Algebra di commutazione

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1 Algebra di commutazione Calcolatori Elettronici 1 Algebra booleana Operazione: una operazione op sull'insieme S={s1,s2,...} è una funzione op : SxS S che da SxS (S cartesiano S) porta in S. Calcolatori Elettronici 2

2 Operazione: esempi L operazione * di moltiplicazione sull intervallo [0,1] consente di ottenere un valore incluso in [0,1] a partire da elementi inclusi in [0,1] La somma + sull intervallo [0,1] non è un operazione Es. : 0,5+0,6 non appartiene all intervallo [0,1] La sottrazione - sull insieme dei naturali non è una operazione. Es : 5-10 non appartiene ai naturali Calcolatori Elettronici 3 Algebra booleana E una quintupla <B, op1, op2, a, b> B: Insieme in cui vengono eseguite le operazioni op1, op2: Operazioni a due elementi che agiscono sugli elementi di B a, b: Elementi neutri di B per le operazioni op1 e op2 Tra le possibili algebre Booleane quella a 2 valori è detta Algebra di Commutazione Calcolatori Elettronici 4

3 Algebra di commutazione B: {0, 1} op1: AND Vale 1 solamente se applicata a due valori uguali a 1 altrimenti vale 0 op2: OR Vale 0 solamente se applicata a due valori uguali a 0 altrimenti vale 1 a, b: 1, 0 Dalla presenza di due soli valori in B è direttamente derivabile la seguente operazione a un valore: NOT: vale 1 se applicata al valore 0 e 0 se è applicata al valore 1 : Calcolatori Elettronici 5 Descrizione delle funzioni Una generica funzione dell algebra di commutazione può essere descritta in 3 modi: f(b n ) B m f i (B n ) B, i = 1,2,,m Tabella della verità Esempi AND: B B B OR: B B B NOT: B B Calcolatori Elettronici 6

4 Algebra di commutazione AND OR NOT x y z x y z x z Calcolatori Elettronici 7 Simbologia Utilizzando le tre operazioni elementari si possono scrivere delle espressioni tra variabili di commutazione che descrivono in forma compatta il comportamento delle funzioni Simbologia z = AND(x, y) z = x y z = xy z = OR(x, y) z = x + y z = NOT(x) z = x Calcolatori Elettronici 8

5 Proprietà dell algebra di commutazione 1) Elemento neutro x+1=1 x*0=0 x+0=x x*1=x 2) Idempotenza x+x=x x*x=x 3) Complementazione x+x =1 x*x =0 Calcolatori Elettronici 9 Proprietà dell algebra di commutazione 4) Commutatività x+y=y+x x*y=y*x 5) Associatività (x+y)+z=x+(y+z) (x*y)*z=x*(y*z) 6) Assorbimento x+xy=x x*(x+y)=x Calcolatori Elettronici 10

6 Proprietà dell algebra di commutazione 7) Distribuitività x+y*z= (x+y)*(x+z) x*(y+z)=x*y+x*z 8) Involuzione (x ) =x 9) Dualità (De Morgan) (x 1 +x 2 +.+x n ) = x 1 * x 2 *.*x n (x 1 * x 2 *.* x n ) = x 1 +x 2 +.+x n Calcolatori Elettronici 11 Teorema di Shannon Data una funzione Booleana f(b n )=B è sempre vero che: f(x 1,x 2,,x n ) = x 1 f(1,x 2,,x n ) + x 1 f(0,x 2,,x n ) f(x 1,x 2,,x n ) = (x 1 +f(0,x 2,,x n )) (x 1 +f(1,x 2,,x n )) Calcolatori Elettronici 12

7 Algebra di Commutazione Una funzione f è detta completamente specificata se il suo valore è specificato in corrispondenza di tutto il dominio. Se il valore della funzione non è specificato in corrispondenza di alcune assegnazioni, la funzione è detta non completamente specificata. Tali assegnazioni individuano delle condizioni di indifferenza e il valore di f in corrispondenza di esse è denotato con il simbolo -. Per tali configurazioni la funzione può assumere indifferentemente il valore 0 od il valore 1. Calcolatori Elettronici 13 Algebra di Commutazione Funzione non completamente specificata x y z f(x,y,z) Calcolatori Elettronici 14

