LA FUNZIONE DESCRITTIVA

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1 LA FUNZION DSCRITTIVA Consideriamo un generico blocco descritto da una funzione di trasferimento ingresso-uscita lineare. et a bs+c Blocco LINAR ut Fig.. Funzione di trasferimento I-O lineare La classica definizione di risposta in frequenza implica di porre in ingresso al blocco lineare una sinusoide di pulsazione ω e di misurare l uscita. Nel caso di stabilità e di linearità si otterrà in uscita un segnale sinusoidale con stessa pulsazione ω dell'ingresso, ma con modulo e fase diversi. La risposta del sistema alle diverse frequenze trova una rappresentazione grafica nei diagrammi di Bode o di Nyquist, o di Nicols. In sintesi, funzione sinusoidale di ingresso et sen ωt si misura un uscita ut Bsen ωt+ ϕ e si individua un punto nei diagrammi di Bode in modulo e fase. Consideriamo ora un generico blocco descritto da una funzione di trasferimento ingresso-uscita non lineare. Fig.. Funzione di trasferimento I-O non lineare Ponendo una sinusoide in ingresso al blocco non lineare si misureranno in uscita non soltanto una componente isofrequenziale con l ingresso, ma ance altre armonice. In sintesi, funzione sinusoidale di ingresso et sen ωt si misura un uscita ut Bsen ωt+ ϕ + γ t dove il termine γ t indica tutte le armonice di ordine superiore al primo. Il cosiddetto modello di Lur è descrive un sistema in feedback, ce a in catena diretta una non linearità di tipo algebrico, vale a dire indipendente dalla frequenza e univocamente determinata dalla relativa caratteristica statica si esclude cioè il caso di non linearità descritta da una equazione differenziale.

2 r r ingresso et ut m yt ns+p Blocco NON LINAR Gs Fig. 3. Modello di Lur é NOTA: il metodo esposto in seguito è in realtà applicabile ance a non linearità ce dipendono dalla frequenza, ma ciò comporta notevoli complicazioni nell implementazione. Il sistema è autonomo, ovvero l ingresso r è considerato nullo: la condizione non è particolarmente restrittiva, percé può rappresentare una linearizzazione del sistema attorno al punto di lavoro ciò equivale a una traslazione degli assi ce porti l origine del sistema di riferimento a coincidere con il punto di lavoro. L ipotesi implicita ce viene assunta al fine di ottenere sistemi linearizzati con ingresso nullo è ce il sistema da linearizzare abbia ingressi costanti o lentamente variabili, poicé il concetto di punto di lavoro è legato a una condizione di funzionamento a regime. In sistemi non lineari reali si osserva spesso l insorgenza di oscillazioni persistenti attorno alla condizione di equilibrio. Nel modello di Lur è ciò si traduce in un uscita yt A sinωt, ce si riporta in ingresso del sistema con l anello di reazione: poicé l ingresso r è nullo, il segnale et è allora anc esso sinusoidale e vale et - yt. L uscita ut del blocco non lineare, composta da una sinusoide isofrequenziale con et e dalle armonice di ordine superiore, costituisce l ingresso del processo Gs, il quale risponde alle diverse componenti frequenziali di ut in base alla propria funzione di trasferimento. La maggior parte dei sistemi fisici reali sono passa-basso, cioè attenuano le componenti ad alta frequenza. Ritornando alla descrizione con il modello di Lur è, nell ipotesi ce il processo Gs sia passa-basso, si ottiene ce la risposta di Gs all ingresso ut è segnale con pulsazione ω, percé le componenti frequenziali con pulsazioni più elevate vengono fortemente attenuate dal processo stesso. Pertanto è possibile ottenere un uscita equivalente del processo, sostituendo al blocco non lineare un blocco lineare D, ce fornisca solo la risposta della non linearità alla pulsazione di prima armonica ω. D è il guadagno equivalente lineare per la non linearità rispetto ad una analisi di prima armonica, e viene definito FUNZION DSCRITTIVA. DFINIZION: la funzione descrittiva è una funzione di variabile complessa, definita dal rapporto tra la prima armonica del fasore di uscita e il fasore del segnale di ingresso.

3 B D con : B : ampiezza della prima armonica dell uscita : ampiezza dell ingresso sinusoidale jϕ e ϕ : sfasamento tra il segnale di ingresso e la prima armonica dell uscita Nell ipotesi di non linearità indipendente dalla frequenza come assunto in precedenza nel modello di Lur è la funzione descrittiva dipende soltanto dall ampiezza del segnale in ingresso: D Va messo in rilievo ce la linearizzazione di prima armonica a senso solo se il processo Gs è passa basso; in caso contrario è necessario ricorrere ad analisi armonice di ordine superiore per esempio i metodi di Zypkin. r r ingresso et ut FUNZION DSCRITTIVA m ns+p Gs yt Fig.. Modello con linearizzazione di prima armonica La funzione di trasferimento in anello ciuso del sistema linearizzato è: G s W s + G s Quindi l equazione caratteristica del sistema diventa: + D G s, cioè G jω. Se l equazione caratteristica è verificata, il sistema si trova esattamente in condizione critica per la stabilità, il ce corrisponde nel caso lineare all attraversamento dell asse immaginario sul luogo delle radici: in tale situazione il sistema oscilla. condizione ce corrisponde graficamente sul diagramma di Nyquist all intersezione tra Gjω, funzione di trasferimento del processo lineare, e -/, inversa della funzione descrittiva della non linearità statica. Dal punto di intersezione sul diagramma di Nyquist è possibile ricavare i parametri

