Analisi Matematica. Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor

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1 a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Serie numeriche Sia {a n } n N una successione di numeri reali. Definiamo la somma parziale n-esima ponendo { S0 := a 0 S n := S n 1 + a n n 1 (Esplicitando: S n = a 0 + a a n = n a k.) k=0 La successione {S n } si chiama serie di termine a n. Nota Non è restrittivo supporre che la successione {a n } sia sempre definita per ogni n N. Se non lo è, assumiamo che i termini mancanti siano tutti uguali a 0. 1

3 Per definizione, la serie di termine a n è la successione delle somme parziali S n costruite a partire da a n. Pertanto, la frase la serie di termine a n equivale alla frase la successione delle somme parziali S n costruite a partire da a n è è convergente divergente positivamente divergente negativamente regolare indeterminata convergente divergente positivamente divergente negativamente regolare indeterminata Se la serie è regolare, il limite della successione {S n } si chiama somma della serie e si denota con il simbolo a n. Motivazione... n=0 2

4 !!! Attenzione a non confondere la convergenza della serie di termine a n con la convergenza della successione {a n }, la somma della serie con il limite della successione {a n }. Le due nozioni sono legate tramite la seguente Proposizione Se la serie di termine a n converge, allora la successione {a n } è infinitesima. Verifica... Esempi Cosa si può dire sulle serie di termine ( 1) n, n 1, n 1 n? Osservazione La condizione a n 0 è necessaria e NON sufficiente affinché la serie di termine a n converga. Esempi: tra poco... 3

5 Terminologia e osservazioni generali Studiare il carattere di una serie significa stabilire se essa converge, diverge o è indeterminata. Se a n = b n definitivamente, le serie di termine a n e b n hanno lo stesso carattere. Tuttavia, se entrambe convergono, in genere le rispettive somme non sono uguali. Con abuso di notazione, si usa il simbolo a n per denotare la serie di termine a n, indipendentemente dal fatto che essa sia regolare o no. n=0 4

6 Serie telescopiche Una serie si dice telescopica se il suo termine può essere scritto nella forma a n = b n b n+1 oppure a n = b n+1 b n. In entrambi i casi, la somma parziale n-esima si ottiene esplicitamente: S n = (b 0 b 1 ) + (b 1 b 2 ) (b n b n+1 ) = b 0 b n+1, oppure S n = (b 1 b 0 ) + (b 2 b 1 ) (b n+1 b n ) = b n+1 b 0. Esempi 1 La serie di termine a n = n(n + 1) e ha somma 1. ( La serie di termine a n = ln ) n (serie di Mengoli), converge diverge positivamente. Esempio di termine infinitesimo di serie non convergente... 5

7 Serie geometrica Sia q R. La serie costruita a partire dalla progressione geometrica di ragione q si chiama serie geometrica di ragione q. La somma parziale n-esima è n + 1 per q = 1 S n = 1 q n+1 per q 1 1 q Verifica... Pertanto: la serie geometrica di ragione q è indeterminata per q 1 diverge positivamente per q 1 converge per 1 < q < 1 con somma Esempi 1 1 q Stabilire il carattere delle serie di termine 2 n, ( 2) n, ( ) 1 n, 2 ( 3) n 4 n 6

8 Operazioni con le serie Somma di serie Se la serie di termine a n converge e ha somma A e la serie di termine b n converge e ha somma B, la serie di termine a n + b n converge e ha somma A + B. Se la serie di termine a n diverge e la serie di termine b n converge o diverge con lo stesso segno, la serie di termine a n + b n diverge. Multiplo di serie Se la serie di termine a n converge e ha somma A e c è una costante, la serie di termine c a n converge e ha somma c A. Se la serie di termine a n diverge e c 0 è una costante, la serie di termine c a n diverge. Prodotto di serie? 7

