L istogramma dei nomi degli studenti presenti può essere descritto tranquillamente da un istogramma a barre. L istogramma dei voti riportati ad un

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1 Gli istogrammi L istogramma è una rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenza di una certa grandezza, ossia di quante volte in un insieme di dati si ripete lo stesso valore. Esistono diversi tipi di istogrammi: quelli più comuni in Fisica sono gli istogrammi a barre e gli istogrammi a intervalli. In un sistema di assi cartesiani si riporta sull asse delle ascisse il valore ( discreto o continuo ) della grandezza in esame ( bin ) e in ordinata la frequenza con cui si presenta questo valore.

2 L istogramma dei nomi degli studenti presenti può essere descritto tranquillamente da un istogramma a barre. L istogramma dei voti riportati ad un esame universitario ( oppure all esame di maturità è un altro esempio di istogramma a barre. Se con l indice x k indichiamo il voto e con n k indichiamo quanti studenti hanno ottenuto come voto k, in corrispondenza di k si stacca un segmento, parallelo all asse delle ordinate e proporzionale a n k. Possiamo avere ad esempio per un totale N di 100 studenti la seguente distribuzione:

3 Naturalmente vale la relazione = N Possiamo però preferire affermare che ad esempio il voto 24/30 sia stato ottenuto

4 dal 30% degli studenti e per questo introduciamo la frazione che è la frazione dei 100 studenti che hanno ottenuto il voto x k. Si dice che le frazioni F k specificano la distribuzione dei voti, dal momento che descrivono come i voti sono distribuiti fra i possibili valori. =

5 Naturalmente =1 e questa relazione viene detta condizione di normalizzazione. Possiamo anche dire che la probabilità che uno dei 100 studenti abbia superato l esame, per esempio, con 24/30 è del 30% e così via. Attenzione : Per una serie di misure non è idoneo un istogramma a barre a causa dell errore di misura. Quando diciamo che una distanza fra due punti, misurata con un doppio

6 decimetro con scala millimetrata, è, per esempio, 6,0 mm intendiamo dire che la distanza è compresa fra 5,5 e 6,5 mm e pertanto conviene fare un istogramma a intervalli. Sull asse delle ordinate si traccia sempre la frequenza o la frazione mentre sull ascissa si stacca un segmento pari ad almeno il doppio dell errore di sensibilità e si disegna una curva a gradini come in figura, che mostra un istogramma mono e bidimensionale, con la x espressa in unità arbitrarie.

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8 Talora, in un grafico ad intervalli, si preferisce porre sull asse delle ordinate non F k ma f k =F k /Δx ( con Δx uguale alla larghezza di ogni intervallo ). In questo modo il prodotto f k Δx rappresenta l area del rettangolino avente come base Δx e come altezza f k e vale F k. Se adesso abbiamo infiniti intervalli, larghi ognuno un infinitesimo dx, l area totale vale con k che varia fra 1 e l.

9 In termini matematici, diremo che l area totale è data dall integrale definito di f(x) per dx, esteso ad Ω( insieme di definizione della x ): ( ) Nel fare questo abbiamo difatti sostituito una curva a gradini con una curva continua e la distribuzione che abbiamo così ottenuta si chiama distribuzione limite. Questo integrale vale 1 perché rappresenta la probabilità che si abbia un qualsiasi valore di x fra i tutti i valori possibili.

10 Esistono diverse distribuzioni limite ( quella normale o di Gauss, quella binomiale, quella di Poisson, quella del χ² ) di cui parleremo meglio nel secondo semestre. Queste distribuzioni sono caratterizzate ad esempio da un valore medio ( o valore atteso) definito da ( ) ( ) ( dove E(x) deriva dall inglese expectation value ) e da una varianza σ² definita come ( ) ( )

11 In laboratorio si avrà sempre un numero limitato di misure ( in termini statistici si ha un campione ). Non accadrà mai di poter effettuare infinite misure e conoscere così la popolazione e la sua funzione di distribuzione. Tuttavia vedremo che la migliore stima della media della popolazione è data dalla media aritmetica dei valori del nostro campione, costituito da n valori di x i =

