Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

Transcript

1 Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione Laboratorio Manuel Iori Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia MOLP Parte I 1 / 41

2 Contenuto della Parte di Laboratorio 1. Modelli Matematici ed Euristici per Alcuni Problemi di Base 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP MOLP Parte I 2 / 41

3 Modelli Matematici ed Algoritmi Euristici per Alcuni Problemi di Base n+d b c f n+e n+f e n+c d n+b a 0 n+a MOLP Parte I 3 / 41

4 Knapsack Problem (KP01) Definizione del problema Dati n oggetti j, con profitto p j e peso w j (j = 1,...,n) e un contenitore (knapsack, zaino) di capacità c, il knapsack problem (KP01) richiede di determinare il sottoinsieme di oggetti il cui peso totale non ecceda c e il cui profitto totale sia massimo Il KP01 ha numerose applicazioni nei problemi di ottimizzazione finanziaria, nel taglio e/o impaccamento di oggetti e come sottoproblema di problemi di ottimizzazione più complessi MOLP Parte I 4 / 41

5 Modello Matematico per il KP01 Modello Matematico Definiamo la variabile binaria: { 1 se l oggetto j è scelto, x j = 0 altrimenti per j = 1,...,n Il KP01 può essere modellato come n z(kp01) = max p j x j (1) j=1 n w j x j c (2) j=1 x j {0,1} j = 1,...,n (3) MOLP Parte I 5 / 41

6 Algoritmo Greedy per il KP01 Idea di base dell algoritmo: Impaccare gli oggetti nel knapsack uno alla volta dal più conveniente al meno conveniente, fino a quando c è spazio Input: Profitti p 1,p 2,...,p n ; Pesi w 1,w 2,...,w n ; Capacità c; Oggetti ordinati secondo rapporto profitto su peso descrescente (p 1 /w 1 p 2 /w 2 p n /w n ) Output: z gr = valore soluzione euristica ottenuta dall algoritmo greedy; s(j) = 1 se l oggetto j è scelto, 0 altrimenti MOLP Parte I 6 / 41

7 Pseudo-codice: z gr := 0 c res := c for (j := 1 to n) do if (w j c res ) then s(j) := 1 c res := c res w j z gr := z gr +p j else s(j) := 0 end-if end-for return(z gr,s) Complessità: O(n) per l esecuzione del ciclo for, ma anche O(n log n) per l ordinamento iniziale degli oggetti. Quindi la complessità del greedy è O(n log n). (Attenzione, ciò non deve far concludere che il KP01 sia nella classe P!) MOLP Parte I 7 / 41

8 Esempio KP01 Input: n = 6; c = 100 p = (70, 35, 15, 9, 9, 1) w= (50, 30, 15, 10, 10, 3) Evoluzione dell algoritmo greedy: iterazione 0 z gr := 0 c res := s(1) := 1 z gr := 70 c res := 50 2 s(2) := 1 z gr := 105 c res := 20 3 s(3) := 1 z gr := 120 c res := 5 4 s(4) := 0 z gr := 120 c res := 5 5 s(5) := 0 z gr := 120 c res := 5 6 s(6) := 1 z gr := 121 c res := 2 Come nota, la soluzione ottima ha valore z(kp01) = 123 MOLP Parte I 8 / 41

9 Bin Packing Problem (BPP) Definizione del problema: Dati n oggetti j con peso w j (j = 1,...,n) e un numero abbastanza grande m di contenitori (bin) aventi ognuno capacità c, il bin packing problem (BPP) richiede di impaccare gli oggetti nel minor numero di contenitori, in modo che la somma dei pesi degli oggetti assegnati ad ogni contenitore non ecceda la data capacità Il BPP è molto studiato per le applicazioni nel taglio industriale di oggetti, nel dimensionamento di magazzini/flotte di veicoli, e come sottoproblema di problemi di ottimizzazione più complessi MOLP Parte I 9 / 41

