Il Modello di Markowitz e la frontiera efficiente (1952)

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1 Il Modello di Markowitz e la frontiera efficiente (1952)

2 Introduzione La selezione di portafoglio consiste nella ripartizione di un capitale tra più investimenti di reddito aleatorio Il capitale da ripartire si presuppone unitario e le quote investite sono espresse in percentuale Si ripartisce il capitale su n asset Si considerano le variazioni del modello nel caso vi sia un titolo con rendimento certo L'idea è quella di scegliere il portafoglio che a parità di rendimento ha il minor rischio (ossia minor varianza) e questo è possibile quando c'è anticorrelazione

3 Portafoglio lognormale Supponiamo di avere un portafoglio con n assets n t= i=1 i S i t e che gli asset evolvano in maniera browniana geometrica S i = i S i ts i t i e che i differenziali abbiano correlazione E [ i j ]= i j i i = i 2

4 Allora l'evoluzione puo' esser riscritta nel continuo come da cui si suggerisce di introdurre le variabiali con distribuzione d log 0 e it t S i 0 con le quali il portafoglio diviene S i px 1,.. x n = =d z i ' =d t i ' S i t =S i 0 e i t t 0 e x i 1 2t t 0 n det exp 1 n = i=1 i S i 0 e it t 0 e x i i = i i 2t t 0 1 i j x i x j

5 Usando le (quasi) ovvie relazioni E [e x i ]=exp 1 2 i it t 0 E [e 2 x i ]=exp 2 i i t t 0 E [e x ix j]=exp [ i j 1 2 i i 1 2 j j t t 0] Otteniano che il portafoglio ha media n E t []= i=1 = i i S i 0 exp i t t 0 i S i 0 exp i t t 0 exp 1 2 i i n =E t [ ] 0~ i=1 i S i 0 i t t 0 O t t 0 2

6 Usando le precedenti relazioni il portafoglio ha varianza Var t []= i j i j S i 0 S j 0 exp i j t t 0 [ exp i j 1 2 i i 1 2 j j i i 2 S i 0 t t 0 exp 1 2 i i 1 2 j j t t 0] 2 exp 2 i t t 0 exp 2 i i t t 0 exp i i t t 0 = i j i j S i0 S j 0 exp i j t t 0 [exp i j t t 0 1 ] i 2 i S 2 i 0 exp 2 i t t 0 exp i i t t 0 1 ~ i, j i j S i 0 S j 0 i j t t 0 O t t 0 2

7 Si possono considerare due limiti dell'evoluzione del precedente portafoglio Il caso per tempi brevi (utile per il VaR) Il caso di distribuzione normale che si ottiene come nel caso precedente e che è alla base della teoria di Markowitz

8 Assunzioni alla base del modello di Markowitz Il modello è costruito in un mondo media varianza I rendimenti dei vari asset si ipotizzano distribuiti normalmente Quando necessario, si ipotizza anche l esistenza di un titolo a rendimento certo

9 Notazione s = s S s 0 t 0 quota investita nel titolo s (s=1..n ) a t=0 n s =1 vincolo di esaurimento del capitale s=1 (è solo una normalizzazione a t=0) Il vincolo non sempre imposto s 0 indica che non sono consentite vendite allo scoperto R s =μ s rendimento del titolo s rendimento totale di portafoglio n R= s=1 R s s

10 Operatori e contesto µ,σ Fondamentali i concetti di: valore medio: varianza: Var[ R]=E [ R 2 ] E [ R] 2 = r=1 n = s=1 s 2 Var [ R s ]2 r=1 Se si dice che R domina R' n E [ R]= s=1 s E [ R s ] n n 1 n s=1 n s=r1 E [ R]E [ R ' ] e Var[ R]Var[ R ' ] r s Cov [ R s, R r ] r s Cov[ R r, R s ]

11 Tante possibilità Se ci sono molti portafogli, il criterio media-varianza permette comunque di fare una prima selezione su quelli più interessanti, scartandone subito alcuni. A parità di σ si sceglie il portafoglio con µ maggiore. Tra i punti rimasti, a parità di µ si scelgono solo quelli con σ minore. La frontiera efficiente è l unione dei punti V così scelti. µ V 1 µ V 3 V 2 σ σ Il criterio non permette però di scegliere tra i punti lungo la frontiera efficiente.

12 Formalizzazione: n titoli aleatori Notazione: Rispettivamente vettore colonna unitario (e), vettore dei rendimenti medi (μ) e vettore dei pesi degli n titoli (ω), matrice delle varianze-covarianze (Σ). e=[ ] = r μ=[ μ1 μ μ n ] s = Cov [Rs, Rs] Σ è simmetrica con le varianze dei titoli sulla diagonale principale.

