Lo spettro di un segnale numerico

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1 Lo spettro di un segnle numerico Abbimo visto che le prestzioni (P b (e) in funzione di E b /N 0 ) di un costellzione dipendono solo dll disposizione dei suoi segnli nello spzio Euclideo, non dlle forme d ond utilizzte. Stess form dell costellzione = stesse prestzioni prescindere di versori (porte, sinusoidi, ecc.) Finor bbimo ignorto l occupzione spettrle (bnd occupt)

2 Costellzione Considerimo un costellzione M = { s () t =+ AP (), t s () t = AP ()} t Si trtt di un costellzione monodimensionle dove il versore è l port rettngolre di durt secondi b () t = P () t L costellzione è binri ntipodle M = { s = ( + α), s = ( α)} α = A

3 Costellzione Come è ftto il segnle trsmesso? Nell intervllo [0,[ l costellzione è M={s i (t)} e trsmetto + αb() t oppure αb() t Nell intervllo trsmetto + αb t n oppure αb ( ) t n [n,(n+)[l costellzione è del tipo M={s i (t-n)} e ( ) con Il segnle trsmesso si può quindi scrivere come + s() t = [ n] p( t n) n= 0 pt () = b() t n [ ] + { α, α} 3

4 Costellzione monodimensionle qulsisi Questo risultto vle per qulsisi costellzione monodimensionle ( α ) ( α ) ( α ) M = { s =, s =,..., s = } R m m con versore b() t Il segnle trsmesso sul cnle si può scrivere come: + s() t = [ n] p( t n) n= 0 con n [ ] { α,..., α,..., α } pt () = b() t i m sequenz simboli trsmessi filtro di trsmissione 4

5 L sequenz di simboli trsmessi Considerimo l sequenz [n] = sequenz simboli trsmessi rmite il lbeling binrio, quest sequenz è in corrispondenz uno uno con l sequenz binri di informzione che bbimo modellizzto come un sequenz binri rndom idele (stzionri, con bit equiprobbili e sttisticmente indipendenti) 5

6 L sequenz di simboli trsmessi L sequenz di simboli [n] è quindi un sequenz stzionri di vribili csuli, compost d simboli indipendenti ([n] e [n ] s.i. indipendenti tr loro) equiprobbili P( [ n] = αi ) = m con vlor medio e vrinz m µ = αi m i= m = i m i= ( ) σ α µ 6

7 Lo spettro di un segnle numerico Dt l form d ond genert d un costellzione monodimensionle, che come bbimo visto h espressione: s() t = [ n] p( t n) n= voglimo or clcolrne l densità spettrle di potenz. + s(t) è un funzione del tempo vlori reli dipendente d un sequenz [n] di vribili csuli: è un processo csule. (per semplicità supporremmo i simboli trsmessi d - - ) 7

8 Lo spettro di un segnle numerico Dto il processo csule + s() t = [ n] p( t n) n= G ( f ) l densità spettrle di potenz s dell funzione di utocorrelzione è dt dll trsformt di Fourier + jπ fτ Gs( f ) = Rs( τ ) e d τ e ci fornisce informzione su come è distribuit l potenz sull sse delle frequenze: + P() s = Rs(0) = Gs( f ) df 8

9 Simboli indipendenti e vlor medio nullo Si dimostr che, per un COSELLAZIONE MONODIMENSIONALE CON BARICENRO NELL ORIGINE pt () = b() t filtro di trsmissione lo spettro di potenz è dto dll G s ( f) P( f ) = σ lo spettro di potenz è direttmente proporzionle P(f) 9

10 Costellzione ntipodle Considerimo l costellzione M = { s () t =+ AP (), t s () t = AP ()} t Il versore è ugule ll port rettngolre di durt secondi b () t = P () t L costellzione come insieme di vettori è binri ntipodle M = { s = ( + α), s = ( α)} α = A Il bricentro è nell origine 0

11 Costellzione ntipodle Lo spettro dell form d ond è dto dll G s P( f ) ( f) = σ fcendo i conti si ottiene p() t = b () t = P () t sin( π f ) Gs ( f) = A ( π f ) GG( v (f) s G x(f) f b f

12 Costellzione ntipodle M = { s = ( + α), s = ( α)} α = A Conti: b () t = P () t Dobbimo clcolre G s ( f) P( f ) = σ L sequenz [n] h vlor medio vrinz µ = 0.5 ( α + α) = 0 σ = 0.5 ( α + α ) = α = A

