Controlli Automatici LA Analisi di sistemi di controllo Funzioni di sensitività Stabilità e Prestazioni Errori a regime e tipo di sistema

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1 Controlli Automatici LA Analisi di sistemi di controllo Funzioni di sensitività Stabilità e Prestazioni Errori a regime e tipo di sistema Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 Sistemi di controllo in retroazione Schemi a blocchi di riferimento utilizzato nel corso per analizzare un impianto reale vanno considerati anche ingressi di disturbo (d in, d int, d out ) errore di misura del sensore (n) modellato come un altro ingresso y ref - e R(s) regolatore u + d in G 1 (s) Impianto G(s) errore di misura del sensore nel seguito, per unificare la trattazione, faremo spesso riferimento allo schema equivalente y sp e - n u R(s) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 2 n + G(s) + d int + d G 2 (s) + y + d out y G 1 G 2 d in + G 2 d int + d out

3 Sistemi di controllo in retroazione Schema generale con tutte le grandezze di interesse ingressi al sistema y sp e - n R(s) u d + G(s) y segnale di comando fornito dall'operatore (y ref ) spesso indicato anche come set-point (y sp ) disturbo equivalente sull'uscita (d) negli impianti sono sempre presenti ingressi non controllati che si decide cioè di non utilizzare per il controllo ingressi non controllabili che non è possibile fisicamente utilizzare per il controllo errore di misura (n) - spesso indicato anche come rumore di misura rappresenta il fatto che non è possibile costruire una catena di acquisizione ideale (sensore + cavi + elettronica di acquisizione) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 3

4 Sistemi di controllo in retroazione Schema generale con tutte le grandezze di interesse uscite di interesse y sp e - n R(s) u d + G(s) y uscita dell'impianto (y) imporne l'andamento nel tempo è l'obiettivo del controllo errore di controllo (e) è un indicatore della bontà del nostro controllo uscita del regolatore (u) - spesso indicato anche come controllo o segnale di comando è un indicatore della intensità dell'azione di controllo necessaria per imporre l'andamento desiderato dell'uscita un utilizzo moderato del controllo corrisponde a risparmio energetico limita il dimensionamento e l'usura dell'organo di attuazione Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 4

5 Definizioni funzione di Sensitività S( s) = Sistemi di controllo in retroazione Funzioni di sensitività 1 1+ R s ( )G s ( ) funzione di Sensitività Complementare ( ) = R s F s ( )G( s) 1+ R( s)g s ( ) funzione di Sensitività del Controllo Q( s) = y sp e - n R(s) u d + G(s) y - ( ) R s 1+ R( s)g s ( ) = F s ( )G 1 s ( ) = R s dato l'impianto G(s) le tre funzioni di sensitività dipendono solo da R(s) possono quindi essere imposte con il progetto del regolatore R(s) ( )S s Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 5 ( )

6 Sistemi di controllo in retroazione Funzioni di sensitività y sp e - n R(s) u d + G(s) y definito il vettore degli ingressi - definito il vettore delle uscite in forma matriciale, la relazione tra ingressi e uscite è Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 6

7 Sistemi di controllo in retroazione Alcune considerazioni generali esistono specifiche conflittuali nel progetto di R(s) per avere la cancellazione dell'effetto del disturbo sull'uscita (reiezione del disturbo) si deve progettare R(s) perchè sia S(s) = alle frequenze del disturbo perchè l'uscita insegua il riferimento, R(s) deve garantire F(s) = 1 alle frequenze del riferimento per neutralizzare l'effetto sull'uscita degli errori di misura R(s) deve garantire F(s) = alle frequenze dell'errore di misura inoltre, strutturalmente Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 7

