III ESERCITAZIONE. Soluzione. (F x û x + F y û y ) (dx û x + dy û y ) (1)

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1 III ESERCITAZIONE 1. Lavoro Una particella è sottoposta ad una forza F =axy û x ax û y, dove a=6 N/m e û x e û y sono i versori degli assi x e y. Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza F quando la particella si sposta dall origine O al punto P di coordinate x P = l, y P = l (l =.1m) lungo le due traiettorie OAP, OBP dove A = (l, ) e B = (, l). Stabilire se il campo di forze assegnato è o meno conservativo. L espressione del lavoro L compiuto da una forza F lungo un cammino γ è L= γ F ds= (F x û x + F y û y ) (dx û x + dy û y ) (1) γ Percorso OAP Lungo il tratto OA, dy = e F x = ; lungo il tratto AP, dx= e F y = al. Il lavoro compiuto è L= OA F x dx + AP l F y dy = al dy =.6 J () Percorso OBP Lungo il tratto OB, dx = e F y = ; lungo il tratto BP, dy = e F x =axl. Il lavoro compiuto è L= OB F y dy + BP l F x dx= + al x dx=.3 J (3) Poiché il lavoro compiuto dipende dal percorso effettuato, il campo di forze non è conservativo. 1

2 . Lavoro, attrito, piano inclinato Un corpo di massa m viene lanciato con velocità iniziale v lungo un piano inclinato scabro, con coefficiente di attrito dinamico µ d, partendo dal bordo inferiore del piano. Sapendo che l angolo del piano è θ, si calcoli la massima altezza raggiunta dal corpo e il corrispondente lavoro della forza di attrito. Procedimento 1: Cinematica. Le forze agenti sul corpo sono la forza peso P, la forza di attrito F a e la reazione vincolare normale del piano N. Proiettiamole su un sistema di assi ortogonali con asse y ortogonale al piano inclinato e orientato verso l alto, asse x parallelo al piano e orientato verso la sommità del piano: { N mg cosθ = a= g (sinθ + µ mg sinθ µ d mg cosθ =ma d cosθ) (4) Nota l accelerazione, lo spazio percorso dal corpo prima di fermarsi si ricava risolvendo il sistema: { vf ==v + at x f =d=v t + 1 at (5) mentre l altezza corrispondente è: h=d sinθ = v g Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è: L a = d sinθ sinθ + µ d cosθ (6) F a ds= µ d mg cosθ d (7) Procedimento : Teorema energia cinetica. La variazione di energia cinetica del corpo é pari al lavoro compiuto dalle forze agenti su di esso, conservative e non conservative: K f K i =L P + L a = d P ds + d F a ds (8) dove d é la distanza percorsa dal corpo prima di fermarsi, L P = mg sinθ d e L a = µ d mg cosθ d. Dalla Eq.8 si ricava d e conseguentemente l altezza massima raggiunta h=d sinθ. Nota: notare che il lavoro della forza peso non dipende dal percorso effettuato, ma solo dalla variazione della quota, passata da ad h: L P = mg (d sinθ)= mgh (9)

3 3. Lavoro, attrito, piano inclinato Si vuole far salire con velocità costante un corpo di massa m = 1 kg fermo alla base di un piano inclinato. Tra piano e corpo c è attrito e il coefficiente di attrito dinamico è µ d =.3. Che forza dobbiamo applicare se l inclinazione del piano è θ =45? Che lavoro facciamo se il piano è lungo d=1 m? Qual è il lavoro compiuto dalla forza di attrito? Le forze che agiscono sul corpo sono la forza peso P, la forza di attrito F a, la reazione vincolare normale N e la forza trainante trasmessa tramite la carrucola F. Proiettiamole su un sistema di assi ortogonali con asse y ortogonale al piano inclinato e orientato verso l alto, asse x parallelo al piano e orientato verso la sommità del piano. Inoltre osserviamo che, se il corpo sale lungo il piano con velocitá costante, la sua accelerazione è nulla: N mg cosθ = F mg sinθ µ d mg cosθ = (1) da cui si ricava F = 9.18 N. Il lavoro compiuto è L F = F d = 9.18 J, poiché forza e spostamento sono paralleli e concordi. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è d L a = F a ds= µ d mg cosθ d=.81 J (11) Per completezza, il lavoro compiuto dalla forza peso é L P = mg sinθ d = J. Notiamo che L F = (L P + L a ). 3

