Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

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1 Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. Istituzioni di Matematica 2 a.a CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Introduzione. Definizione. Partizione. Somme integrali. Definizione.2 Integrale definito di una funzione limitata f in un intervallo [a, b]. Osservazione.3 Interpretazione geometrica dell integrale definito. Proprietà dell integrale. Teorema.4 Additività dell integrale rispetto all intervallo. Teorema.5 Linearità dell integrale. Teorema.6 Confronto tra integrali. Teorema.7 Teorema della media integrale. (dim) Teorema.8 Integrabilità delle funzioni continue. Definizione.9 Funzione integrale. Teorema.0 Il teorema fondamentale del calcolo integrale. (dim) Definizione. Primitiva. Teorema.2 Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. Teorema.3 Formula fondamentale del calcolo integrale. (dim) Definizione.4 Integrale indefinito. Osservazione.5 L integrale definito b f d è un numero reale. L integrale indefinito a f d è un insieme di funzioni. Tabella degli integrali indefiniti. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Formule di razionalizzazione tramite particolari sostituzioni (R(y) è una funzione razionale fratta) R(e ) d con t = e R(sin ) cos d con t = sin R(cos ) sin d con t = cos R(, a2 2 ) d con = a sin t R(sin, cos ) d con t = tan 2 R(sin 2, cos 2, tan ) d con t = tan

2 2 Esercizio.6 Calcolare i seguenti integrali 2 ( ) d ( + 0 )4 d cos sin d tan d d + tan 2 d d 2 2 d d d 2 ++ d e d log d cos 2 d cos d 2 cos d e sin d tan 3 d 4 log d e 3 sin 2 d d 5+ 2 sin 2 d sin 2 cos d Calcolo di aree di figure piane. Formula per il calcolo dell area. Esercizio.7 Calcolare l area di un cerchio di raggio r. Esercizio.8 Calcolare l area della regione piana racchiusa dall ellisse di equazione 2 + y2 =. a 2 b 2 Esercizio.9 Calcolare l area della regione piana compresa fra le 2 parabole di equazioni y 2 = 9 e 2 = 9y. Integrali impropri. Definizione.20 Integrale improprio in [a, b) di una funzione f non negativa, continua in [a, b) e non limitata in un intorno sinistro di b. Definizione.2 Integrale improprio in (a, b] di una funzione f non negativa, continua in (a, b] e non limitata in un intorno destro di a. Esercizio.22 Studio dell integrale improprio 0 Esercizio.23 Studio dell integrale improprio 0 d d p Definizione.24 Integrale improprio in [a, + ) di una funzione continua e non negativa.

3 3 Definizione.25 Integrale improprio in (, b] di una funzione continua e non negativa. Esercizio.26 Studio dell integrale improprio Esercizio.27 Studio dell integrale improprio d. 3 d. p ESERCITAZIONI svolte dalla Dott.ssa Lecian Esercizio.28 Risolvere i seguenti integrali Per sostituzione cot d (.) tan d (.2) (sin ) 5 cos d (.3) (sin ) n cos d (.4) (cos ) n sin d (.5) d (.6) sin cos (arcsin ) 2 d (.7) 2 d (.8) 2 arcsin d ( + 2 ) arctan (.9) sin(a) d (.0) cos(a) d (.) d (.2) a2 2 d (.3) a d (.4) 3 22 d (.5) d (.6) d (.7) 2

4 4 3 d (.8) 4 3 d (.9) 8 n d (.20) n n d (.2) 2n e 2 d (.22) f () e f() d (.23) lg d (.24) (lg ) n d (.25) d (.26) (lg ) n d (lg ) 2 (.27) + e d (.28) Per decomposizione in somma (+sostituzione) d (.29) d (.30) d (.3) + 3 d (.32) ( + ) d (.33) ( + 2 ) + d (.34) d (.35) e d (.36) 3e 2 e d (.37) Funzioni razionali e irrazionali