9 Esempi Stabilire il carattere delle serie di termine ( ln ) + 2 n 1 n n(n + 1) 3n n n(n + 1) + 2n 3 n+1 8

10 Resto n-esimo di una serie convergente Premessa Studiare la serie di termine a n equivale a studiare la successione {S n }, che è definita per ricorrenza; in alcuni (pochi!) casi particolari si riesce a scriverla in forma chiusa. In generale si ricorre ai criteri di convergenza e, stabilito che la serie converge, si calcola un valore approssimato della sua somma S. Definiamo il resto n-esimo: Osservazioni R n := S S n (= k=n+1 a k ) Il resto n-esimo rappresenta l errore che si commette sostituendo alla somma S la somma parziale S n. Il resto n-esimo tende a 0 per n. 9

11 Osservazione Calcolare esattamente il resto n-esimo equivale a calcolare esattamente la somma della serie. Esempio: resto n-esimo della serie geometrica di ragione q ( 1, 1). Stima del resto e calcolo approssimato della somma Supponiamo che per un certo intero N si abbia R N α, cioè S S N α, cioè S N α S S N + α. Dato che S N è esplicitamente calcolabile, otteniamo un intervallo di ampiezza 2α che contiene la somma S (incognita). Se riusciamo a stabilire che S N approssima S per difetto [per eccesso], otteniamo una migliore approssimazione di S, cioè un intervallo di ampiezza α che contiene S : [ ] S N S S N + α SN α S S N 10

12 Serie a termini positivi La serie di termine a n si dice a termini positivi se a n 0 per ogni n; si dice a termini strettamente positivi se a n > 0 per ogni n. Esempi? Osservazione Se a n 0 per ogni n, la successione delle somme parziali costruita a partire da {a n } è monotona crescente. Conseguenze: una serie a termini positivi può solo convergere oppure divergere positivamente; (RSM + PS) se la serie converge, la somma parziale S n approssima per difetto la somma S e il resto R n è positivo. 11

13 Criterio dell integrale Sia a n > 0 per ogni n n 0. Sia f una funzione continua, positiva e decrescente in [n 0, + ) tale che f (n) = a n per ogni n n 0. Allora: la serie di termine a n converge se e solo se l integrale improprio + n 0 f (x) dx è convergente. In tal caso, detto R n il resto della serie, risulta Dimostrazione grafica 0 R n + n f (x) dx. Esempio Verificare che la serie di termine n 3 n2 (n 1) è convergente e scrivere un intervallo di ampiezza 10 4 che ne contiene la somma. 12

14 Proposizione La serie di termine 1 np converge se e solo se p > 1; in tal caso: 1 0 R n (p 1)n p 1 Verifica... Nota La serie di termine 1 n si chiama serie armonica. La serie di termine generalizzata di esponente p. 1, con p 1, si chiama serie armonica np 13

15 Esempi Stabilire se le serie aventi i termini seguenti convergono: 1 1 n n n 1 n 2 n 1 n 5 In caso affermativo, scrivere una maggiorazione del resto n-esimo e utilizzarla per determinare un intero N tale che approssimando la somma della serie con la somma parziale S N si commetta un errore inferiore a

16 Criterio del confronto Siano {a n } e {b n } tali che 0 a n b n per ogni n N. Se la serie di termine b n converge, anche la serie di termine a n converge. Inoltre: a n n=0 n=0 e, detti R n e R n il resto n-esimo della serie di termine a n e b n, rispettivamente, risulta 0 R n R n. Se la serie di termine a n diverge, anche la serie di termine b n diverge. Motivazione... Nota Le affermazioni sulla convergenza e divergenza valgono anche se le disuguaglianze 0 a n b n sono soddisfatte definitivamente. 15 b n

17 Esempi Stabilire se la serie di termine assegnato converge. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a n + ln(n) 2 n n ( ) 1 n sin n 4 n n n 2 n n n sin(n) 2 5n n 5 n

18 Digressione: serie numeriche e rappresentazione decimale Ricordiamo che un allineamento decimale è un espressione della forma ± c 0. c 1 c 2 c 3... dove c 0 è un intero naturale e c 1, c 2,... {0, 1, 2,..., 8, 9}. Se l allineamento decimale è infinito, la scrittura va intesa come ( ± c 0 + c c c ) ; l espressione tra parentesi è la somma della serie di termine a n := c n 10 n. Questa serie converge. Perché? Se l allineamento decimale è periodico, la somma è un numero razionale. Quale? 17