8 Stabilità Sistemi di controllo in retroazione Requisiti del sistema controllato in condizioni nominali in condizioni perturbate (stabilità robusta) Prestazioni statiche in condizioni nominali per diverse tipologie di segnali di ingresso (Y sp, d, n) valori a regime dinamiche in condizioni nominali per variazioni a gradino dei segnali di ingresso (Y sp, d, n) tempo di assestamento, massimo sorpasso banda passante, picchi di risonanza moderazione dell'azione di controllo statiche e dinamiche in condizioni perturbate (prestazioni robuste) errori di modello, variazione dei parametri Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 8

9 Stabilità di un sistema in retroazione La stabilità nei sistemi in retroazione un sistema è asintoticamente stabile se ha tutti i poli con parte reale negativa per i sistemi in retroazione il denominatore della f.d.t è ne consegue che un sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se le radici della equazione caratteristica sono tutte a parte reale negativa per la verifica esistono molti metodi numerici basati sulla risposta armonica criterio di Routh criterio di Kharitonov poco utili per il progetto criterio di Nyquist criterio di Bode grafici luogo delle radici aiutano nel progetto Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 9

10 Stabilità di un sistema in retroazione Rappresentazione polare della L(jω) luogo dei punti L(jω) con ω 2 1 si ricava in modo qualitativo a partire dai diagrammi di Bode al variare di ω da a il punto di intersezione con il cerchio di raggio unitario corrisponde alla frequenza ω c in cui il modulo è unitario ( db) i punti di intersezione con gli assi corrispondono a valori di fase a partire da (asse reale positivo) multipli di 9 µ=4 Im ω C Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 1 2 ω = 1 ω =

11 Stabilità di un sistema in retroazione Rappresentazione polare della L(jω) luogo dei punti L(jω) con ω esempio sistema del 2 ordine Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo Im

12 Stabilità di un sistema in retroazione Rappresentazione polare della L(jω) luogo dei punti L(jω) con ω esempio sistema del 3 ordine Im Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 12-2

13 Stabilità di un sistema in retroazione Diagramma di Nyquist corrisponde al diagramma polare della L(jω) e della sua immagine speculare rispetto all'asse reale 2 Im 1-1 Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 13

14 Stabilità di un sistema in retroazione Criterio di stabilità di Nyquist versione del criterio valida solo per sistemi asintoticamente stabili in catena aperta (funzioni d'anello) o con al più un polo nell'origine Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist non circonda il punto sistema retroazionato stabile Im Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo sistema retroazionato instabile

15 Indici importanti Stabilità di un sistema in retroazione Stabilità dai Diagrammi di Bode Picco di risonanza è funzione di δ indica risposte oscillanti ed elevata capacità di trasferire segnali a quella frequenza Margine di guadagno o Margine di ampiezza (M a ) inverso del modulo alla frequenza per cui Arg[G(jω)] = -18 alla ω per cui ω π L Frequency (rad/sec) Indicatore di stabilità Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 15

16 indici importanti Diagrammi di Bode Margine di fase (Mf) distanza della fase da -18 Stabilità di un sistema in retroazione ω c alla pulsazione critica ω c in cui il modulo è unitario detto alla frequenza ω c in cui L allora da cui Frequency (rad/sec) Indicatore di stabilità Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 16

17 Stabilità di un sistema in retroazione Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione 1.4 basso adeguato adeguato basso alta bassa t la risposta riflette l'andamento di F(jω) alle Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 17

18 Ipotesi Tesi Stabilità di un sistema in retroazione Criterio di stabilita di Bode L(s) non ha poli a parte reale positiva il criterio vale solo per sistemi stabili in catena aperta L(s) abbia guadagno > altrimenti la retroazione diventa positiva condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità è che il Margine di Fase sia > Situazioni critiche da analizzare se la L(jω) attraversa l'asse db in più punti il Margine di Fase va calcolato in tutti i punti se tutti i valori di M f sono positivi il sistema in retroazione è stabile se anche uno solo dei valori di M f è negativo il sistema in retroazione è instabile Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 18