4 ce definiscono l ampiezza * e la pulsazione ω* dell oscillazione: nei limiti delle approssimazioni considerate sono i valori di oscillazione effettivamente misurati nei sistemi reali. In generale nel piano di Nyquist possono trovarsi più intersezioni tra Gjω e -/, ognuna delle quali individua parametri diversi di oscillazione. La stabilità di una oscillazione può essere valutata con l'uso del criterio di Loeb. DFINIZION: una oscillazione è stabile quando mantiene ampiezza costante. RGOLA DI LOB. Si considerino le tangenti a -/ e Gjω nel punto di intersezione, con verso dato da crescente e ω crescente. Se la tangente di -/ si sovrappone alla tangente di Gjω dopo una rotazione oraria di un angolo inferiore a, allora l oscillazione è stabile, cioè si mantiene a regime inalterata. sempi di calcolo della funzione descrittiva: il relé con soglia Fig.. Non linearità a relé con soglia Se e > l uscita è A Se e <- l uscita è -A Se <e< l uscita è Si supponga di inviare in ingresso alla non linearità un segnale sinusoidale con ampiezza maggiore di : et sen ω t, >

5 Fig.. Segnali di ingresso e di uscita dalla non linearità a relé con soglia Lo scatto nell uscita della non linearità si avrà quando: senα quindi: αarcsen All aumentare dell ampiezza del segnale sinusoidale d ingresso, la largezza degli impulsi in uscita aumenta; l allargamento massimo si a per. necessario, per il calcolo della funzione descrittiva, come già detto in precedenza, ricavare la prima armonica della forma d onda d uscita con lo sviluppo in serie di Fourier: ut a + [ a sen n t + b cos nωt ] ω 3 n n Poicè il segnale d ingresso è a simmetria dispari, esso è una serie di soli seni per cui i coefficienti a e bn sono nulli. necessario perciò calcolare soltanto a n : a n u ωt sen nωt d ωt Per n si ottiene il coefficiente di prima armonica; per la simmetria di semiperiodo della funzione integranda si a: Risolvendo 5: Ma: a Asen ωt d ωt 5 α a cosα A 6

6 cosα sen α 7 allora : Siccome: si a ce: a A sen 8 α sen α 9 a A se > quindi possibile calcolare la funzione descrittiva del relé con soglia: A se se e t e t < > Il grafico della funzione descrittiva è: Fig. 3. Funzione descrittiva del relé con soglia Spesso è comodo considerare la soglia normalizzata, funzione di /: Fig.. Funzione descrittiva normalizzata del relé con soglia Il massimo della, come si nota dalla Fig., si a in corrispondenza del valore di ascissa.

7 Per ricavare tale valore è necessario porre, per >: d D d ed eseguire i calcoli seguenti: d d da cui: d d quindi: 3 Da cui: 3 Il termine è sempre maggiore di zero percé >, perciò è necessario porre: da cui: q.e.d. Quando allora la vale : A D A D A D La funzione D vale, se > A D 3

8 ed è sempre minore di zero, percé è sempre positiva. Ciò indica ce la sua rappesentazione sul piano di Gauss apparterrà sempre al semiasse reale negativo; essa parte da meno infinito se sino a raggiungere il valor minimo quando. Per > la funzione torna a crescere in modulo sino a raggiungere di nuovo meno infinito se tende all infinito.. Fig. 5. Rappresentazione grafica sul piano di Gauss del relé con soglia Il caso del relé di ampiezza A rappresenta il limite del relé con soglia per. La sua funzione descrittiva, deriva dalla prima armonica dello sviluppo in serie di una forma d onda quadra. Per il relé Fig. 6. Rappresentazione grafica sul piano di Gauss del relé senza soglia La funzione descrittiva assume la seguente forma: A L andamento su un sistema di assi cartesiani è riportato sotto:

9 Fig. 7. Funzione descrittiva del relé senza soglia con A L andamento sul piano di Nyquist è una retta ce parte da zero e tende a meno infinito. 5 Fig. 8. Rappresentazione grafica sul piano di Gauss del relé senza soglia Vediamo ora un applicazione del metodo della funzione descrittiva al caso del relé per valutare la stabilità del ciclo limite. Criterio di Loeb: Ogni qual volta il vettore tangente alla Gjω nel senso di ω crescenti si sovrappone al vettore per crescenti con una rotazione antioraria di un angolo minore di, allora l oscillazione è stabile.