10 Modello Matematico per il BPP Modello Matematico: Definiamo una prima variabile binaria per i = 1,...,m: { 1 se uso il bin i, y i = 0 altrimenti Definiamo una seconda variabile binaria per i = 1,...,m e j = 1,...,n: { 1 se assegno l oggetto j al bin i, x ij = 0 altrimenti Il BPP può essere modellato come: z(bpp) = min m y i i=1 m i=1 x ij = 1 j = 1,...,n (5) n j=1 w jx ij cy i i = 1,...,m (6) y i {0,1} i = 1,...,m (7) (4) x ij {0,1} i = 1,...,m;j = 1,...,n (8) MOLP Parte I 10 / 41

11 La convergenza del modello (4) (8) può essere rafforzata con i vincoli x ij y i i = 1,...,m;j = 1,...,n (9) che impongono una relazione più stretta tra le variabili x e y, migliorando quindi il rilassamento lineare Può essere rafforzata anche con i vincoli y i y i+1 i = 1,...,m 1 (10) che impongono un ordinamento nella scelta dei bin, e quindi riducono la dimensione dell albero decisionale Introducendo (9) e/o (10) in (4) (8) si ottiene un modello che, nella maggior parte dei casi, converge piú velocemente all ottimo e quindi risolve piú velocemente l istanza MOLP Parte I 11 / 41

12 Algoritmo Next Fit Decreasing per il BPP Idea di base dell algoritmo: Impaccare gli oggetti uno alla volta, dal più grande al più piccolo. Per l impaccamento si usa il bin corrente fino a quando c è spazio, poi si crea un nuovo bin. Input: Pesi w 1,w 2,...,w n ; Capacità c. Oggetti ordinati per peso descrescente (w 1 w 2 w n ). Output: z nf = valore soluzione euristica ottenuta; o(j) = indice del bin al quale è stato assegnato l oggetto j. MOLP Parte I 12 / 41

13 Pseudo-codice: z nf := 1 c res := c for (j := 1 to n) do if (w j c res ) then o(j) := z nf c res := c res w j else z nf := z nf +1 c res := c w j o(j) := z nf end-if end-for return(z nf,o) Complessità: O(n) per l esecuzione del ciclo for, ma anche O(n log n) per l ordinamento iniziale degli oggetti, quindi l algoritmo ha complessità O(n log n) MOLP Parte I 13 / 41

14 Esempio BPP Input: n = 5; c = 10 w = (6, 5, 4, 3, 2) Evoluzione dell algoritmo next fit decreasing: iterazione 0 z nf := 1 c res := 10 1 o(1) := 1 z nf := 1 c res := 4 2 o(2) := 2 z nf := 2 c res := 5 3 o(3) := 2 z nf := 2 c res := 1 4 o(4) := 3 z nf := 3 c res := 7 5 o(5) := 3 z nf := 3 c res := 5 Come nota, la soluzione ottima ha valore z(bpp) = 2 MOLP Parte I 14 / 41

15 Algoritmo First Fit Decreasing per il BPP Idea di base dell algoritmo: Impaccare gli oggetti uno alla volta, dal più grande al più piccolo. L oggetto corrente è impaccato nel primo bin avente abbastanza spazio residuo. Se tale bin non esiste, allora se ne crea uno nuovo. Input: Pesi w 1,w 2,...,w n ; Capacità c; Oggetti ordinati per peso descrescente. Output: z ff = valore soluzione euristica ottenuta; o(j) = indice del bin al quale è stato assegnato l oggetto j. MOLP Parte I 15 / 41

16 Pseudo-codice: z ff := 1 c res (1) := c for (j := 1 to n) do o(j) := 1 for (i := 1 to z ff ) do if (w j c res (i)) then o(j) := i c res (i) := c res (i) w j break end-if end-for if (o(j) = 1) then z ff := z ff +1 o(j) := z ff c res (z ff ) := c w j end-if end-for return(z ff,o) MOLP Parte I 16 / 41