19 Stabilità di un sistema in retroazione Effetti sulla stabilità del guadagno di anello se la differenza poli/zeri è superiore a 2 la fase tende asintoticamente oltre -18 al crescere di K si va verso la instabilità Diagrammi di Bode 5 K Diagramma di Nyquist Im Frequency (rad/sec) -2-4 K Re Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 19

20 Stabilità robusta di un sistema in retroazione Ruolo dei Margini di Ampiezza e di Fase Margine di Ampiezza misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sul guadagno di anello rappresenta la massima variazione del guadagno di anello che non pregiudica la stabilità Margine di Fase misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sulla fase della funzione d'anello rappresenta la massima variazione di fase nell'anello che non pregiudica la stabilità db M f M a ω Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 2

21 Stabilità robusta di un sistema in retroazione Situazioni con interpretazione contraddittoria Margine di ampiezza quasi nullo la stabilità è molto critica a fronte di variazioni del guadagno o del fattore di smorzamento del sistema Margine di fase molto elevato da solo potrebbe indurre a conclusioni errate sulla robustezza della stabilità molta attenzione con diagrammi delle ampiezze non monotoni coppie di poli poco smorzati zeri in mezzo a poli Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 21 db M f M a ω

22 definizione Funzione di Sensitività Complementare Schema a blocchi y sp e - n R(s) u d + G(s) y - F(s) rappresenta, a meno del segno, le funzioni di Trasferimento tra il riferimento (y sp ) e l'uscita (y) l'errore di misura (n) e l'uscita (y) l'errore di misura (n) e l'errore di controllo (e) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 22

23 Funzione di Sensitività Complementare Schema a blocchi y sp e - n R(s) u d + G(s) y - F(s) è la f.d.t. tra il riferimento (y sp ) e l'uscita (y) F(s) è la f.d.t. tra l'errore di misura (n) e l'uscita (y) F(s) è la f.d.t tra l'errore di misura (n) e l'errore di controllo (e) Considerazioni generali se F(s) = 1 l'uscita (y) insegue perfettamente il riferimento (y sp ) l'errore di misura (n) si presenta inalterato sull'uscita (y) se F(s) = il sistema di controllo è inefficiente l'errore di misura (n) completamente cancellato dall'uscita (y) serve un compromesso tra le due a diverse frequenze Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 23

24 F(s) rappresenta Funzione di Sensitività Complementare Analisi statica s = mettendo in evidenza la forma generale della L(s) si ha k L( s)= µ 1+T k s s g 1+ τ k s k ( ) 1+ 2ζ i s / α ni + s 2 2 / α n1 ( ) 1+ 2δ i s / ω ni + s 2 2 / ω ni µ > è il guadagno statico ( i ) ( i ) g = ± n è l'eccesso poli/zeri nell'origine g = non ci sono poli/zeri nell'origine g > c'è almeno un polo nell'origine g < c'è almeno uno zero nell'origine Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 24

25 F(s) rappresenta k L( s)= µ 1+T k s s g 1+ τ k s k Analisi statica s = per effettuare l'analisi statica µ della F(s) occorre L( s) lim F( s)= lim = lim s g µ s s 1+ L( s s ) 1+ µ = lim s s g + µ s g da cui, in funzione di g Funzione di Sensitività Complementare ( ) 1+ 2ζ i s / α ni + s 2 2 / α n1 ( ) 1+ 2δ i s / ω ni + s 2 2 / ω ni ( i ) ( i ) se g = se g > se g < né poli né zeri nell'origine almeno un polo nell'origine almeno uno zero nell'origine Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 25

26 Funzione di Sensitività Complementare Risultati importanti tratti dall'analisi statica il tipo di L(s) condizione la capacità, a regime, di trasferire sull'uscita il segnale di riferimento, ma anche l'errore di misura se in L(s) non ci sono né poli né zeri nell'origine l'uscita riproduce l'ingresso (y sp o n) a meno di un errore costante di ampiezza inversamente proporz. al guadagno µ se in L(s) c'è eccesso di poli nell'origine l'uscita riproduce perfettamente l'ingresso (y sp o n) se in L(s) c'è eccesso di zeri nell'origine l'uscita a regime è nulla; non dipende dall'ampiezza di (y sp o n) la presenza di errori di misura in ω < ω c è critica Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 26

