Definizione 1. Una k-colorazione dei vertici di un grafo G consiste nell assegnazione di k colori 1, 2,..., k ai vertici di G in modo tale che a due

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1 Definizione 1. Una k-colorazione dei vertici di un grafo G consiste nell assegnazione di k colori 1, 2,..., k ai vertici di G in modo tale che a due vertici adiacenti non sia assegnato lo stesso colore. Diremo k-colorabile ogni grafo G che ammette una k-colorazione.

2 Definizione 2. Il numero cromaticoχ(g) associato al grafo G è il minimo degli interi k strettamente positivi per cui G risulta k-colorabile.

3 Teorema 3. Se ogni vertice di un grafo G ha grado minore o uguale di d, allora il grafo è (d + 1)-colorabile, ovvero χ(g) (G) + 1.

4 Teorema 4 (Teorema di Brooks). Se un grafo G non è completo e non è un ciclo dispari, allora χ(g) (G).

5 Teorema 5. Ogni grafo planare è 5-colorabile.

6 Definizione 6. Una relazione di ricorrenza dividi e conquista lineare è una relazione del tipo a n = c 1 a n/b + c 2 a n/b c p a n/b p + f(n) dove b e p sono due interi, n è un multiplo di b p ed f è una funzione.

7 Metodo di risoluzione della relazione a n = c 1 a n/b +...+c p a n/b p+f(n) con condizioni iniziali a n0, a bn0,..., a b p 1 n fissate. Posto n = b k n 0 0 e posto x k = a b k n, la relazione precedente 0 diventa la relazione lineare di ordine p x k = c 1 x k c p x k p + f(b k n 0 ) con condizioni iniziali x 0,..., x p 1 fissate.

8 Si effettua un esperimento aleatorio in cui gli esiti possibili sono finiti: siano essi a 1,..., a n. Chiamiamo ogni a i un evento elementare, e l insieme S = {a 1,..., a n } lo spazio degli eventi elementari o spazio campionario.

9 Nel lancio di una moneta gli esiti possibili sono Testa (t) e Croce (c). Lo spazio campionario è S = {t, c}. Se l esperimento consiste nel lanciare due volte una moneta, distinguendo il primo dal secondo lancio, lo spazio campionario è l insieme costituito dalle quattro coppie ordinate S = {(t, t), (t, c), (c, t), (c, c)}. Si consideri il seguente esperimento: si lancia una moneta; se viene testa ci si ferma, se viene croce si effettua un altro lancio, fino ad un massimo di due lanci. Lo spazio campionario è S = {t, (c, t), (c, c)}.

10 Il principio di addizione. Vogliamo scegliere un oggetto tra gli elementi di m insiemi. Se ci sono r 1 oggetti distinti nel primo insieme, r 2 oggetti nel secondo insieme,..., r m oggetti nell m-esimo insieme, e se gli insiemi sono disgiunti, allora il numero di possibili scelte di un oggetto da uno degli m insiemi è r r m.

11 Il principio di moltiplicazione. Supponiamo che un esperimento possa essere spezzato in un percorso costituito da m fasi successive e che il numero degli esiti r i nella i-esima fase non dipenda dall esito ottenuto nella fase precedente. Se percorsi diversi lungo le fasi successive dell esperimento producono esiti finali distinti, allora l esperimento ha in tutto r 1 r 2 r m differenti esiti.

12 Vi sono quattro persone, due donne e due uomini; si vuole formare un comitato composto da una donna e da un uomo. Quante sono le scelte possibili?

13 Vi sono tre persone, due donne D 1 e D 2 ed un uomo U. Si vuole formare un comitato di due persone, una almeno delle quali sia una donna. Quante sono le scelte possibili?

14 Sia I n un insieme di n elementi distinti; spesso, per praticità, identificheremo I n con l insieme {1,..., n}. Definizione 7. Una sequenza di k elementi, senza ripetizione di I n, k n, è una k-upla ordinata (a 1,..., a k ) di elementi distinti di I n. Indichiamo con P (n, k) il numero di k-sequenze senza ripetizione di I n.

