19 dicembre 2013 Prof.ssa Marina Rocco Storie di numeri: appunti e proposte didattiche. Parte seconda.
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- Gennara De Angelis
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1 U N I V E R S I T A D E G L I S T U D I D I T R I E S T E CENTRO INTERDIPARTIMENTALE PER LA RICERCA DIDATTICA Via A. Valerio 12/1, Trieste, Italia Tel.: Fax: cird@units.it CIRD 19 dicembre 2013 Prof.ssa Marina Rocco Storie di numeri: appunti e proposte didattiche. Parte seconda.
2 STORIE DI NUMERI APPUNTI E PROPOSTE DIDATTICHE PARTE II Trieste, 19 dicembre 2013 Marina Rocco Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica (Dip. di Geo-Scienze, Università di Trieste) marina.rocco1@tin.it
3 DI NUOVO CONTARE... Alcuni amici si danno appuntamento e ciascuno saluta gli altri con una stretta di mano. Quante strette di mano verrebbero scambiate se gli amici fossero 7? e se fossero 20?
4 Strategie per risolvere Ciascuno stringe la mano ai rimanenti: se sono 7, ciascuno stringe la mano a 6 amici. Ma in questo modo... Non arrivano tutti insieme! Il primo non ha mani da stringere; il secondo stringe una mano, il terzo ne stringe due;...
5 Problemi associati Quanti segmenti hanno estremi in n punti assegnati? Quante diagonali ha un poligono di n vertici?
6 Ho un certo numero di sfere tutte uguali... con cui voglio costruire un tetraedro. Quante me ne occorrono se la struttura ha 7 strati?
7 Il primo strato ha 1 sfera Il secondo ne ha 1+2 Il terzo ne ha Il quarto ne ha ecc
8 Ho un certo numero di piastrelle tutte uguali... Quante configurazioni rettangolari posso ottenere con 12 piastrelle? E se le piastrelle fossero 36? o qualunque altro numero?
9 Con 12 piastrelle Come rettangoli, sono a due a due congruenti... ma se chiedete al piastrellista...
10 IN GENERALE Ci sono numeri (come 36) per le quali una configurazione è un quadrato. Ci sono numeri (come 37) per i quali trovo solo l'allineamento e l'incolonnamento. Trovo tante configurazioni quante le coppie moltiplicative del numero dato. Ma quante sono?
11 I NUMERI QUADRATI Come 36, anche altri numeri ammettono una configurazione quadrata. Sovrapponiamo questi quadrati, col più grande di sotto...
12
13 Da ciascun quadrato sporge una parte di quello sottostante Si vede così che: 4=1+3 9=4+5 16=9+7 25=16+9
14 In ciascun quadrato mettiamo una perlina poi leghiamole con dei fili. Leviamo i quadrati e teniamo le collane.
15 La somma di n numeri dispari consecutivi (a partire da 1) è un numero quadrato. La somma di n numeri consecutivi (a partire da 1) è un numero triangolare.
16 Prendiamo una configurazione triangolare
17 gliene accostiamo un'altra sopprimendo le perle doppie
18 poi un'altra ancora sempre sopprimendo le perle doppie Adesso le perle, livello per livello, sono: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,... Sommando via via: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, che sono numeri pentagonali
19 E così via!
20 Che numeri sommare per ottenere Num. triangolari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... Num. quadrilateri 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Num. pentagonali 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,... Num. esagonali 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,... E se volessi il 60-simo numero triangolare?
21 Se avvicino due configurazioni triangolari di orientamento opposto... vedo che il quinto numero triangolare si ottiene sommando il primo e l'ultimo livello (1+5), poi moltiplico per i livelli (5) e divido per 2. Risultato 15!
22 Se voglio il 60-simo numero triangolare... faccio scorrere le due configurazioni fino a che il primo livello di una corrisponde al 60- simo dell'altra. La regola vale ancora! E se volessi il 60-simo numero esagonale?
23 La regola è sempre valida! Il problema è sapere qual è il numero del 60-simo livello.
24 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,... Questi sono i numeri di perle, livello per livello, in una configurazione esagonale. Essi costituiscono una successione numerica. Siccome ogni numero si ottiene dal precedente aggiungendo 4, si dice che è una progressione aritmetica di ragione 4.
25 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,... Togliamo 1 da ciascun termine della successione: 0, 4, 8, 12, 16, 20,... Ho ottenuto la successione dei multipli di 4. Mettiamo in corrispondenza con i numeri naturali: n ?
26 Il termine generico della successione dei multipli di 4 è 4(n-1) dove n indica il posto del termine che ci interessa. Quindi nella successione dei numeri da sommare per avere un numero esagonale, il termine generico è 4(n-1) + 1
27 Volevamo il 60-simo numero esagonale... Il 60-simo numero nella configurazione è: 4x(60-1) + 1 = = 237 Applico la regola per la somma dei primi 60 numeri della successione: (237+1)x60 : 2 = : 2 = 7140
28 Oppure: I numeri esagonali si ottengono accostando 4 configurazioni triangolari. Il 60-simo numero triangolare è: (60+1)x60 : 2 = 1830 che va moltiplicato per il numero di configurazioni ma poi bisogna togliere le perle doppie : 1830x4-3x60 Un po' di calcolo letterale dimostra l'equivalenza delle due formule
29 729 Il fatto che i numeri quadrati si possano considerare come somma di un segmento iniziale della successione dei dispari, consente di estrarre radici quadrate per sottrazioni successive: 729-1= = = = = = = = =0 729 è il numero di addendi usati, cioè...
30 MAGIE!!! In quanti modi posso leggere ABRACADABRA?
31 Una B viola si raggiunge in 2 modi e da qui ci sono 2 strade per una R blu; da ciascuna di esse, 2 strade per una A azzurra;...
32
33 PROBLEMI ASSOCIATI
34 ANCORA SULLE SUCCESSIONI Le successioni seguenti continuano ciascuna con la regola che si ricava osservando come iniziano; aggiungi in ognuna ancora 3 termini: 3, 5, 7, 9, 11, 13,... 1, 8, 15, 22, 29, 36,... 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,... n+2, n+4, n+6, n+8,... 7+a, 7+2a, 7+3a,... b+1, 2b+2, 3b+3,... Compito in classe in I media
35 Considera le seguenti successioni: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 2, 2, 4, 12, 48, 240, 1440, Riconosci tra esse una progressione aritmetica? E una progressione geometrica? Aggiungi ad ognuna delle successioni date altri due termini. Esprimi a parole e con formule il modo per ricavare altri termini in ciascuna successione.
36 Un antico problema Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno a partire da un'unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia genera una nuova coppia che diventa produttiva il mese successivo? Leonardo Pisano
37
38 tempo fertili giovani neonati totale
39 TORNIAMO INDIETRO... Quante configurazioni rettangolari con...?
40 Stiamo costruendo la successione di Eulero 36 ha 9 coppie moltiplicative
41 1986 Piano pluriennale di aggiornamento sui Programmi didattici per la Scuola Elementare anno di formazione dei formatori Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1980
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