5 5 Per parti Per parti (formule di riduzione) d (.38) ( )( 2) + 3 d (.39) d (.40) d (.4) ( 2) d (.42) d (.43) + 4 sin d (.44) e d (.45) lg d (.46) arcsin d (.47) arctan d (.48) lg d (.49) ln ln d (.50) arctan d (.5) sin (cos ) 3 etan d (.52) lg (e + e ) d (.53) lg (sin + cos ) d (.54) (lg ) 2 d (.55) lg( + ) 2 d (.56) 2 cos d (.57)

6 6 3 sin d (.58) n sin(a) d (.59) n cos(a) d (.60) 2 e d (.6) n e a d (.62) Per parti (formule di ricorrenza) Integrali definiti (sin ) 2 d (.63) (sin ) 2 d (.64) e sin d (.65) cos lg d (.66) 3 /4 lg 2 d (.67) + 4 e d (.68) 0 4 Esercizio.29 Calcolare l area delle regioni limitate da 2 y = ; y = 0; = 0; = 3. y 2 = 4; 2 + y 4 = 0; y = 0. d y = /; y = 0; = a; = 5a, a > 0. y = 2 + 3; y = y2 4 =. 2 3 d (.69) d (.70)

7 7 Esercizio.30 Calcolare i seguenti integrali impropri b 0 a d, b > 0, p >, p <, p = (.7) p 2 2 d (.72) d (.73) 2 d, a > 0, p >, p <, p = (.74) p 2 0 d (.75) lg e α d, α > 0 (.76) 2 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Introduzione. Definizione 2. Insieme di definizione. Esercizio 2.2 Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni z = 2 y 2 z = 4 2 y 2 z = ( 2 )( y 2 ) z = / sin( + y) z = y z = sin(π( 2 + y 2 )) z = sin(π( 2 + y 2 )) ( z = lg y ). Osservazione 2.3 Rappresentazione geometrica. Definizione 2.4 Punto di accumulazione. Definizione 2.5 Limiti. Esercizio 2.6 Calcolare i seguenti limiti lim 2 (,y) (0,0) lim (,y) (0,0) lim (,y) (0,0) 2 +y 2 2 +y 2 y 2 +y 2 Osservazione 2.7 Confronto con le funzioni di una variabile. Definizione 2.8 Continuità. Osservazione 2.9 Come accade per le funzioni di una variabile, anche le funzioni di due variabili, ottenute componendo potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche, sono continue nel loro insieme di definizione.

8 8 Definizione 2.0 Derivata parziale. Osservazione 2. Significato geometrico delle derivate parziali. Definizione 2.2 Gradiente. Osservazione 2.3 Significato geometrico del gradiente. Definizione 2.4 Piano tangente alla superficie. Definizione 2.5 Derivate di ordine superiore. Teorema 2.6 Teorema di inversione delle derivazioni (Teorema di Schwarz). Osservazione 2.7 Un esempio di funzione per la quale non vale il Teorema di inversione è fornito dall esercizio Esercizio 2.8 Calcolare le derivate parziali prime, seconde, terze di f(, y) = e f(, y) = tan y f(, y) = 8 + y y 3 f(, y) = ln(5 + 7y) + sin ( 2 + y 3 7) + e y f(, y) = cos(y 2 lg ). Definizione 2.9 Funzione composta. Teorema 2.20 Formula di derivazione delle funzioni composte. Esercizio 2.2 Determinare la derivata (rispetto a t) della funzione z = 2 + y 2 composta con = t 2 +, y = e t. Esercizio 2.22 Determinare la derivate parziali (rispetto a ρ e a θ) della funzione z = 2 + y 2 composta con = ρ sin θ, y = ρ cos θ. Teorema 2.23 Il teorema del valor medio. (dim) Osservazione 2.24 Conseguenze del teorema del valor medio. Osservazione 2.25 Confronto con le funzioni di una variabile. Definizione 2.26 Differenzialità. Teorema 2.27 Differenzialità implica continuità. (dim) Osservazione 2.28 La sola derivabilità parziale non implica la continuità (esercizi 2.39 e 2.42). Osservazione 2.29 Confronto con le funzioni di una variabile. Teorema 2.30 Teorema del differenziale. Definizione 2.3 Differenziale totale. Osservazione 2.32 Confronto con le funzioni di una variabile.