8 Operatori funzionalmente completi La terna di operatori AND, OR e NOT sono funzionalmente completi ovvero permettono di rappresentare qualsiasi funzione di commutazione. La coppia (AND, NOT) è funzionalmente completa. -Dimostrazione: NOT(OR(x,y)) = AND(NOT(x),NOT(y)) OR(x,y) = NOT(AND(NOT(x),NOT(y))) La coppia (OR, NOT) è funzionalmente completa. -Dimostrazione: NOT(AND(x,y)) = OR(NOT(x), NOT(y)) AND(x,y) = NOT(OR(NOT(x), NOT(y))) Calcolatori Elettronici 15 Operatori funzionalmente completi Esistono altri due operatori che sono funzionalmente completi: NAND: NAND (x,y) = NOT (AND (x,y)) NOR: NOR (x,y) = NOT (OR (x,y)) Dimostrazione: A partire dal NAND possiamo ottenere la coppia (AND,NOT): NOT(x) =NAND(x,x); AND(x,y) = NOT(NAND(x,y)) A partire dal NOR possiamo ottenere la coppia (OR,NOT): NOT(x) =NOR(x,x); OR(x,y) = NOT(NOR(x,y)) Calcolatori Elettronici 16

9 Espressioni booleane Si definisce espressione booleana una combinazione di variabili booleane e costanti (0,1) attuata mediante gli operatori +, *,. Es. e=x*y+x+z +y*w Si definisce letterale ogni presenza in forma diretta o negata di una variabile in una espressione e numero di letterali il loro numero. letterale Es. e4=x*y +y*z L espressione e4 ha 4 letterali Calcolatori Elettronici 17 Espressioni booleane: numero di livelli Si definisce numero di livelli di una espressione il massimo tra i numeri di operazioni che agiscono in cascata sui letterali. e = x*y+x+z +y*w è un espressione a due livelli con 6 letterali x y x z y w * * + e = (x+y)*z+x*w è un espressione a tre livelli con 5 letterali x y z x w + * * + Calcolatori Elettronici 18

10 Espressioni booleane Una espressione e può essere utilizzata per rappresentare quella funzione booleana f che assume valore 1 in corrispondenza delle assegnazioni per le quali e=1 valore 0 in corrispondenza delle assegnazioni per le quali e=0. Due espressioni e1, e2 nelle stesse variabili sono equivalenti se e1=e2 per tutte le assegnazioni delle variabili. Es. Le espressioni e1=xy +xy z+xz sono equivalenti. e2=xy +xz Data una funzione f, esiste un numero infinito di espressioni che la possono rappresentare. Calcolatori Elettronici 19 Porte Logiche L algebra di commutazione può essere utilizzata per descrivere sistemi caratterizzati da grandezze fisiche che possono assumere 2 soli livelli logici. Sono stati individuati sistemi molto semplici che realizzano le operazioni OR, AND, NOT, NAND, NOR a cui viene dato il nome di porte logiche NOT AND OR NAND NOR Calcolatori Elettronici 20

11 Porte Logiche Utilizzando le porte, si può far corrispondere ad una espressione booleana un insieme interconnesso di porte, detto rete logica F=(ab+a c )(d+e) b a a c ab a c d e ab+a c d+e f Calcolatori Elettronici 21 Termine prodotto Per una funzione di n variabili f(x 1,..,x n ) si definisce prodotto fondamentale o prodotto minimo (minterm) il prodotto (AND) tra tutte le n variabili presenti in modo diretto o negato. Esempio: ab c, abc, a b c, a bc rappresentano minterm di una funzioni a tre variabili f(a,b,c). Se un minterm assume valore 1 anche la funzione f assume il valore 1. Per una configurazione delle n variabile un solo minterm assume valore 1. MinT1=ab c assume il valore 1 solo per a=1, b=0, c=0; MinT2=abc assume il valore 1 solo per a=1, b=1, c=0. Calcolatori Elettronici 22

12 Termine prodotto I mintermini di una funzione vengono spesso identificati con il numero in base 10 corrispondente al valore binario del mintermine. (Es., m 1 =a b c, m 4 = ab c ) On-set: Insieme dei mintermini Calcolatori Elettronici 23 Implicante Un implicante di una funzione di n variabili f(x 1,..,x n ) è il prodotto (AND) P tra m letterali (con m<n) tale che ogni volta che P=1 anche f=1. Esempi Data la funzione a tre variabili f3v(a,b,c) con minterm: ab c, abc, a b c, ab c ac e b c sono implicanti della funzione f3v. Data la funzione a quattro variabili f4v(a,b,c,d) con minterm: ab c d, abc d, a b cd, a b cd ac d e ab c sono implicanti della funzione f4v. Calcolatori Elettronici 24