12 Se conosciamo il numero di volte n i con cui si trova un certo valore x i, possiamo anche scrivere = = che, nel caso di n che tende all infinito, diventa il valore atteso della popolazione ( ) ( ) La migliore stima della varianza è data da s 2, definita come ( )

13 Capiremo più in là perché al denominatore c è n-1 al posto di n. Il valore di s 2 è un indice della dispersione dei valori intorno alla media. In particolare il valore di s (scarto quadratico medio ) può essere collegato alla precisione di uno strumento. Diremo che fra due strumenti quello più preciso è quello che ha un valore di s più piccolo. Alla grandezza s viene dato il nome anche di errore di precisione. Aumentare il numero di misure ( purché restino costanti le condizioni ambientali e sia sempre lo stesso lo sperimentatore ) fa sì che la media del campione approssimi sempre meglio la media della popolazione : infatti, al limite delle infinite

14 misure, campione e popolazione coincidono. Supponiamo ora di avere un primo campione di n misure, di cui determiniamo una media aritmetica e uno scarto quadratico medio. Se prendiamo un altro campione di n misure, avremo in generale una nuova media aritmetica e un nuovo s. Possiamo fare la distribuzione delle medie, che, vedremo, avrà una tipica distribuzione a campana, quella normale o di Gauss, centrata sulla media delle medie e una varianza data da σ²/n, dove n è la numerosità del campione.

15 La grandezza σ/ n viene chiamata deviazione standard della media e costituisce l incertezza con cui conosciamo la migliore stima del valore vero. Ecco perché, nei casi in cui si manifestano fluttuazioni statistiche che rendano possibile la stima di una media e di s, il risultato finale della misura viene dato come ± s/ n All aumentare di n, σ²/n tende a zero perché la media delle medie tende a coincidere con la media della popolazione. Per questo motivo la deviazione standard della media può diventare più piccola dell errore di sensibilità.

16 Invece all aumentare di n la stima di σ, ossia s, non tende a zero ma si riduce l incertezza Δs con cui determiniamo s. Si può dimostrare che ( Δs/s ) 2 = 1/ (2(n-1) ) e questo giustifica la regola di scrivere l errore con una, al più due cifre significative.

17 domanda : Un esempio Risposta :

18 Confronto tra errore di sensibilità ed errore di precisione. Abbiamo visto che la sensibilità di uno strumento è legata al numero di divisioni che riusciamo a tracciare su una scala. La precisione dipende da come è stato costruito lo strumento, con quali materiali e con quali cure. Spesso le esigenze di avere alta sensibilità e alta precisione sono in contrasto fra di loro.

19 Uno strumento, poco sensibile ma molto preciso, darà sempre la stessa lettura: il relativo istogramma sarà costituito da un solo bin e l errore sarà quello di sensibilità. Uno strumento, molto sensibile ma poco preciso, darà origine ad una dispersione di misure attorno al valore vero, tanto più larga quanto poco preciso è lo strumento. Per avere una stima attendibile del valore vero bisogna effettuare moltissime misure, con notevole impiego di tempo.

20 Un ragionevole compromesso è quello che vede l errore di sensibilità leggermente più piccolo della σ della distribuzione, in maniera tale che anche un numero limitato di misure si concentri intorno al valore vero e il relativo istogramma presenti pochi bin. Il fatto che l errore di sensibilità sia quasi uguale a σ fa sì che nella vita di ogni giorno si confonda sensibilità con precisione. Diciamo di avere al polso un orologio preciso al centesimo di secondo quando invece abbiamo un orologio sensibile a variazioni di tempo del centesimo di secondo. Questo ultimo esempio serve a far distinguere, nei casi in cui non è possibile evidenziare

21 fluttuazioni statistiche, il concetto di errore di sensibilità ed errore massimo. Questo ultimo definisce l intervallo massimo di variabilità di una misura. Ad esempio se in un regolo le divisioni sono troppo fitte, può essere impossibile apprezzare la mezza divisione e dare quindi un errore, maggiore di quello di sensibilità. Nel caso di un orologio bisogna tener conto dei tempi di reazione dello sperimentatore, che sono dell ordine del decimo di secondo, per cui la lettura di un tempo ha un errore massimo di 0,1 s e non di 0,01 s, come ci si aspetterebbe dall errore di sensibilità.

