Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sulla prima metà del corso

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1 Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sulla prima metà del corso Marco Bramanti Politecnico di Milano April 20, 2017 Cap. 1. Elementi di analisi funzionale 1.1. Generalità sugli spazi di funzioni 1. Si diano le definizioni di: spazio vettoriale, spazio vettoriale normato; spazio metrico; successione di Cauchy; spazio metrico completo; spazio di Banach. Si facciano esempi di: -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale normato; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo; -uno spazio di funzioni che è sia vettoriale che metrico ma la cui distanza non proviene da una norma Convergenza uniforme per successioni e serie di funzioni 2. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C 0 ([a, b]) è di Banach. 3. Per una successione di funzioni f n : Ω R, con Ω R n, definire le nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Enunciare quindi (senza dimostrazione) i vari teoremi studiati che, sotto opportune ipotesi che coinvolgono il concetto di convergenza uniforme, garantiscono che certe proprietà di f n si trasferiscono al limite f. Mostrare quindi con esempi che, se viene a cadere l ipotesi di convergenza uniforme, le conclusioni dei precedenti teoremi possono venire a cadere. 1

2 4. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. 5. Enunciare con precisione il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. Quindi, utilizzando il teorema precedente, dimostrare la completezza dello spazio C 1 ([a, b]) con la norma opportuna. 6. Dopo aver richiamato il concetto di convergenza puntuale, uniforme, totale, per una serie di funzioni a valori reali, enunciare i teoremi che riguardano la continuità e la derivabilità della somma di una serie di funzioni. Spiegare il diverso comportamento delle serie di potenze e delle serie trigonometriche dal punto di vista della derivabilità termine a termine. 7. Si definiscano con precisione gli spazi di funzioni infinitamente derivabili C [a, b] e C0 (a, b) e si faccia un esempio di funzione (non identicamente nulla!) f C0 (a, b). A questi spazi si può dare una struttura di spazi vettoriali normati? E di spazi di Banach? Cap. 2. Teoria della misura e dell integrazione 1. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, cioè si dica cosa sono Ω, M, µ, definendo in dettaglio i concetti coinvolti di sigma algebra e misura. Fare poi diversi esempi di spazi di misura. 2. Enunciare dettagliatamente il teorema che afferma l esistenza della misura di Lebsegue in R n e le sue proprietà. 3. Dare la definizione di funzione misurabile su uno spazio di misura astratto (Ω, M, µ) e ricordare le principali proprietà delle funzioni misurabili. Enunciare quindi il teorema che permette di approssimare una funzione positiva e misurabile mediante funzioni semplici, scrivendo esplicitamente l algoritmo di approssimazione nel caso µ (Ω) < e f limitata. 4. In un generico spazio di misura (Ω, M, µ), illustrare come si definisce l integrale, prima per una funzione misurabile positiva e poi per una funzione di segno qualunque o a valori complessi. Richiamare le definizioni dei principali concetti coinvolti. Enunciare quindi le proprietà elementari dell integrale in questo contesto (linearità, monotonia...). 5. Definire con precisione lo spazio L 1 (Ω) in uno spazio di misura astratto (Ω, M, µ). Quale procedimento è necessario per rendere L 1 (Ω) uno spazio vettoriale normato? Spiegare in dettaglio il problema che ha a che fare con l uguaglianza quasi ovunque delle funzioni. 6. Enunciare il teorema della convergenza monotona il teorema della convergenza dominata per l integrale di Lebesgue e fare esempi di applicazioni. Enunciare quindi i teoremi di integrazione per serie che valgono per l integrale di Lebesgue. 7. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue: enunciare il teorema che dà una condizione necessaria e suffi ciente affi nché una funzione sia Riemann integrabile; enunciare il teorema che afferma la relazione tra in- 2