9 9 Definizione 2.33 Massimi e minimi relativi. Teorema 2.34 Condizione necessaria per massimi e minimi. Definizione 2.35 Hessiano. Teorema 2.36 Condizione sufficiente per massimi e minimi. Osservazione 2.37 Confronto con le funzioni di una variabile. Esercizio 2.38 Studiare i punti critici delle seguenti funzioni f(, y) = 2 f(, y) = y 2 f(, y) = 2 + y 2 f(, y) = 2 y 2 f(, y) = 3 6y( + y) f(, y) = ye (2 +y 2). ESERCITAZIONI svolte dalla Dott.ssa Lecian Esercizio 2.39 Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni z = 2 y 2 z = / sin( y) ( ) z = lg. y y z = lg( + y) (y 2 ) /6. Esercizio 2.40 Calcolare i seguenti limiti lim (,y) (, ) 2 +y 2 lim (,y) (0,0) 2 2 +y 2 lim (,y) (,2) 2 y y 2. y lim 2 (,y) (0,0). 2 +y 4 { y 2 + y 2 0 Esercizio 2.4 Dimostrare che f(, y) = 2 +y 2 nell origine è continua 0 = y = 0 rispetto a e y separatamente, ma non nel complesso delle variabili. { sin arctan(y/) 0 Esercizio 2.42 Dimostrare che f(, y) = nell origine è continua rispetto a e y separatamente, ma non nel complesso delle variabili, e che è dis- 0 = 0 continua anche in qualsiasi altro punto (0, y 0 ) dell asse y diverso dall origine. Esercizio 2.43 Calcolare le derivate parziali prime di f(, y) = sin(5 + 7y) + lg ( 2 + y 3 7) + cos 2. f(, y) = sin(y lg ).

10 0 Esercizio 2.44 Utilizzando la definizione di derivata, dimostrare che f(, y) = è parzialmente derivabile nell origine. { y 2 +y y = y = 0 Esercizio 2.45 Calcolare le derivate parziali prime, seconde e terze di f(, y) = 4 + y 2 + 2y 3. { y 3 y y 2 0 Esercizio 2.46 Dimostrare che f(, y) = 2 +y 2 nell origine ammette 0 = y = 0 derivate parziali seconde miste, e che queste sono diverse. Dimostrare inoltre che f y nell origine non è continua. Esercizio 2.47 Studiare i punti critici delle seguenti funzioni f(, y) = 2 + y 2. f(, y) = 2 y 2. f(, y) = 2 y 2. f(, y) = y. f(, y) = 3 + y 3 + y. f(, y) = 3 y 3 + y. f(, y) = y 4 6y 2 +. f(, y) = 2( 2 + y 2 + ) ( 4 + y 4 ). f(, y) = e (2 +y 2). f(, y) = 2( 4 + y 4 + ) ( + y 2 ). 3 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Introduzione. Definizione 3. Partizione. Somme integrali. Definizione 3.2 Integrale definito di una funzione limitata f(, y) in un dominio. Osservazione 3.3 Interpretazione geometrica dell integrale definito. Teorema 3.4 Integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell integrale. Definizione 3.5 Domini normali. Teorema 3.6 Teorema di riduzione di un integrale doppio. Esercizio 3.7 Calcolare l integrale doppio della funzione f(,y)=+y esteso al triangolo di vertici A = (, 2), B = (2, ), C = (2, 2).

