Flusso Elettrico Legge di Gauss: Motivazione & Definizione Legge di Coulomb come conseguenza della legge di Gauss Cariche sui Conduttori

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Gilberto Carnevale
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La legge di Gauss mette in relazione i campi su una superficie gaussiana

1 Legge di Gauss Flusso Elettrico Legge di Gauss: Motivazione & Definizione Legge di Coulomb come conseguenza della legge di Gauss Cariche sui Conduttori La legge di Gauss mette in relazione i campi su una superficie gaussiana (superficie chiusa di forma arbitraria) con le cariche racchiuse dalla superficie stessa.

2 Flusso di un campo vettoriale Acos νa Per una superficie chiusa νa Esempio: flusso attraverso la superficie chiusa di fig. (e) ν A ν A ν A ν A ν A A A cos 1 3 A A cos essendo A A cos Il flusso attraverso una superficie chiusa di un campo uniforme, in assenza di sorgenti o pozzi, è nullo.

3 Flusso del campo elettrico EAcos EA

4 Flusso elettrico E A E per A E E da Il flusso elettrico Φ attraverso una superficie gaussiana è proporzionale al numero di linee di campo elettrico passanti attraverso la superficie

Teorema di Gauss Relazione generale tra il flusso

la carica elettrica contenuta all interno di questa

E utile solo nei casi in cui vi è alta simmetria

5 Teorema di Gauss Relazione generale tra il flusso elettrico totale Φ attraverso una superficie chiusa e la carica elettrica contenuta all interno di questa superficie. d E E A S q in mette in relazione E e q. E utile solo nei casi in cui vi è alta simmetria (spaziale). Matematicamente il vero problema è svolgere l integrale!!!

6 Flusso attraverso superfici chiuse (esempi) S 1 S 2 S q 3 S S S q 1 q q 2 3

7 Leggi fondamentali dell Elettrostatica Legge di Coulomb Forza tra cariche puntiformi OPPURE Legge di Gauss Relazione tra Campi Elettrici e cariche

8 Legge di Gauss Legge di Gauss (è una LEGGE FONDAMENTALE): Il flusso elettrico netto Φ attraverso una qualunque superficie chiusa (gaussiana) è proporzionale alla carica racchiusa da tale superficie. E ds q E int Come usare questa equazione? É molto utile nel trovare E quando la situazione fisica presenta elevati gradi di SIMMETRIA.

9 La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto Φ di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa (gaussiana) con la carica netta q int che è racchiusa all interno della superficie. E ds q int Legge di Gauss q E int S 1 : 1 =+q S 2 : 2 =-q S 3,S 4 : 3 = 4 =

Derivazione legge di Coulomb da legge di Gauss Simmetria

sfericamente simmetrico Disegnamo una sfera di raggio R

E è normale in ogni punto sulla superficie E ds EdS E è

E fuori dell integrale! 2 E ds EdS E ds 4 R E Pertanto,!

10 Derivazione legge di Coulomb da legge di Gauss Simmetria il campo E di una carica puntiforme è radiale e sfericamente simmetrico Disegnamo una sfera di raggio R centrata sulla carica. Perchè? E è normale in ogni punto sulla superficie E ds EdS E è identico in ogni punto sulla superficie possiamo portare E fuori dell integrale! 2 E ds EdS E ds 4 R E Pertanto,! legge di Gauss libertà di scelta della superficie, purchè sia Gaussiana 4R E Q E R 1 Q +Q R E

11 Linea infinita di densità di carica Simmetria campo E deve essere ^ alla linea e dipendere solo dalla distanza r dalla linea (E radiale) SCEGLIAMO come superficie Gaussiana un cilindro di raggio r e lunghezza h allineato con l asse x. Applichiamo la legge di Gauss e sia la densità uniforme di carica: Agli estremi, sup. laterale, E ds q E interna E ds (E radiale) E ds rhe e q h 2 r y E r x h E r 2 e interna E diretto verso esterno E diretto verso interno

12 Lamina isolante infinita e carica Simmetria: direzione di E = asse x SCEGLIAMO come superficie Gaussiana un cilindro il cui asse sia allineato con quello x. Applicare Legge Gauss: sup. laterale, agli estremi, E ds la carica racchiusa = A Eguagliando alla carica racchiusa E ds 2AE A E E 2EA A E x 2 Risultato: una lamina infinita carica crea un campo elettrico COSTANTE.

13 Teoremi degli strati sferici Il campo elettrico interno ad uno strato sferico uniformemente carico è nullo. Il campo elettrico esterno ad uno strato sferico uniformemente carico è lo stesso di quello prodotto da un oggetto puntiforme con la stessa carica concentrata al centro dello strato. Per simmetria, il campo elettrico deve dipendere solo da r ed essere diretto radialmente ovunque. Applichiamo la legge di Gauss a S 1 e S 2

14 Prova dei teoremi degli strati sferici Campo esterno: Applichiamo Gauss a S 2, si ha q 2 E (4 r ) E 1 4 q r 2 Campo interno: Applichiamo Gauss a S 1, si ha 2 E (4 r ) E

15 Distribuzioni di carica a simmetria sferica

16 Sfera uniformemente carica Qual è l intensità del campo elettrico dovuto ad una sfera solida di raggio a con densità di carica uniforme (C/m 3 )? a r all esterno della sfera: (r>a) Si ha simmetria sferica rispetto al centro della sfera di carica Pertanto, scegliamo una superficie Gaussiana = sfera cava di raggio r Legge Gauss E ds q 2 E ds 4 r E 4 interna 3 3 qinterna a E E r 4 r q a q

17 Sfera uniformemente carica Esterno sfera: (r>a) Interno sfera: (r<a) E a 3 r a Rimane la simmetria sferica rispetto al centro. Scegliamo ancora superficie Gaussiana = sfera di raggio r 3 2 r Legge Gauss Ma, Quindi: 2 E ds 4 r E 4 r 3 q 3 E 3 r q Interno E a Esterno E r a 3 r 3 2

Conduttori & Isolanti Consideriamo come la carica è trasportata su oggetti macroscopici. Assumiamo per semplicità che esistano solo due tipi di oggetti: Isolanti.

