ESERCITAZIONE NUMERO 4

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1 METODI STATISTICI PER L ECONOMIA (PROF.SSA M. R. FERRANTE) Eserczo D seuto soo rportat dat sul umero d mprese attve a uo 00 elle 0 reo talae: -ESERCITAZIONI 0/- Aachara Sauatt ESERCITAZIONE NUMERO 4 Aromet: Varaza per dat espress protocollo elemetare, requeza assoluta, requeza relatva e per dat raruppat class. Devaza, scarto quadratco medo, propretà della varaze, coecete d varazoe, devaza tra e devaza etro, dereza terquartle. Calcolo della dereza terquartle per dat orazzat class. Scostameto semplce medo dalla meda e dalla medaa, campo d varazoe. Idce d, Costruzoe d ua tabella a doppa etrata (requeze assolute coute e maral), requeze relatve coute, maral, e codzoate, mede codzoate, varaze codzoate. Reoe N. mprese attve Reoe N. mprese attve Baslcata 357 Treto A. A. 796 Calabra 390 Umbra 6490 Campaa 4063 Valle d Aosta 0543 Emla-Romaa Veeto Frul-V Scla 9357 Lura 9485 Abruzzo 0074 Marche 5939 Lazo 4737 Pemote Lombarda Pula Sardea 7 Toscaa 386 Molse 04 a) S calcol la varaza del umero d mprese attve, la devaza e lo scarto quadratco medo. b) Suppoamo che, el uo 009, el peo della crs, le mprese attve cascua reoe ossero 000 meo. S calcol la varaza del umero d mprese attve a quell epoca. c) Suppoamo che a uo 0 l umero d mprese attve cresca del 5% o reoe rspetto allo stesso mese dell ao precedete. A quato ammoterà la varaza? Svolmeto Reoe Reoe Baslcata 35.5 Treto A. A Calabra Umbra Campaa Valle d Aosta Emla-Romaa Veeto Frul-V Scla Lura Abruzzo Marche Lazo Pemote Lombarda Pula Sardea.544 Toscaa Molse 44 a) Per calcolare la varaza del umero d mprese attve, applchamo la ormula calcolatora (semplcata) adatta a dat espress protocollo elemetare: V ( X ) M ( ) ( M ( )) M ( X ) M ( X ) 57,5 0 V ( X ) M ( ) ( M ( )) 5.63 (57,5) 49.35,75 3 4

2 La devaza del umero d mprese attve è data dal umeratore della varaza: Dev( X ) ( ) V ( X ) , Lo scarto quadratco medo (o devazoe stadard) è la radce quadrata della varaza: S( X ) 49.35,75,09 c) Per rspodere a questa domada rcordamo la propretà della varaza: Se Y ax allora V ( Y ) V ( ax ) a V ( ) Ne rsulta che V X ) V (,05* X ),05 V ( X ), , ,64 ( 06 / 0 06/ 00 06/ 00 Il carattere umero d mprese attve, rlevato sulla popolazoe delle reo talae, preseta ua varaza par a 49.35,75; ua devaza par a ; ua devazoe stadard par a,09. b) Per rspodere a questa domada rcordamo la propretà della varaza: Se Y X + b allora V ( Y ) V ( X + b) V ( X ) Ne rsulta che V ( X 06 / 009) V ( X 06/ ) V ( X 06/ 00) 49.35, Eserczo Nelle class d ua sezoe d u lceo vee rlevato, tramte u questoaro, l umero d ore oralere d utlzzo d teret da parte d o raazzo: Ore d teret Totale a) Calcolare la varaza del carattere umero d ore d teret. b) Calcolare tutt dat ecessar per rappresetare l eomeo osservato tramte u bo plot. 7 c) S calcol l campo d varazoe e la dereza terquartle per la varable umero d ore d teret. Svolmeto a) Per calcolare la varaza d dat espress dstrbuzoe d requeze relatve secodo k modaltà putual, s applca la ormula semplcata: Ore d teret V ( X ) 0 0,045 0, ,000 0,79 0,79 0,79 0,69 0,537 4, ,3 0,694 9,08 4 0,6 0, , ,05 0,6 5, ,007 0, ,69 Somma,58 8,373 8