27 Funzione di Sensitività Complementare Analisi dinamica mettendo in evidenza numeratore e denominatore di L(s) la funzione di Sensitività Complementare F(s) diventa gli zeri di F(s) coincidono con quelli di L(s) eventuali zeri in L(s) saranno quindi presenti anche in F(s) i poli sono diversi e non è immediato determinare dove sono Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 27

28 Funzione di Sensitività Complementare Analisi dinamica mediante i diagrammi di Bode Ipotesi di lavoro (sempre verificata nella pratica) la L(s) ha sempre una caratteristica passa-basso per ragioni energetiche l'impianto ha tipicamente una funzione di risposta armonica di tipo passa-basso il regolatore è spesso un sistema a grado relativo con modulo elevato in bassa frequenza limitato e costante in alta frequenza nel tipico diagramma di Bode del modulo della L(s) si individuano tre zone, definite dalla pulsazione critica ω c considerando unità non logaritmiche per frequenze molto inferiori ad ω c L >> 1 (db) per frequenze intorno ad ω c L 1 per frequenze molto superiori ad ω c L << 1 Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 28 db L ω c ω

29 Funzione di Sensitività Complementare Analisi dinamica mediante i diagrammi di Bode se per ω << ω c L >> 1 (db) se per ω ω c L 1 se per ω >> ω c L << 1 risulta quindi F ( jω ) = ( ) ( ) L jω 1+ L jω Valor massimo (nell intorno della ω c ) db 1 ω ω c (, ) guadagno d'anello elevato ω ω c L( jω ω ω c F L apple c ω guadagno d'anello basso P F = max ω F( jω) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 29

30 Funzione di Sensitività Complementare Risultati importanti tratti dall'analisi dinamica F L Il sistema in retroazione F(s) si comporta come un filtro passa basso con guadagno circa unitario e pulsazione di taglio pari a ω c le componenti di (y sp ) a pulsazione < ω c saranno riprodotte fedelmente sull'uscita (almeno per quanto riguarda l'ampiezza) lo stesso purtroppo è vero anche per l'errore di misura (n) non possiede quindi poli a frequenza inferiore ad ω c vedremo una eccezione in presenza di zeri possiede poli dominanti nell'intorno di ω c non conosciamo il numero e la natura di questi poli dominanti a frequenze superiori ad ω c i poli sono simili a quelli di L(s) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 3 ω c ω

31 Funzione di Sensitività Complementare Risultati importanti tratti dall'analisi dinamica elevato guadagno d'anello basso db F L ω c la retroazione è efficace solo alle frequenze in cui il ω modulo della funzione d'anello L(s) è elevato ( ω << ω c ) consente, infatti, di modificare significativamente il comportamento del sistema F(s) L(s) nei sistemi in retroazione bisogna garantire elevato guadagno garantisce, inoltre, robustezza rispetto a incertezze sui parametri il sistema in retroazione F(s) dipende poco da G(s) la retroazione non ha praticamente effetto alle frequenze in cui il modulo della L(s) è basso (ω >> ω c ) infatti, a queste frequenze (F(s) L(s)) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 31

32 esempio Funzione di Sensitività Complementare Analisi dinamica 5 L(s) Gain db Gain db F(s) Frequency (rad/sec) ω c i poli dominanti sono complessi coniugati Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 32

33 Natura dei poli dominanti del sistema in retroazione ipotesi (molto comune) di poli complessi coniugati si può dimostrare che esiste una relazione tra lo smorzamento del sistema in retroazione (tipologia dei poli) ed il margine di fase in ω = ω c Funzione di Sensitività Complementare reale immaginaria poiché M f = π + ϕ c Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 33