13 Costellzione ntipodle p() t = b () t = P () t Introducimo l funzione sinc(x): sinc( x) sin( π x) = (π x) L trsformt di Fourier di p(t) vle sostituendo si ottiene π sin( π f) P( f) = sinc( f) e = e ( π f ) sin( π f) P( f) = ( π f ) j fτ jπ fτ P( f) sin( π f) = σ = Gs( f) A ( π f) ( σ = A ) 3

14 Costellzione ntipodle È uno spettro in bnd-bse (potenz concentrt ttorno ll frequenz zero = continu) Lo spettro h degli zeri nei multipli di / Il lobo principle h mpiezz / tr / e +/ Gli ltri lobi hnno mpiezz / con mpiezz decrescente sin( π f ) Gs ( f) = A ( π f ) GG( v (f) s G x(f) f b f 4

15 L scelt dell costellzione Quest costellzione è dtt d un cnle con rispost in frequenz H(f) del tipo pss-bsso s() t s () t H ( f ) rt () Non considerimo il rumore. Il segnle di uscit r(t) h uno spettro dto dll: G ( f) = H( f) G ( f) r s In questo cso lo spettro G s (f) è illimitto, quindi ci vorrebbe un rispost idele del tipo H(f)= (cnle Gussino binco idele) per non distorcere il segnle. 5

16 L scelt dell costellzione s() t s () t H ( f ) rt () G ( f) = H( f) G ( f) r s Se l rispost H(f) è di tipo pss bsso, il segnle ricevuto r(t) risult distorto rispetto quello trsmesso. uttvi, se l bnd pssnte è sufficiente mpi, il segnle ricevuto non è troppo diverso d quello trsmesso (vengono tglite le frequenze più lte, m i lobi secondri diventno sempre più piccoli e meno importnti l crescere dell frequenz). Se invece l rispost fosse del tipo pss bnd, il segnle ricevuto srebbero completmente diverso d quello trsmesso. 6

17 L scelt dell costellzione s() t s () t H ( f ) rt () G ( f) = H( f) G ( f) r s Dto un cnle con rispost H(f) Il segnle trsmesso deve essere progettto in modo che il suo spettro G s (f) si concentrto ttorno lle frequenze dove l rispost H(f) èbuon. In questo modo il segnle ricevuto non è troppo distorto rispetto quello trsmesso. 7

18 Costellzione ntipodle Considerimo or l costellzione M = { s () t =+ AP ()cos( t π f t), s () t = AP ()cos( t π f t)} 0 0 Il versore è B= b() t = P ()cos t f0t ( π ) L costellzione come insieme di vettori è ncor binri ntipodle M = { s = ( + α), s = ( α)} α = A Il bricentro è nell origine 8

19 Costellzione ntipodle Lo spettro dell form d ond è dto dll fcendo i conti si ottiene b() t = P ()cos t f0t ( π ) G s ( f) P( f ) = σ sin( π( f f0) ) sin( π( f + f0) ) Gs ( f) = A + 4 ( π( f f0) ) ( π( f + f0) ) Gs ( f) G v (f) G x (f) G v (f) G x (f) f b f f b f 0 9

20 Costellzione ntipodle Conti: Per l sequenz [n] si h n [ ] { α, + α } µ = 0 σ = α = Lo spettro di quest form d ond è dto dll P( f ) Gs( f) = σ L trsformt di Fourier di p() t = b() t = P ()cos t π f0t è: ( ) A sin( π f) jπ fτ P( f) = e ( δ( f f0) + δ( f + f0) ) = ( π f) sin( π( f f0) ) sin( π( f + f0) ) = + e ( π( f f0) ) ( π( f + f0) ) jπ fτ 0

21 Costellzione ntipodle P( f) Segue: sin( π( f f ) ) sin( π( f + f ) ) = + ( π( f f0) ) ( π( f + f0) ) 0 0 (il doppio prodotto è trscurbile) G s ( f) P( f ) = σ σ = A Lo spettro dell form d ond è quindi dto dll sin( π( f f0) ) sin( π( f + f0) ) Gs ( f) = A + 4 ( π( f f0) ) ( π( f + f0) )