3 tegrabilità secondo Riemann (in senso proprio, non generalizzato) e secondo Lebsegue. Mostrare con un contresempio che l implicazione inversa non vale. Infine, discutere la relazione tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann generalizzato. 8. Nel contesto della teoria dell integrale di Lebesgue, si enuncino con precisione il teorema di derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, cioè una funzione del tipo F (x) = f (x, y) dy, Ω e il teorema sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro, e si dimostri il teorema di derivazione. 9. Si enunci con precisione il teorema di Fubini-Tonelli che consente di trattare gli integrali doppi nella teoria di Lebesgue. Si discuta poi qualche applicazione di questo teorema che si è incontrata nel corso. 10. Si definisca cosa si intende per convoluzione di due funzioni in R n e si enunci e dimostri un risultato preciso che riguarda la convoluzione di due funzioni L 1 (R n ). Si enunci poi il risultato analogo che estende il precedente a spazi L p. Infine, si dica come si esprime la convoluzione di due funzioni f, g : R R che si annullano per x < 0, e sotto quali ipotesi è ben definito. 11. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ) e illustrarne le principali proprietà studiate (in particolare, ma non solo, la disuguaglianza di Hölder). 12. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ]. Quindi illustrare le relazioni di inclusione che valgono tra spazi L p (Ω) quando Ω ha misura finita, dimostrandole. Cap.3. Operatori e funzionali lineari continui 1. Operatori lineari continui tra due spazi vettoriali normati: si enunci con precisione il teorema che sta alla base della definizione di operatore lineare continuo, si dia quindi questa definizione e la definizione di norma di un operatore. Si faccia qualche esempio di operatore lineare continuo tra spazi di funzioni. 2. Si dia la definizione di funzionale lineare continuo su uno spazio vettoriale normato, norma di un funzionale lineare continuo, spazio duale di uno spazio vettoriale normato. Si faccia qualche esempio di funzionale lineare continuo sugli spazi di funzioni incontrati nel corso e si faccia un esempio incontrato nel corso di caratterizzazione dello spazio duale di un certo spazio vettoriale normato. 3

4 Cap.4. Spazi di Hilbert, metodi di ortogonalità e problemi di Sturm-Liouville Spazi di Hilbert: geometria e analisi di Fourier 1. Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare e norma indotta dal prodotto scalare, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. 3. Dare la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare, spazio di Hilbert, e fare esempi di spazi di Hilbert, di spazi con prodotto scalare che non sono di Hilbert, e di spazi di Banach che non sono di Hilbert, giustificando le proprie affermazioni. 4. Dare la definizione di sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert e spiegare cos è e a cosa serve il procedimento di ortonormalizzazione di Gram- Schmidt. Dire come si ottengono i polinomi di Legendre, Laguerre e Hermite ortonormalizzando le potenze in opportuni spazi di Hilbert, e illustrare in dettaglio questo procedimento in uno dei tre casi, per le potenze 1, x, x Dopo aver richiamato la definizione di spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema della proiezione su un sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert. 6. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale (finito o numerabile) in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bessel. 7. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale completo (s.o.n.c.) in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema che riguarda la trasformata e le serie di Fourier in spazi di Hilbert, rispetto a un s.o.n.c. 8. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale completo in uno spazio di Hilbert, fare esempi di sistemi ortonormali completi, in opportuni spazi di funzioni, incontrati nel corso. 9. Presentare in dettaglio il procedimento con cui si risolve (per separazione delle variabili ) il problema della corda vibrante fissata agli estremi, in cui si cerca una funzione u (x, t) che risolve: 2 u t c 2 2 u 2 x = 0 per x (0, L), t > 0 2 u (0, t) = u (L, t) = 0 per t > 0 u (x, 0) = u 0 (x) per x (0, L) (x, 0) = 0 per x (0, L). u t Problemi di Sturm-Liouville e polinomi ortogonali 1. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affer- 4

5 mazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni. 2. Dimostrare che per l equazione di Legendre ( 1 x 2 ) y 2xy + λy = 0 per x ( 1, 1) tra loro ortogonali in L 2 ( 1, 1). 3. Dimostrare che per l equazione di Laguerre xy + (1 x) y + λy = 0 per x (0, + ) tra loro ortogonali nell opportuno spazio di Hilbert. 4. Dimostrare che per l equazione di Hermite y 2xy + λy = 0 per x R tra loro ortogonali nell opportuno spazio di Hilbert. 5