11 Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari. Esercizio 3.8 Calcolare l integrale doppio della funzione f(,y)=y esteso al quarto di cerchio di equazione 2 + y 2 = r 2 compreso nel primo quadrante Derivazione sotto il segno. Teorema 3.9 Teorema di derivazione sotto il segno d integrale. Esercizio 3.0 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni F (y) = 5 0 (2 + y 2y 2 ) d F (y) = 2 (3 y 2 + y + 4) d F (y) = 0 log(2 + y 2 ) d Differenziali. Definizione 3. Differenziali. Differenziali esatti. Teorema 3.2 Condizione necessaria e sufficiente per i differenziali esatti. (dim) Esercizio 3.3 Verificare che le seguenti espressioni sono differenziali esatti e integrarli d + y dy (3 2 y 2 ) d + ( 3 2y + ) dy ( y ) d + ln y 2 dy Definizione 3.4 Integrali curvilinei. Proposizione 3.5 Integrazione curvilinea di un differenziale esatto. Esercizio 3.6 Calcolare i seguenti integrali curvilinei della forma differenziale w = 2yd + 2 dy lungo i seguenti cammini: lungo il cammino y =, 0 ; lungo il cammino y = 2, 0 ; lungo il cammino y =, 0. Osservare che la forma risulta esatta e che quindi il valore dell integrale curvilineo dipende unicamente dai valori che la primitiva della forma assume agli estremi. ESERCITAZIONI svolte dalla Dott.ssa Lecian Esercizio 3.7 Calcolare i seguenti integrali - in coordinate cartesiane y ddy, dove A è il semicerchio di centro (, 0) e raggio, con y > 0. A A y ddy, dove A = {(, y) IR2 : 0 2, 0 y 2 2 }. ddy, dove A = {(, y) IR 2 : 0, 2 y }, considerando il A +y dominio di integrazione normale rispetto all asse y. ddy, dove A è il semicerchio chiuso di centro l origine e raggio, con A > 0, considerando il dominio di integrazione prima normale rispetto all asse, poi normale rispetto all asse y.

12 2 y ddy, dove A è delimitato = 0, y =, = y 2, considerando A (+)(+y 2 ) il dominio di integrazione prima normale rispetto all asse, poi normale rispetto all asse y. A ey2 ddy, dove A è il triangolo di vertici (0, 0), (0, ), (2, ). ( y) ddy, dove A è il semicerchio di centro l origine e raggio r, con y > 0. A A (a2 + by) ddy, a, b IR, dove A = {(, y) [, ] IR : 2 y }. cos y ddy, dove A = {(, y) [0, ] A Rset : 0 y 2 }. A y 2 +y 2 ddy, dove A = {(, y) Rset 2 : y 0, 2 + y 2 4}. - in coordinate polari A 2 + y 2 ddy, dove A è il settore del cerchio di centro l origine e raggio, contenuto nel primo quadrante A e (2 +y 2) 2 ddy, dove A è la circonferenza di centro l origine e raggio. A 2 ( + y 2 )ddy, dove A è la corona circolare di centro l origine e raggi e 2. A ( y) ddy, dove A = {(, y) IR2 : 2 + y 2 r 2, y > 0, r > 0}. ddy, dove A è il settore di corona circolare di centro l origine e raggi e 2, A delimitato dalle rette 3 y = 0 e 3y = 0, y > 0. A y2 ddy, dove A è il settore di corona circolare di centro l origine e raggi e 2,, delimitato dalle rette 3 y = 0 e 3y = 0, y > 0. Esercizio 3.8 Svolgere il seguente integrale in coordinate cartesiane ed in coordinate polari A 3 ddy, dove A è il semicerchio 2 + y 2, 0. Esercizio 3.9 Verificare che le seguenti forme sono esatte e trovarne una primitiva w = (2 + 5y 3 )d + (5y 2 + 2y)dy. w = d + ydy. w = e (2 2 + y 2 + y 3 /3)d + e ( 2 + y 2 )dy. w = ( + y 2 + y 2 )d + (2y + y 3 /3)dy. w = +y 2 d 2y (+y 2 ) 2 dy. w = (sin y y cos )d + ( cos y sin )dy. w = (log y + cos )d + ( y )dy. w = ( 3 3y 2 + 2)d (3y 2 y 2 )dy. w = ( + y )d + (y )dy. 2 +y 2 2 +y 2