34 Natura dei poli dominanti del sistema in retroazione ( ) = F jω c 1 Funzione di Sensitività Complementare ( ) 2 1 cos M f se si ipotizza che il sistema in retroazione sia = asintoticamente stabile, a guadagno unitario, privo di zeri con poli dominanti complessi coniugati aventi pulsazione di risonanza ω n proprio alla frequenza ω c in CA LA 6 - Diagrammi di Bode, si è visto che 1 ( ( )) 2 2sin 2 M f 2 = 1 ( ) 2sin M f / 2 abbiamo appena visto che per cui, eguagliando le due espressioni di F(jω c ), si ha con M f espresso in radianti Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 34

35 Funzione di Sensitività Complementare Natura dei poli dominanti del sistema in retroazione se il margine di fase è piccolo esprimendo il Margine di Fase in gradi δ = 1 2 M fg π 18 da radianti a gradi si ottiene la seguente relazione tra il Margine di Fase e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione δ M fg 1 questa relazione (approssimata) lega una caratteristica del sistema in catena aperta (M f ) allo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione regola empirica se M f < 75 il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 35

36 Funzione di Sensitività Complementare Natura dei poli dominanti del sistema in retroazione stima dei poli dominanti del sistema in retroazione dalle caratteristiche della funzione d'anello L(s) in ω c per la funzione d'anello dai diagrammi di Bode si ha ω c =.9rad/s e M f = 25 per il sistema in retroazione si può stimare una coppia di poli dominanti con ω n =.9rad/s e δ.25 il CAD Multitool ci indica ω n = 1rad/s e δ.2 l'approssimazione è accettabile Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo L F ω c -18 M f

37 Studio della funzione di sensitività complementare analisi dinamica valutazione della banda passante Funzione di Sensitività Complementare 5 L(s) Gain db F(s) ω c Gain db Frequency (rad/sec) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 37

38 Funzione di Sensitività Complementare Estrapolazione della risposta al gradino unitario dall'analisi della Funzione di Sensitività Complementare valore di F() poli dominanti stimati per il sistema in retroazione stima della risposta al gradino del sistema in retroazione S% stimata e apple 5% t Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 38.5 vera T a5

39 Definizione Schema a blocchi Funzione di Sensitività y sp e - n R(s) u d + G(s) y - S(s) ha (ovviamente) gli stessi poli di F(s) l'anello chiuso è lo stesso, cambiano ingressi ed uscite utilizzati S(s) rappresenta, a meno del segno, le funzioni di trasferimento tra il disturbo (d) e l'uscita (y) il riferimento (y sp ) e l'errore (e) il disturbo (d) e l'errore (e) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 39

40 Schema a blocchi S(s) è la f.d.t. tra il disturbo (d) e l'uscita (y) S(s) è la f.d.t. tra il riferimento (y sp ) e l'errore (e) S(s) è la f.d.t. tra il disturbo (d) e l'errore (e) Considerazioni generali Funzione di Sensitività y sp e - n R(s) u d + G(s) y - se S(s) = si annullano gli effetti del riferimento (y sp ) sull'errore (e) si annullano gli effetti del disturbo (d) sull'errore (e) si annullano gli effetti del disturbo (d) sull'uscita (y) poiché al di sopra di ω c si ha che L(jω) per ω inevitabilmente S(jω) 1 per ω occorre cercare un compromesso alle diverse frequenze Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 4

41 S(s) rappresenta k L( s)= µ 1+T k s s g 1+ τ k s k Funzione di Sensitività Analisi statica s = ( ) 1+ 2ζ i s / α ni + s 2 2 / α n1 ( ) 1+ 2δ i s / ω ni + s 2 2 / ω ni ( i ) ( i ) per effettuare l'analisi statica della S(s) occorre calcolare 1 1+ µ = 1 1+ µ g = 1 s g lim S( s)= lim = lim s s g + µ = g > s s 1+ L( s) = lim 1 s 1+ µ s g 1 1+ s g µ =1 g < Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 41