4 4. Conservazione energia e moto circolare Un punto materiale di massa m=6 1 3 kg parte dal punto A con velocità iniziale nulla e scivola lungo una guida liscia raccordata tangenzialmente con una guida circolare liscia, posta in un piano verticale e di raggio R =1 cm, restando sempre all interno. Calcolare la minima altezza h per cui il punto arriva in D senza staccarsi e la forza totale agente su di esso quando, partendo dall altezza h, passa nei punti B e C posti sul diametro orizzontale. Procedimento 1: Conservazione energia. L energia si conserva, perché non siamo in presenza di forze dissipative. In particolare, possiamo eguagliare l energia iniziale (solo potenziale, in quanto il corpo parte da fermo) con l energia meccanica totale nel punto D (potenziale piú cinetica): E i =E D mgh= 1 mv + mgr (1) La velocità nel punto D si ricava dalle equazioni del moto. In ogni punto della guida circolare e lungo la direzione radiale, la pallina è soggetta all azione della reazione vincolare N e della componente radiale della forza peso P rad = mg cosθ, dove θ é l angolo compreso tra il raggio R e la verticale. Nel punto D (cosθ =π), entrambe le forze sono dirette verso il centro della guida: mg + N =m v R v =Rg + RN (13) m Poiché siamo interessati alla quota minima h, imponiamo che la pallina raggiunga il punto D con la minima velocità necessaria a mantenerla in rotazione. Dall equazione precedente, si vede che questa condizione è verificata per N =, da cui v =Rg. Sostituendo nell Eq.1, si ottiene h=5/ R. 4

5 La forza totale agente in ogni punto della guida é F = P + N. Nei punti B e C, la forza peso ha solo componente tangenziale P tan =m g diretta verso il basso. In direzione radiale agisce la reazione vincolare della guida, che mantiene la pallina in rotazione: N =m v R La velocità si ricava di nuovo dalla conservazione dell energia: (14) E i =E B,C mg 5 R= 1 mv + mgr (15) da cui v =3gR (abbiamo sostituito h=5/ R). Infine: F = (mg) + (3mg) = 1mg (16) Procedimento : Teorema energia cinetica e lavoro. La quota h può essere ricavata anche osservando che la variazione di energia cinetica del corpo è pari al lavoro compiuto dalle forze agenti. In particolare, dal lavoro della forza peso (la reazione vincolare è sempre ortogonale allo spostamento). Ora, la forza peso è conservativa, per cui il suo lavoro dipende dalla variazione di quota del corpo, che passa dall altezza h in cima alla guida all altezza R nel punto D: K f K i =L P 1 mv =mg(h R) (17) Il lavoro è positivo, perché la quota si riduce (forza e spostamento concordi). Da qui, si procede come nel caso 1. 5

6 5. Tensione del pendolo Un pendolo semplice è costituito da una pallina sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L. Nel punto pi basso della traiettoria la velocità della pallina è v = 3gL. Si calcoli la tensione del filo in funzione dell angolo θ formato da esso con la verticale. Si dica, giustificando la risposta, se il filo rimane teso durente tutto il moto della pallina. Le forze che agiscono sulla massa sono la forza peso P e la tensione del filo T. Ci interessa la loro proiezione lungo la direzione radiale. La tensione ha sempre direzione radiale centripeta e deve soddisfare la condizione T. Se cosí non fosse, il filo cesserebbe di esercitare tensione e la massa abbandonerebbe il moto circolare, seguendo una traiettoria parabolica. La forza peso ha componenti Prad = mg cosθ e P tan = mg sinθ. L equazione del moto: T mg cosθ =m v (18) L Per esprimere la tensione in funzione dell angolo, dobbiamo ricavare v = v(θ). Procedimento 1: Teorema energia cinetica. La variazione di energia cinetica é pari al lavoro compiuto dalla forza peso, quando la quota h della massa varia da h = (punto inferiore del moto) a h = L(1 cosθ) generica (lavoro negativo, perché la quota aumenta, cioé forza e spostamento sono discordi): K f K i =L P 1 mv 1 mv = mgl(1 cosθ) (19) 6

7 Sostituendo, si ottiene: T =m v + mg (3 cosθ )=mg (3 cosθ + 1) () L Risolvendo T (θ) =, si ottiene l angolo in cui il vincolo sulla tensione non é piú rispettato: cosθ = 1/3. Procedimento : Conservazione energia. L energia si conserva durante il moto: E i =E(θ) 1 mv = 1 mv + mgl(1 cosθ) (1) da qui si procede come nel caso 1. Nota: Osserviamo che un altro vincolo da rispettare durante il moto é v. Il caso v = corrisponde all inversione del moto. Dalla Eq.19 o dalla Eq.1: v =v mgl(1 cosθ) () Si ottengono cosí i due angoli θ T e θ v in corrispondenza dei quali si annullano tensione e velocitá rispettivamente: cosθ v = ( ) 1 v ( gl ) cosθ T = 1 v 3 gl = cosθ 3 v (3) Ovviamente, il moto deve invertirsi prima che ceda la tensione del filo: θ v < θ T, cioé cosθ v > cosθ T (siamo nell intervallo [,π]). Dalla Eq.3, questa condizione é sempre verificata, purché θ v π/. In altre parole, se la massa non é dotata di una velocitá sufficiente a farle compiere un giro completo, o l inversione del moto avviene prima del raggiungimento della posizione orizzontale o la fune perde tensione e la massa precipita in moto parabolico. Possiamo calcolare la velocitá minima necessaria affinché la massa possa compiere un giro completo. Tale velocitá é quella che si ottiene in assenza di tensione nel punto piú alto: mg =m v L =mv L 4mgL (4) dove si é usata l Eq.. La velocitá minima é dunque v = 5gL. 7