22 Errori sistematici Un altro tipo di incertezza, da cui può essere affetta una nostra misura, è quella sistematica. Principali cause : Difetto di funzionamento dello strumento ( in particolare difetto di taratura o mancato azzeramento) Errate condizioni d impiego Interazione tra strumento e sistema di misura A causa degli errori sistematici, uno strumento può essere molto preciso ma poco accurato. La distribuzione delle misure sarà molto stretta ma centrata su un valore diverso dal valore vero.

23 In generale è impossibile correggere gli errori sistematici, a meno che non ci si accorga di un mancato azzeramento dello strumento per cui si possono a posteriori correggere le letture. Per questo motivo le grandi scoperte in Fisica hanno bisogno di essere confermate dalle misure, effettuate da ricercatori indipendenti, possibilmente in laboratori differenti e con differenti procedimenti. Le figure seguenti, tratte dal Taylor, ci aiutano a capire la differenza fra errori statistici ( o casuali ) ed errori sistematici.

24 Il tiro a segno.

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26 Cenni sulla distribuzione normale o di Gauss La funzione di distribuzione normale è un esempio di distribuzioni di probabilità. Ha una forma a campana ed è data da Il suffisso X indica il valore centrale delle x, mentre σ è legata alla larghezza della distribuzione. Il termine

27 fa sì che l integrale definito di G X,σ per dx fra - e + ( intervallo di variabilità della x ) sia uguale ad 1 e sia rispettata la condizione di normalizzazione. Si può dimostrare che, se con x f indichiamo la coordinata x dei punti di flesso, X-x f = σ. Si può dimostrare che il valore atteso di x è proprio X. Si può dimostrare che σ² coincide con la varianza della popolazione.

28 Si può dimostrare che la probabilità di avere una x compresa fra X-σ e X+σ è circa il 68,3%, quella di avere una x compresa fra X-2σ e X+2σ è circa il 95,4%, quella di avere x compresa fra X-3σ e X+3σ è circa il 99,7%. In generale è possibile calcolare P( entro t σ ) ossia la probabilità di avere una x compresa fra X-tσ e X+tσ mediante la cosiddetta funzione degli errori. L appendice A del Taylor presenta una tabella di questa funzione.

29 Importanza della funzione di distribuzione normale. Accade che una serie di misure ripetute della stessa grandezza fisica, effettuate da uno stesso sperimentatore in condizioni ambientali costanti, tende, all aumentare del numero di misure, a distribuirsi secondo la distribuzione normale.

30 Le cose vanno come se ci fossero moltissime cause di piccolissime fluttuazioni statistiche, alcune delle quali tendano a sovrastimare il valore vero e altre a sottostimarle.

31 Errore massimo o errore statistico? Quando si ha una serie di misure ripetute, prima di effettuare calcoli di media e scarto quadratico medio, conviene sempre prima disegnare un istogramma. Una chiara evidenza che le fluttuazioni statistiche non siano sommerse dall errore di sensibilità è quando l istogramma presenta quattro bin. Quando i bin sono tre è bene che essi siano ben popolati e non accada ad esempio che uno dei tre bin abbia solo uno o due eventi. Nell esempio del Severi, mostrato in figura, c è il caso molto delicato di un

32 istogramma con due soli bin. Se facciamo l ipotesi che la larghezza di un bin sia pari a due volte l errore di sensibilità, le fluttuazioni statistiche sono nascoste dall errore di sensibilità: il valore di s è inferiore all errore di sensibilità. Si può però dire che il valore vero cada nell intervallo compreso fra M 2 (G) e M 2 (G)+( M 3 (G)- M 2 (G)) /2 con

33 un incertezza pari a metà dell errore di sensibilità. Questo discorso non è in contraddizione con quanto detto prima perché stiamo cercando di dare il valore dell incertezza- sia pure non statistica ma massima- della posizione del valore centrale della gaussiana nascosta dall errore di sensibilità.