42 lim s Funzione di Sensitività Risultati importanti tratti dall'analisi statica S( s)= il tipo di L(s) condiziona la capacità di attenuazione sull'uscita dei disturbi un polo nell'origine 1 1+ µ g = g > 1 g < annullamento di disturbo costante nessun polo nell'origine attenuazione di disturbo costante zero nell'origine il disturbo passa inalterato Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 42

43 Funzione di Sensitività Analisi dinamica mettendo in evidenza numeratore e denominatore di L(s) la funzione di Sensitività S(s) diventa gli zeri di S(s) coincidono con i poli di L(s) i poli di S(s) sono (ovviamente) gli stessi della funzione di sensitività complementare F(s) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 43

44 Funzione di Sensitività Analisi dinamica mediante i diagrammi di Bode per ω << ω c L >> 1 (db) per ω ω c L 1 db S L per ω >> ω c L << 1 risulta quindi ω c ω S ( jω ) = P S = max ω 1 ( ) 1+ L jω S( jω) 1 L( jω) ω ω c (, ) ω ω c 1 ω ω c Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 44

45 Funzione di Sensitività Risultati importanti tratti dall'analisi dinamica db S L ω c ω La funzione di sensitività approssima un filtro passa alto con guadagno unitario e pulsazione di taglio pari a ω c possono quindi essere attenuati solo le componenti armoniche dei disturbi a frequenza inferiore ad ω c la retroazione è efficace per l'attenuazione dell'effetto dei disturbi solo alle frequenze in cui il modulo della funzione d'anello L(s) (guadagno d'anello) è elevato disturbi a frequenza superiore ad ω c sono riportati sull'uscita senza attenuazione Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 45

46 esempio Funzione di Sensitività Analisi dinamica 5 L(s) Gain db Gain db S(s) Frequency (rad/sec) ω c i poli dominanti sono complessi coniugati Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 46

47 Teorema Funzione di Sensitività Proprietà della funzione di Sensitività se L(s) = R(s)G(s) è asintoticamente stabile ha grado relativo 2 allora il valor medio del modulo, in scala lineare delle frequenza, è nullo questo significa che se vi sono tratti del diagramma al di sotto dell'asse db, ve ne devono essere necessariamente altri sopra tale asse ne consegue che una elevata attenuazione dei disturbi in una certa banda di frequenza comporta necessariamente una significativa amplificazione dei disturbi in un'altra banda Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 47

48 Funzione di Sensitività Proprietà della funzione di Sensitività esempi di funzioni di Sensitività nell'intorno di ω c al variare di k db S -1-2 maggiore attenuazione k maggiore amplificazione -3 si faccia attenzione al fatto che poiché i diagrammi sono disegnati in scala logaritmica delle ω, la presenza di valore medio nullo non è completamente evidente Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 48 ω

49 Funzione di Sensitività Estrapolazione della risposta al gradino di disturbo dall'analisi della Funzione di Sensitività Complementare valore di F() poli dominanti stimati per il sistema in retroazione 1 stima della risposta al disturbo del sistema in retroazione.5 S% y.5 Prof. Carlo Rossi -.5 T a t analisi dei sistemi di controllo 49

50 Definizione Funzione di Sensitività del Controllo Schema a blocchi y sp e - n R(s) u d + G(s) y - Q(s) ha ovviamente gli stessi poli di F(s) Q(s) rappresenta, a meno del segno, le funzioni di trasferimento tra il disturbo (d) e l'uscita del regolatore (u) il riferimento (y sp ) e l'uscita del regolatore (u) l'errore di misura (n) e l'uscita del regolatore (u) Q(s) deve essere piccola per ridurre le sollecitazioni a cui è sottoposto l'attuatore dalla variabile di controllo Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 5