13 Formalizzazione: n titoli aleatori Data la notazione precedente si può scrivere: E [ R]= T Var [ R]= T Il problema di ottimizzazione è: dati i vincoli: min T T =k e T =1

14 Formalizzazione: n titoli aleatori Si usa una funzione lagrangiana L= T y 1 k T y 2 1 e T R n, y 1, y 2 R e imponendo la condizione di prim ordine si ha: 2 y y e T T T 1 2 T k T e 1

15 Formalizzazione: n titoli aleatori se si pone: T 1 T 1 T 1 e e T 1 e e si può risolvere il sistema trovando: NB richiede riskfree 1 2 y 2 =α kβ αγ β y 1 =kγ β αγ β 2 k k e T T 1 T det 0 e quindi non si può avere un

16 Formalizzazione: n titoli aleatori Moltiplicando il vettore ω si avrà un espressione che ci consente di esprimere la varianza in relazione al rendimento voluto: σ 2 = k γ 2 2 k β α αγ β 2 NB: Per verificare che questo è il minimo si dovrebbe calcolare l'hessiano

17 Formalizzazione: n titoli aleatori Il vettore dei pesi del portafoglio in funzione del rendimento atteso µ è al vertice dell iperbole: T 1 T 1 e ed il vertice ha coordinate k = ; = 1

18 Introduzione di vincoli di non negatività Se si impone s 0 non è più possibile vendere allo scoperto alcuni titoli ma il procedimento per la soluzione resta il medesimo. il vettore dei pesi non ha valori negativi: la soluzione è accettabile anche col nuovo vincolo il vettore dei pesi ha valori negativi: risolvo nuovamente il problema escludendo dalla rosa dei titoli componenti la frontiera efficiente quelli risultati con pesi negativi Ovviamente la nuova frontiera (composta da m titoli con m < n) non supera in alcun punto la frontiera costruita con n titoli con implicazioni evidenti in termini di rapporto rischio - rendimento.

19 Formalizzazione: n titoli aleatori ed uno certo Data la notazione precedente si può scrivere (con ω 0 la percentuale investita nel certo): E [ R]= T R F 0 Var [ R]= T Il problema di ottimizzazione è: min T dati i vincoli: T R F 0 =k e T 0 =1

20 Formalizzazione: n titoli aleatori ed uno certo Il problema si riduce a quello precedente trovare: dati i vincoli: min se si definisce il vettore T = k = k rr F e T =1 = 1 0 e la soluzione è simile a quella di 1 aleatorio e 1 certo

21 Correlazione e diversificazione Si considerino due titoli rischiosi tali che: E R E R 2 Var R 2 Var R Si ipotizzi perfetta correlazione positiva: Cov R, R dato che ρ 12 = Non è consentito indebitarsi: Media e varianza: 1 E R Var R

22 Correlazione e diversificazione Media e varianza sono: 1 E R = Come scegliere? 1 2,1 0 E[u, ]=

23 Correlazione e diversificazione L equazione della frontiera efficiente diventa: 2 2 / La linea dei portafogli efficienti è data dal segmento AB

24 Correlazione e diversificazione In caso di perfetta correlazione negativa: Cov R, R dato che ρ 12 = Var R / Teoricamente scegliendo il portafoglio si può ottenere un rendimento certo da due investimenti aleatori. NB Le due rette sono dovute 2 ai due segni della radice di σ 2

25 Correlazione e diversificazione Se invece i due titoli non sono perfettamente correlati si ha: Cov R, R con ,2 La relazione media - varianza diventa: 1 ρ 1,2 1 σ =μ μ 2 2 σ 1 2 μ 1 μ 2 σ μ μ 2 μ 1 μ ρ 1,2 σ 1 σ 2 Una parabola nel piano ed un iperbole in quello σ μ. σ 2 μ La diversificazione ha consentito di ottenere una variabilità di portafogio minore rispetto a quella delle due componenti prese separatamente.

26 r ρ=ρ Correlazione e diversificazione A partire da quale valore di σ 2 μ si osserva per la prima volta l effetto di contrazione della deviazione std di portafoglio? La correlazione tra gli asset deve essere tale che punto di minimo (quello sul punto di svolta della parabola nel piano) si trovi all interno dell intervallo [ μ 1, μ 2 ]. quando il punto di minimo è situato in µ 1. Bisogna imporre: dσ 2 dμ μ= μ 1 =0 ottenendo dopo aver postoµ = µ 1 : 2 μ 1 μ 2 σ 1 2 2ρ 1,2 σ 1 σ 2 μ 2 μ 1 =0 risolvendo si ha: ρ 1,2 =σ 1 /σ 2 dunque più σ 1 e σ 2 sono prossime, più è facile osservare contrazione nella frontiera.

27 Cenni sulla CML La forma della frontiera efficiente dipende dalle aspettative dei soggetti su rendimenti volatilità e correlazione, ogni investitore traccerà perciò una frontiera differente secondo le sue previsioni dato: L orizzonte temporale e le attività disponibili sul mercato La stima di rendimenti attesi, deviazioni standard e correlazioni tra attività Le preferenze circa volatilità e rendimento

28 Ipotesi: gli investitori hanno omogeneità di attese e comportamento razionale, tracceranno perciò Rla F medesima frontiera efficiente ed uno solo sarà il portafoglio di tangenza con la retta passante per tale portafoglio è indicato come il portafoglio di mercato Dalla combinazione tra portafoglio di mercato e portafoglio rischioso otteniamo l equazione di una retta che è detta Capital Market Line (CML): R P =R F σ P σ M R M R F RF