17 Esempio BPP Input: n = 5; c = 10 w = (6, 5, 4, 3, 2); Evoluzione dell algoritmo first fit decreasing: iterazione 0 z ff := 1 c res (1) := 10 1 o(1) := 1 z ff := 1 c res (1) := 4 2 o(2) := 2 z ff := 2 c res (1) := 4 c res (2) := 5 3 o(3) := 1 z ff := 2 c res (1) := 0 c res (2) := 5 4 o(4) := 2 z ff := 2 c res (1) := 0 c res (2) := 2 5 o(5) := 2 z ff := 2 c res (1) := 0 c res (2) := 0 Complessità: O(nm) per l esecuzione dell algoritmo, e sempre O(n log n) per l ordinamento iniziale degli oggetti. Nelle istanze difficili di BPP si ha m > logn, quindi normalmente si usa O(nm) per definire la complessità dell algoritmo MOLP Parte I 17 / 41

18 Esempio BPP 2 Input: n = 10; c = 10 w = (6, 6, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2); Evoluzione dell algoritmo first fit decreasing: iterazione 0 z ff := 1 c res(1) := 10 1 o(1) := 1 z ff := 1 c res(1) := 4 2 o(2) := 2 z ff := 2 c res(1) := 4 c res(2) := 4 3 o(3) := 1 z ff := 2 c res(1) := 1 c res(2) := 4 4 o(4) := 2 z ff := 2 c res(1) := 1 c res(2) := 1 5 o(5) := 3 z ff := 3 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 8 6 o(6) := 3 z ff := 3 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 6 7 o(7) := 3 z ff := 3 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 4 8 o(8) := 3 z ff := 3 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 2 9 o(9) := 3 z ff := 3 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 0 10 o(10) := 4 z ff := 4 c res(1) := 1 c res(2) := 1 c res(3) := 0 c res(4) := 8 Come nota, la soluzione ottima ha valore z(bpp) = 3 MOLP Parte I 18 / 41

19 Parallel Processor Scheduling Problem (P C max ) Definizione del problema: Dati n lavori j, ognuno richiedente un tempo di lavorazione positivo p j (j = 1,...,n), e date m macchine identiche in parallelo, ognuna in grado di svolgere un solo lavoro alla volta, il parallel processor scheduling problem (noto come P C max nella letteratura scientifica) richiede di assegnare i lavori alle macchine in modo che sia minimo l istante di fine dell ultima lavorazione (detto makespan) Il P C max ha applicazioni soprattutto nell ambito della schedulazione delle attività di lavoro (scheduling) e dell ottimizzazione della produzione MOLP Parte I 19 / 41

20 Modello Matematico per il P C max Definiamo una variabile binaria: { 1 se assegno il lavoro j alla macchina i, x ij = 0 altrimenti per i = 1,...,m e j = 1,...,n; e una variabile lineare non negativa z = makespan Il P C max può essere modellato come: z(p C max ) = min z (11) m x ij = 1 j = 1,...,n (12) i=1 n p j x ij z i = 1,...,m (13) j=1 x ij {0,1} i = 1,...,m;j = 1,...,n (14) MOLP Parte I 20 / 41

21 Algoritmo Longest Processing Time per il P C max Idea di base dell algoritmo: Assegna i lavori uno alla volta, dal più lungo al più piccolo. Il lavoro corrente è assegnato alla macchina che in quel momento risulta più scarica Input: Tempi di processamento p 1,p 2,...,p n Numero macchine m Lavori ordinati per tempi descrescenti (p 1 p 2 p n ) Output: z lpt = valore euristico del makespan o(j) = indice della macchina alla quale è stato assegnato il lavoro j MOLP Parte I 21 / 41

22 Pseudo-codice: z lpt := 0 for (i := 1 to m) carico(i) := 0 for (j := 1 to n) do min := + for (i := 1 to m) do if (carico(i) < min) then min := carico(i) i min := i end-if end-for o(j) := i min carico(i min ) := carico(i min )+p j if (carico(i min ) > z lpt ) z lpt := carico(i min ) end-for return(z lpt,o) Complessità: O(nm) per l esecuzione dell algoritmo, e sempre O(n log n) per l ordinamento iniziale degli oggetti MOLP Parte I 22 / 41