8 6. Tensione del pendolo - Giro della morte Un pendolo semplice è costituito da una pallina di massa m=. kg sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L=8 cm. Si trovi la minima velocità che deve avere la pallina nel punto più alto della traiettoria affinché essa continui a seguire la traiettoria circolare invece di cadere verso il basso. Indichiamo con θ l angolo formato dal filo con la verticale e supponiamo che la pallina transiti in θ = π/ con velcoità v. Calcolare, in funzione di v, la massima altezza che la pallina può raggiungere prima di cadere verso il basso. Nel punto più alto, la componente radiale dell equazione del moto si scrive: T + mg = mv L (5) quindi, affinché la pallina continui a seguire la traiettoria circolare, deve essere verificata la condizione T : v v min = gl. Per trovare l angolo θ in corrispondenza del quale avviene il distacco, procediamo come nel problema precedente: scriviamo la componente radiale dell equazione del moto e la legge di conservazione dell energia per un generico θ, mettiamo a sistema per ottenere T =T (θ) ed imponiamo la condizione di distacco, cioè T =. { T mg cosθ = mv L 1 mv + mgl= 1 (6) mv + mgl(1 cosθ) da cui si ottiene T (θ)= mv L + 3mg cosθ cosθ = v 3gL (7) Il coseno è negativo, cioè il distacco avviene per θ > π/. Definiamo α = θ π/. L altezza a cui avviene il distacco è allora h d =L(1 + sinα). Dopo il distacco, la pallina segue un moto parabolico. Possiamo calcolare la velocità iniziale del moto sostituendo θ nella seconda delle Eq.6: v in = v / 3. Definiamo un sistema di assi cartesiani x, y con origine nel punto di distacco. In questo modo, il vettore v in forma un angolo α con l asse y. Le componenti della velocità iniziale sono: v x = v in sinα v y =v rmin cosα 8 (8)

9 L altezza massima h p raggiunta durante il moto parabolico si ottiene dalla conservazione dell energia (o da ragionamenti cinematici): 1 mv in =mgh p + 1 mv x h p = 1 v 3g cos α (9) Infine, l altezza massima raggiunta dalla pallina è: h tot =h d + h p = =L(1 + sinα) + 1 v 3g cos α= =L(1 cosθ ) + 1 v 3g cos α (3) 9

10 7. Forza elastica, lavoro, energia cinetica Un corpo di massa m=6 kg scivola lungo un piano liscio, inclinato di θ =5 ; esso parte con velocità nulla e percorre lungo il piano la distanza d = 4 m. Alla fine del piano inclinato, esso si muove per un tratto orizzontale liscio lungo h= m e urta una molla di lunghezza a riposo x =.5 m, fissata ad un muro. Calcolare quanto deve valere la costante elastica della molla affinché il corpo tocchi il muro con velocità nulla. Ripetere il calcolo se nel tratto orizzontale c è un coefficiente di attrito dinamico µ d =.14. Quanto dovrebbe valere µ affinché il corpo arrivi a toccare la molla con velocità nulla? Procedimento 1: Teorema energia cinetica. La variazione di energia cinetica del corpo é pari al lavoro compiuto dalle forze agenti. Lungo il tratto inclinato, si ha: Lungo il tratto piano K f K i =L P 1 mv =mg sinθ d (31) K f K i =L el 1 mv = 1 kx (3) NB: La forza elastica che agisce sul corpo ha verso opposto allo spostamento: la molla viene compressa dal corpo che si approssima al muro. Ricavando v dalla Eq.31 e sostituendo in Eq.37, si ottiene k = N/m. In presenza di attrito lungo il tratto orizzontale, l Eq.37 si modifica, poiché la variazione di energia cinetica é ora dovuta in parte anche al lavoro dissipativo della forza di attrito: K f K i =L el + L a 1 mv = 1 kx µ d mgh (33) 1

11 Procedendo come in precedenza, si ricava k =33.14 N/m. Se il corpo arriva a toccare la molla con velocitá nulla (cioé non arriva a toccare il muro, ma si ferma prima, lasciando la molla alla sua lunghezza di equilibrio), tutta la sua energia cinetica sará stata dissipata dalla forza di attrito: K f K i =L a 1 mv = µ dmgh (34) e, nota v dalla Eq.31, si ricava µ d =.34. Procedimento : Conservazione energia. In assenza di attrito, le forze in gioco sono tutte conservative. L energia potenziale iniziale posseduta dal corpo la ritroviamo, una volta toccato il muro, come energia potenziale elastica: E i =E f mgd sinθ = 1 kx (35) da cui si ottiene k = N/m. In presenza di attrito, l energia non é conservata e la sua variazione é pari al lavoro compiuto dalla forza di attrito: E f E i =L a 1 kx mgd sinθ = µ d mgh (36) per cui k = N/m. Se il corpo arriva a toccare la molla con velocitá nulla, tutta l energia é dissipata dalla forza di attrito da cui µ d =.34. E f E i =L a mgd sinθ = µ dmgh (37) 11