19 Criterio del confronto asintotico Siano a n, b n > 0 per ogni n n 0 ; supponiamo che entrambe le successioni siano infinitesime. Se a n b n, allora la serie di termine a n e la serie di termine b n hanno lo stesso carattere. Se a n = o(b n ) e la serie di termine b n converge, anche la serie di termine a n converge. Se a n = o(b n ) e la serie di termine a n diverge, anche la serie di termine b n diverge. Verifica... 18

20 Esempi Stabilire il carattere delle serie di termine n 2 n n + 1 n 5 + 4n + 3 ( ) n + 1 arctan n 3 + n ( ( )) 1 1 cos n ( n 2 ln ) n 8 4 ( ) 1 sin n n 3 + n 1 ( e 1/ n 1 ) n ln(n) 2n 3 n

21 Serie a segni alterni La serie di termine a n si dice a segni alterni se a n = ( 1) n b n oppure a n = ( 1) n+1 b n = ( 1) n 1 b n, con b n 0. Criterio di Leibniz Sia a n come sopra. Supponiamo che la successione {b n } sia infinitesima e decrescente. Allora: la serie di termine a n è convergente, detto R n il suo resto n-esimo, si ha R n b n+1 per ogni n N. Motivazione... 20

22 Esempio (da ricordare) La serie armonica alternata ( 1) n 1 1 n = converge. n=1 Esempio Stabilire in base al criterio di Leibniz che la serie di termine ( 1)n 2 n + 1 converge. Scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per determinare un intero N tale che la somma parziale S N approssimi la somma S a meno di Stabilire se S N è una approssimazione per eccesso o per difetto di S e scrivere un intervallo di ampiezza 10 2 che contiene S. 21

23 Osservazioni sulle ipotesi del criterio di Leibniz Se le ipotesi b n 0 e b n+1 b n sono soddisfatte per n n 0, si può concludere che la serie di termine ( 1) n b n converge. Inoltre, la stima del resto è valida per n n 0. Se i termini b n non sono (definitivamente) positivi, oppure la successione {b n } non è (definitivamente) decrescente, il criterio non è applicabile e la serie va studiata con altri strumenti. Se {b n } non è infinitesima, neppure {a n } lo è (perché?) e quindi si può concludere che la serie di termine a n non converge. Esempi Cosa si può dire sulle serie di termini seguenti? ( 1) n n 2 n + 7 ( 1) n n 2 n ( 1) n sin(n) n

24 Osservazione Per provare la monotonia di {b n } non basta guardare i primi termini! Possibili strategie: ricorrere alla definizione, cioè verificare che la disuguaglianza b n+1 b n è vera, oppure applicare il test di monotonia a una funzione prolungamento di {b n }. Esempio Stabilire se la serie di termine ( 1) n ln n n converge. 23

25 Convergenza assoluta Si dice che la serie di termine a n converge assolutamente se la serie di termine a n converge. Osservazioni Per le serie a termini di segno costante la nozione di convergenza assoluta coincide con quella di convergenza. Esistono serie convergenti che non convergono assolutamente; esse si chiamano condizionalmente convergenti. Esempio? Teorema Se la serie di termine a n converge assolutamente, allora essa converge e disuguaglianza triangolare a n a n con infiniti addendi n=0 n=0 Dimostrazione 24

26 Osservazione Possiamo studiare la assoluta convergenza della serie di termine a n applicando alla serie di termine a n i criteri per le serie a termini positivi. Confronto, confronto asintotico, dell integrale... Questa strategia è efficace solo se, in base al criterio scelto, la serie di termine a n converge; in caso contrario, sulla serie di termine a n non possiamo concludere nulla. Esempi Cosa si può dire sulle serie di termine sin(n) n e sin(n) n + 1? Vedremo due criteri più precisi... 25

27 Criterio della radice Sia {a n } una successione. Supponiamo che esista Allora: lim n a n =: L R. se L [0, 1), la serie di termine a n converge assolutamente; se L (1, + ], la serie di termine a n non converge. Dimostrazione Criterio del rapporto Sia {a n } una successione tale che a n 0 definitivamente. Supponiamo che esista lim a n+1 =: L R. a n Allora: valgono le medesime conclusioni del criterio precedente. Dimostrazione 26