15 Proposizione P (n, n) = n! = n(n 1) 2 1; 2. P (n, k) = n(n 1) (n (k 1)) = n! (n k)!, avendo posto 0! = 1.

16 Estrazione ordinata di palline distinte senza rimpiazzo. Da un urna contenente n palline numerate da 1 a n si estraggono senza rimpiazzo k palline tenendo conto dell ordine di estrazione. L esito dell esperimento è descritto da una k-upla ordinata (a 1,..., a k ), dove a i è il numero della i-esima pallina estratta. Lo spazio campionario S ha quindi P (n, k) elementi. Ad esempio, estraendo due palline tra tre nel modo descritto si ha S = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}

17 Definizione 4 Una k-collezione senza ripetizione di k elementi di I n è un sottoinsieme di k n elementi distinti a 1,..., a k di I n che indicheremo con [a 1,..., a k ]. Indichiamo con C(n, k) il numero di k-collezioni senza ripetizione di I n.

18 Proposizione 5 C(n, k) = P (n, k) k! = n! k!(n k)! = ( n k ).

19 Estrazione non ordinata di palline distinte senza rimpiazzo. Da un urna contenente n palline numerate da 1 a n si estraggono senza rimpiazzo k palline senza tener conto dell ordine di estrazione. L esito dell esperimento è descritto dalla collezione senza ripetizione di k elementi [a 1,..., a k ], dove a i è il numero della i-esima pallina estratta. Lo spazio campionario S ha quindi C(n, k) elementi. Ad esempio, estraendo due palline tra tre nel modo descritto si ha S = {[1, 2], [1, 3], [2, 3]}.

20 Definizione 6 Una k-sequenza, o sequenza di k elementi, di I n è una k-upla ordinata (a 1,..., a k ) di elementi di I n, eventualmente ripetuti. Per il principio di moltiplicazione il numero di k-sequenze di I n è n k.

21 Estrazione ordinata di palline distinte con rimpiazzo. Da un urna contenente n palline numerate da 1 a n si estraggono con rimpiazzo k palline tenendo conto dell ordine di estrazione. L esito dell esperimento è descritto da una k-upla ordinata (a 1,..., a k ), dove a i è il numero della i- esima pallina estratta. Lo spazio campionario S ha quindi n k elementi. Ad esempio, estraendo due palline tra tre nel modo descritto si ha S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)(3, 3)}.

22 Indichiamo con P (n, k; r 1, r 2,..., r n ) il numero di k-sequenze di I n con 1 ripetuto r 1 -volte,..., n ripetuto r n -volte. Teorema 7 P (n, k; r 1, r 2,..., r n ) = k! r 1!r 2! r n!. Quanti sono gli anagrammi di banana?

23 Definizione 8 Una k-collezione di k elementi di I n è una famiglia [a 1,..., a k ] di k elementi di I n con elementi eventualmente ripetuti.

24 Estrazione non ordinata di palline distinte con rimpiazzo. Da un urna contenente n palline numerate da 1 a n si estraggono con rimpiazzo k palline senza tener conto dell ordine di estrazione. L esito dell esperimento è descritto dalla famiglia di k elementi [a 1,..., a k ], dove a i è il numero della i-esima pallina estratta. Ad esempio, estraendo due palline tra tre nel modo descritto, lo spazio campionario è S = {[1, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 2], [2, 3], [3, 3]}

25 Proposizione 9 Il numero di k-collezioni di I n è uguale al numero di n-uple (x 1,..., x n ) di interi naturali 0 tali che x 1 + x x n = k.

26 Teorema 10 Il numero di k-collezioni di I n o, equivalentemente, il numero di n-uple (x 1,..., x n ) di interi naturali (0 incluso) tali che x 1 + x x n = k, è pari a P (2, n 1+k; k, n 1) = C(k+n 1, k) = C(k + n 1, n 1).