13 3 w = 2 d + y2 3 2 dy. y 3 y 4 Esercizio 3.20 Calcolare i seguenti integrali curvilinei di una forma differenziale w lungo un cammino C : C w w = 2yd 2 dy, lungo il cammino y = /2, 0 2; w = ( 2 2y)d + (2y + y 2 )dy, lungo il cammino y = 2, 2; w = yd + ( + y 2 )dy, lungo il cammino { = t, y = t}, 0, e lungo il cammino { = t 2, y = t}, 0 ; y w = d + dy, lungo la circonferenza di raggio 2 e centro l origine, di 2 +y 2 2 +y 2 estremi (2, 0) e ( 3, ), e lungo la generica circonferenza di raggio a > 0 e centro l origine. Notare che il risultato non dipende dal raggio della circonferenza, ma solo dall angolo considerato. Esercizi di riepilogo. Esercizio 3.2 Calcolare i seguenti integrali definiti e 4/5 /2 lg d; ( ) d. 2 Esercizio 3.22 Calcolare l area delle regioni definite da y = , y 2 = ; y = 3, y 2 = 2 /9. Esercizio 3.23 Calcolare i seguenti integrali impropri a 0 d, a > 0; ( a) 2 e α2 d, α > 0; a 3 d, a > 0; d. 3 4 NUMERI COMPLESSI Introduzione. Motivazioni dell introduzione dei numeri complessi. Definizione 4. Unità immaginaria. Forma algebrica. Parte reale Re(z) e parte immaginaria Im(z) di un numero complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano di Gauss. Definizione 4.2 Forma trigonometrica di un numero complesso. Modulo di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Osservazione 4.3 L argomento è determinato a meno di multipli di 2π. Definizione 4.4 Forma esponenziale di un numero complesso. Proposizione 4.5 Formule di Eulero. (dim)

14 4 5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Introduzione. Definizione 5. Equazione differenziale. Definizione 5.2 Soluzione di una equazione differenziale. Definizione 5.3 Integrale generale, integrali particolari e singolari. Definizione 5.4 Ordine di una equazione differenziale. Definizione 5.5 Condizione iniziale. Problema di Cauchy. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali. Definizione 5.6 Equazioni differenziali a variabili separabili. Teorema 5.7 Integrale generale di una equazione differenziale del primo ordine risolubile per separazione di variabili. (dim) Esercizio 5.8 Risolvere le seguenti equazioni differenziali y = ; y = y; y = y; y = 3 y 2 ; y = y 2. Esercizio 5.9 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y = 2, y() = 0; y = 3y, y() = ; y = 4y, y() = 2; y = 5 3 y 2, y() = 3; y = 6y 2, y()=4. Definizione 5.0 Equazioni differenziali lineari. Definizione 5. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Teorema 5.2 Integrale generale di una equazione differenziale lineare del primo ordine. (dim - vedere esercizio 5.26) Esercizio 5.3 Risolvere le seguenti equazioni differenziali y = y + cos ; y = y + cos.

15 5 Esercizio 5.4 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y = y + cos, y(2) = 3; y = 2 y + cos 2, y(π) = 0. Definizione 5.5 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Definizione 5.6 Equazione differenziale lineare omogenea. Definizione 5.7 Polinomio caratteristico. Teorema 5.8 Integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. (dim) Esercizio 5.9 Risolvere le seguenti equazioni differenziali y 6y 5y = 0; y 2y 2y = 0; y + 2y + y = 0. Esercizio 5.20 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y 3y + 2y = 0 y(0) =, y (0) = 2; y + y = 0 y(0) =, y (0) = 2; y 2y + y = 0 y(0) =, y (0) = 2. Definizione 5.2 Equazione differenziale lineare non omogenea. Teorema 5.22 Rappresentazione dell integrale generale di una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Proposizione 5.23 Integrali particolari di una equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti per termini noti del tipo f() = P n (), f() = a cos +b sin, f() = e α, f() = P n ()e α, f() = e α (P n () cos +Q m () sin ) dove P n () è un polinomio di grado n e Q m () è un polinomio di grado m. Esercizio 5.24 Risolvere le seguenti equazioni differenziali y + y = 3 + 5; y + y = 3 + 5; y = y + y = e ; y y = e ; y + 3y = sin ; y + y = e cos ; y y = 2 e ;