22 Costellzione ntipodle Lo spettro è trslto ttorno ll frequenz f 0 si trtt di un segnle in bnd pssnte o trslt Il lobo principle h mpiezz / centrto ttorno f 0 Gli ltri lobi hnno mpiezz / con mpiezz decrescente Gs ( f) G v (f) G x (f) G v (f) G x (f) f b f f b f 0 sin( π( f f0) ) sin( π( f + f0) ) Gs ( f) = A + 4 ( π( f f0) ) ( π( f + f0) )

23 Modulzione linere Cso generle s() t = [ n] p( t n) n G s ( f) P( f ) = σ se considero s '( t) = p'( t n) n p '( t) = p( t) cos( π f t) Gs' ( f) = [ Gs( f f0) + Gs( f + f0)] 4 n 0 frequenz dell portnte Lo spettroètrsltottornollfrequenzf 0 3

24 Costellzione ntipodle 3 Considerimo quest costellzione ( πt ) ( πt ) ( πt ) ( πt ) sin / sin / M = s() t =+ A, s() t = A / / A differenz di qunto ftto finor, mmettimo segnli di durt temporle infinit. Usndo quest proprietà: + sin( y) y dy = π Si trov che il versore è: b() t = ( πt ) ( πt/ ) sin / Si trtt ncor di un costellzione monodimensionle di due segnli ntipodli: M = { s = ( + α), s = ( α)} α = A 4

25 Costellzione ntipodle 3 Lo spettro dell form d ond è dto dll π fcendo i conti si ottiene b () t = π / ( ) Gs ( f ) = Arect f ( t ) ( t ) sin / G s ( f) P( f ) = σ G ( v f ) f / 5

26 Costellzione ntipodle 3 Si trtt di un segnle in bnd bse con occupzione spettrle (bilter) totle pri / compres tr -/ e / ( ) Gs ( f ) = Arect f G ( v f ) f / 6

27 Costellzione ntipodle 3 Conti: Il segnle trsmesso si può scrivere come con n [ ] + { α, α} s() t = [ n] p( t n) n pt () = b() t = ( πt ) ( πt/ ) sin / Per l sequenz [n] si h n [ ] { α, + α } µ = 0 σ = α Lo spettro di quest form d ond è dt dll G s P( f ) ( f) = σ 7

28 Costellzione ntipodle 3 Considerimo p(t): si trtt di un filtro pss bsso idele. L trsformt di Fourier è costnte tr -/() e +/(). Possimo scrivere: pt () = ( πt ) ( πt/ ) sin / ( ) P( f) = rect f L L = ( ) L P( f) rect f rect ( L x ) x 8

29 Costellzione ntipodle 3 G s ( f) P( f ) = σ σ = α = A ( ) P( f) = rect f Lo spettro dell form d ond è quindi dto dll ( ) Gs ( f ) = A rect f 9

30 Filtro pss bsso idele Il filtro pss bsso idele h ndmento: sin( πt/ ) xt () = ( πt/ ) t/ 30

31 Filtro pss bsso idele Filtro pss bsso idele Occupzione spettrle (bilter) totle minim e pri compres tr e + X ( f ) 3

32 Filtri coseno rilzto Un filtro coseno rilzto è crtterizzto d un coefficiente di roll-off α con 0 α L rispost ll impulso è l seguente xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) ( πt/ ) ( αt/ ). Quest funzione vle nell origine e 0 nei multipli di quindi soddisf l condizione di ssenz di ISI: xi [ ] = se i= 0 xi [ ] = 0 se i 0. Nel cso α=0 si ritrov il filtro pss bsso idele. 3

33 Filtri coseno rilzto Andmento temporle con due diversi vlori di lf:.0 lf=0. lf= xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) ( πt/ ) ( αt/ ) t/ 33

34 Rissunto filtri Filtro pss bsso idele Occupzione spettrle (bilter) totle minim e pri compres tr e + X ( f ) 34

35 Rissunto filtri Filtri coseno rilzto con coefficiente di roll-off Occupzione spettrle (bilter) totle pri 0 α ( ) +α compres tr ( + α) e + ( + α) X ( f ) ( +α ) ( +α ) ( +α ) 35

36 Definizione di efficienz spettrle Supponimo di trsmettere un trffico binrio crtterizzto d un dt rte R b medinte un dt costellzione M. Se B è l bnd occupt dl segnle s(t) trsmesso sul cnle, definimo EFFICIENZA SPERALE η = R b B [ bps / Hz] 36