23 Esempio P C max Input: n = 8; m = 3 w = (10, 10, 9, 8, 8, 6, 5, 4) Evoluzione dell algoritmo longest processing time: (c(i) = carico(i)): iterazione 0 z lpt := 0 c(1) := 0 c(2) := 0 c(3) := 0 1 o(1) := 1 z lpt := 10 c(1) := 10 c(2) := 0 c(3) := 0 2 o(2) := 2 z lpt := 10 c(1) := 10 c(2) := 10 c(3) := 0 3 o(3) := 3 z lpt := 10 c(1) := 10 c(2) := 10 c(3) := 9 4 o(4) := 3 z lpt := 17 c(1) := 10 c(2) := 10 c(3) := 17 5 o(5) := 1 z lpt := 18 c(1) := 18 c(2) := 10 c(3) := 17 6 o(6) := 2 z lpt := 18 c(1) := 18 c(2) := 16 c(3) := 17 7 o(7) := 2 z lpt := 21 c(1) := 18 c(2) := 21 c(3) := 17 8 o(8) := 3 z lpt := 21 c(1) := 18 c(2) := 21 c(3) := 21 Come nota, la soluzione ottima ha valore z(p C max ) = 20 MOLP Parte I 23 / 41

24 Set Covering Problem (SCP) Definizione del problema: È data una matrice A = [a ij ] di n colonne e m righe. Ogni entry a ij della matrice A vale 0 o 1. Ogni colonna j ha costo c j. L obiettivo del set covering problem (SCP) è di selezionare un sottoinsieme di colonne che abbia almeno un 1 in ogni riga e il cui costo sia minimo Il SCP può essere usato per modellare un numero enorme di problemi di ottimizzazione combinatoria (tra cui il BPP e il P C max ). L utilizzo dipende dal significato preso dalle colonne e dalla loro conseguente costruzione MOLP Parte I 24 / 41

25 Modello Matematico per il SCP Modello Matematico: Definiamo una variabile binaria { 1 se seleziono la colonna j, y j = 0 altrimenti per j = 1,...,n Il SCP può essere modellato come: n z(scp) = min c j y j (15) j=1 n a ij y j 1 i = 1,...,m (16) j=1 y j {0,1} j = 1,...,n (17) MOLP Parte I 25 / 41

26 Algoritmo Greedy per il SCP Idea di base dell algoritmo: Seleziona le colonne una alla volta, dalla più conveniente alla meno conveniente, fino a quando tutte le righe sono coperte Input: Costi c j ; matrice A = [a ij ]; Sia k j = m i=1 a ij il numero di 1 nella colonna j; supponiamo che le colonne di A siano state ordinate per rapporto c j /k j crescente (c 1 /k 1 c 2 /k 2 c n /k n ) Output: z gr = valore soluzione euristica ottenuta; s(j) = 1 se la colonna j è scelta, 0 altrimenti MOLP Parte I 26 / 41

27 Pseudo-codice: z gr := 0; n cop := 0; ind := 1 for (j := 1 to n) s(j) := 0 for (i := 1 to m) cop(i) := 0 while (n cop < m) do s(ind) := 1 z gr := z gr +c ind for (i := 1 to m) do if (a i,ind = 1 and cop(i) = 0) then cop(i) := 1 n cop := n cop +1 end-if end-for ind := ind +1 end-while return(z gr,s) Complessità: Nel caso peggiore si devono selezionare tutte le colonne, quindi l algoritmo ha complessità O(nm) MOLP Parte I 27 / 41