10 Fig. 9. Grafico sul piano di Gauss del relé senza soglia e interpretazione con il criterio di Loeb possibile estrarre una regola mnemonica, più semplice da ricordare: Ogni qual volta l intersezione tra Gjω e una generica avviene con vettori tangenti ce anno le stesse direzioni del caso del relé, allora l oscillazione è stabile. possibile valutare la stabilità dei cicli limite nel caso del relé con soglia: Fig.. Grafico sul piano di Gauss del relé con soglia per la valutazione della stabilità Ci sono due possibili casi da valutare: La Gjω in blu in Fig. non interseca la della soglia. In tal caso, non si generano oscillaziona permanenti; La Gjω in blu in Fig. interseca la della soglia. In tal caso, si anno due intersezioni e quindi due punti di oscillazione possibili. Applicando la regola di Loeb: punto A oscillazione instabile punto B oscillazione stabile

11 Si nota ce l intersezione del punto A genera un ciclo limite con diversa ampiezza dell oscillazione rispetto al caso B, a pari frequenza. Fig.. Funzione descrittiva del relé con soglia per la valutazione della stabilità Spesso una specifica del problema è quella di evitare l insorgenza di oscillazioni permanenti. Una soluzione pratica è quella di correggere la funzione di trasferimento con un regolatore opportuno in modo da impedire intersezioni e quindi evitare la presenza di oscillazioni vedi Fig.. Fig.. Correzione in tratteggio della parte lineare per evitare l insorgenza di un ciclo limite sempio : Calcolo del ciclo limite Supponiamo di studiare l insorgenza di un ciclo limite nel processo di Fig.3: Ingresso nullo e u sat y + - s + s Fig. 3. sempio : scema a blocci

12 La funzione descrittiva nel caso del relé, nell ipotesi di ampiezza unitaria è: Supponendo ce in ingresso ci sia un segnale sinusoidale: et sen ω t è possibile riscrivere Gs nel dominio della frequenza: G jω jω Nel diagramma di Bode, in Fig., in corrispondenza del valore ω la fase vale mentre il modulo -6 db. + jω. Fig.. sempio : diagrammi di Bode Si tracci il diagramma di Nyquist, notando ce la funzione a un asintoto in ω-; infatti per ω piccoli si a ce: jω + jω jω Re jω

13 Fig. 5. sempio : analisi con la funzione descrittiva La -/ a l andamento riportato in Fig. 5. Il sistema oscilla nel punto di intersezione delle due curve -/ e Gjω cioè nel punto -/. Ponendo quindi l uguaglianza tra la -/ e il punto -/ è possibile calcolare l ampiezza del ciclo limite da:, da cui: Allora: ampiezza del ciclo limite Nel punto di intersezione la fase vale - e la pulsazione vale pulsazione del ciclo limite. Lo stesso risultato può essere ottenuto ance con il metodo del luogo delle radici. In tal caso è bene partire dallo scema a blocci in cui si sostituisce alla non linearità il guadagno equivalente della linearizzazione di prima armonica, cioè la sua funzione descrittiva: Ingresso nullo + - e K eq u sat s + s Fig. 6. sempio : scema a blocci con linearizzazione armonica Si noti ce K eq, con, ampiezza del ciclo limite, incognita. possibile scrivere l equazione caratteristica del sistema:

14 K eq + s + s Ci sono due poli: Un polo semplice nell origine Un polo doppio in - possibile tracciare il luogo delle radici relativo all equazione caratteristica scritta precedentemente: Fig. 7. sempio : luogo delle radici Poicé la differenza tra il numero dei poli e il numero degli zeri è tre, sono presenti tre asintoti il cui centro sarà in σ-/3. Sul luogo delle radici dire ce il sistema sta oscillando, significa dire ce le radici sono sull asse immaginario, cioè quando: Per il calcolo del K cr K K eq cr è possibile applicare il criterio di Rout, partendo dall equazione caratteristica: s 3 + s + s + K eq s 3 s K eq s -K eq s K eq Tab.. sempio : tabella di Rout Affincé il sistema sia stabile, è necessario ce i coefficienti della prima colonna della tabella siano tutti positivi perciò:

15 K eq K > eq > Pertanto: > K eq > Per K si a la condizione limite, per cui: cr K cr da cui: Allora: Se nella tabella di Rout a /. K eq si sostituisse il valore critico è possibile scrivere l equazione ausiliaria ce permette di calcolare il valore critico ω cr della pulsazione: s + K eq equazione ausiliaria Risolvendo: s ω. + cr Alcune utili formule per il calcolo della funzione descrittiva. Talvolta è disponibile una descrizione esplicita della non linearità quale combinazione di alcune funzioni elementari; in tal caso la funzione descrittiva è la combinazione delle funzioni descrittive delle funzioni elementari presenti nella descrizione formale della non linearità. Può risultare utile il seguente elenco di funzioni descrittive N.B. [Il segnale in ingresso alla non linearità è dato da xt A sinωt, l uscita è indicata con yt ]. y x n, n dispari y x n - x, n pari y x / sgnx. A -/ y x /3.6 A -/3 nn n...3 n + n... nn n... n + n...3 A A n n n!! n +!! n!! n +!! A n A n