Fondamenti di informatica

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1 Fondamenti di informatica 30 novembre 2017

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3 Capitolo 1. Fondamenti di informatica 2 / 6 Capitolo 1 Fondamenti di informatica 1.1 Relazioni Una relazione binaria R tra due insiemi D e C è un insieme di coppie ordinate x, y x D y C, cioè R D C. Proprietà delle relazioni Una relazione binaria R con dominio D può essere: Riflessiva: x D, x, x R Irriflessiva: x D, x, x / R Simmetrica: se x, y R, allora y, x R Asimmetrica: se x, y R, allora y, x / R Antisimmetrica: se x, y R e y, x R, allora x = y Transitiva: se x, y R e y, z R, allora x, z R Relazioni di equivalenza è contemporaneamente: Diciamo che una relazione è di equivalenza quando Binaria Riflessiva Simmetrica Transitiva

4 Capitolo 1. Fondamenti di informatica 3 / 6 Poset Diciamo che una relazione è un poset / un ordine parziale / un semiordinamento quando è contemporaneamente: Binaria Riflessiva Antisimmetrica Transitiva Ordine totale Diciamo che una relazione R = { x, y x D y C} è un ordine totale / ordinamento quando è un poset e vale la tricotomia, ovvero quando si verifica una e una sola delle seguenti condizioni: x = y x < y x > y Reticolo Diciamo che una relazione è un reticolo quando è un poset e x, y R esistono un minimo maggiorante ( x y ) e un massimo minorante ( x y ). Chiarimenti sulla proprietà antisimmetrica Considero l insieme degli abitanti dell Italia e considero la relazione abita nella stessa città. La relazione non e antisimmetrica: infatti se Maria abita nella stessa città di Carlo e Carlo abita nella stessa città di Maria non segue che Carlo è uguale a Maria. Considerando invece i numeri naturali, la relazione è maggiore od uguale a è antisimmetrica perchè se un numero è maggiore o uguale a un secondo numero e il secondo è maggiore uguale del primo allora i due numeri sono uguali. Proposizioni derivate dalle proprietà precedenti Proposizioni derivate dalla proprietà riflessiva Se R è riflessiva, anche R 1 lo è. Se R è riflessiva solo se R è irriflessiva. Se R e R sono riflessive, anche R R lo è. Proposizioni derivate dalla proprietà simmetrica R è simmetrica se e solo se R 1 lo è. Se R è simmetrica, anche R lo è. Se R e R sono simmetriche, anche R R e R R lo sono.

5 Capitolo 1. Fondamenti di informatica 4 / 6 Proposizioni derivate dalla proprietà transitiva Se R e R sono transitive, anche R R lo è. 1.2 Grafi Grafi orientati Un grafo orientato (chiamato anche grafo diretto o disgrafo) è un metodo di rappresentazione di una relazione binaria R definita su un insieme V tale che R V V. Un grafo è generalmente rappresentato tramite punti (che rappresentano i nodi) collegati fra loro da archi. La posizione dei nodi e la forma degli archi è irrilevante: questo significa che uno stesso grafo può essere disegnato in modi diversi senza che vengano modificate le sue proprietà. Gli elementi di V sono detti nodi del grafo. Un arco che va da un nodo A ad un nodo B è detto uscente da A ed entrante in B. Due nodi collegati da un arco sono detti adiacenti. Un nodo che non ha archi entranti è detto nodo sorgente. Un nodo che non ha archi uscenti è detto nodo pozzo. Un nodo senza archi in entrata e in uscita è detto nodo isolato. Un cammino è una sequenza di nodi n iniziale, n 1, n 2,..., n finale dove ciascun nodo è collegato al successivo da un arco uscente dal primo ed entrante verso il secondo. Un semicammino è una sequenza di nodi n iniziale, n 1, n 2,..., n finale dove ciascun nodo è collegato al successivo da un arco. La direzione di ciascun arco è arbitraria. La lunghezza di un cammino / semicammino è il numero di archi che lo compongono. Un grafo si dice connesso se dati due nodi esiste sempre un semicammino che li connette. Un grafo è fortemente connesso se dati due nodi esiste sempre un cammino che li connette. Un ciclo è un cammino in cui il nodo iniziale e quello finale coincidono. Un semiciclo è un semicammino in cui il nodo iniziale e quello finale coincidono.

6 Capitolo 1. Fondamenti di informatica 5 / 6 Ogni cammino di lunghezza uno è un cappio in cui il nodo di partenza e di arrivo coincidono. In questo caso esso viene chiamato cappio. Il minimo numero di archi che compongono un cammino tra due nodi è detto distanza tra i due nodi. Grafi e proprietà delle relazioni É possibile capire le proprietà delle relazioni guardando la sua rappresentazione grafica tramite un grafo. Simmetria: ogni nodo ha un cappio Irriflessiva: ogni nodo non ha un cappio Simmetrica: se esiste un arco da A verso B, esiste anche un arco da B verso A Asimmetrica: se esiste un arco da A verso B, non deve esistere l arco che collega B ad A Antisimmetrica: esistono solo cicli che sono cappi, ovvero la lunghezza massima di ogni ciclo è 1 Transitiva: se esiste un arco da A a B e un arco da B a C, deve esistere anche un arco da A a C DAG Chiamiamo DAG (o Grafo Diretto Aciclico ) un grafo diretto senza cicli. Alberi Un albero è un DAG connesso che ha solo un nodo sorgente (chiamato radice). Proprietà: Tutti i nodi (eccetto la radice) hanno uno ed un solo arco entrante La radice non ha archi entranti ma solo uscenti I nodi di un albero che non hanno archi uscenti sono detti foglie.

7 Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze 6 / 6 Capitolo 2 Fonti per testo e immagini; autori; licenze 2.1 Testo Corso:Fondamenti di informatica/fondamenti di informatica/relazioni Fonte: Relazioni?oldid=28869 Contributori: Roopi, DavideRiva95 e Move page script Corso:Fondamenti di informatica/fondamenti di informatica/grafi Fonte: https: //it.wikitolearn.org/corso%3afondamenti_di_informatica/fondamenti_di_informatica/ Grafi?oldid=28867 Contributori: Roopi, DavideRiva95 e Move page script 2.2 Immagini 2.3 Licenza dell opera [Project:Copyright Creative Commons Attribution Share Alike 3.0 & GNU FDL] Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0