietà di approssimazioe dell estremo iferiore, per ogi ε > 0 possiamo trovare u ricoprimeto (S ) N si F tale che µ (F) + ε mis(s ). Ma, poiche E F, il ricoprimeto (S ) è ache u ricoprimeto di E. Quidi avremo mis(s ) µ (E) e la prova è coclusa. Ora proviamo la (c). Suppoiamo che µ (E ) <, altrimeti o c e ulla da dimostrare. I particolare sarà µ (E ) < per ogi N. Sia ε > 0 u umero positivo. Per la proprietà di approssimazioe dell estremo iferiore, per ogi fissato, possiamo trovare u ricoprimeto di scatole (S,j ) j N che copre l isieme E e che soddisfi mis(s,j ) < µ (E ) + ε 2 j=. Osserviamo ache che la famiglia (S,j ) (,j) N N è u ricoprimeto umerabile di E. Ma allora µ ( ) E mis(s,j ) ( ) = (,j) N N j= mis(s,j ) Lasciado tedere ε a zero, si ottiee la prova del puto (c). 3 (µ (E ) + ε 2 ) = µ (E ) + ε. 2 Per ua discussioe sulla misura estera si può vedere il libro: T. Tao, itroductio to measure theory. Graduate Studies i Mathematics, 26. merica Mathematical Society, Providece, RI, 20, del quale è dispoibile u draft alla url 3 L uguagliaza ( ) è corretta, ma dare ua spiegazioe rigorosa richiederebbe u piccolo approfodimeto che o facciamo. 27