18 Conduttori & Isolanti Consideriamo come la carica è trasportata su oggetti macroscopici. Assumiamo per semplicità che esistano solo due tipi di oggetti: Isolanti... In questi materiali, una volta carichi, le cariche NON POSSONO MUOVERSI. Plastica, vetro, e altri cattivi conduttori di elettricità sono esempi di isolanti. Conduttori... In questi materiali, le cariche SONO LIBERE DI MUOVERSI. I metalli sono esempi di conduttori. Esempio di moto delle cariche in un conduttore Sfera conduttiva cava una volta caricata all interno, tutta la carica si muove all esterno.

Cariche su un conduttore Abbiamo appena visto che le cariche si muovono sempre alla superficie di un conduttore. Perchè? la legge di Gauss ci da la risposta!

19 Cariche su un conduttore Abbiamo appena visto che le cariche si muovono sempre alla superficie di un conduttore. Perchè? la legge di Gauss ci da la risposta! all equilibrio (elettrostatico) E= all interno di un conduttore! Perchè? Se E, allora le cariche dovrebbero essere soggette a delle forze e quindi dovrebbero muoversi! Pertanto secondo la legge di Gauss, la carica su un conduttore deve necessariamente risiedere solo sulla superficie!

20 Esercizio Una carica puntiforme di -5.mC è posta a una distanza R/2 dal centro di un guscio metallico di raggio R. Se il guscio è elettricamente neutro, quali sono le cariche (indotte) sulla superficie interna e esterna? Le cariche sono uniformemente distribuite? Qual è lo schema dl campo all interno e all esterno del guscio?

Esercizio Consideriamo una superficie gaussiana sferica

Legge di Gauss Q netta = Ci deve essere una carica +5.

in posizione asimmetrica, la distribuzione di carica è

mc Distribuzione negativa è uniforme (guscio sferico)

21 Esercizio Consideriamo una superficie gaussiana sferica nel guscio metallico E= all interno del metallo Φ S = Legge di Gauss Q netta = Ci deve essere una carica +5. mc su parete interna guscio Poichè la carica puntiforme è in posizione asimmetrica, la distribuzione di carica è asimmetrica. Guscio neutro parete esterna con -5. mc Distribuzione negativa è uniforme (guscio sferico) linee di forza perpendicolari e asimmetriche (interno) simmetriche (esterno)

Campo elettrico vicino un conduttore carico Scegliamo una superficie cilindrica Gaussiana con una superficie circolare interamente all interno del conduttore.

Il flusso è nullo attraverso la parete laterale o la parte terminale interna Il flusso totale attraverso la superficie Gaussiana coincide con quello attraverso la parte terminale

22 Campo elettrico vicino un conduttore carico Scegliamo una superficie cilindrica Gaussiana con una superficie circolare interamente all interno del conduttore. Il campo elettrico deve essere perpendicolare alla superficie (nessuna forza, nè corrente!). Il flusso è nullo attraverso la parete laterale o la parte terminale interna Il flusso totale attraverso la superficie Gaussiana coincide con quello attraverso la parte terminale esterna. Assumendo che la densità di carica (carica per unità di area) sia σ, avremo, secondo la legge di Gauss EA A E Comunque, in generale,il campo elettrico varia lungo la superficie del conduttore, perchè cambia la densità di carica superficiale, a meno che il conduttore non sia sferico.

23 Due piatti conduttori Quando i piatti sono isolati (casi (a) e (b), il campo elettrico vicino un conduttore carico à dato da: - E 1 tenuto conto di: proprietà dei conduttori sovrapposizione Cosa accade se i due piatti sono portati uno accanto all altro?

L intensità del campo elettrico è il doppio di quella nel caso del piatto isolato ed è nulla altrove.

24 Due piatti conduttori La carica in eccesso su un piatto attrae la carica in eccesso sull altro piatto. La densità di carica superficiale si annulla sulle facce esterne ma si raddoppia su quelle interne. L intensità del campo elettrico è il doppio di quella nel caso del piatto isolato ed è nulla altrove. Il caso (c) non è una sovrapposizione dei casi (a) e (b), poichè le cariche elettriche vengono redistribuite su entrambi i piatti quando essi vengono accostati.

25 Legge di Gauss: guida per i problemi La legge di Gauss è SEMPRE VALIDA!! E ds q interna Che cosa si può fare con questa relazione? Se vi è una simmetria (a) sferica, (b) cilindrica, o (c) planare e, INOLTRE: Nota la carica (lato destro), si può calcolare il campo elettrico (lato sinistro) Noto il campo (lato sinistro, generalmente perchè E= dentro il conduttore), si può calcolare la carica (lato destro).

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