28 Esempio SCP Input: m = 5; n = 8 c = (10, 12, 15, 16, 9, 10, 11, 12); a ij Evoluzione dell algoritmo greedy: iterazione 0 z gr := 0 n cop := 0 1 s(1) := 1 z gr := 10 n cop := 2 2 s(2) := 1 z gr := 22 n cop := 4 3 s(3) := 1 z gr := 37 n cop := 4 4 s(4) := 1 z gr := 53 n cop := 5 MOLP Parte I 28 / 41

29 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Traveling Salesman Problem Definizione del problema: È dato un grafo G = (V,A), dove V = {1,2,...,n} rappresenta l insieme dei vertici e A = {(i,j) : i,j V} l insieme degli archi. Ad ogni arco (i,j) è associato un costo c ij L obiettivo del traveling salesman problem (TSP) è quello di trovare il circuito hamiltoniano di G di costo minimo, ovvero determinare la sequenza che visita ogni vertice una e una sola volta con costo complessivo minimo Il TSP ha numerose applicazioni nei problemi su reti (stradali, di telecomunicazioni, etc.) Nel seguito supponiamo che 1 sia il vertice iniziale della sequenza. Esistono varie formulazioni matematiche che permettono di modellare il TSP MOLP Parte I 29 / 41

30 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP TSP - Formulazione classica a due indici Definiamo una variabile binaria { 1 se l arco (i,j) appartiene al circuito hamiltoniano, x ij = 0 altrimenti per i,j = 1,...,n Il TSP può essere modellato come: z(tsp) = min n i=1 n n j=1 c ijx ij (18) x ij = 1 j = 1,...,n (19) i=1 n x ji = 1 j = 1,...,n (20) i=1 x ij S 1 S V : S V 1 (21) i S j S x ij {0,1} i,j = 1,...,n (22) MOLP Parte I 30 / 41

31 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP TSP - Formulazione MTZ (Miller-Tuckler-Zemlin) Definiamo una variabile binaria: { 1 se l arco (i,j) appartiene al circuito hamiltoniano, x ij = 0 altrimenti per i,j = 1,...,n, e una variabile continua non negativa y j = ordine nel quale il vertice j è visitato. per j = 2,...,n Il TSP può essere modellato come: z(tsp) = min n i=1 n n j=1 c ijx ij (23) i=1 x ij = 1 j = 1,...,n (24) n i=1 x ji = 1 j = 1,...,n (25) y j +(n+1)(1 x ij ) y i +1 i,j = 2,...,n (26) x ij {0,1} i,j = 1,...,n (27) 1 y j n 1 j = 2,...,n (28) MOLP Parte I 31 / 41

32 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP TSP - Formulazione one-commodity Definiamo una variabile binaria: { 1 se l arco (i,j) appartiene al circuito hamiltoniano, x ij = 0 altrimenti per i,j = 1,...,n, e una variabile continua non negativa: per i,j = 1,...,n f ij = flusso sull arco (i,j), Intuitivamente f ij rappresenta il numero di visite da effettuarsi nella sequenza ottimale dopo l arco (i, j), sempre che tale arco venga usato MOLP Parte I 32 / 41

33 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Il TSP può essere modellato come: z(tsp) = min n i=1 n n j=1 c ijx ij (29) x ij = 1 j = 1,...,n (30) i=1 n x ji = 1 j = 1,...,n (31) i=1 f ij (n 1)x ij i,j = 1,...,n (32) n f 1i = n 1 (33) i=1 n f ij = n f jk +1 j = 2,...,n (34) i=1 k=1 x ij {0,1} i,j = 1,...,n (35) 0 f ij n 1 i,j = 1,...,n (36) MOLP Parte I 33 / 41

34 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP TSP - Formulazione multi-commodity Definiamo la solita variabile binaria x ij per i,j = 1,...,n, e una variabile continua non negativa: f k ij = flusso verso il vertice k passante sull arco (i,j), per i,j = 1,...,n, e k = 2,...,n Intuitivamente f k ij definisce il percorso tra 1 e k, e prende valore 1 se il vertice k sarà visitato nella sequenza ottimale dopo l arco (i, j), sempre che tale arco venga usato MOLP Parte I 34 / 41