3 V ( X ) 8,373,58,706 c) Il campo d varazoe è deto come la dereza tra l valore massmo ed l valore mmo osservat: b) Per costrure u bo plot abbamo bsoo d dvduare la medaa, l prmo ed l terzo quartle, l valore mmo ed l valore massmo: Ore d teret F 0 0,045 0,045 0,79 0,4 0,69 0, ,3 0,74 4 0,6 0, ,05 0, ,007,000 Somma Valore mmo quartle 3 quartle Valore massmo Medaa R ma m La dereza terquartle è deta come la dereza tra l terzo ed l prmo quartle: W Q3 Q 4 La dereza terquartle esclude le osservazo estreme ed è duque pù dcata quado le osservazo presetao de valor aomal, come potrebbe essere qu l caso (la modaltà 6 ha ua requeza relatva molto bassa rspetto alle altre e potrebbe essere cosderata u valore estremo). 9 0 Eserczo 3 Svolmeto I u pccolo paeso, c soo soltato due bache. De depost de clet d due bache s coosce la dstrbuzoe per class: Baca. Baca. Depost Depost (mlaa d Euro) (mlaa d Euro) a) S calcol la varaza della varable depost de clet elle due bache. b) S corot la varabltà de depost bacar elle due bache. c) Qual è la devaza della varable depost bacar el paeso? d) S calcol lo scostameto semplce dalla meda artmetca e lo scostameto semplce dalla medaa ella secoda baca. a) Per calcolare la varaza del carattere Depost bacar elle due bache, essedo le modaltà raruppate class, è ecessaro dvduare u valore rappresetatvo d cascua classe ˆ ed applcare la ormula: Baca. Depost Bacar (mlaa d euro) V ( X ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Totale

4 Baca 3.00 ˆ 96, 33 4 Baca 96,4 9.95,98 V ( X ) ˆ Baca , ,9 33 Baca. Depost Bacar (mlaa d euro) ˆ ˆ ˆ ˆ Totale Baca ˆ 03, Baca 03, ,36 V ( X ) ˆ Baca , , b) Per corotare la varabltà d u carattere due rupp d utà statstche o è opportuo rcorrere alla varaza, l cu valore dpede, oltre che dalla varabltà, dall orde d radezza del carattere X cosderato (s dce, qud, che la varaza è ua msura dmesoata). Per questo motvo, è preerble corotare coecet d varazoe, che stadardzzao l scart quadratc med rspetto al dverso lvello medo del eomeo. Nel ostro caso, essedo valor assut dalla ostra varable tutt postv, possamo calcolare coecet d varazoe: CV 3 4 CV CV V ( X ) 8.665,9 96,4 Baca Baca Baca V ( X ) 9.95,76 03,9 Baca Baca Baca 0,97 0,96 Dal coroto tra coecet d varazoe relatv a due rupp d utà statstche, cocludamo che la varabltà de depost è maore ella Baca, cotraramete a quello che avrebbe suerto l coroto tra le due varaze. c) La devaza del collettvo, composto da clet della Baca e da clet della Baca, s calcola come somma della devaza tra e devaza etro rupp: DEV ( X ) ( ) + ( ) Devaza etro + Devaza tra meda d cascu ruppo meda totale d tutto l collettvo umerostà umero de rupp d cascu ruppo Per calcolare la devaza etro serve prma calcolare la devaza d cascu ruppo. Poché cooscamo à la varaza de due rupp, possamo applcare la ormula: DEV ( X ) V ( X ) 8.665, DEV ( X ) V ( X ) 9.95, DEV ( X ) etro DEV ( X ) + DEV ( X ) Bsoa calcolare la devaza tra rupp come ( ) Occorre duque cooscere la meda totale d tutto l collettvo, che possamo rcavare come meda poderata delle mede de due rupp (la ecesstà d poderare derva dalle umerostà dverse de due rupp).. 5 6

5 + + DEV ( X ) 96, , tra ( ) ( ) + ( 0,33 (96,4 0,33) 33 + (03,9 0,33) 635 4, , , ,97.30,4 La devaza totale s rcava dalla somma della devaza etro e la devaza tra: DEV ( X ) ( ) + ( ) ) , Baca. Depost Bacar (mlaa d euro) ˆ ˆ ˆ ˆ ,9-93,9 93, , ,9-68,9 68, , ,9 8,9 5.96, ,09 46, , ,09 46, ,57 Totale ,45 483, , Meda /63503,9 k S ( ) ˆ X 47.83, 75,3 635 d) Lo scostameto semplce dalla meda artmetca ua dstrbuzoe d requeze s calcola come: k S ( X ) ˆ 7 8 Per calcolare lo spostameto semplce dalla medaa occorre prma calcolare l valore medao. Baca. Depost Bacar (mlaa d euro) ˆ F ,4 0, , 0, ,3 0, ,0 0, ,,00 Totale ,00 La classe medaa è 50-00, metre la poszoe medaa sotto l potes d equdstrbuzoe delle osservazo è: Me I m 0,5 F + Fm F m m 0,5 0,36 m 50 + (00 50) 7,88 0,68 0,36 9 Ua volta calcolato l valore medao, calcolamo lo scostameto semplce dalla meda: Baca. Depost Bacar (mlaa d euro) ˆ ˆ Me( X ) ˆ Me( X ) ˆ Me( X ) ,88 6, , ,88 36, , ,3 3,3 640, ,3 78, , ,3 78, ,3 Totale ,63 458, ,38 k S ˆ Me( X ) Me( X ) 4.704,38 65, Per eserczo d calcolo due stess dc d varabltà per la Baca. 0

6 Eserczo 4 Soo stat rlevat pes ( k) de ca osptat el cale d Forlì. 3, 5,7 7,3 9, 7,3 4,0,9 9,4 0,4 6,5, 8,6 3,4,8 4,7 3,6 7,9 5,3 8,7 9, 8,9 3,7,7 0,9 0, 4,9 3,5 6,9 6,3 4, a) S calcol lo scostameto semplce dalla meda artmetca e lo scostameto semplce dalla medaa della varable peso. b) S calcolo valor stadardzzat e s verch che la loro meda è par a zero e la devazoe stadard par a. Svolmeto a) Lo scostameto semplce dalla meda per dat espress protocollo elemetare s calcola come: 44, 4, , 3,-4,74-,54,54 6 3,6 -,4,4 5,7 5,7-4,74-9,04 9,04 7 7,9 3,6 3,6 3 7,3,56,56 8 5,3-9,44 9,44 4 9, 4,46 4,46 9 8,7 3,96 3,96 5 7,3-7,44 7,44 0 9, -5,64 5,64 6 4,0 9,6 9,6 8,9-5,84 5,84 7,9 7,6 7,6 3,7 -,04,04 8 9,4-5,34 5,34 3,7 7,96 7,96 9 0,4-4,34 4,34 4 0,9 6,6 6,6 0 6,5,76,76 5 0, 5,36 5,36, 7,36 7,36 6 4,9-9,84 9,84 8,6 3,86 3,86 7 3,5 -,4,4 3 3,4 8,66 8,66 8 6,9,6,6 4,8 7,06 7,06 9 6,3-8,44 8,44 5 4,7-0,04 0, , -0,54 0,54 Tot. 44, 0 8,8 S ( X ) 8,8 6,06 30 Lo scostameto semplce dalla medaa s calcola come: Utà Utà statstca statstca 3, 6 6,5 4,7 7 6,9 3 4,9 8 7,3 4 5,3 9 7,9 5 5,7 0 8,7 6 6,3 9, 7 7,3 0, 8 8,9 3 0,9 9 9, 4,8 0 9,4 5,9 0,4 6, 3,5 7,7 3 3,6 8 3,4 4 3, , 30 8,6 Poché è par, abbamo due poszo cetral (5 e 6). Il valore putuale della medaa è deto come la semsomma de due valor meda: 4, + 6,4 Me( X ) 5,35 3 S Me Me(X ) Me(X ) Me(X ) Me(X ) 3, -,5,5 6 3,6 -,75,75 5,7-9,65 9,65 7 7,9,55,55 3 7,3,95,95 8 5,3-0,05 0,05 4 9, 3,85 3,85 9 8,7 3,35 3,35 5 7,3-8,05 8,05 0 9, -6,5 6, ,65 8,65 8,9-6,45 6,45 7,9 6,55 6,55 3,7 -,65,65 8 9,4-5,95 5,95 3,7 7,35 7,35 9 0,4-4,95 4,95 4 0,9 5,55 5,55 0 6,5,5,5 5 0, 4,75 4,75, 6,75 6,75 6 4,9-0,45 0,45 8,6 3,5 3,5 7 3,5 -,85,85 3 3,4 8,05 8,05 8 6,9,55,55 4,8 6,45 6,45 9 6,3-9,05 9,05 5 4,7-0,65 0, , -,5,5 Tot. 44, -8,3 8,8 ( X ) Me( X ) 8,8 6,

7 b) Per stadardzzare la varable quattatva peso c serve lo scarto quadratco medo: Utà statstca Utà statstca 3, 0,4 6 3,6 84,96 5,7 3,49 7 7,9 30,4 3 7,3 99,9 8 5,3 8,09 4 9, 368,64 9 8,7 349,69 5 7,3 53,9 0 9, 8, ,9 79, 7,9 479,6 3,7 87,69 8 9,4 88,36 3,7 55,9 9 0,4 08,6 4 0,9 436,8 0 6,5 7,5 5 0, 404,0, 488,4 6 4,9 4,0 8,6 87,96 7 3,5 8,5 3 3,4 547,56 8 6,9 85,6 4,8 475,4 9 6,3 39,69 5 4,7, , 0,64 Tot. 44, 796,76 5 V ( X ) S( X ) 7.96,76 4, , 6,94 I valor stadardzzat s otteoo come: 65,39 7,7 48, z 6 z z z z 3, (3,-4,74)/6,94 -,66,77 6 3,6-0,6 0,03 5,7 (5,7-4,74)/6,94 -,30,70 7 7,9 0,46 0, 3 7,3 0,37 0,4 8 5,3 -,36,85 4 9, 0,64 0,4 9 8,7 0,57 0,33 5 7,3 -,07,5 0 9, -0,8 0,66 6 4,33,78 8,9-0,84 0,7 7,9,03,07 3,7-0,5 0,0 8 9,4-0,77 0,59 3,7,5,3 9 0,4-0,63 0,39 4 0,9 0,89 0,79 0 6,5 0,5 0,06 5 0, 0,77 0,60,,06,3 6 4,9 -,4,0 8,6,00 3,99 7 3,5-0,8 0,03 3 3,4,5,56 8 6,9 0,3 0,0 4,8,0,04 9 6,3 -,,48 5 4,7 -,45, , -0,08 0,0 Tot. 44, 0 30,00 Verchamo che M(Z)0 e V(Z): 0 M ( Z) z 0 30 V ( Z) z z z

8 Eserczo 5 I ua scuola superore d Forlì è stata svolta ua smulazoe del test d coosceza della matematca d base della Facoltà d Ecooma, ell ambto d u proramma d oretameto uverstaro per raazz dell ultmo ao. D seuto soo rportate le valutazo (ottmo, dscreto, sucete, sucete) otteute due class: Classe A Classe B Dscreto Ottmo Sucete Ottmo Isucete Dscreto Isucete Dscreto Dscreto Sucete Dscreto Sucete Ottmo Ottmo Ottmo Dscreto Dscreto Ottmo Dscreto Isucete Ottmo Sucete Sucete Sucete Sucete Dscreto Ottmo Ottmo Isucete Sucete Isucete Sucete Isucete Dscreto Ottmo Isucete Ottmo Sucete Dscreto Ottmo Dscreto Ottmo Sucete Ottmo Dscreto Dscreto Ottmo Dscreto Dscreto 9 S stablsca quale classe v è stata ua maore omoeetà d rsultat. Svolmeto Utlzzamo l dce d eteroeetà d come msura dell eteroeetà tra le modaltà d u carattere qualtatvo: Valutazoe Classe A Classe B Classe A Classe B Classe A Classe B Ottmo 7 8 0,8 0,33 0,08 0, Dscreto 0 6 0,40 0,5 0,6 0,06 Sucete 5 6 0,0 0,5 0,04 0,06 Isucete 3 4 0, 0,7 0,0 0,03 Totale 5 4 0,9 0,6 A 0,9 0,7 B 0,6 0, 74 A < B La classe A è stata quella che ha presetato la maore omoeetà de rsultat. 30 Eserczo 6 La seuete matrce d dat llustra rsultat d u dae eettuata su u campoe d 4 doe per le qual soo rlevat caratter ore d lavoro uor casa oralere e umero d l. Idetcatvo Numero d l Ore d lavoro uor casa a) S costrusca la tabella a doppa etrata de due caratter b) S costruscao le dstrbuzo delle requeze assolute maral de due caratter. c) S costrusca la dstrbuzoe della requeza relatva della varable umero d l codzoata rspetto alla modaltà 6 e alla modaltà della varable ore d lavoro uor casa. d) Calcolare la dstrbuzoe delle requeze relatve coute e maral e) Calcolare la dstrbuzoe delle requeze relatve del umero d ore lavorate codzoate al umero d l. ) Calcolare la dstrbuzoe delle requeza relatve d umero d l codzoate a umero d ore lavorate ) Calcolare le mede codzoate della varable umero d ore lavorate h) Calcolare le varaze codzoate della varable umero d ore 3

9 Svolmeto a) La tabella a doppa etrata è ua tabella d requeze che cotee: el corpo cetrale le requeze coute (requeza assoluta delle utà che presetao coutamete la modaltà -esma del carattere e la modaltà -esma del carattere y), ell ultma coloa e ell ultma ra le requeze assolute maral ( le requeze assolute de sol caratter). Sa: y : ore lavorate uor casa : umero d l Per prma cosa è opportuo complare l ultma ra e l ultma coloa della tabella a doppa etrata co le sole requeze assolute: : umero l y : ore lavoro uor casa Ora possamo dstrbure cascua requeza d ore d lavoro su valor assut dalla varable umero l: : umero l y : ore lavoro uor casa b) La dstrbuzoe delle requeze assolute maral, altro o è che la dstrbuzoe delle requeze assolute d cascua varable che o tea essu modo coto della dstrbuzoe dell altra varable. Numero l Tot. 4 Ore lavoro uor casa Tot. 4 c) Le dstrbuzo della varable umero d l codzoata rspetto alla modaltà 6 e alla modaltà della varable ore d lavoro uor casa altro o soo che le seuet porzo della tabella a doppa etrata: : umero l Numero l y Tot. 3 y : ore lavoro uor casa Numero l y Tot

10 La dstrbuzoe delle requeze relatve codzoate è data duque da: Numero l y 0 0/30,00 /30,33 /30,67 3 0/30,00 Tot.,00 Numero l y 6 0 /0,5 /0,5 0/0 3 0/0 Tot. d) La dstrbuzoe delle requeze relatve coute e maral è la seuete: : umero l y : ore lavoro uor casa /40,00 0/40,00 0/40,00 0/40,00 0/40,00 /40,07 /40,07 0/40,00 /40,07 3/40, /40,4 0/40,00 /40,07 7/40,50 0,00 0,4 0,00 0,07 0,4 0,00 0,36 3 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,07 0,07 0, 0, 0, 0,4 0,4,00 e) La dstrbuzoe delle requeze relatve del umero d ore lavorate codzoate al umero d l s ottee dvdedo cascua requeza assoluta couta per. azché per : : umero l y : ore lavoro uor casa /0,00 0/0,00 0/0,00 0/0,00 0/0,00 /,00 /,00 0/70,00 /70,4 3/70,43 /70,9 0/70,00 /70,4 7/7,00 0,00 0,40 0,00 0,0 0,40 0,00,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00,00 /40,07 0, 0, 0, 0,4 0,4, ) La dstrbuzoe delle requeze relatve del umero d l codzoate al umero d ore lavorate s ottee dvdedo cascua requeza assoluta couta per. azché per : : umero l y : ore lavoro uor casa /0,00 0/30,00 0/30,00 0/30,00 0/0,00 /0,50 /40,07 0/0,00 /30,33 3/3,00 /30,67 0/0,00 /0,50 7/40,50 0,00 0,67 0,00 0,33,00 0,00 0,36 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,07 /,00,00,00,00,00,00,00 ) Le mede codzoate della varable umero d ore lavorate o soo altro che le mede calcolate su cascua ra della tabella a doppa etrata. Avremo duque tate mede codzoate quate soo valor su cu s codzoa. La meda d y codzoata a è ua semplce meda calcolata partedo da dat dstrbuzoe d req. assoluta: M ( Y X ) y y y : ore lavoro uor casa Totale y 0*00 *00 3*00 4*00 5*00 6*6 6 y 0*00 * 3*39 4*8 5*00 6*6 4 y y M ( Y X ) 6 6 M ( Y X ) 4 3, 43 7 M ( Y X 3 ) 6 3, M ( Y X 4 )

11 h) Le varaze codzoate della varable umero d ore veoo calcolate applcado la ormula: V ( Y X ) ( y y ) Y X y : ore lavoro uor casa Tot. ( y y) (0-6)^ *00 (-6) ^ *00 (3-6) ^ *00 (4-6) ^ *00 (5-6) ^ *00 (6-6) ^ *0 0 ( y y) (0-3,43) ^ *00 (-3,43) ^ *5,9 0,55 0,65 0,00 6,60 3,7 ( y y3) 3 0,00 9,68 0,00 0,64 6,48 0,00 6,80 ( y y4) 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 V ( Y X ) 0 0 V ( Y X ) 3,7, 96 Y X Y X 7 V ( Y X 3 ) 6,8 3,36 V ( Y X ) 0 0 Y X 4 3 Y X 4 5 4

I percentili e i quartili

I percentili e i quartili I percetl e quartl I percetl soo quelle modaltà che dvdoo la dstrbuzoe ceto part d uguale umerostà. I quartl soo quelle modaltà che dvdoo la dstrbuzoe quattro part d uguale umerostà. Il prmo quartle Q

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