13 Termine somma Per una funzione di n variabili f(x 1,..,x n ) si definisce somma fondamentale o somma massima (maxterm) la somma (OR) tra tutte le n variabili presenti in modo diretto o negato. Esempio: a+b +c e a+b+c rappresentano due maxterm di una funzioni di tre variabili booleane. Se un maxterm assume valore 0 anche la funzione f assume il valore 0. Per una configurazione delle n variabile un solo maxterm assume valore 0. MaxT1= a+b +c assume il valore 0 solo per a=0, b=1, c=0; MaxT2= a+b+c assume il valore 0 solo per a=0, b=0, c=0. Calcolatori Elettronici 25 Termine somma I maxtermini di una funzione vengono spesso identificati con il numero in base 10 corrispondente al valore binario del maxtermine. (Es., M 6 =a +b +c, M 3 = a+b +c ) Off-set: Insieme dei maxtermini Calcolatori Elettronici 26

14 Implicato Un implicato di una funzione di n variabili f(x 1,..,x n ) è la somma (OR) S tra m letterali (con m<n) tale che ogni volta che S=0 anche f=0. Es. Data la funzione f3v(a,b,c) a tre variabili, con i seguenti maxterm: a+b +c, a+b+c, a+b +c sono presenti i seguenti implicati: a+c e a+b Calcolatori Elettronici 27 Forme canoniche Si chiama forma canonica SP (Somma di Prodotti) l espressione di una funzione ottenuta per mezzo della somma (logica) dei minterm individuati dalle assegnazioni in corrispondenza delle quali f assume il valore 1. Si chiama forma canonica PS (Prodotto di Somme) l espressione di una funzione ottenuta per mezzo del prodotto (logico) dei maxterm individuati dalle assegnazioni in corrispondenza delle quali f assume il valore 0. Data una funzione f esiste una sola forma canonica SP e una sola forma PS che la rappresenta. Calcolatori Elettronici 28

15 Esempio di forma SP x y f(x,y) x y P1(x,y) = x y P2(x,y) P1=x y f(x,y) = x y + xy P2=xy Si ricorda che nel mintermine una variabile compare nella forma x se nella corrispondente configurazione di ingresso ha valore 1, con x se ha valore 0. Calcolatori Elettronici 29 Esempio di forma PS x y f(x,y) x y S1(x,y) = * x y S2(x,y) S1=(x y ) =x+y f(x,y) = (x+y) * (x +y ) S2=(xy) =x +y Si ricorda che nel maxtermine una variabile compare nella forma x se nella corrispondente configurazione di ingresso ha valore 0, con x se ha valore 1. Calcolatori Elettronici 30

16 Esempio di forma PS x y z f(x,y,z) f(x,y,z) = (x+y+z) * (x+y +z ) * (x +y +z) Calcolatori Elettronici 31 Notazione contratta di forma canonica SP Data una funzione booleana f, se consideriamo i numeri decimali p i corrispondenti alle configurazioni P i delle variabili in cui è presente un 1, la f può essere rappresentata come sommatoria dei p i. Per la funzione f(x,y,z)= Σ(1,4,5,7) f(x 1,x 2,..,x n )= Σ i (p i ) x y z f(x,y,z) Calcolatori Elettronici 32

17 Notazione contratta di forma canonica PS Data una funzione booleana f, se consideriamo i numeri decimali s i corrispondenti alle configurazioni S i delle variabili in cui è presente uno 0, la f può essere rappresentata come produttoria dei s i. f(x 1,x 2,..,x n )= Π i (s i ) Per la funzione x y z f(x,y,z) f(x,y,z)= Π(0,2,6) Calcolatori Elettronici 33 Notazione contratta per funzioni non completamente specificate Data una funzione booleana f non completamente specificata, le configurazioni S i relative alle condizioni di indifferenza vengono aggiunte a quelle in cui la funzione è specificata mediante un ulteriore sommatoria o produttoria relativa solo a tali configurazioni. f(x 1,x 2,..,x n )= Σ i (p i )+ d Σ (p i ) f(x,y,z)= Σ(1,4,5,7)+d Σ (2,3) f(x 1,x 2,..,x n )= Π i (s i )+ d Πi (s i ) f(x,y,z)= Π(0,2,6)+d Π (1,3) Calcolatori Elettronici 34