28 Osservazioni Nel caso L = 1, i criteri della radice e del rapporto non permettono di stabilire il carattere della serie. Caso di indecisione Per esempio, per la serie armonica generalizzata si ha L = 1 indipendentemente dall esponente p ; tuttavia, per alcuni valori di p essa converge e per altri diverge. Il criterio della radice è più forte di quello del rapporto. I criteri della radice e del rapporto possono ovviamente essere applicati anche alle serie a termini positivi. In questo caso, le conclusioni diventano: se L [0, 1), la serie di termine a n converge; se L (1, + ], la serie di termine a n diverge positivamente. 27

29 Esempi Studiare la convergenza delle serie di termine ( cos(n) n + 2 ) n ( ) n + 1 n 2 n ( 2) n 3 n + n ( 3) n 2 n + n 2 n e n n 2 n n 2 + n sin(n) 4 n 3n 2 + n + 1 (n 4 + 2n 3 ) 5 n Tenere presente che n n 1 e n P(n) 1 Osservazione a n+1 a n Esempi: L [0, 1) = a n 0 { } { } n 3 a n 2 n (a R) n! criterio per stabilire se una successione è infinitesima 28

30 Serie di potenze Siano x 0 R e c 0, c 1, c 2,... R. La serie c n (x x 0 ) n n=0 si chiama serie di potenze di centro x 0 e coefficienti {c n }. Il carattere della serie cambia al variare di x in R. Per x = x 0 la serie converge e ha somma c 0. L insieme delle x per cui la serie converge è sempre un intervallo che contiene x 0 ed è simmetrico (estremi a parte) rispetto a x 0. La semi-ampiezza dell intervallo (che si chiama raggio di convergenza) si può determinare tramite il criterio della radice o del rapporto; la convergenza negli estremi si verifica con qualche altro criterio. 29

31 Esempi Determinare gli intervalli di convergenza delle serie n=1 ( 1) n 1 n x n n=0 x n n! n=0 1 2 n (x 3)n

32 Teorema (integrazione e derivazione termine a termine) Sia {c n } una successione e sia x 0 R. Supponiamo che la serie di potenze di centro x 0 e coefficienti {c n } converga nell intervallo A e poniamo f (x) = c n (x x 0 ) n per ogni x A. Allora: n=0 per ogni x A (con la possibile inclusione degli estremi) si ha x c estensione della proprietà n f (t) dt = x 0 n + 1 (x x 0) n+1 di linearità dell integrale rispetto alla somma n=0 per ogni x A (con la possibile esclusione degli estremi) si ha estensione della proprietà f (x) = n c n (x x 0 ) n 1 di linearità della derivata rispetto alla somma n=1 31

33 Esempio Partendo dalla uguaglianza n=0 x n = 1 1 x x ( 1, 1), ricavare la somma delle serie n=0 x n+1 n + 1 n x n 1 n=1 specificando l intervallo di validità. 32

34 Serie di Taylor Sia f una funzione derivabile indefinitamente in x 0. La serie di potenze f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n=0 si chiama serie di Taylor di f di centro x 0. Osservazioni Qual è la somma parziale n-esima? Per x = x 0, la serie di Taylor di f converge e la sua somma è f (x 0 ). Se la serie converge per qualche x x 0, la sua somma è f (x)? In generale: no! Esempio... Diciamo che f è sviluppabile in serie di Taylor di centro x 0 (anche: analitica in x 0 ) se esiste un intorno U di x 0 tale che per ogni x U la serie di Taylor di f converge in x e la sua somma è f (x). 33

35 Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari Le funzioni esponenziale, coseno e seno sono sviluppabili in serie di Taylor di centro 0. Precisamente: per ogni x R si ha e x x n = n! cos(x) = sin(x) = n=0 ( 1) n x 2n (2n)! n=0 n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! Verifica Applicazione: irrazionalità del numero di Nepero... 34

36 La funzione logaritmo naturale è sviluppabile in serie di Taylor di centro 1. Precisamente: per ogni x ( 1, 1] si ha ln(1 + x) = ( 1) n 1 x n n Verifica... n=1 35