51 Q(s) rappresenta Funzione di Sensitività del Controllo Analisi statica per effettuare l'analisi statica della Q(s) occorre calcolare siano apple R e apple G i guadagni statici di R(s) e G(s) siano g R e g G l'eccesso di radici nell'origine di R(s) e G(s) allora Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 51

52 Funzione di Sensitività del Controllo Analisi statica trascurando il caso di zeri nell'origine, perchè di scarso interesse per questa funzione di Sensitività la Sensitività del Controllo in ω = è inversamente proporzionale al guadagno dell'impianto in ω = se nell'impianto c'è un polo nell'origine, Q() = eventuali poli nell'origine del regolatore non influenzano la Q(s) Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 52

53 Funzione di Sensitività del Controllo Analisi dinamica mettendo in evidenza numeratore e denominatore la funzione di Sensitività del Controllo diventa gli zeri di Q(s) coincidono con gli zeri di R(s) e con i poli di G(s) i poli di Q(s) sono (ovviamente) gli stessi della funzione di sensitività complementare F(s) la risposta al gradino di Q(s) può presentare sovraelongazioni se ci sono zeri di R o poli di G a pulsazioni inferiori a ω c Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 53

54 Funzione di Sensitività del Controllo Analisi dinamica mediante i diagrammi di Bode per ω << ω c RG >> 1 (db) per ω ω c RG 1 db G R L(jω) = per ω >> ω c RG << 1 risulta quindi Q ω g ω c ω Q( jω ) = ( ) ( ) R jω 1+ R( jω )G jω 1 ( ) G jω (, ) ω < ω c ω = ω c R( jω ) ω > ω c Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 54

55 db Funzione di Sensitività del Controllo Risultato importanti tratti dall'analisi dinamica G R L(jω) = db R G L(jω) = Q Q ω g ω c l'azione di controllo ω si mantiene limitata nell'intervallo di frequenze nelle quali l'impianto ha modulo massimo ω g ω c ω < ω < ω g tende al valore del regolatore nell'intorno di ω c oltre ω c coincide con il guadagno regolatore se il regolatore amplifica in alta frequenza, l'azione di controllo può risultare elevata in presenza di componenti in alta frequenza del riferimento, del disturbo o dell'errore di misura Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 55

56 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema Definizione di errore a regime valore dell errore una volta esaurito il transitorio dipende dal tipo di segnale di ingresso dipende dal tipo di sistema y ref - e G(s) y Funzione di Sensitività Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 56

57 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo nessun polo nell'origine trasformata del gradino Risposta al gradino y y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) non ha poli nell origine l'errore a regime per ingresso a gradino è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 57

58 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo 1 1 polo nell'origine trasformata del gradino Risposta al gradino y y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) ha 1 polo nell origine l'errore a regime per ingresso a gradino è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 58

59 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo 2 2 poli nell'origine trasformata del gradino Risposta al gradino y y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) ha 2 poli nell origine l'errore a regime per ingresso a gradino è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 59

60 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo nessun polo nell'origine Risposta alla rampa trasformata della rampa gradino y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) non ha poli nell origine l'errore a regime per ingresso a rampa è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 6

61 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo 1 1 polo nell'origine Risposta alla rampa trasformata della rampa gradino y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) ha 1 polo nell origine l'errore a regime per ingresso a rampa è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 61

62 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema sistemi di tipo 2 2 pol1 nell'origine Risposta alla rampa trasformata della rampa gradino y ref - e y G(s) da cui l'errore t G(s) ha 2 poli nell origine l'errore a regime per ingresso a rampa è quindi Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 62

63 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema Risposte al gradino Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 63

64 Errori a regime nei sistemi in retroazione e tipo di sistema Risposte alla rampa Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 64

65 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 9, 1 Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 4 Prof. Carlo Rossi analisi dei sistemi di controllo 65

66 Controlli Automatici A Analisi di sistemi di controllo Funzioni di sensitività Stabilità e Prestazioni Errori a regime e tipo di sistema FINE Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi