Il controllo numerico dell errore nelle tecniche di pricing Monte Carlo alternative al BS framework

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1 Università degli Studi di Genova Dipartimento di Matematica Il controllo numerico dell errore nelle tecniche di pricing Monte Carlo alternative al BS framework Pier Giuseppe Giribone, PhD Financial Administration Banca Carige

2 La metodologia Monte Carlo in finanza

3 La stima dei parametri

4 Risoluzione numerica della SDE

5 Risoluzione analitica della SDE

6 Risoluzione analitica della SDE

7 Implementazione della forma chiusa

8 Pricing di un opzione Call

9 Codice per il Monte Carlo standard

10 Pricing di una Call scritta sul FTSEMIB S K T sigma r q

11 Distribuzione del Prezzo - Runs=10^5

12 Le tecniche di controllo dell errore Nella metodologia Monte Carlo, l errore commesso sul prezzo si quantifica calcolando una misura di divergenza dei valori in uscita dalla simulazione rispetto alla loro media. Nella letteratura tecnico - scientifica sono riportate tre tecniche statistiche atte a quantificare il livello di convergenza raggiunta dal simulatore finanziario. Di seguito riportate in ordine di robustezza crescente, ma di velocità di elaborazione numerica decrescente: 1. Legge dei Grandi Numeri 2. MSE (Mean Square Error) 3. MSPE (Mean Square Pure Error)

13 La Legge dei Grandi Numeri La prima metodologia propone di quantificare il numero di lanci ottimale a partire dalla formula: Dove: ε = σ/ N ε è l errore che si desidera commettere sul Prezzo σ è lo scarto quadratico medio degli outputs N è il numero di simulazioni. Per la sua semplicità è la misura di quantificazione dell errore maggiormente implementata nei software di pricing in commercio.

14 Mean Square Error (MSE) Il secondo approccio deriva dalla stima della Mean Square Error (MSE), quantità nota nella fisica matematica con il termine di convergenza ai minimi quadrati: Dove: lim n E X n X 2 = 0 X valore teorico della popolazione a cui la simulazione deve convergere X n rappresenta il campionamento sulla popolazione N è il numero di inferenze.

15 Mean Square Pure Error (MSPE) Il terzo approccio si basa sul concetto di costruzione di curve MSPE, elemento cardine e rigoroso di una ormai consolidata branca della statistica sperimentale afferente al Design of Experiments (DOE). Recentemente l applicazione di tale tecnica, già affermata ed impiegata in ambito industriale, è stata estesa al campo della finanza quantitativa. A differenza delle due precedenti metodologie, è stato dimostrato sperimentalmente su un vasto range di opzioni vanilla ed esotiche la maggiore robustezza nella implementazione di un controllo software automatico basato sull algoritmo MSPE.

16 La costruzione delle curve MSPE 1) Fissare un numero K > 2 di lanci simulati, portati avanti in parallelo, nei quali le variabili indipendenti del modello sono mantenute sempre allo stesso livello, modificando solo i semi di generazione dei numeri casuali. 2) Stabilire per ciascun lancio simulato un numero di simulazioni N 1 di y(i, j) con i = 1,, N e j = 1,, K. 3) Calcolare per ciascuno dei K lanci, N medie, y (i, j) con: y n, j = i=1 n y(i,j) n con i = 1,, n,, N 4) Calcolare le N medie di medie, Y i = j=1 5) Calcolare N valori di: MSPE i = K y i,j Y(i) 2 j=1 K 1 K y(n,j) K con i = 1,, j,, K e 1 i N

17 Codice di generazione delle Curve function MSPE = generacurvamspe(valori,k) N=length(Valori)/K; for i=1:k if i==1 array_dati=valori(1:n); else array_dati=valori((i-1)*n+1:(i)*n); end array_valori(i)={array_dati}; end for j=1:k for i=1:n ymedio(i,j)=sum(array_valori{j}(1:i))/i; Ymedio(i,j)=sum(ymedio(1:i,j))/i; end end Y=mean(Ymedio ) ; SSe=(Ymedio-repmat(Y,1,K)).^2; MSPE=sum(SSe )./(K-1); end

18 L analisi delle curve di stazionarietà I valori MSPE trasferiti su un piano cartesiano i, MSPE(i) permettono di evidenziare l andamento della curva Mean Square Pure Error nei lanci replicati e quindi di conoscere, passo dopo passo, l entità della varianza dell errore caratteristica del simulatore. Inoltre, in accordo con il Teorema di Cochran, la MSPE rappresenta il miglior stimatore sperimentale della varianza e conseguentemente permette di misurare l errore che affligge il valore medio della distribuzione delle medie. Quindi le curve MSPE consentono sempre di individuare la regione di stabilità del simulatore, ovvero il numero di lanci ottimale.

19 Le bande di confidenza Inoltre nel caso in cui l output possa essere ricondotto ad una normale si è in grado di stimare le bande di confidenza del prezzo. y t MSPE( end) K Price y t / 2, K 1 / 2, K 1 MSPE( end) K Dove t( α, K 1) è la distribuzione t di Student e α è il livello 2 di confidenza. Nell esempio di valutazione della Call sull indice FTSEMIB (α=0.05): Price <Price<

20 La curva MSPE per la Call sul FTSEMIB

21 Il controllo dell errore Come evidenziato dall istogramma precedente, più del 95% dei Prezzi cade all interno della banda di confidenza stimata. Nella prassi operativa è richiesta una migliore stima del valore dell opzione esaminata, ovvero un numero di simulazioni pari a non sono sufficienti per garantire che una singola valorizzazione fornisca un prezzo accurato del derivato. Si pensi che al fine di comunicare il risultato di un opzione con precisione del centesimo è necessario eseguire tante simulazioni sintanto che 10 6 < MSPE < Infatti per tale valore le bande di confidenza intorno al prezzo sono talmente strette da garantire una valorizzazione precisissima.

22 Le alternative al Monte Carlo di BS Il moto geometrico browniano rappresenta la dinamica stocastica proposta da Black-Scholes-Merton al fine di simulare il comportamento futuro del sottostante su cui un opzione è scritta. Tale equazione differenziale stocastica è ancora alla base del pricing di numerosi strumenti finanziari e, come dimostrato, è impiegata nei moduli di calcolo per opzioni nelle principali piattaforme di valutazione dei benchmark di mercato. Come ogni modello, il BS-framework è basato su delle semplificazioni rispetto alla realtà dei mercati: tra le critiche principali che vengono mosse si ricorda - L assunzione di normalità dei ritorni dell asset sottostante. - L assunzione di una volatilità fissa nel tempo.

23 Le alternative al Monte Carlo di BS Dal 1973 sono stati proposti differenti approcci dalla letteratura col fine di rilassare questi vincoli. Tra questi verranno discussi: - Il Merton-Bates jump-diffusion model (JD model) - SABR (Stochastic Alpha-Beta-Rho) model Il primo introduce dei salti casuali all interno della classica dinamica diffusiva con il fine di rispecchiare maggiormente il comportamento dell asset. Il modello a due fattori SABR definisce una formula analitica in grado di interpretare meglio la dinamica della volatilità nel tempo.

24 Merton-Bates jump-diffusion model Il JD model ipotizza che la dinamica dell asset sottostante segua S t + h = S t exp exp m μ J σ J 2 μ δ λk σ σ J m i=0 G i h + σ hz μ J e σ J sono la media e la deviazione standard del salto Z e G i sono variabili casuali gaussiane μ rappresenta il ritorno atteso istantaneo dell asset δ è il dividendo continuo σ è la volatilità λ è la media annua del numero di salti effettuati dall asset m è una variabile casuale di Poisson con media λ h è il passo temporale e k exp μ J 1

25 Valorizzare una Put con il JD model Si consideri la valorizzazione di una opzione put out-of-themoney aventi i parametri: S 0 = 100, μ = 0.05, δ = 0, λ = 3, σ = 0.3, μ J = 0.02, σ J = 0.1, T = 1, K = 70, h = 250 Pay-off Opzione Europea: max[k S T, 0] In accordo col modello JD, il suo prezzo è pari a centesimi Ponendo nel simulatore m = 0, μ J = 0, σ J = 0 e λ = 0 si ricade nel modello standard. In accordo col modello BS, il suo prezzo è pari a cent.

26 BS model versus JD model function [ValueBS, ValueJD]=Jump(S,mu,delta,K, Lambda,sigma,T,muJ,sigmaJ,h,NSim) RandStream.setDefaultStream(RandStream('mt19937ar','seed',sum(100*clock))); DeltaT=1/h; NbDays=T*h; k=exp(-muj)-1; for irun=1:nsim PoissonG=poissrnd(Lambda/h,1,NbDays); DeltaZ=randn(1,NbDays); PoissonJumps=zeros(1,NbDays); for i=1:nbdays PoissonJumpss(1,i)=sum(randn(PoissonG(1,i),1)); end IncrementsJumps=(mu-delta-Lambda*k-0.5*sigma^2)*DeltaT*... ones(1,nbdays)+sigma*sqrt(deltat)*deltaz+... (muj-0.5*sigmaj^2)*poissong+sigmaj*... PoissonJumps; Increments = (mu-delta-0.5*sigma^2)*deltat*ones(1,nbdays)+... sigma*sqrt(deltat)*deltaz; SolJumps=exp(cumsum([log(S),IncrementsJumps],2)); Sol=exp(cumsum([log(S),Increments],2)); BSPayOff(irun)=max([K-Sol(end),0]); JDPayOff(irun)=max([K-SolJumps(end),0]); end ValueBS=mean(BSPayOff).*exp(-mu*T); ValueJD=mean(JDPayOff).*exp(-mu*T); plot(0:1:nbdays,soljumps,0:1:nbdays,sol); legend('jump Diffusion Motion','Standard Diffusion model') end

27 BS model versus JD model Paths

28 SABR model Il modello SABR (Stochastic, alpha, beta, rho) è un modello a due fattori che rappresenta la dinamica della volatilità in accordo alla SDE: df = αf β dz dα = ξαdw Dove: F è il prezzo future/forward del sottostante β è una costante legata alla distribuzione di probabilità del prezzo dell asset sottostante all opzione α è la volatilità del prezzo forward ξ è la volatilità della volatilità dz e dw sono due processi di Wiener correlati (ρ)

29 SABR model Nel 2002 Hagan, Kumar, Lesniewski e Woodward riuscirono a derivare una soluzione analitica per il modello SABR. La volatilità così calcolata può essere direttamente impiegata all interno della tradizionale dinamica, ottenendo una maggiore consistenza con i dati di mercato. σ B = ν z T + ν z χ (z) 1 β 2 χ (z) 24 α 2 T + (F K) (1 β) ν z χ (z) ρβξα T + ν z 4(F K) (1 β)/2 2 3ρ 2 χ (z) 24 ξ 2 T

30 SABR model Dove: ν = (F K) (1 β)/2 1 + (1 β)2 24 α ln F K 2 + (1 β) ln F K 4 z = ξ α (F K) (1 β)/2 ln F K χ(z) = ln 1 2ρz + z 2 + z ρ 1 ρ

31 L errore nei motori MC alternativi Il controllo sull errore di simulazione può essere approcciato in modo simile a quanto effettuato con la valorizzazione della Call sul FTSEMIB: - Per il JD model è sufficiente memorizzare nell ambiente di lavoro i payoff derivati dalla simulazione (JDPayOff) e lanciare la funzione generacurvamspe(jdpayoff,4). Si conduce pertanto un analisi duale a quanto fatto in precedenza. - Per il modello SABR, la metodologia MSPE è ancora più immediata, poiché una volta che si è stimato il parametro di volatilità σ B secondo la procedura analitica presentata, si seguono i medesimi step procedurali del BS framework.

32 MSPE Curve MSPE per la Put (JD model) 10 6 < MSPE < 10 5 Errore < 1 cent Numero di Simulazioni

33 Bibliografia essenziale H. T. Huynh, V. S. Lai, I. Soumaré Stochastic simulation and applications in finance with Matlab programs Wiley Finance (2008) J. Hull Futures and other derivatives Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1(2012) Glasserman P. - Monte Carlo method in financial engineering Springer (2003) P. Jäckel Monte Carlo methods in finance Wiley & Sons (2001) E. G. Haug The Complete Guide to Option Pricing Formulas Mc Graw Hill (2007) P. G. Giribone Studio ed Implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni Ph.D Thesis Relatore: Prof. Ing. R. Mosca (2012) P. E. Kloeden, E. Platen - Numerical Solution of Stochastic Differential Equations Springer (1992) F. Black, M. Scholes The pricing of options and corporate liabilities Journal of Political Economy (1973) R. Mosca, L. Cassettari, P. G. Giribone Reliable Control of Convergence in Monte Carlo Pricing Methods for Options based on MSPE Technique WSEAS International Conference on Mathematics and Computers in Business and Economics - MCBE'12 Conference Proceedings (2012) Taleb N. N. Il Cigno Nero: Come l improbabile governa la nostra vita - Il Saggiatore (2007) Fouque J., Papanicolaou G., Sircar K. R. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility - Cambridge University Press (2000) Hagan P. S., Kumar D., Lesniewski A. S., Woodward D.E. Managing Smile Risk Willmot Magazine (2002) Middle Office CARIGE - Manuale di installazione ed utilizzo delle librerie di MATFIN 1.1, Procedure per la valorizzazione degli strumenti finanziari (2012) Rousseau J. J. Il Contratto Sociale Sansoni (1968) Mancando le qualità morali di misura precisa, se anche ci fosse l accordo sul segno, come ci potrebbe essere sulla valutazione? J.J. Rousseau Il Contratto Sociale Libro III, paragrafo IX