37 Calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di precisione arbitrariamente fissato Procedimento: sviluppo in serie (di Taylor) della funzione considerata espressione del valore desiderato come somma di una serie numerica calcolo approssimato della somma della serie numerica Esempi Determinare valori approssimati a meno di 10 4 di sin(0.5) cos( 1) 1 5 e ln(1.1) ln(0.7) ln(10) 36

38 Esercizio Provare che arctan(x) = ( 1) n x 2n+1 per ogni x [ 1, 1]. 2n + 1 n=0 [Procedere come nella verifica della sviluppabilità della funzione logaritmo, 1 esprimendo la funzione come somma di una serie di potenze.] 1 + x 2 Utilizzare il punto precedente per determinare un valore approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10 2 ; specificare se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto. 37

39 Integrazione approssimata (utile quando non si può utilizzare la FFCI) Procedimento: sviluppo in serie (di Taylor) della funzione integranda sviluppo in serie (numerica) dell integrale definito calcolo approssimato della somma della serie numerica Esempi Calcolare un valore approssimato dell integrale definito con un errore inferiore a e x2 dx Approssimare l integrale definito inferiore a sin(x) x dx con un errore 38

40 V E R I F I C H E E D I M O S T R A Z I O N I 39

41 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale n f (x) dx (in figura: n = 9) 0 40

42 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale a 1 + a a n = S n a 0 41

43 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale a 0 + a a n 1 = S n 1 42

44 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale S n a 0 n 0 f (x) dx S n 1 43

45 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale S n a 0 n 0 f (x) dx S n 1 = S a f (x) dx S 43

46 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale n n+1 n+2 n+3 a n+1 + a n+2 + a n = R n 44

47 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale n n+1 n+2 n+3 + n f (x) dx 45

48 Dimostrazione grafica : criterio dell integrale n n+1 n+2 n+3 R n + n f (x) dx 46

49 Serie armonica generalizzata con p = 5/2 e p = 5: confronto p = 5/2 p = 5 n S n stima di R n S n stima di R n

50 Dimostrazione: convergenza assoluta implica convergenza Per ogni t R: t t t = per ogni n: a n a n a n = per ogni n: 0 a n + a n 2 a n an converge = 2 a n converge = ( an + a n ) converge an converge = ( an ) converge ) = an converge 48

51 Dimostrazione: criterio della radice Ipotesi: lim n a n =: L Se 0 L < 1, posso scegliere ε > 0 tale che L + ε < 1. n an L = L ε < n a n < L + ε definit. = a n < (L + ε) n ) definit. = a n converge (L + ε) n converge Se L > 1 oppure L = + : n an L = n a n > 1 definit. = a n > 1 definit. = a n non tende a 0 a n non tende a 0 = a n non converge 49

52 Dimostrazione: criterio del rapporto Ipotesi: lim a n+1 a n =: L Se 0 L < 1, posso scegliere ε > 0 tale che L + ε < 1. a n+1 a n L = L ε < a n+1 a n < L + ε definit. Fisso n ν + 1: = ν N t.c. a n+1 a n < (L + ε) n ν a n = a n a n 1 a n 1 a n 2 a ν+2 a ν+1 a ν < (L + ε) n ν a ν a ν+1 a ν = a ν (L + ε) ν (L + ε)n 50

53 Quindi: a n a ν (L + ε) ν (L + ε)n definit. aν (L + ε) ν (L + ε)n converge ) = a n converge Se L > 1 oppure L = + : a n+1 a n L = a n+1 a n > 1 definit. = a n+1 > a n definit. = { a n } definit. strettam. crescente = a n non tende a 0 a n non tende a 0 = a n non converge 51

54 Verifica: analiticità della funzione seno Denoto con T n il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine n della funzione seno. Fisso x R; devo dimostrare che T n (x) sin(x). derivata (n + 1)-esima Esiste c x compreso tra x e 0 tale che della funzione seno sin(x) T n (x) = sin(n+1) (c x ) (n + 1)! x n+1 Osservo che sin (n+1) (c x ) 1, quindi: sin(x) T n (x) = sin(n+1) (c x ) (n + 1)! x n+1 x n+1 (n + 1)! 0 TCO = T n (x) sin(x) 52