35 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Il TSP può essere modellato come: z(tsp) = min n i=1 n n j=1 c ijx ij (37) x ij = 1 j = 1,...,n (38) i=1 n x ji = 1 j = 1,...,n (39) i=1 fij k x ij i,j = 1,...,n,k = 2,...,n (40) n i=1 f k 1i = 1 k = 2,...,n (41) n f k i=1 i1 n n n = 0 k = 2,...,n (42) i=1 f k ik = 1 k = 2,...,n (43) i=1 f k ki = 0 k = 2,...,n (44) f k i=1 ij = n i=1 ji j,k = 2,...,n : j k (45) x ij {0,1} i,j = 1,...,n (46) 0 f k ij 1 i,j = 1,...,n,k = 2,...,n (47) MOLP Parte I 35 / 41

36 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Algoritmo Closest Neighbor per il TSP Idea di base dell algoritmo: Dato un vertice corrente, scegli sempre l arco che porta al vertice più vicino tra quelli non ancora visitati Input: Vertice di partenza (in questo esempio: 1); costi c ij Output: z cn = valore soluzione euristica ottenuta; o(j) = indice del vertice visitato nella posizione j del circuito MOLP Parte I 36 / 41

37 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Pseudo-codice: z cn := 0 for (j := 1 to n) vis(j) := 0 from := 1; vis(1) := 1; o(1) := 1 for (i := 2 to n) do min := + for (j := 1 to n) do if (c from,j < min and vis(j) = 0) then min := c from,j to := j end-if end-for z cn := z cn +c from,to o(i) := to vis(to) := 1 from := to end-for z cn := z cn +c to,1 return(z cn,o) MOLP Parte I 37 / 41

38 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Esempio TSP Input: n = 5; c ij Evoluzione dell algoritmo closest neighbor: iterazione 1 o(1) := 1 z cn := 0 from := 1 2 o(2) := 4 z cn := 2 from := 4 3 o(3) := 3 z cn := 3 from := 3 4 o(4) := 5 z cn := 5 from := 5 5 o(5) := 2 z cn := 9 from := 2 6 z cn := 24 Complessità: L esecuzione dell algoritmo richiede O(n 2 ) MOLP Parte I 38 / 41

39 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Ricerca locale di tipo swap per il TSP Idea di base dell algoritmo: Data una soluzione euristica rappresentata da una permutazione (ad esempio ocn), provare a scambiare tra loro ogni coppia di vertici non contigui nella permutazione, escludendo il deposito iniziale e quello finale Se si trova un miglioramento nella funzione obiettivo, effettuare lo scambio e riniziare da capo MOLP Parte I 39 / 41

40 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Pseudo-codice: comment: vertici = 1,2,...,n, con 1 = deposito e ocn(n+1) = 1 improved := true while (improved = true) do improved := false for (i := 2 to n 2) do for (j := i +2 to n) do := c ocn(i 1),ocn(i) c ocn(i),ocn(i+1) c ocn(j 1),ocn(j) c ocn(j),ocn(j+1) +c ocn(i 1),ocn(j) +c ocn(j),ocn(i+1) +c ocn(j 1),ocn(i) +c ocn(i),ocn(j+1) if ( < 0) then help:=ocn(j) ocn(j):=ocn(i) ocn(i):=help zcn:=zcn + improved := true break end-if end-for if (improved = true) break end-for return(zcn, ocn) MOLP Parte I 40 / 41

41 2. Modelli Matematici ed Euristici per il TSP Tabella Comparativa delle Complessità Algoritmo Complessità Complessità Problema euristico dell algoritmo dell enumerazione presentato euristico completa KP01 greedy O(n) O(2 n ) BPP next fit decr. O(n) O(m n ) BPP first fit decr. O(nm) O(m n ) P C max longest proc. time O(nm) O(m n ) TSP closest neighbor O(n 2 ) O(n!) SCP greedy O(nm) O(2 n ) MOLP Parte I 41 / 41