16 6 y + y = e sin. ESERCITAZIONI svolte dalla Dott.ssa Lecian Esercizio 5.25 Integrare le seguenti equazioni differenziali, discutendo le soluzioni e le costanti di integrazione. y = cos 2 y; y = y log y; y = +y 2. Trovare inoltre la soluzione particolare per le condizioni iniziali y() = e y( ) =. y y 4 = 0. Trovare inoltre la soluzione particolare per le condizioni iniziali y() = 0 e y( ) =. Esercizio 5.26 Verificare che y() = e A() [ ] e A() b() + C, A() = a()d (5.) è soluzione di y = a()y + b(). (5.2) (Suggerimento. Moltiplicare la (5.) per e A(), portare il termine in a a sinistra dell uguale, riconoscere la derivata del prodotto e A() y() ed integrare ambo i membri: si ottiene la (5.2).) Esercizio 5.27 Integrare le seguenti equazioni differenziali y = 2 y + sin 4 2 ; y = y+. Trovare inoltre la soluzione particolare per la condizione iniziale y(0) =. Esercizio 5.28 Verificare che y = ay + b può essere integrata con entrambi i metodi. Esercizio 5.29 Un esempio di equazioni differenziali di ordine superiore al primo (non lineare): y = (2 y ). Si risolve con un abbassamento di ordine. Notare che, essendo l equazione del secondo ordine, si ottengono 2 costanti di integrazione. Esercizio 5.30 Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e determinare la soluzione particolare per il problema alla Cauchy. y + 2y + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0; y 3y + 2y = 0, y(0) = 7, y (0) = 6;

17 7 y 6y + 5y = 0; y 2y + 2y = 0, y(0) =, y (0) = 2; y 2y + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 3; y 2y = 0, y(0) = 4, y (0) = 2; y + 4y = 0, y(0) = 5, y (0) = 3; y + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0. Esercizio 5.3 Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee e determinare la soluzione particolare per il problema alla Cauchy. y 3y + 2y = , y(0) = 9, y (0) = 4; y 4y = 2 +, y(0) = /4, y (0) = 7/32; y 2y + y = e, y(0) = 3, y (0) = 6; y + y = e sin, y(0) = 6/25, y (0) = 3/25. Esercizi di Riepilogo. Calcolare l area delle regioni delimitate da y = log, y = 0, = e; y = / α, 0 < a < < b, α > ; discutere i casi )a 0 e b fissato 2)b e a fissato, 3)a 0 e b contemporaneamente. Calcolare i seguenti integrali impropri 2 3 d; (log ) 2 log d. Verificare che le seguenti forme differenziali sono esatte, e calcolarne una primitiva w = (2e y ye )d + (2e y e )dy; w = ( + cos cos y)d + (2y cos sin sin y)dy. Calcolare l integrale della forma w = 2 d + ydy lungo i cammini C, C w, C : y = 2, a b; C : = y 2, 0, y > 0; C : y =, 0 < a b; C: il segmento congiungente i punti (3, ) e (3, 2); C: il segmento congiungente i punti (, 4) e (3, 4); C: l arco di circonferenza di raggio a e centro l origine, compreso tra i punti (, y ) e ( 2, y 2 ). Calcolare gli integrali doppi

18 8 2 d dy, dove D e la regione di piano delimitata da y =, y = /, =, D y 2 = 2, esprimendo il dominio di integrazione in forma normale rispetto all asse. Svolgere l integrale in coordinate cartesiane; D ( + y)d dy, dove D e la regione di piano delimitata da = y2, = a > 0, esprimendo il dominio di integrazione in forma normale rispetto all asse y. Svolgere l integrale in coordinate cartesiane; D 2 d dy, dove D e il settore di corona circolare delimitata dalle circonferenze di raggio a e b centrate nell origine, con a < b, e le due rette y = α e y = β, nel semipiano delle y positive, discutendo i casi )α, β concordi e positivi, 2) α, β concordi e negativi, 3) α, β discordi. Svolgere l integrale in coordinate polari. Determinare massimi e minimi della seguenti funzioni di due variabili f(, y) = 3 + y 3 y; f(, y) = e 2 ( y + ). Equazioni differenziali lineari del primo ordine: calcolare la soluzione generale y = e y/; y = ( + y) cos. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: calcolare la soluzione generale e quella particolare per il problema alla Cauchy considerato y + y = sin y(0) =, y (0) = ; y 4y = e 2 sin 2, y(0) = /0, y (0) = 5/2. Equazioni differenziali del primo ordine alle variabili separabili: calcolare e discutere le soluzioni generali e trovare la soluzione particolare per il problema alla Cauchy considerato y = y, y() = 0; y tan = y, y(π/2) = 3.

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